matemáticas para ingeniería · 2020. 1. 29. · matemáticas para ingenierías en el itcj...
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Matemáticas para Ingenierías
en el ITCJ
Cálculo Vectorial
½Feliz 172 + 192 + 232 + 292!(o
∫ 3
2
(808x) dx
)
Ciudad Juárez
Enero 2020
ii
DATOS DEL ALUMNO
Nombre:
Salón:
Grupo:
Índice general
I CÁLCULO MULTIVARIABLE 1
1. Álgebra de vectores en R2 y R3 31.1. Introducción y de�niciones. [Nuevo] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Motivación [Nuevo] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Cantidades vectoriales y escalares [Nuevo] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Vector en forma de componentes y de combinación lineal de vectores unitarios [Nuevo] . . . . . . . . . . 31.1.4. Grá�ca, módulo y dirección de un vector en R2 [Nuevo] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5. Grá�ca, módulo y cosenos directores en R3 [Nuevo] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. De�nición de un vector en R2 y R3 y su generalización en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Vector en forma de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Propiedades y operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Magnitud y dirección de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Operaciones con vectores y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Producto escalar y vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Productos triples (escalar y vectorial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. Aplicaciones físicas y geométricas de los productos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8. Ecuaciones de rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9. Super�cies cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenas polares 92.1. Curvas planas y ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Representación grá�ca de ecuaciones paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Derivación de una función dada paramétricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Longitud de arco en forma paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6. Grá�cas de ecuaciones polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Funciones vectoriales de una variable real 113.1. De�nición de función vectorial, dominio y grá�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4. Interpretación de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6. Curvatura (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7. Vector tangente, normal y binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Función de varias variables 134.1. De�nición de una función de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2. Grá�ca de una función de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3. Curvas y super�cies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5. Derivadas parciales de funciones de 2 variables (Interpretación geométrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.6. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.7. Incrementos, diferenciales y regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iii
iv ÍNDICE GENERAL
4.8. Derivación parcial implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.9. Derivada direccional, gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.10. Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5. Integración múltiple 155.1. Coordenadas cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2. Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3. De�nición de integral doble: áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4. Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.5. Aplicaciones de la integral doble (geométricas y físicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.6. De�nición de integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.7. Integral triples en coordenadas cilíndricas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.8. Aplicaciones de la integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6. Cálculo Vectorial 176.1. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2. Trabajo e integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3. Flujos e integrales de super�cie, concepto de divergencia y Teorema de la Divergencia (Teorema de Gauss) . . . . 186.4. Aplicaciones del Teorema de Gauss a la mecánica de �uídos y el electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.5. Concepto de rotacional y Teorema del Rotacional (Teorema de Stokes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.6. Aplicaciones del Teorema de Stokes al electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Glosario 19Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ÍNDICE GENERAL v
Dedico este libro a mis amigos cuya familiaridadme hace dudar de su amistad.
vi ÍNDICE GENERAL
Parte I
CÁLCULO MULTIVARIABLE
1
Capítulo Primero
Álgebra de vectores en R2 y R3
1.1. Introducción y de�niciones. [Nuevo]
En el estudio del cálculo, las funciones tienen un lugar privilegiado ya que la mayoría de los fenómenos pueden ser descritos conmodelos matemáticos de funciones. Sin embargo, otro tipo de funciones son las funciones vectoriales con las que se pueden describirmovimientos (desde otro punto de vista), velocidades, �ujos, etc. Para adentrarnos en las funciones vectoriales comenzaremos conel álgebra de vectores en R2 y R3 en donde los fundamentos son dos tipos de cantidades: escalares y vectoriales. Las cantidadesescalares se utilizan para indicar cantidades que tienen solamente magnitud. Las cantidades vectoriales se utilizan para indicarcantidades que tienen magnitud y dirección. Ejemplos para cantidades escalares serían el número de alumnos en un salón,población de un país o monedas en un bolsillo, mientras que ejemplos de cantidades vectoriales serían posición de un proyectil,trabajo aplicado sobre un objeto o aceleración de una nave espacial.
1.1.1. Motivación [Nuevo]
Luz blanca. En 1671, Isaac Newton hizo estudios sobre la luz y publicó sus resultados en un libro llamado Óptica. En eseestudio, Newton observó que cuando un haz de luz solar incide sobre un prisma de vidrio triangular, una parte se re�eja yotra pasa a través del vidrio, mostrando diferentes bandas de colores. La hipótesis de Newton era que la luz estaba hecha porpartículas de diferentes colores y que la diferencia en los colores era debido a la diferencia de velocidades de cada uno de ellos,de modo que en un medio transparente, la luz roja era más veloz que la luz violeta. El resultado es que la luz roja se refractabamenos que la luz violeta cuando pasaban a través del prisma, creando el espectro de colores.
Éste espectro de colores se puede clasi�car de varias formas, en una de ellas tenemos los llamados colores primarios, que sonel rojo, el verde y el azul, con ellos podemos �generar� otros colores, esto es, por ejemplo, mezclando el color rojo con el verdeobtenemos el magenta, con el rojo y el azul el amarillo y con el verde y el azul el cyan (que se conocen como colores secunda-rios). La combinación de los tres colores da como resultado el color blanco y la ausencia de colores da como resultado el colornegro. Si a la intensidad de cada color de asignamos un valor numérico, esto es, por ejemplo, si no está presente algún color,le asignamos el valor 0 y si está presente le asignamos el valor 255, así podemos asignar a los colores primarios desde 0 hasta255 para el color rojo, verde y azul, digamos que el color rojo será r = 255, para el color verde será g = 255 y para el azul se-rá b = 255, entonces el color negro lo representamos con la triada 〈0, 0, 0〉mientras que al color blanco con la triada 〈255, 255, 255〉.
1.1.2. Cantidades vectoriales y escalares [Nuevo]
En las ciencias se usan diversos tipos de cantidades, tenemos costos, temperaturas, fuerzas aceleraciones, por ejemplo. Este tipode cantidades se pueden clasi�car en cantidades escalares y vectoriales. Una cantidad escalar es un tipo de cantidad que solamen-te requiere de un valor numérico, mientras que una cantidad vectorial requiere de dos o más cantidades para su representación.Por ejemplo, mientras que una cantidad escalar solamente requiere de magnitud para expresarse, las cantidades vectorialesrequieren de magnitud, dirección y sentido. Grá�camente, un vector se puede representar en el plano como una �echa unidirec-cional. El tamaño de la �echa representa la magnitud del vector, la línea de la �echa, la dirección y la punta de la �echa, su sentido.
1.1.3. Vector en forma de componentes y de combinación lineal de vectores unitarios [Nuevo]
Un vector en la forma−→u = 〈u1, u2, . . . , un〉
se dice que está escrito en forma de componentes, si el vector está en R2 entonces u1 se representa sobre el eje X y u2 sobre eleje Y. En R3, u3 se representa sobre el eje Z.
3
4 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA DE VECTORES EN R2 Y R3
Si −→u ∈ R3, entonces −→u = 〈u1, u2, u3〉 se puede escribir como una combinación lineal de vectores canónicos unitarios, esto es, siî = 〈1, 0, 0〉, �� = 〈0, 1, 0〉 y �k = 〈0, 0, 1〉, entonces podemos representar al vector −→u en términos de estos vectores.
1.1.4. Grá�ca, módulo y dirección de un vector en R2 [Nuevo]
La dirección y el sentido de un vector los podemos identi�car con una sola cantidad: el ángulo medido desde el semieje positivode las x.
Entonces podemos decir que el vector está de�nido por su magnitud y ángulo. Las fórmulas para ello serán:
||−→u || =√u21 + u22
θ = arctan
(u2u1
)Vectores canónicos unitarios. Los vectores poseen magnitud y dirección. La magnitud de un vector
1.1.5. Grá�ca, módulo y cosenos directores en R3 [Nuevo]
Ejercicios
1.2. De�nición de un vector en R2 y R3 y su generalización en Rn
Las cantidades vectoriales se utilizan para indicar cantidades que tienen magnitud y dirección. Las cantidades escalares se utilizanpara indicar cantidades que tienen solamente magnitud. Ejemplos de cantidades vectoriales serían velocidad o fuerza, mientrasque ejemplos para cantidades escalares serían el número de alumnos o monedas en un bolsillo.
1.2.1. Vector en forma de componentes
Luz blanca. En 1671, Isaac Newton hizo estudios sobre la luz y publicó sus resultados en un libro llamado Óptica. En eseestudio, Newton observó que cuando un haz de luz solar incide sobre un prisma de vidrio triangular, una parte se re�eja yotra pasa a través del vidrio, mostrando diferentes bandas de colores. La hipótesis de Newton era que la luz estaba hecha porpartículas de diferentes colores y que la diferencia en los colores era debido a la diferencia de velocidades de cada uno de ellos,de modo que en un medio transparente, la luz roja era más veloz que la luz violeta. El resultado es que la luz roja se refractabamenos que la luz violeta cuando pasaban a través del prisma, creando el espectro de colores.
Éste espectro de colores se puede clasi�car de varias formas, en una de ellas tenemos los llamados colores primarios, que sonel rojo, el verde y el azul, con ellos podemos �generar� otros colores, esto es, por ejemplo, mezclando el color rojo con el verdeobtenemos el magenta, con el rojo y el azul el amarillo y con el verde y el azul el cyan (que se conocen como colores secunda-rios). La combinación de los tres colores da como resultado el color blanco y la ausencia de colores da como resultado el colornegro. Si a la intensidad de cada color de asignamos un valor numérico, esto es, por ejemplo, si no está presente algún color,le asignamos el valor 0 y si está presente le asignamos el valor 255, así podemos asignar a los colores primarios desde 0 hasta255 para el color rojo, verde y azul, digamos que el color rojo será r = 255, para el color verde será g = 255 y para el azul se-rá b = 255, entonces el color negro lo representamos con la triada 〈0, 0, 0〉mientras que al color blanco con la triada 〈255, 255, 255〉.
Un vector −→u se puede representar en un sistema de coordenadas apropiado en forma de componentes.
DEFINICIÓN 1.1. Cantidades escalares.
Un escalar es una magnitud cuya determinacion solo requiere el conocimiento de un número, su cantidad respectode cierta unidad de medida de su misma especie. Las operaciones con escalares obedecen a las mismas reglas delálgebra elemental.
DEFINICIÓN 1.2. Vector en Rn
Un vector es una n-ada ordenada −→u = 〈u1, u2, . . . , un〉 de números reales. Los números u1, u2, . . . , un se llamancomponentes de −→u . En los casos que vamos a considerar, esto es, para n = 2 y n = 3, tenemos el par ordenado−→u = 〈u1, u2〉 y la terna ordenada −→u = 〈u1, u2, u3〉, respectivamente.
1.3. PROPIEDADES Y OPERACIONES BÁSICAS 5
Ejercicios
1.3. Propiedades y operaciones básicas
Propiedades del álgebra vectorial. Sean −→u , −→v y −→w vectores no nulos y m, n escalares.
i. −→u +−→v = −→v +−→u
ii. −→u + (−→v +−→w) = (−→u +−→v ) +−→w
iii. m−→u = −→um
iv. m(n−→u ) = (mn)−→u
v. (m+ n)−→u = m−→u + n−→u
vi. m(−→u +−→v ) = m−→u +m−→v
1.3.1. Magnitud y dirección de un vector
El magnitud de un vector es la distancia desde el punto inicial al punto �nal.
DEFINICIÓN 1.3. El módulo de un vector es ‖−→u ‖ =√u21 + u22 + . . .+ u2n
La dirección de un vector en R2 es la magnitud del ángulo que forma el vector con la dirección positiva del eje de las x.
DEFINICIÓN 1.4. La dirección de un vector en R2 es θ−→u = arctan u2
u1
Proyecciones.Dados dos vectores con orígen común, −→u y −→v , podemos encontrar los llamados vectores de proyección.
Para construir un vector de proyección, dado uno de los dos vectores, trazar una recta perpendicular hacia el otro vector y elmúltiplo escalar de este vector será la proyección.
El vector −→p1 se llama vector de proyección de −→u sobre −→v y se denota como proy−→v−→u . Al vector −→p2 se llama vector de proyección
de −→v sobre −→u y se denota como proy−→u−→v .
Ejercicios
1.4. Operaciones con vectores y sus propiedades
Ejercicios
1.5. Producto escalar y vectorial
El producto escalar tambien se conoce como producto punto o producto interno.
El producto vectorial tambien se conoce como producto cruz o producto externo.
A partir de dos vectores no nulos, podemos encontrar otro más con la característica que sea ortogonal a los dos primeros,simultáneamente. Esta operación es conocida como producto vectorial.
Para deducir el producto vectorial consideremos lo siguiente.
Sean −→u y −→v dos vectores cualesquiera en R3 y −→n un vector desconocido cuya característica es que es ortogonal1 tanto a −→ucomo a −→v . Para que −→n sea ortogonal a ambos se debe cumplir que −→n · −→u = 0 y −→n · −→v = 0, entonces, tenemos
−→n · −→u = 〈a, b, c〉 · 〈u1, u2, u3〉 = u1a+ u2b+ u3c = 0
1En realidad, la cantidad de vectores que son ortogonales tanto a −→u como a −→v es in�nita, así que vamos a elegir sólo uno de ellos, que deberá
cumplir con el sistema de orientación dextrógira y además que su norma coincida con el área del paralelogramo formado por los vectores adyacentes−→u y −→v .
6 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA DE VECTORES EN R2 Y R3
y−→n · −→v = 〈a, b, c〉 · 〈v1, v2, v3〉 = v1a+ v2b+ v3c = 0
y para saber el o los valores que satisfacen a estas dos ecuaciones, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones que tiene menosecuaciones que incógnitas
u1a+ u2b+ u3c = 0v1a+ v2b+ v3c = 0
entonces tendrá una cantidad ini�nita de soluciones para las variables a, b y c. Reduciendo por eliminación gaussiana llegamosal siguiente sistema
u1a + u2b + u3c = 0(v2 − u2v1
u1
)b +
(v3 − u3v1
u1
)c = 0
y despejando la b de la segunda ecuación, encontramos que
b = −u1v3 − u3v1u1v2 − u2v1
c
y sustituyendo este valor de b en la primer ecuación para encontrar el valor de a, tenemos que
a =u2v3 − u3v2u1v2 − u2v1
c
y por supuesto que c es
c =u1v2 − u2v1u1v2 − u2v1
c,
por lo tanto, el vector solución a partir del sistema homogéneo de ecuaciones es
~n =
⟨u2v3 − u3v2u1v2 − u2v1
c,−u1v3 − u3v1u1v2 − u2v1
c,u1v2 − u2v1u1v2 − u2v1
c
⟩.
En cada componente existe la constante c y también el denominador u1v2 − u2v1, entonces lo �sacamos� como constante ytenemos
−→n =c
u1v2 − u2v1〈(u2v3 − u3v2),−(u1v3 − u3v1), (u1v2 − u2v1)〉.
Ya que c es un valor que se elige arbitrariamente, para determinar la longitud del vector −→n tomamos el valor c = u1v2 − u2v1,y nos queda el vector
−→n = 〈(u2v3 − u3v2),−(u1v3 − u3v1), (u1v2 − u2v1)〉.
Este vector −→n es ortogonal tanto a −→u como a −→v , el símbolo con el que lo representamos es
−→n = −→u ×−→v .
EjerciciosEjercicios
i. En los ejercicios siguientes (a) dar el vector −→u mediante sus componentes y (b) dibujar el vector con su punto inicial enel orígen
1. (1,1), (5,3) dibujar el plano y los puntos 2. (2,1), (-1,3) dibujar el plano y los puntos
ii. Hallar −→u y −→v cuyos puntos inicial y �nal se dan. Mostrar que −→u y −→v son equivalentes.
3. u: (3, 2), (5, 6), v: (−1, 4), (1, 8). 4. u: (0, 3), (6, −2), v: (3, 10), (9, 5).
iii. Sea −→v = 〈2, 3〉, dibujar cada uno de los múltiplos escalares de −→v .
5. 2−→v 6. −3−→v 7. 7/2−→v 8. 2/3−→v
iv. Usar la siguiente �gura para representar grá�camente el vector. u:(1,2),(-2,-3) y v:(3,1),(5,3)
9. −−→u 10. −→u −−→v 11. 2−→u 12. −→u + 2−→v
v. Sean−→〈 u = 1,−1〉 y −→v = 〈−1, 2〉, determina lo siguiente
1.6. PRODUCTOS TRIPLES (ESCALAR Y VECTORIAL) 7
13. ||−→u || 14. ||−→v || 15. ||−→u +−→v || 16. ||−→u /||−→u |||| 17. ||−→u + −→v /||−→u +−→v ||||
vi. Hallar el vector −→v de magnitud dada y en la misma dirección que −→u .
18. ||−→v || = 4, −→u = 〈1, 1〉 19. ||−→v || = 2, −→u = 〈−1, 1〉
1.6. Productos triples (escalar y vectorial)
1.7. Aplicaciones físicas y geométricas de los productos escalares y vectoriales
1.8. Ecuaciones de rectas y planos
Ecuación de la recta en el plano en forma paramétrica.Dada la ecuación de la recta en la forma punto pendiente y − y0 = m(x− x0)
PROCEDIMIENTO 1.1. Calcular la ecuación del plano, dado 3 puntos A, B y C.
Los puntos tendrán la forma A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) y C(c1, c2, c3).
i. Calcular −→u =−−→AB (con la fórmula
−−→AB = 〈b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3〉 = −→u ),
ii. Calcular −→v =−−→AC (con la fórmula
−−→AC = 〈c1 − a1, c2 − a2, c3 − a3〉 = −→v ),
iii. Calcular −→n (con la fórmula −→n = −→u ×−→v ),
iv. Calcular−→P =
−−→OA (con la fórmula
−−→OA = 〈a1 − 0, a2 − 0, a3 − 0〉 =
−→P),
v. Calcular el plano π1 (con la fórmula −→n ·−→P = 0).
El plano π1 tendrá la forma ax+ by + cz = d.
1.9. Super�cies cuadráticas
Ejercicios.
i. Algebra de Vectores.
1. ¾Cuales cantidades son escalares y cuales son vectores?
a. El costo para la entrada al cine.
b. El �ujo del tránsito vehicular en calles de un sentido.
c. La población de México.
2. Trazar los puntos (3, 0, 1), (−1, 0, 3), (0, 4,−2)y(1, 1, 0) en un sistema de coordenadas.
3. b.
4. ¾Cuál de los puntos P (6, 2, 3), Q(−1, 4,−2) está más cerca del origen?
5. Hallar | −→u |, −→u +−→v , −→u −−→v , 2−→u y 3−→u + 4−→v .
a. −→u = 〈−4, 3〉, −→v = 〈6, 2〉.b. −→u = 2î + 3��, −→v = 〈6, 2〉.
8 CAPÍTULO 1. ÁLGEBRA DE VECTORES EN R2 Y R3
Capítulo Segundo
Curvas planas, ecuaciones paramétricas ycoordenas polares
2.1. Curvas planas y ecuaciones paramétricas
2.2. Representación grá�ca de ecuaciones paramétricas
2.3. Derivación de una función dada paramétricamente
2.4. Longitud de arco en forma paramétrica
Para calcular la longitud de arco en forma paramétrica usamos
s =
∫ b
a
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
2.5. Coordenadas polares
Área de una región polar.
9
10 CAPÍTULO 2. CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENAS POLARES
Ejercicios.
i. Transformar de rectangular a polar.
ii. Transformar de polar a rectangular.
iii. Gra�car una ecuación polar.
1. r = 2− 5 cos θ
2. r = 3(1− 4 cos θ)
3. r = 2 + sin θ
4. r = 4 + 3 cos θ
5. r =2
1 + cos θ
6. r =2
4− 3 cos θ
7. r = 2 cos(3θ2
)8. r = 3 sin
(5θ2
)9. r2 = 4 sin 2θ
10. r2 = 1θ
iv. Hallar pendientes de rectas tangentes.
v. Área de una región polar.
11. Interior de r = 6 sin θ
12. Interior de r = 3 cos θ
13. Un pétalo de r = 2 cos 3θ
14. Un pétalo de r = 4 sin 3θ
15. Un pétalo de r = sin 2θ
16. Un pétalo de r = cos 5θ
17. Interior de r = 1− sin θ
18. Interior de r = 1− sin θ (arriba del eje polar)
19. Interior de r = 5 + 2 sin θ
20. Interior de r = 4− 4 cos θ
21. Interior de r2 = 4 cos 2θ
22. Interior de r2 = 6 sin 2θ
vi. Área de una región polar entre dos curvas.
vii. Longitud de arco de una región polar.
2.6. Grá�cas de ecuaciones polares
Ejercicios
Capítulo Tercero
Funciones vectoriales de una variable real
3.1. De�nición de función vectorial, dominio y grá�ca
3.2. Límites y continuidad
El límite de una función vectorial se puede calcular de acuerdo a la siguiente de�nición
DEFINICIÓN 3.1. Límite de una función vectorial
Si −→r (t) = 〈x(t), y(t), z(t)〉, entonces
lımt→a−→r (t) = 〈 lım
t→ax(t), lım
t→ay(t), lım
t→az(t)〉
siempre que existan los límites de las funciones componentes.
3.3. Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades
La derivada de una función vectorial se puede calcular de acuerdo a la siguiente de�nición
DEFINICIÓN 3.2. Derivada de una función vectorial
Sea −→r (t) una función vectorial de�nida para todo t ∈ R, entonces
d−→rdt
= lımh→0
−→r (t+ h)−−→r (t)
h
siempre que el límite exista.
3.4. Interpretación de funciones vectoriales
3.5. Longitud de arco
Ejercicios
i. Encuentra la longitud de la curva dada.
1. −→r (t) = 〈2 sin t, 5t, 2 cos t〉; −10 ≤ t ≤ 10
2. −→r (t) = 〈t2, sin t− t cos t, cos t+ t sin t〉; 0 ≤ t ≤ π3. −→r (t) = 〈
√2t, et, e−t〉; 0 ≤ t ≤ 1
4. −→r (t) = 〈t2, 2t, ln t〉; 1 ≤ t ≤ e
3.6. Curvatura (Opcional)
i. Encuentra la curvatura de la curva dada.
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12 CAPÍTULO 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
1. −→r (t) = 〈t2, t〉
2. −→r (t) = 〈t, t, (1 + t2)〉
3. −→r (t) = 〈sin t, cos t, sin t〉
4. Halla la curvatura de −→r (t) = 〈et cos t, et sin t, t〉 en elpunto (1, 0, 0)
5. Halla la curvatura de −→r (t) = 〈√
2t, et, e−t〉 en el punto(0, 1, 1)
3.7. Vector tangente, normal y binormal
Cuando calculamos la derivada de una función vectorial −→r (t) dada, obtenemos la función derivada −→r ′(t), esto es, la función
vectorial tangente (o simplemente tangente) de la función vectorial dada, es decir, −→r ′(t) =−→T(t). Sin embargo, es muy útil
calcular el vector tangente unitario
DEFINICIÓN 3.3. Vector Tangente Unitario
Sea −→r (t) una función vectorial de�nida para todo t ∈ R, entonces
T (t) =r ′(t)
||−→r ′(t)||
siempre que −→r ′(t) 6= 0.
i. Halla los vectores−→N(t), N(t),
−→T(t), T (t).
1. −→r (t) = 〈t2, t〉
2. −→r (t) = 〈t, t, (1 + t2)〉
3. −→r (t) = 〈sin t, cos t, sin t〉
4. Halla la curvatura de −→r (t) = 〈et cos t, et sin t, t〉 en elpunto (1, 0, 0)
5. Halla la curvatura de −→r (t) = 〈√
2t, et, e−t〉 en el punto(0, 1, 1)
ii. Halla los vectores−→T ,−→N,−→B en el punto dado.
6. −→r (t) = 〈t2, t 23 t3, t〉; (1, 23 , 1) 7. −→r (t) = 〈et, et sin t, et cos t〉; (1, 0, 1)
3.8. Aplicaciones
Ejercicios
Capítulo Cuarto
Función de varias variables
4.1. De�nición de una función de dos variables
Ejercicios
4.2. Grá�ca de una función de dos variables
Ejercicios
4.3. Curvas y super�cies de nivel
Ejercicios
4.4. Límites y continuidad
Ejercicios
4.5. Derivadas parciales de funciones de 2 variables (Interpretación geométrica)
Ejercicios
4.6. Derivadas parciales de orden superior
Ejercicios
4.7. Incrementos, diferenciales y regla de la cadena
Ejercicios
4.8. Derivación parcial implícita
Ejercicios
4.9. Derivada direccional, gradiente, divergencia y rotacional
Ejercicios
4.10. Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales
Ejercicios
13
14 CAPÍTULO 4. FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
Capítulo Quinto
Integración múltiple
5.1. Coordenadas cilíndricas y esféricas
Ejercicios
5.2. Integrales iteradas
Ejercicios
5.3. De�nición de integral doble: áreas y volúmenes
Ejercicios
5.4. Integrales dobles en coordenadas polares
Ejercicios
5.5. Aplicaciones de la integral doble (geométricas y físicas)
Ejercicios
5.6. De�nición de integral triple
Ejercicios
5.7. Integral triples en coordenadas cilíndricas y polares
Ejercicios
5.8. Aplicaciones de la integral triple
Ejercicios
15
16 CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Capítulo Sexto
Cálculo Vectorial
A lo largo de los cursos de Cálculo se han estudiado diferentes tipos de funciones. Las primeras funciones que se estudiaron enlos cursos de Cálculo Diferencial e Integral fueron las funciones de una variable real. Éstas, son funciones de la forma:
f : R→ R,
el dominio de estas funciones esta constituído por una variable independiente y el contradominio está constituído por una variabledependiente, ejemplo de tales funciones son f(x) = x2 + 4x− 2 o f(x) = xe−x + ln(x)− arcsin(x).
En el curso de Cálculo Multivariable o Cálculo de Varias Variables es donde hay la mayor diversidad de funciones a estudiar,primero están las funciones vectoriales, que son funciones de la forma
f : R→ R2 o f : R→ R3.
En éstas funciones se tiene que el dominio de la función está compuesto también por una variable independiente, pero el contra-dominio se compone del conjunto de vectores en R2 o R3.
Otras funciones estudiadas en el mismo curso, son las llamadas funciones de varias variables que son de la forma
f : R2 → R o f : R3 → R.
Éstas funciones ya di�eren en que no hay una variable independiente, sino varias, esto es, pueden ser 2, 3 o más variablesindependientes en el dominio y una variable dependiente para el contradominio.
¾Qué pasa si tenemos una función cuyo dominio posea 2 variables independientes y el contradominio esté conformado por unconjunto de vectores en R2? Éste tipo de funciones son de la forma
f : R2 → R2
y son estudiadas en Cálculo Vectorial. Después de una tabla resumen, las analizaremos en su apartado correspondiente.
Función Nombre
f : R→ R Función de una variable realf : R→ R2 Función vectorial en el planof : R→ R3 Función vectorial en el espaciof : R2 → R Función de dos variablesf : R3 → R Función de tres variablesf : R2 → R2 Función Vectorial de dos variables
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18 CAPÍTULO 6. CÁLCULO VECTORIAL
6.1. Campos Vectoriales
En el caso particular de una función tenga en su dominio tanto como en su contradominio más de una variable, se le llamafunción vectorial de varias variables. Un caso particular sería la función f : R2 → R2. Ésta es una función que asigna un vectorde R2 de su dominio a otro vector de R2 de su contradominio. A este tipo de funciones se les llama Campos Vectoriales.
Como ejemplos de campos vectoriales tenemos −→f (x, y) = −yı+ x
que asigna el vector 〈x, y〉 a otro vector 〈−y, x〉 o
−→f (x, y) =
xı+ y√x2 + y2
〈x, y〉 a otro vector
⟨x√x2+y2
, y√x2+y2
⟩. En forma general, los vectores tanto del dominio como del contradominio pueden ser
de cualquier dimensión mayor que 2 (recuerda que si son de dimensión 1, son el mismo caso que las funciones anteriores).Ejercicios
6.2. Trabajo e integrales de línea
Ejercicios
6.3. Flujos e integrales de super�cie, concepto de divergencia y Teorema de laDivergencia (Teorema de Gauss)
Ejercicios
6.4. Aplicaciones del Teorema de Gauss a la mecánica de �uídos y el electro-magnetismo
Ejercicios
6.5. Concepto de rotacional y Teorema del Rotacional (Teorema de Stokes)
Ejercicios
6.6. Aplicaciones del Teorema de Stokes al electromagnetismo
Ejercicios
Bibliografía
[1] H. Hegel: German TEX, TUGboat Volume 9, Issue 1 (1988)
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