materi ajar geometri transformasi 121106041007 phpapp02
TRANSCRIPT
Surfiani
TRANSFORMASI
Unsur tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi
KOLINEASI
ISOMETRI
1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT
a. Selidiki apakah T suatu kolineasi
b. Selidiki apakah T suatu involusi a. )1,12()),(( yxyxT
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
ambil persamaan garis 0 cbyaxg
diperoleh 1'1'
21'12'
yyyy
xxxx
sehingga ')( ggT
0)2
('2
'
0)1'2
1''
cbabyax
cybxag
Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
1'1'2
''''
dengan )'',''()','(yx
yx
yxyxT
234
1)1(1)12(2
1'1'2
''''
dengan )'',''(),(2
yx
yx
yx
yx
yxyxT
Jadi )2,34()),((2 yxyxT
Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,
maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya
menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi WV , W dikerjakan dahulu
baru V. Jadi ))(()( AWVAWV .
Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis 2, VVVVWWV
Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.
Bukti :
Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W
merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan
bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.
Ambil sebarang titik Q’’
Karena V transformasi )'(''' QVQQ
Karena W transformasi )(' QWQQ
Sehingga )'('' QVQ
)(
))((QWVQWV
Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik
dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan
merupakan fungsi satu-satu.
Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.
1. Diketahui 1,3)),((dan 2,)),(( 21 yxyxTyxyxT
a. Carilah 21TT
b. Kenakan 21TT pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan
0532 yxg Jawab: a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T2 T1
T1T2
13
''
dengan )','(),(2 yx
yx
yxyxT
'2'
''''
dengan )'',''()','(1 yx
yx
yxyxT
223
)1(23
'2'
''''
dengan )'',''(),(21 yx
yx
yx
yx
yxyxTT
Jadi )22,3()),((21 yxyxTT
a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan 0532 yxg
Karena sejajar maka 21 mm
352523
0532
xy
xyyx
Jadi 32,
32
21 mm
05324293
)2(32)3(
)()( 11
yxxy
xy
xxmyyh
223
''
dengan )','(),(21 yx
yx
yxyxTT
12122'
3'3'
yyyy
xxxx
Jadi h'(h)21 TT
028'3'4
053'236'2
051'2133'2
yx
yx
yx
1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT
a. Selidiki apakah T suatu involusi
b. Kenakan T pada 2xy
a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)
T T
TT=T2
112
''
dengan )','(),(yx
yx
yxyxT
1'1'2
''''
dengan )'',''()','(yx
yx
yxyxT
234
1)1(1)12(2
1'1'2
''''
dengan )'',''(),(2
yx
yx
yx
yx
yxyxT
Jadi )2,34()),((2 yxyxT
a. T pada 2xy
22'2)'('
2'2)'('2
4'2)'(2'2
)1'()1'(22
)1'(1')(
2
2
2
2
2
xxy
xxy
xxy
xy
xyhT
S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’ dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakan sebagai SAB
A B
P’ P
CDABSS CDAB
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjangjajar CABDSS CDAB
Geseran adalah suatu isometri
CDABSS CDAB Bukti :
1) CDABSS CDAB
Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.
Berarti ')( PPSAB berarti 'PPAB .
Karena CDAB SS maka ' berarti ')( PPCDPPSCD .
Karena 'PPAB
'PPCD
Maka akibatnya CDAB
2) CDAB SSCDAB
Ambil P dan kenakan ABS berarti '')( PPABPPSAB .
Karena ' maka PPCDCDAB .
Sehingga ')( PPSCD
')( PPSAB
Maka akibatnya CDAB SS
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa CDABSS CDAB
Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,
genjangjajar CABDSS CDAB
Bukti : 1) genjangjajar CABDSS CDAB
Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika
CDABSS CDAB
Karena CDABSS CDAB berakibat BDAC
Jadi CABD jajar genjang.
2) CDAB SSCABD genjangjajar
CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan
sama panjang, yaitu CDAB
BDAC
Karena CDAB dengan dalil 2.1 (jika CDAB SSCDAB )
Jadi CDAB SS
Dari (1) dan (2) terbukti bahwa genjang.jajar CABDSS CDAB
Geseran adalah suatu isometri Bukti :
1)
=
'')( PPABPPSAB
'')( QQABQQS AB
Akibatnya '' QQPP
Akan dibuktikan PQQP ''
'PP dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang
Berakibat PQQPPQQP ''''
2)
'PP dan Q segaris
PQQP
PQQP
QQPPPPQQPQ
PPPQQP
''akibat
'' maka
'' karena ''
''''
Jadi S isometri
A B
P P’
Q Q’
P Q’ Q P’
Y
XO
B(a,b)
P(x,y)
P’(x’,y’)
b
a
a
b
ba
OB
byax
ba
yx
SOB
vektor
ba
OB
koordinattitik ),( baB
Q(c,d)
P(a,b)
bdac
PQ
Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)1) Carilah rumus SAB dan SBA?2) Kena Apakah SBA kolineasi? 3) kan SBA pada garis h di mana h melalui
titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.
4) Apakah SBA involusi?5) Apakah SBA isometri?6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?
Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)◦ Apakah SBA kolineasi?
◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0.
◦ Apakah SBA involusi?
◦ Apakah SBA isometri?
◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?
TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan
merupakan geseran lagi dengan
T T’
T’’
A B
CDABPQ
C
D
P
Q
A
B
C
D
Y
P(x1,y1)
O X
Q(x2,y2)
Setengah putaran terhadap titik P
(dengan pusat P) dilambangkan
dengan Hp, adalah pemetaan yang
memenuhi untuk sebarang titik A
di bidang V :
1.Jika A ≠ P maka titik P titik
tengah AA’
Hp(A)=A’
2.Jika A = P maka Hp(A)=P=A
A
A’
P
Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’Kenakan A’ dengan Hp, maka
Hp(A’)=AHp(Hp(A))=A’=AHp2(A)=AHp2=I
Jadi Hp involusiA P A’
Hp
Hp
TEOREMASetengah putaran adalah isometri
Bukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.
A
B
P
B’
A’
Kenakan A dengan Hp,
sehingga Hp(A)=A’ dengan
AP=PA’.Kenakan B dengan Hp,
sehingga Hp(B)=B’ dengan
BP=PB’.
Lanjutan
Perhatikan ∆APB dan ∆A’PB’Karena AP=PA’
BP=PB’Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)Akibat : AB=A’B’Jadi setengah putaran adalah isometri
belakang)(bertolak ''PBAAPB
XO
Y
A(x,y)
A’(x’,y’)
P(a,b)
Ambil P(a,b) sebagai
pusat putar.
Hp memetakan
A(x,y) ke A’(x’,y’).
Diperoleh hubungan bahwa :
Jadi jika P(a,b) maka :Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan
ybyyybyyb
xaxxxaxxa
2''22
'
2''22
'
ybxa
yx
22
''
LATIHANDiketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)1.Carilah HA•HB
2.Apakah HA•HB involusi?
3.HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan K(3,5), L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K’, L’ dan M’
4.Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)
1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan HA•HB(P) dan HB•HA(P).
2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).
3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L) jika A(2,1) dan B(-3,5).
4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan
C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).
Bukti :
TEOREMAHasil kali dua setengah putaran merupakan geseran
P
BA C
P’
P’’
Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HA sehingga :HA(P)=P’ berlaku PA=AP’HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’Berarti :HB(P’)=P’’HB(HA(P))=P’’HB•HA(P)=P’’
Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’ dalam ∆PP’P’’ sehingga PP’’=2ABBerarti HA•HB merupakan geseran atau HA•HB=SAC dengan AC=2AB
Hasil kali geseran dan setengah putaran ???
Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’ dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC sehingga :HR•HP(A)=A’
HR•HP(B)=B’
HR•HP(C)=C’
Jawab :A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)
Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)1. Apakah hasil dari HF•HG
Jawab : (6-x, 22-y)2. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D
Jawab : (1, 21)3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E dan
tegak lurus garis yang melalui F dan G4. Apakah hasil dari HF•HE•HG
5. Selidiki apakah HG•SEF involusi
Find the answers by yourself, pasti bisa!!!
Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.
Refleksi terhadap sumbu xRefleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.Diperoleh persamaan bahwa :
a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
1 00 -1xT
Dengan notasi matrik :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(a, -c) sumbu x
1 00 -1x
x x xT
y y y
Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a, c) sumbu y
Dengan notasi matrik :
-1 0 0 1y
x x xT
y y y
-1 0 0 1yT
Refleksi terhadap titik asal (0,0)
Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
(0,0)
-1 0 0 -1
T
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)
(0,0)
-1 0 0 -1
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
Refleksi terhadap garis y = xMenghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah :
0 11 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(c,a) y = x
0 11 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 -1
-1 0y xT
Refleksi ditulis dengan notasI :
A(a,c) A’(-c,-a) y =- x
0 -1-1 0y x
x x xT
y y y
Dengan notasi matrik :
Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :
1 0 00 -1 2
x xy y h
Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x
yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :
Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :
Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:
0 x x xy y h y h
1 0 0 -1
x x xy y h y h
0 2
0 1 0 0
- 2 0 -1 2
x x xy y h h y h
x xy h y h
Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :
A(a,c) A’(2k-a,c)
x=k
-1 0 20 1 0
x x ky y
Dengan notasi matrik :
Contoh Soal :Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan
titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.
Jawab :Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua
tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.
Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan
titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).
Telah dibahas bahwa :◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
sejajar adalah berupa geseran.◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu
yang saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran.
Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua sumbu sebarang???
Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :Ms(A) = A’Mt(A’) = A’’Jadi, Mt(A’) = A’’
Mt(Ms(A)) = A’’ (Mt•Ms)(A) =A’’
Ambil Q titik tengah AA’ Ambil R titik tengah A’A’’
Akibat pencerminan :
1. QPA'mAPQm
PRA'm2 QPA'2m 'APA'mmaka t)s,(mJika
'RPA' mPRA'm
PR)A'mQPA'm(2
2. PA = PA’
PA’ = PA’’
Jadi PA = PA’’
Sehingga Mt•Ms menghasilkan :
1. PA = PA’’
2. t)titik(s,Pdan t)(s,mdengan 2 'APA'm
Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan yang memenuhi :◦ RP,θ (P) = P
◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan
P = pusat putarθ = sudut putar
Jika θ = 0o maka RP,θ = I Jika θ = 180o maka RP,θ = HP
Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota B+
Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum jam
Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan satu terhadap sumbu t.
P = titik (s,t) Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms :
◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik
(s,t) dan ◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP
Dengan pusat putar (0,0)
Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)
dengan 2cos2sin
m
RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan :
Sumbu s, y = 0
Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
yx
yy
yx
yx
1)(1.2
1)(0.2
''
yx
1001
Sumbu t, xy2cos2sin
, maka 2sin2cos xy
0)290sin()290cos(
)290cos()290sin(
yx
xy
Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan
cossin
2''
2cos2sin2sin2cos
''''
pyx
yx
''
cossinsincos
0''
)180(cos)180(sin)180(sin)180(cos
yx
yx
Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan
''
cossinsincos
''''
yx
yx
yx
yx
cossinsincos
1001
cossinsincos
Jadi, jika P(0,0) maka :
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
yx
yx
cossinsincos
''
Dengan pusat putar P(a,b)
Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu yyxx //dan // .
Terhadap sumbu yPx koordinat C(x,y) dan C’(x,y).
RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan
yx
yx
cossinsincos
''
Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)
ba
yx
OPOCPCyx
ba
yx
OPOCPCyx
''
''''
Jadi
yx
yx
cossinsincos
''
bbaaba
yx
ba
ba
yx
yx
ba
yx
ba
yx
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
''
cossinsincos
''
Jadi jika pusat putar P(a,b) maka
RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan
qp
yx
yx
cossinsincos
''
dengan
cossinsincos
babqbaap
Suatu transformasi yang dipenuhi 1sincos 22 merupakan putaran.
1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) = <A’B’C’. Diperoleh | A’B’| = k| AB| , | B’C’| = k| BC| , dan | A’C’| = k| A’C’| . Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperoleh besar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC. Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut. Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan juga mempertahankan ketegaklurusan.
Definisi Misal P suatu titik tertentu dan k 0. Transformasi DP,k disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika a. DP,k (P)=P. b. Untuk sebarang titik QP, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan
Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/ Q untuk k<0. Teorema
Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku : a. g’=g jika P terletak pada g. b. g’/ / g jika P tidak terletak pada g.
Teorema Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri. Teorema
Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’
1. Rumus Dilatasi Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=DP,k(T). Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b) T’(a’,b’) P(x,y) t’ x T(a,b) t
Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks diperoleh: PT’ = k(PT) t’-x = k(t-x)
atau
y-bx-a
kyb'xa'
sehingga
yx
k)(1ba
kb'a'