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L I B R O PA R A E L P R O F E S O R

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33

A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l


3 MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

La obra Matemáticas 3. Libro para el profesor de la serie Fortaleza Académica se creó con el propósito de apoyarlo a usted, profesor, en la planeación del curso de la asignatura y se compone de los siguientes apartados:

• Descripción del Modelo Educativo para la educación obligatoria y del mapa curricular

• Propuestasdedosificacióndelosaprendizajesesperados de la asignatura

• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales y solucionario

• Reproducción del libro del alumno con las respuestas de todas las actividades

Este material se elaboró con base en los principios pedagógicos del Modelo Educativo para la educación obligatoria y será una guía útil en el desarrollo de su labor docente.

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MATEMÁTICAS 3

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3. Libro para el pro-fesor de la serie Fortaleza Académica son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el foto-copiado, sin autorización escrita del editor.

Autores del libro del alumno: María Trigueros Gaisman, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, María Dolores Lozano Suárez, Mercedes Cortés Lascurain, Emanuel Jinich Charney, Mónica Inés SchulmaisterAutores del libro para el profesor: Ana Elisa Lage Ramírez, Dalibor José Trnka Rodríguez, Vianey Calderón Ramírez, Elena de la Cruz Ramírez Ramírez, Ricardo López de Jesús

D. R. © 2021 EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México

ISBN: 978-607-01-4778-4Primera edición: mayo de 2021

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaReg. núm. 802

Impreso en México/Printed in Mexico

Este libro fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo de la Dirección General de Contenidos.

IlustraciónRogelio Bonilla Flores

FotografíaShutterstock Dreamstime

Fotografía de portadaShutterstock

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Presentación

Estimado profesor:

Con el objetivo de apoyarlo en su trabajo con el libro del alumno de la serie Fortaleza Académica, Editorial Santillana le ofrece Matemáticas 3. Libro para el profesor, creado con base en los principios pedagógicos del Modelo Educativo 2017.

En este material encontrará los siguientes recursos:

• Modelo Educativo. Se describen el plantea-miento curricular, los principios pedagógicos y el mapa curricular.

• Dosificación. Se incluye una propuesta de do-sificación en tres bloques para el calendario escolar de 190 días.

• Evaluación diagnóstica. Se proporciona un instrumento para identificar las áreas de opor-tunidad de los alumnos y para planear estrate-gias didácticas oportunas.

• Evaluaciones de bloque. Se proponen reactivos adicionales a los del libro del alumno que se pue-den emplear en la evaluación del bloque.

• Formato de planeación didáctica. Para orga-nizar el trabajo de las secuencias didácticas en el aula.

Para facilitarle la tarea de calificación, esta obra cuenta con los siguientes apartados:

• Respuestas de las evaluaciones. Contiene las respuestas a los reactivos de la evaluación diagnóstica y de las evaluaciones de bloque.

• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades del libro del alumno.

• Reproducción del libro del alumno. Se muestra un reproducción fiel de cada una de las páginas del libro del alumno con las respuestas de las actividades.

Deseamos que este libro represente una experiencia satisfactoria y sea un complemento valioso para el tercer curso de Matemáticas.

El papel del profesor es muy importante en la construcción de ambientes de aprendizaje que propicien el logro de aprendizajes esperados y el desarrollo de una actitud positiva hacia el aprendizaje de las matemáticas.

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Modelo EducativoLa educación básica es el pilar social de nuestro país y esta debe beneficiar a los mexica-nos desde muchas áreas y con un mismo fin: educación equitativa y de calidad.

Con este objetivo, la Secretaría de Educación Pública elaboró el Modelo Educativo para la educación obligatoria, en el que se proyecta el desarrollo potencial de los niños, las ni-ñas y los jóvenes con el fin de formar ciudadanos libres, responsables e informados. No es una tarea fácil; sin embargo, se pretende alcanzar la meta gracias a una reorganización del sistema educativo en cinco ejes indispensables, que se describen a continuación.

• Planteamiento curricular. Este eje, de enfoque humanista, ensambla todos los niveles de la educación básica, desde preescolar hasta bachillerato, para un desarrollo inte-gral de los aprendizajes clave. Con esto se espera que los estudiantes aprendan he-rramientas para adquirir conocimientos a lo largo de la vida; es decir, que aprendan a aprender.

Además de lo anterior, este eje hace un énfasis especial en el desarrollo de las habilida-des socioemocionales, importantes también en el crecimiento y desarrollo personal, no solo de la vida académica, sino de la vida familiar, social y laboral.

Aunado a lo anterior, y con conocimiento de que nuestro país es rico en diversidad, tam-bién se deja un margen de autonomía curricular, así cada comunidad escolar pondrá énfasis en las áreas de oportunidad que deben abordarse y concretar con éxito el desa-rrollo de los aprendizajes clave en los alumnos.

• La escuela al centro del sistema educativo. La escuela, como unidad básica de organi-zación del sistema educativo, es primordial en este eje, pues esta debe enfocarse en al-canzar el máximo desarrollo de todos los estudiantes. Se plantea también una escuela que deja de lado la organización vertical para convertirse en un centro de desarrollo horizontal en el que toda la comunidad escolar tiene cabida.

• Formación y desarrollo profesional docente. El Modelo Educativo describe al docen-te como un profesional centrado en el aprendizaje de los alumnos, capaz de generar y mantener ambientes de aprendizaje incluyentes, comprometido a la mejora constante de su práctica y preparado para adaptar el currículo a las necesidades de su contexto.

• Inclusión y equidad. Estos principios son básicos para eliminar del sistema educativo las barreras para el acceso, la participación, la permanencia, el egreso y el aprendizaje de todos los estudiantes, y para que estos cuenten con oportunidades efectivas para el aprendizaje sin importar su contexto social y cultural.

Estos principios deben verse reflejados en la adaptación del espacio físico para facilitar la movilidad de todos los miembros de la comunidad educativa; en la adecuación curricular que los profesores deben realizar para atender las necesidades educativas de todos sus alumnos y en la transformación del aula en un espacio de convivencia armónica que abo-ne a la cultura de la diversidad.

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Modelo Educativo • La gobernanza del sistema educativo. En este último eje se definen los mecanismos

institucionales para una gobernanza efectiva y la participación de los actores y los sectores de la sociedad que intervienen en el proceso educativo, así como la coordi-nación que existe entre ellos: el gobierno federal, las autoridades educativas locales, el sindicato, las escuelas, los docentes, los padres de familia, la sociedad civil y el Po-der Legislativo.

Los fines de la educación que se persiguen con los ejes anteriores dejan ver la meta clara de que todos los alumnos reciban una educación flexible, que se adapte a sus necesida-des, de calidad, integral e inclusiva que los prepare para vivir en la sociedad del siglo XXI.

Principios pedagógicos

En el Modelo Educativo 2017 se reconoce que los docentes tienen una función esencial en el aprendizaje de los niños y los adolescentes, y que su papel en el aula es la de un me-diador que contribuye a la construcción de ambientes que favorezcan que sus alumnos convivan de manera armónica y alcancen los aprendizajes esperados para cada asigna-tura, área o ámbito.

Con el propósito de que los profesores puedan cumplir plenamente con su papel en las aulas al implementar los nuevos programas, en el documento Aprendizajes clave para la educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica se proponen ca-torce principios pedagógicos que se enumeran a continuación:

1. Poner al estudiante y su aprendizaje en el centro del proceso educativo

2. Tener en cuenta los saberes previos del estudiante

3. Ofrecer acompañamiento al aprendizaje4. Conocer los intereses de los estudiantes5. Estimular la motivación intrínseca del

alumno6. Reconocer la naturaleza social del

conocimiento7. Propiciar el aprendizaje situado8. Entender la evaluación como un pro-

ceso relacionado con la planeación del aprendizaje

9. Modelar el aprendizaje10. Valorar el aprendizaje informal11. Promover la interdisciplinariedad12. Favorecer la cultura del aprendizaje13. Apreciar la diversidad como fuente de riqueza para el aprendizaje14. Usar la disciplina como apoyo al aprendizaje

El trabajo colaborativo favorece varias capacidades de los estudiantes, entre ellas, las de expresar y argumentar ideas, escuchar las de otros y construir en conjunto soluciones a problemas que trascienden al aula.

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Modelo Educativo

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organizados en tres componentes

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Física

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Proyectos

Conocimientosregionales

Mapa curricular

Aprendizajes clave para el desarrollo integral

Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desa-rrollo integral de los estudiantes pues, en conjunto, serán las herramientas para un ple-no desarrollo de vida.

En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en tres componentes curriculares de la educación básica: campos de Formación académi-ca, áreas de Desarrollo personal y social, y ámbitos de la Autonomía curricular. Los tres componentes tienen la misma importancia en el plan de estudios.

1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Mate-mático y Exploración y Comprensión del Mundo Natural y Social.

2. Áreas de Desarrollo personal y social. Que incluyen específicamente Artes, Educa-ción Socioemocional y Educación Física.

3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación aca-démica, potenciar el desarrollo personal y social, desarrollar nuevos contenidos re-levantes y conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.

“Componentes curriculares de la educación básica”, tomado del Acuerdo 20/11/19

publicado en 2019 en el Diario Oficial de la Federación.

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Modelo Educativo

Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad, y que sean aptos para identificar sus debilidades y fortalezas, confíen en sus capacidades, sean determinados y perseverantes, y reconozcan como iguales en dignidad y en derechos a todos los seres humanos.

A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.

La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de formación Pensamiento Ma-temático y pertenece al componente Formación académica.

Componente curricular

Nivel educativo

Secundaria

Grado escolar

1º 2º 3º

Formación académica

Cam

pos y

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gnat

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Lengua Materna (Español)

Lengua Extranjera (Inglés)

Matemáticas

Ciencias:

Biología Física Química

Historia

Geografía

Formación Cívica y Ética

Tecnología

Desarrollo personal y social Ár

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Artes

Tutoría y Educación Socioemocional

Educación Física

Autonomía curricular Ám

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Ampliar la formación académica

Potenciar el desarrollo personal y social

Nuevos contenidos relevantes

Conocimientos regionales

Proyectos de impacto social

Profundización

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Dosificación190 días de clase

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Semana Aprendizajes esperados

Contenidos/ Secuencias didácticas Lecciones

Páginas del libro

del alumno

1 Evaluación diagnóstica

2

Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.

1. Identificas los números primos y compuestos. Desarrollas y aplicas los criterios de divisibilidad.

1. Múltiplos y divisores 18

2. ¿Cuáles son los números primos? 20

3. Criterios de divisibilidad 22

4. Descomposición prima y algunas conjeturas 24

3Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.

2. Resuelves problemas que impliquen el cálculo del MCD.

1. Divisores comunes 26

2. Métodos para encontrar el MCD 28

3. Aplicaciones del MCD 30

3. Resuelves problemas que impliquen el cálculo del mcm.

1. Múltiplos de dos números 32

2. El menor de los múltiplos comunes 34

4

Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

4. Factorizas monomios para hallar expresiones equivalentes.

1. Multiplicación de expresiones 36

2. Expresiones equivalentes y factorización 38

Reviso mi trayecto 41

5

5. Obtienes expresiones equivalentes para representar el área de figuras a partir de la multiplicación de binomios. Diferencias entre expresiones algebraicas y ecuaciones.

1. Producto de binomios y áreas de figuras 42

2. Propiedad distributiva 44

6. Desarrollas los productos notables.

1. Productos notables y áreas de figuras 46

2. Binomios conjugados 48

6

7. Expresas el área de figuras mediante dos o más expresiones cuadráticas y demuestras su equivalencia.

1. Distintos procedimientos para calcular áreas 50

2. Expresiones equivalentes 52

3. Productos notables y expresiones equivalentes 54

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Dosificación

7

Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.

8. Estableces expresiones, funciones y ecuaciones, lineales y cuadráticas para representar diversas situaciones. Diferencias entre cada una de ellas.

1. Expresiones, funciones y ecuaciones 56

2. Representaciones lineales y cuadráticas 58

8

Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

9. Identificas y clasificas ecuaciones cuadráticas. Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante prueba y error, y método gráfico.

1. Ecuaciones que no son lineales 60

2. Ecuaciones cuadráticas, métodos de solución 62


9

10. Resuelves ecuaciones cuadráticas por el método de despeje.

1. Ecuaciones cuadráticas incompletas B = 0 66

2. Aplicación del método de despeje 68

Resuelvo con tecnología 70

Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

11. Comparas situaciones de variación lineal y cuadrática. Analizas gráficas que representan ciertas situaciones.

1. ¿Cómo cambia la altura? 72

2. ¿De qué tipo de variación se trata? 74

3. ¿Cuál gráfica utilizarías? 76

10

Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.

12. Calculas la media, mediana y moda de un conjunto de datos agrupados.

1. ¿Cuál medida representa mejor al conjunto de datos? 78

2. Medidas de tendencia central en datos agrupados 80

3. Mediana en datos agrupados 82


11 Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos.

13. Reconoces la semejanza de polígonos.

1. Figuras semejantes, ¿qué tienen en común? 86

2. Parejas de rectángulos semejantes 88

3. Polígonos semejantes 90

12

14. Construyes figuras semejantes usando diferentes herramientas.

1. ¿Cómo hacer ampliaciones o reducciones? 92

2. Pantógrafo: ¿Para qué sirve? 94

Punto de encuentro 96


13Valoro mis fortalezas 99

Evaluación del bloque 1

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Páginas del libro

del alumno

14

Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.

15. Usas la descomposición en factores primos para resolver problemas (reducción de fracciones).

1. Descomposición única en factores primos 104

2. Reducción de fracciones 106

15

16. Calculas la raíz cuadrada de un número mediante su descomposición en factores primos.

1. Raíces cuadradas por descomposición de factores 108

2. Aproximación de raíces cuadradas 110

16


17. Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de términos semejantes.

1. Factorización de ecuaciones cuadráticas 112

2. Solución de ecuaciones factorizando términos semejantes

114

17

18. Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones en productos notables.

1. Factorización en binomio al cuadrado 116

2. Factorización con productos notables 118


18

19. Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones.

1. Áreas de figuras y ecuaciones cuadráticas 122

2. Factorización general en binomios 124


20. Construyes y analizas gráficas en diversos contextos.

1. Utilidad de las representaciones 126

2. Uso de gráficas en el análisis de problemas 128

3. Análisis de gráficas: distintos tipos de variación 130

19 21. Analizas gráficas de funciones por partes.

1. Intervalos con diferente variación 132

2. Razón de cambio 134

3. Problemas de llenado 136

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Dosificación 190 días de clase

20

Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos.

22. Determinas y usas los criterios de semejanza de triángulos.

1. Criterios de semejanza 138

2. Criterios de semejanza en triángulos 140

3. Más de triángulos semejantes 142

23. Resuelves problemas que implican el uso de la semejanza de triángulos.

1. Sombras y semejanza 144

2. Cálculo de distancias 146


21

24. Determinas y aplicas el teorema de Tales.

1. Rectas paralelas, transversales y semejanza 150

2. Triángulos en posición de Tales 152


25. Exploras la semejanza en la homotecia de figuras.

1. Figuras semejantes y las sombras 156

2. Homotecias positivas 158

3. Homotecias negativas 160

22

Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.

26. Justificas y compruebas el teorema de Pitágoras.

1. Las áreas de los terrenos 162

2. Demostración del teorema de Pitágoras 164


23 27. Aplicas el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

1. La longitud de los catetos 168

2. La distancia al horizonte 170

3. Las medidas de las pantallas planas 172

4. Ternas pitagóricas 174

24


28. Comparas la tendencia central y la dispersión de dos conjuntos.

1. ¿Cuántos integrantes tiene tu familia? 176

2. Comparación de dos conjuntos de datos 178





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Páginas del libro

del alumno

26


29. Resuelves ecuaciones cuadráticas completando cuadrados

1. Completando áreas de figuras 188

2. Interpretación de la resolución geométrica de ecuaciones cuadráticas

190

3. Solución algebraica con el procedimiento de completar cuadrados

192

30. Resuelves ecuaciones cuadráticas con A ≠ 1 utilizando distintos métodos.

1. Métodos de factorización 194

2. Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas 196

27

31. Aplicas la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

1. Planteamiento de la ecuación 198

2. Aplicación de la fórmula general 200

3. Análisis del discriminante 202

32. Comparas y usas los diferentes métodos para resolver una ecuación cuadrática.

1. ¿En qué ecuaciones cuadráticas se usa el factor común?

204

2. Ecuaciones cuadráticas para resolver problemas 206

28

33. Resuelves ecuaciones cuadráticas para calcular las raíces de una función.

1. Gráficas de funciones cuadráticas 208

2. Gráficas y discriminante 210


29 Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

34. Analizas y comparas diversos tipos de variación a partir de distintas representaciones, para determinar intervalos en los que la función es positiva, negativa, creciente o decreciente.

1. Análisis detallado de la variación 214

2. Intervalos de variación creciente o decreciente 216

3. Análisis de gráficas 218

30 35. Modelas y analizas diversos tipos de variación.

1. Análisis de un problema de variación 220

2. Análisis de la variación para encontrar un mínimo 222

3. Análisis de la variación para encontrar un máximo 224

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Dosificación 190 días de clase

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Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente

36. Defines y calculas las razones trigonométricas.

1. Cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo 226

2. La altura del monumento a la Independencia 228

3. Seno, coseno y tangente 230


32

37. Usas las razones trigonométricas para calcular medidas de triángulos rectángulos.

1. Los lados faltantes 234

2. ¿Seno, coseno o tangente? 236

3. El ángulo faltante 238


33


38. Construyes polígonos semejantes.

1. Triángulo de Sierpinski 242

2. Dividir un segmento en partes iguales 244

Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

39. Distingues entre distintos tipos de eventos: singulares, no singulares y complementarios.

1. Juguemos un rato 246

2. Seguimos jugando 248

34

40. Calculas la probabilidad de eventos excluyentes y usas la regla de la suma.

1. ¡Monedas al aire! 250

2. ¡Dados al aire! 252

3. Juegos tradicionales del mundo 254


41. Calculas y comparas la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios.

1. El dominó 258

2. Cartas con números 260

35


42. Analizas la dispersión para comparar dos conjuntos.

1. ¿En cuál juego hay más riesgo? 262

2. Desviación media y toma de decisiones 264





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Evaluación diagnósticaNombre:

Grupo: Número de lista:

Resuelve los problemas y revisa tus respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. El volumen de un prisma rectangular es de 77

360 de dm3. Si su base mide 79 de dm largo y 0.125

dm de ancho, ¿cuánto mide su altura?

2. Anota en la línea los valores faltantes para que se cumplan las igualdades.

a. (4) (3) (12) b. (48) (3) c. (3) (5) (7) ( ) 210d. ( ) [(3) (6)] 45e. (5)3 (5)2: =

3. Relaciona cada cantidad con su representación en notación científica.

513.52 5.1352 101

0.051352 5.1352 101

0.51352 5.1352 102

51.352 5.1352 102

4. Resuelve las operaciones con notación científica.

a. 2.83 105 5.34 106 b. 9.8 105 3.8 106

c. (5.3 104) (2.5 107)5 103

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5. Marco ha notado que existe una relación proporcional entre el área de la superficie de una bar-da y el tiempo que tarda en pintarla. Si tarda 5.25 horas en pintar una barda de 3 m2, ¿cuánto tardará en pintar una de 7 m2?

6. Para alimentar a 45 aves durante 10 días se usan 11.25 kg de alpiste. ¿Cuántos días duraría la misma cantidad de alimento si se alimentara a 180 aves?

7. ¿Cuál expresión algebraica representa la sucesión 7, 10, 13, 16, 19…?

A. 7n B. 6n 1 C. 3n 4 D. 3n 3

8. Observa la figura y haz lo que se pide.

a. Escribe una expresión que represente el perímetro de la figura.

Expresión:

b. Si se sabe que el perímetro de la figura es de 32 cm, ¿cuál es el valor de x?

x

9. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos internos de un octágono regular?

A. 1080° B. 360° C. 540° D. 135°

10. ¿Cuánto mide el ángulo externo de un hexágono regular?

A. 360° B. 60° C. 120° D. 180°

5

34

2

x

x

3x

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11. Resuelve las siguientes operaciones.

a. 2 15 5

2

b. 1 34 1

8

c. 2 12 1 5

6

d. 4 14 2 1

16

e. (0.15) (7.8)

f. (−10) 14

12. ¿Cuál de las siguientes operaciones da como resultado 1625 ?

A. 42

5 B. 45

2

C. 45

2

D. 45

2

13. Resuelve las siguientes potencias.

a. (0.3)3 = b. 56

2

c. (1.8)4

14. Relaciona cada expresión con su resultado.

15. Aproxima las raíces cuadradas.

12

3 −2

11 2564

32

2 −3

64

32

2 −3 164

12

3 2 64729

140 812

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Evaluación diagnóstica

16. Simplifica las siguientes expresiones aplicando las leyes de los exponentes de tal forma que no haya exponentes negativos.

a. (2xy)3(xyz)4

4x5

b. (ab)4

(2a3 b)2

17. Carmen, Adriana y Lilian pagaron $3 690 por 18 m de tela para hacer sus disfraces. Si Carmen usará 3.5 m, Adriana 8.5 m y Lilian 6 m, ¿cuánto debe pagar cada una?

18. Enrique compró 2 cuadernos y 3 lápices en la papelería de la escuela y pagó $97. Rodrigo com-pró 4 cuadernos y un lápiz y pagó $134. ¿Cuál es el precio de un cuaderno y el precio de un lápiz?

19. Calcula el área de la región verde.

12 cm6 cm

XVII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

20. Resuelve los sistemas de ecuaciones usando el método que se indica en cada caso.

a. Método de sustitución: x 2y 113x 4y 3

b. Método de igualación: x y 4x 4y 2

c. Método de reducción: 2x y 34 x 2y 12

d. Método gráfico: 2x 4y 6x 2y 3

y

x

5

4

3

2

1

0 1-1-2-3-4-5 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

XVIII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n


21. La tabla muestra las ventas de dos panaderías a lo largo de los primeros 6 meses del año. Ana-lízala y haz lo que se pide.

Ventas Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Panadería A $1 500 $1 750 $2 050 $1 450 $1 800 $1 700Panadería B $1 800 $1 250 $1 600 $1 450 $1 600 $1 650

a. Construye la gráfica de línea para ambas panaderías.

b. ¿En qué mes hubo mayor diferencia entre lo que se vende en la panadería A y en la panade-ría B?

c. ¿En qué mes vendieron lo mismo?

d. ¿Cuál de las dos panaderías genera mejores ventas en promedio?

e. Calcula la desviación media para cada pana-dería.

22. Laura tiene 360 cajas con material didáctico y quiere donarlo a distintas instituciones en par-tes iguales. Completa la tabla con el número de cajas que le correspondería a cada institución dependiendo del número de instituciones. Grafica la información e indica de qué tipo de varia-ción se trata.

Número de instituciones

Número de cajas por institución

1 36026

10 361810

60120

21

Tipo de variación:

XIX

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

Nombre:


Evaluación del bloque

1Resuelve los problemas y revisa tus respuestas con ayuda del profesor. Con base en tus resultados, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Indica con una entre qué números es divisible el número dado.

a. 1 232: ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6b. 2 925:

( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6c. 7 200:

( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6

2. Calcula la descomposición prima de 16 500.

3. Encuentra el máximo común divisor de los siguientes números.

4. Pablo ha cortado 42 claveles, 28 rosas y 12 alcatraces de su invernadero. Quiere hacer la mayor cantidad de arreglos florales idénticos usando todas las flores. ¿Cuántos arreglos puede hacer? ¿Cuántas flores de cada tipo llevarán los arreglos?

a. 60 y 72

MCD (60, 72)

b. 120 y 168

MCD (120, 168)

c. 66, 110 y 165

MCD (66, 110, 165)

XX

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

5. Encuentra el mínimo común múltiplo de los siguientes números.

7. Resuelve las operaciones con fracciones utilizando el mcm.

8. Une con una línea cada monomio con su factorización.

9. Se sabe que el área de un terreno rectangular es 27x7y5 unidades cuadradas. Si su ancho es de 9x2y…

a. ¿Cuánto mide de largo?

b. ¿Cuánto mide el perímetro del terreno?

6. Valentina, María José y Hannah coincidieron hoy en casa de sus abuelos. Si Valentina los visita cada 12 días, María José cada 10 y Hannah cada 15, ¿en cuántos días volverán a coincidir?

a. 100 y 120

mcm (100, 120)

b. 195 y 210

mcm (195, 210)

c. 66, 70 y 105

mcm (66, 70, 105)

a. 112 7

15

b. 724 5

3

8x3y2 (4x2y)(2x3y2)12x5y3 (4x2y)(2xy)8x5y3 (4x2y)(3x2y3)12x4y4 (4x2y)(3x3y2)

XXI

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

10. Resuelve las multiplicaciones. Simplifica el resultado cuando sea posible.

a. (3x 1)(2x 6) b. (2x 4)(7x 3) c. (2y 5)2 d. (2x 8)(2x 8) e. 1

4 x 7 14 x 7

f. (x 3)(x 3)

11. Escribe si cada igualdad es verdadera o falsa.

a. (x 3)2 x2 9

b. (x y)(x y) y2 x2

c. 12 y 3

5 (20x 10) 10xy 5y 12x 6

12. Escribe una expresión que represente el perímetro y el área de cada figura.

13. Resuelve las ecuaciones cuadráticas por el método del despeje.

x 1

x 1 2

x

x x

x3

35

a. 2x2 5 37 b. 4x2 20 56 c. 2x2 128 0

P A

P A

XXII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n


a. Media: b. Mediana: c. Moda:

14. La tabla muestra el número de canastas encestadas por los miembros de un equipo de bas-quetbol. Completa la tabla y calcula los datos que se piden.

Número de canastas

Marca de clase(x)

Frecuencia(f)

Producto(x f)

Frecuencia acumulada(fa)

0 a 4 2 15 a 9 7 4

10 a 14 12 715 a 19 17 520 a 24 22 3

n S Total

15. Escribe si las figuras de cada par son semejantes o no.

16. Observa la gráfica y responde.

a. ¿Qué tipo de variación se presenta en la gráfica?

b. ¿Cuál es el valor de y cuando x 4?

c. ¿Cuál o cuáles son los valores de x cuando y 2?

y

x

5

4

3

2

1

0 1-1-2-3-4-5 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

XXIII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

Nombre:




1. Escribe si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas.

a. 2311155 1

5

b. 1027 9

523

c. 1521 2

357

2. Resuelve las raíces cuadradas aplicando la descomposición prima.

a. 441 b. 3600 c. 16900

A. Entre 9 y 16 B. Entre 14 y 15 C. Entre 18 y 24 D. Entre 6 y 15

4. Une con una línea cada ecuación con sus soluciones.

(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5

(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5

(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5

(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5

3. Subraya la opción que muestra entre qué valores se encuentra 540.

XXIV

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

5. Resuelve las ecuaciones cuadráticas mediante el método de factorización.

a. x2 2x 3

c. x2 5x 3x

b. x2 18x 81 0

d. x2 36 12x

6. La gráfica muestra la velocidad de un automóvil respecto del tiempo. Analízala y contesta.

a. ¿En qué intervalo la razón de cambio es mayor? b. ¿Cuál es la velocidad del automóvil en el intervalo de 0 a 4 segundos? c. ¿Qué ocurre con la velocidad de los 6 a los 10 segundos?

d. ¿Cómo es la gráfica de la función: continua o discontinua?

x

y25

20

15

10

5

0 2 4Tiempo (s)

Velo

cida

d (m

/s)

6 8 10 12 14 16 18 20

XXV

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

7. En una escuela habrá un concurso de baile cuyo primer premio es de $5 000. Ana quiere inscri-bir un equipo y repartir el premio en partes iguales entre los integrantes. Completa la tabla y grafica los datos para determinar cuánto ganaría cada miembro del equipo dependiendo del número de integrantes. Luego responde.

Número de integrantes

Ganancia por persona

1 $5 00024 $1 250

$1 0008

10$250

a. ¿Qué tipo de variación presenta la gráfica? b. Si Ana espera ganar $625, ¿cuántos integrantes debe tener el equipo?

8. Escribe si las parejas de triángulos son semejantes y, si lo son, identifica qué criterio se emplea para justificarlo.

a.

b.

¿Son semejantes? Criterio:

¿Son semejantes? Criterio:

4 cm

6 cm 7.5 cm

3.75 cm

5 cm

3 cm

55o

70o

55o

70o

XXVI

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n


9. Los triángulos ABD y BEC son semejantes. Encuentra el valor de x.

10. Calcula la medida que falta de cada triángulo rectángulo.

a. b.

11. Para un concurso de conocimientos, se elegirá a un equipo de alumnos que represente a la es-cuela. La tabla muestra los resultados de un examen que se aplicó a los miembros de dos equi-pos. ¿Qué equipo debería representar a la escuela?

Equipo Calificaciones

3.° A 7.0 10.0 9.5 10.0 8.5 9.5 9.5 7.5 9.5 10.03.° B 8.0 9.5 9.5 7.0 9.5 9.5 9.0 9.5 10.0 9.5

a. Calcula la media, la moda y la mediana de cada equipo.

Equipo 3.° A: Media: Moda: Mediana:

Equipo 3.° B: Media: Moda: Mediana:

b. Calcula el rango y la desviación media de cada equipo.

Equipo 3.° A: Rango: Desviación media:

Equipo 3.° B: Rango: Desviación media:

7 cm

5 cm

3.5 cm

12 cm 3.5 cm

10 cm 6 cm

x cm

x x

XXVII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

Nombre:




1. Analiza los procedimientos que se siguieron para resolver la ecuación x2 x 6 0 e indica con una cuál de ellos es correcto.

Procedimiento 1 Procedimiento 2

x2 x 6 0

x2 x 6

x2 x 1 6 + 1

(x 1)2 7

x 1 7

x1 −1 7

x2 1 7

x2 x 6 0

x2 x 6

x2 x 14 6 1

4

x 12

2 254

x 12 25

4

x1 12 5

2 2

x2 12 5

2 3

2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a. 3x2 6x 6 0

c. 5x2 5x 150 0

b. 2x2 10x 28 0

d. 6x2 48x 96 0

XXVIII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

3. ¿Qué par de números consecutivos multiplicados dan 132?

4. Las ganancias diarias de un comerciante se pueden representar por medio de la función y x2 10x 16, donde y es la ganancia en miles de pesos y x es la cantidad de productos que vende. Elabora una tabla, grafica la función y responde.

x y

123456789

10

a. ¿En qué intervalo se tienen ganancias?

b. ¿Cuál es la ganancia máxima que puede tener?

c. ¿Cuántos productos debe vender para obtener la ga-nancia máxima?

5. Analiza el discriminante de cada ecuación cuadrática. Después une con una línea cada ecua-ción con el número de soluciones que tiene.

y

x

2x2 2 = 0 La ecuación tiene dos soluciones.

x2 22x 121 0 La ecuación no tiene soluciones.

x2 34 x 1

4 0 La ecuación tiene una solución.

XXIX

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

6. Analiza la gráfica y contesta las preguntas.

a. ¿Para qué valores de x, y es igual a cero?

b. ¿Cuál es el dominio de la función?

c. ¿Cuál es el rango de la función?

d. ¿Cómo es la función: continua o disconti-nua?

e. ¿Para qué valor aproximado de x la función tiene un máximo local?

7. Escribe en el paréntesis la letra que corresponde a la descripción de la gráfica.

A. Positiva y creciente

B. Positiva y decreciente

C. Negativa y creciente

D. Negativa y decreciente

50

40

30

20

10

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

x

y

-10

-20

-30

-40

-50

f. ¿Para qué valor aproximado de x la función tiene un mínimo local?

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

( ) ( )

( ) ( )

0

XXX

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n


8. Con base en el teorema de Pitágoras, establece las razones trigonométricas para los ángulos B y C.

sen(A) sen(B)

cos(A) cos(B)

tan(A) tan(B)

9. Calcula el valor del ángulo y de los lados faltantes.

10. Analiza la situación y haz lo que se pide.

De una bolsa, en la que hay 10 bolas numeradas del 0 al 9, se saca una al azar y se registra el número.

• Evento A: Sale un número mayor o igual que 5. • Evento B: Sale un número menor que 1. • Evento C: Sale un número mayor o igual que 1. • Evento D: Sale un número primo.

a. Escribe los resultados favorables de cada evento.

• Evento A { } • Evento B { } • Evento C { } • Evento D { }

b. Escribe qué eventos son complementarios.

c. Escribe los eventos singulares.

d. Escribe los eventos no singulares. e. Calcula la probabilidad de cada evento.

P(A) P(B) P(C) P(D)

A a b

B

AC 12 cm

5 cm

a

bA

9 cm63°

XXXI

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

Respuestasde las evaluaciones


1. La altura del prisma es de 115 dm.

2. a. (4) (3) (12) 144 b. (48) ÷ (3) 16 c. (3) (5) (7) ( 2 ) 210 d. ( 810 ) [(3) (6)] 45 e. (5)3 (5)2 = 5

3.513.52 5.1352 101

0.051352 5.1352 101

0.51352 5.1352 102

51.352 5.1352 102

4. a. 2.83 105 5.34 106 5.623 106

b. 9.8 105 3.8 106 9.42 105

c. (5.3 104) (2.5 107)5 103 2.65 108

5. Marco tardará 12.25 horas en pintar una bar-da de 7 m2.

6. El alimento duraría 2.5 días.

7. C. 3n 4

8. a. Expresión: 8x + 16 b. x 2 cm

9. A. 1 080°

10. B. 60°

11. a. 2 15 5

2 2225

b. 1 34 1

8 7

32

c. 2 12 1 5

6 4 712

d. 4 14 2 1

16 2 233

e. (0.15) (7.8) 1.17

f. (−10) 14 40

12. C. 45

2

13. a. (0.3)3 0.037 b. 5

6 2

2536

c. (1.8)4 10.4976

14.

12

3 −2

11 2564

32

−2 −3 164

12

3 2 64729

32

2 −3

64

15. 10 2√35 12 28 2√203 30

16. a. (2xy)3(xyz)4

4x5 x6yz4

32 b. (ab)4

(2a3 b)2 4

a10b2

17. Carmen debe pagar $717.50, Adriana debe pagar $1 742.50 y Lilian, $1 230.00.

18. Los cuadernos cuestan $30.50 y los lápices $12.00.

19. A 27 84.8232

XXXII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

Respuestas20. a. x 5; y 3 b. x 6; y −2 c. x 3

4 ; y 92

d. Tiene infinidad de soluciones.

21. a.

b. En febrero c. En abril d. La panadería A e. La desviación media de la panadería A es 158.33 y la desviación media de la panadería B es 138.88.

22.

Tipo de variación: Inversa


1. a. 1 232 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6

b. 2 925 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6

c. 7 200 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6

2. 16500 2 2 3 5 5 5 11

3. a. MCD (60, 72) 12 b. MCD (120, 168) 24 c. MCD (66, 110, 165) 11

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

2500

2250

2000

1750

1500

1250

1000

750

500

250

0

10 3620 1836 1060 6

120 4180 2360 1

Número de instituciones

Número de cajas por institución

1 3602 1806 60

360

320

280

240

200

160

120

80

40

04 8 12 16 20 24 28 32 36

y

x

5

4

3

2

1

0 1-1-2-3-4-5 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

XXXIII

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

Respuestas de las evaluaciones

4. Pablo puede hacer 2 arreglos, cada uno con 21 claveles, 14 rosas y 12 alcatraces.

5. a. mcm (100, 120) 600 b. mcm (195, 210) 2730 c. mcm (66, 70, 105) 2310

6. Valentina, María José y Hannah coincidirán en 60 días.

7. a. 112 7

153360

1120

b. 724 5

34724

2324 1

8. 8x3y2 (4x2y)(2x3y2)12x5y3 (4x2y)(2xy)8x5y3 (4x2y)(3x2y3)12x4y4 (4x2y)(3x3y2)

9. a. Su largo mide 3x5y4

b. Su perímetro es de 18x2y 6x5y4

10. a. (3x 1)(2x 6) 6x2 16x 6 b. (2x 4)(7x 3) 14x2 22x 12 c. (2y 5)2 4y2 20y 25 d. (2x 8)(2x 8) 4x2 64 e. 1

4 x 7 14 x 7

116 x2 49

f. (x 3)(x 3) x2 6x 9

11. a. (x 3)2 x2 9 falsa b. (x y)(x y) y2 x2 verdadera

c. 12 y 3

5 (20x 10) 10xy 5y 12x 6 verdadera

12.

13. a. x 4 b. x 3 c. x 8

14.

a. Media: 13.25 b. Mediana: 12 c. Moda: 12

15.

No son semejantes

Son semejantes

x 1 2

x

3

x 1x x

x

35

Número de canastas (x) (f) (x f) (fa)

0 a 4 2 1 2 15 a 9 7 4 28 5

10 a 14 12 7 84 1215 a 19 17 5 85 1720 a 24 22 3 66 20

n 20 S 265

P 4x 8A x2 4x 3

P 8x 8A x2 7x 5

XXXIV

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n


Son semejantes

16.

a. La gráfica presenta una variación cuadrática. b. y 4 c. x 0 y x 2


1. a. 2311155 1

5 verdadera

b. 1027 9

523

verdadera

c. 1521 2

357

falsa

2. a. √441 21 b. √3600 60 c. √16900 130

3. C. Entre 18 y 24

4.

5. a. x1 1; x2 3 b. x 9 c. x1 0; x2 8 d. x 6

6. a. De 4 a 7 b. 15 m/s c. La velocidad aumenta y luego disminuye. d. La gráfica es continua.

7.

a. La gráfica presenta variación inversa. b. Debe formar un equipo de 8 integrantes.

y

x

5

4

3

2

1

0 1-1-2-3-4-5 2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5(x 3)(x 5) 0 x1 3 y x2 5

Número de integrantes

Ganancia por persona

1 $5 0002 $2 5004 $1 2505 $1 0008 $625

10 $50020 $250

5000

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20

XXXV

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n

8. a.

¿Son semejantes? Sí Criterio: LLL

b.

¿Son semejantes? Sí Criterio: AA

9.

x 2.510. a.

x 6.63 cm

b.

x 6.94 cm

11. a. Equipo 3.° A: Media: 9.1 Moda: 9.5 Mediana: 9.5

Equipo 3.° B: Media: 9.1 Moda: 9.5 Mediana: 9.5 b. Equipo 3.° A: Rango: 3 Desviación media: 0.86

Equipo 3.° B: Rango: 3 Desviación media: 0.66


1. Procedimiento 1 ( )

2. a. No tiene soluciones b. x1 2; x2 7 c. x1 5; x2 6 d. x 4

3. Hay dos pares de números consecutivos cuyo producto es 132, 11 y 12, y –12 y –11.

4.

a. De 2 a 8 b. 9 000 pesos c. 5 productos

x y

1 72 03 54 85 96 87 58 09 7

10 16

y

x

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

55o

70o

55o

70o

4 cm

6 cm 7.5 cm

3.75 cm

5 cm

3 cm

7 cm

5 cm

3.5 cm

x cm

10 cm

3.5 cm

6 cm

12 cm

XXXVI

©SANTILLA

NA

Prohi

bida

su d

istrib

ució

n


( A )5. 2x2 2 = 0

x2 22x 121 0

x2 34 x 1

4 0

6. a. Para 5, 0 y 5 b. De 6 a 6 c. De 60 a 60 d. Continua e. 3 f. 3

7.

8.

sen(A) 5

13 sen(B) 1213

cos(A) 1213 cos(B)

513

tan(A) 5

12 tan(B) 125

9.

A 27, a 4.08 cm, b 8.01 cm

10. a. • Evento A {5, 6, 7, 8, 9} • Evento B {0} • Evento C {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • Evento D {2, 3, 5, 7}

b. Los eventos B y C son complementarios. c. El evento C es singular. d. Los eventos A, B y D son no singulares. e. P(A) = 1

2 P(B) = 110

P(C) = 910 P(D) = 4

10

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 12 34 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 12 34 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

0-1-2-3-4-5 12 34 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

5

4

3

2

1

-1-2-3-4-5 12 34 5

x

y

-1

-2

-3

-4

-5

0

La ecuación tienedos soluciones.

La ecuación notiene soluciones.

La ecuación tieneuna solución.

( D )

( C )

( B )

B

AC 12 cm

5 cm

a

bA

9 cm63°

13 cm

XXXVII

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bida

su d

istrib

ució

n

Solucionario del libroBloque 1Secuencia didáctica 1Página 18Trayecto formativo

1. a. Se formarán 18 filas y sobrarán

7 asientos. b. Sí, porque 187 es múltiplo de 11 y 17. c. De cuatro formas. d. 11 y 17 respectivamente e. 1, 11, 17 y 187 f. 17, 34, 51, 119 y 255

Página 19

3.

a. Ninguno porque los divisores comunes de dos números también son divisores del tercero.

b. 24 30 54

Página 21Practicar para avanzar

1. Los números primos menores que 250 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239 y 241.

Secuencia didáctica 2Página 27Practicar para avanzar

1. a. Divisores de 30: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Divisores de 42: {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} Divisores de 30 y 42: {1, 2, 3, 6} MCD (30, 42) 6

b. Divisores de 35: {1, 5, 7, 35} Divisores de 70: {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70} Divisores de 35 y 70: {1, 5, 7, 35} MCD (35, 70) 35


1. a. Tere compró un terreno de 4x m y Francisco uno de 3x m. El terreno de Tere ahora mide (x2 4x) m y el de Francisco mide (xy 3x) m. El terreno completo mide (x2 xy 7x) m.

Secuencia didáctica 8Página 56Punto de partida

1. a.


1. Expresión: 8x 28 Función: P 8x 28 Ecuación: 8x 28 44

4 c

m

x cm

x cm

10

cm

2412

279

8

54

3 6

18

1 2

10

30

15

XXXVIII

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ució

n

Solucionario del libro


2. a. 3x2 7x 5 0 (Completa) b. x2 6 0 (Incompleta B 0) c. 5x2 5x 0 (Incompleta C 0)

Página 63

4.

x2 0 Solución x 0 4x2 0 Solución x 0 x2 + 2 0 No tiene solución 2x2 0 Solución x 0 (x + 2)2 0 Solución x 2 2 x2 0 Solución x 1.3

Página 64Punto de llegada

1. a. La ecuación tiene dos soluciones: 6 y –6. b. La solución del problema es 6 horas No todas las soluciones de la ecuación son solución del problema porque se está midiendo el tiempo y debe ser positivo.

Secuencia didáctica 10Página 66Trayecto formativo

1. a. Que la solución de x2 puede ser 9 y 9, es decir, que puede tomar dos valores. c. Respuesta modelo (R. M.) El signo del término independiente. d. Hay 3 posibles casos: No hay solución, única solución igual a cero y dos soluciones con valor absoluto igual, pero con signo contrario. e. Cuando el término independiente es positivo, hay dos soluciones; cuando es 0 hay una y cuando es negativo no hay solución. f. No, no es posible.

Página 67

2. a. • R. M. No, porque en algunas ecuaciones

el coeficiente lineal es distinto de cero. • Que el coeficiente del término lineal

sea igual a cero (B 0). • R. M. Cuando son dos soluciones, am-

bos números son simétricos; cuando es una, es cero.

Practicar para avanzar

1. a. La ecuación no se puede resolver por despeje por ser una ecuación cuadrática completa. b. x 21 c. z 9.32


1. a. Respuesta modelo (R. M.) Si x fuera negativa indicaría que la pelota está ubicada más atrás de la posición del lanzador. Si x fuera mayor a 20 indicaría que la pelota sigue cayendo por debajo de la posición del lanzador.

• No pueden darse esos casos debido a la posición del lanzador y del piso.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

5

XXXIX

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bida

su d

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ució

n

b. • R. M. Igualando el lado derecho de la re-

lación funcional con cero. • Una ecuación cuadrática • Sí

c. R. M. Una vez que la pelota se lanza avanza de manera horizontal, al mismo tiempo va ascendiendo hasta llegar a una altura máxima de 2.5 m, posición que alcanza a 10 m horizontales del lanzador. A partir de este punto, la pelota avanza 10 m más de manera horizontal hasta llegar al nivel de suelo, es decir, alcanza una altura vertical igual a la del lanzador.

2. d. • R. M. Es simétrico. En x 0 se toma un

solo valor. • El coeficiente es 1 por lo que es positivo. • El coeficiente es 1 por lo que es negativo.

Página 74

1.

y 2x2 y 4x2 y 5x2 y 2x2 y –3x2 y 5x2

a. Las gráficas con coeficiente positivo tienen un mínimo y las que tienen coeficiente negativo tienen un máximo. b. R. M. Cuando el valor absoluto del coeficiente aumenta, la parábola es más angosta.

c. R. M. Es más ancha que la gráfica de la función y x2.

• La parábola será más ancha. • Es más ancha que y x2 y abre hacia

abajo.


2. a. Cuadrática

b.


1. b. • R. M. Determinando cuál interva-

lo está a la mitad y sumando las fre-cuencias hasta dicho intervalo para multiplicarlo.

• Sí, porque se considerarán los in-tervalos en los que los datos están contenidos.

• Hay 23 datos, el número es impar. • De 141 a 150 cm • No, se deben ir sumando las frecuen-

cias hasta encontrar la que contiene a la mediana.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

x

y

5

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h

t

XL

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bida

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ució

n


Página 83

2. e.

f.

Página 86Punto de partida

1. b. R. M. No, como se trabaja con representaciones en miniatura, estas pueden tener medidas más pequeñas, pero a escala del original. c. R. M. Verificando que las medidas guarden una proporción. Cuando las medidas son mayores o menores, respectivamente. d. R. M. Se parecen en algunos elementos, pero están distorsionados. e. R. M. La diferencia está en la proporción que guardan con el original.


1. El perímetro conserva la proporción que hay entre las longitudes de los lados correspondientes.

2. Las longitudes de las diagonales conservan la proporción entre las figuras.

3. El área de las figuras no conserva la misma proporción que hay entre las longitudes de los lados. La proporción entre las áreas es la proporción entre los lados al cuadrado.

Bloque 2Secuencia didáctica 15Página 105Practicar para avanzar

1. Matemáticas: 36

48 34

Química: 100120 5

6

Inglés: 5664 7

8 Obtuvo mejor calificación en Inglés.

Página 107

3. a. • Los factores de los denominadores son

2 y 5. • Los denominadores tienen factores di-

ferentes de 2 y 5.

b. R. M. Porque al simplificar la fracción, equivale a 3/8 y los factores de su denominador son 2.

Punto de llegada

1. a. R. M. Para mostrar qué parte de los encuestados prefieren los sabores dulces. El numerador representa el número de personas que prefieren los sabores dulces y el denominador, la cantidad de personas encuestadas.

b.

24

20

16

12

8

4

0100 110 120 130 140 150 160 170

7

6

5

4

3

2

1

0100 110 120 130 140 150 160 170

Estado Prefieren sabores dulces

Chiapas 1/3Coahuila 1/5Puebla 2/3Sinaloa 1/11Sonora 5/9Yucatán 1/4

XLI

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n

• En Puebla, ya que más de la mitad de los encuestados prefieren los sabores dulces.

• En Sinaloa, ya que ahí la fracción es me-nor que en los demás.

• En ninguno.

Secuencia didáctica 18Página 118

1. a. Factorizar la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Fue útil para resolver la ecuación. b. R. M. Sí porque así puede hallar el valor de x.

2. a. x2 6x 9 144 (x 3)2 144 x 3 12 x1 12 3 9 x2 12 3 15


1. a. x2 4x 4 (x 2)2

b. x2 10x 25 (x 5)2 c. 4x2 12x 9 (2x 3)2

2. a. h 2 b. x 4/3 c. z 12 d. x 1; x 9 e. x 2/3 f. x 6; x 4

Página 120

3. a. x 2 b. x 4/3 c. x 1/2 d. x 5 e. x 6/5 f. x 1/3 g. x 6 h. x 2 i. x 1


1. a. x 1; x 2 b. x 2; x 6

Página 124

1. a. x2 5x 6 (x + 2)(x + 3) x2 2x 3 (No se puede) x2 8x 6 (No se puede)


1. a. x 2; x 5 b. x 1/3; x 4/3 c. x 8; x 7 d. x 1; x 6 e. x 6; x 9 f. x 4; x 1


1. a. El ingreso disminuye. b. No, porque el cambio no es constante. c. Aumentaría el número de lanchas rentadas.Página 127

e.

• Una parábola • Sí, en el punto (42, 4410) • Son menores en ambos casos. • Sí

5000

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

0

XLII

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ució

n


f. I ( 52 x2 210x)

• Es una función cuadrática.

2. a.

• y es una función cuadrática.

Página 128

1. c. • La fuerza aumenta conforme la distan-

cia se reduce. • Cuando la distancia es menor que

5 1010 m. • Cuando la distancia es mayor que

5 1010 m.

d.


1. a.

• Si se duplica la velocidad, la distancia que se necesita para frenar es 4 veces la distancia inicial. Si se cuadriplica, en-tonces la distancia que se necesita para frenar es 16 veces la distancia inicial.

• d v2/180000

2.

a. La función no es lineal, cuadrática ni inversa.

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

-20

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

f

x

0

x y

5 182

4 110

3 54

2 14

1 10

0 18

1 10

2 14

3 54

4 110

5 182

v (km/h) d (km)

30 0.00560 0.02090 0.045

120 0.080150 0.125

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 2 4 6Distancia ( 106 m)

Fuer

za (

10

7 N

)

8 10 12 14 16 18 20

F

r

5

4

3

2

1

0 1Distancia

Fuer

za

2 3 4 5

F

r

XLIII

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ució

n

b. La separación entre las cargas es aproximadamente 1.9786 m c. Se parecen en el tipo de variación que presentan. Existen varias diferencias, la fuerza electrostática puede ser de atracción o repulsión, mientras que la fuerza gravitacional es de atracción, además de que el valor de las constantes es diferente.

3.

R. M. La función es cuadrática, toca el eje en dos puntos y tiene un máximo.

Página 130

1. a. La utilidad es la variable dependiente y la cantidad de artículos es la variable independiente.

Página 131

3.

R. M. La función tiene variación cuadrática, toca al eje x en un punto y abre hacia arriba.

R. M. La función es de variación inversa, tiene una asíntota en x 0 y no toca el eje x.

Pauta de respuesta (P. R.) La función no presenta una variación conocida por el alumno.

R. M. La función tiene variación cuadrática, toca al eje x en dos puntos y abre hacia abajo.

Punto de llegada

2. a.

87654321

12

y

x3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

y

x4 3 2 1 1 2 3 4

40

30

20

10

10

20

30

y

x5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

43

21

1234

5

y

x3 4 3 2 1 1 2 3 4 5

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 4 3 2 1 1 2 3 4 51

2

3

4

5

0

5

5

5

5

5

XLIV

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n


b. Es una función cuadrática. Disminuye de 2010 a 2011 y aumenta de 2011 en adelante. El mínimo de la producción es 8.

c. 269 productos


1. b.

De 0 a 300 obtienen $200. De 300 a 800 obtienen 200 0.8(x 300). De 800 en adelante obtienen 300 0.80(x 300). c. Si venden 250, obtienen $200. Si venden 400, obtienen $280. Si venden 1 000, obtienen $860.

Página 135

d.

• P. R. El alumno debe obtener una gráfi-ca definida por partes. Cada parte debe ser una línea.

• No, la gráfica de la función debe estar separada a partir de 800.


a. Por partes, continua, no lineal b. Continua, no lineal c. Por partes, continua, no lineal d. Por partes, continua, no lineal

Página 137

2. a. R. M. El florero que desborda primero es el B, ya que aumenta la altura a mayor velocidad que los demás.Punto de llegada

2. a.

b. Fue más rápido de los 15 a los 40 minutos. Fue más lento de 0 a los 15 minutos y después de los 55 minutos.


3. Propuesta 1 c.

• Son iguales • Respuesta libre (R. L.)

Propuesta 2 a.

• Los lados correspondientes son proporcionales.

• El lado debe estar entre los dos ángulos. • En los casos 1, 3 y 4


1. a. R. M. Se identifican mediante los criterios de semejanza. b. Al menos se requieren dos datos, la medida de dos de sus ángulos. c. R. L.

Producto Ganancia

850 740900 780950 820

1000 8601050 9001100 9401150 9801200 1020

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

XLV

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n

2. Caso 1.

Caso 2. Para saber si son semejantes se ne-cesitaría conocer el ángulo N y la medida del lado NM en lugar del ángulo O y el lado MO.

Caso 3.

Caso 4.

3. Caso 1. △ KOQ △ KMN por el criterio AA (O = M y Q = N por-

que son ángulos correspondientes entre dos segmentos paralelos cortados por una transversal).

Caso 2. △ ABC △ DEF por el criterio AA (B = E y C = F).

Caso 3. △ NPU △ FDU por el criterio AA (D = P y U = U).

Caso 4. △ ABC △ ADE por el criterio AA (C = E y A = A).


1. b. • Que hay una relación de proporción en-

tre los segmentos. • Están delimitados por los mismos seg-

mentos paralelos. • R. L. • Sí, usando la razón de proporción entre

los segmentos.


1. b. • El centro de homotecia se encuentra

entre los puntos homólogos. • Sí • Son proporcionales. • Las figuras estan en lados opuestos res-

pecto del punto de homotecia.

2. a. La distancia entre A y A’ es igual a OA OA.

b. No, porque están en lados opuestos respecto del punto. En este caso la distancia entre A y A’ es OA OA.


2. a. a 234.73 cm b. m 0.9 m y n 1.26 m


1. a. 10 cm b. El semicírculo azul mide 39.25 cm2, el semicírculo amarillo mide 25.12 cm2 y el semicírculo magenta mide 6.28 cm2. c. La suma de las áreas de los semicírculos amarillo y magenta es igual al área del semicírculo azul. Esto ocurre por el teorema de Pitágoras.

2. El viajero está a 50 km de distancia.


1. m 80; n 40

Bloque 3Secuencia didáctica 29Página 189iv.

• Sí es posible. Al factorizar se obtiene (x 2)2 25.

• x1 3, x2 7

AC AB BC

MN MO ON= =12=

AB BC CA

ON NM MO= =

AC AB BC

MO MN NO= = = 2

XLVI

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n


• La solución positiva, porque se está ha-blando de una medida.

Página 1902. a. x2 6x 25 x2 6x + 9 25 9 (x 3)2 34 x 3 5.83 x1 2.83 o x2 8.83

b. La solución geométrica es 2.83. Las soluciones algebraicas son 2.83 y 8.83.

3.

x2 10x 24 x2 10x + 25 24 25 (x 5)2 1 x + 5 1 x 4 o x 6


1. x1 0.049 y x2 5.042. x = 3.63; x = 17.63


1. • 25x2 = 40x 16; x = 4/5 • 2x2 = 3x 1; x = (3 √17)/4 0.28

x = (3 √17)/4 1.78 • x2 3x 2 = 0; x = 1; x = 2 • x2 4x = 10; x = 2 √14;

x = 2 √14 • 3x2 12x 2 = 0; x = 2 √10/3;

x = 2 √10/3 • 4x2 11x 6 = 0; x = 3/4; x = 2

Secuencia didáctica 32Página 206Punto de llegada

1. a. Factorización • 2x2 5x 2 0; x1 0.5, x2 2 • 4x2 9 0; x 1.5 • 49x2 36; x 6/7 • x2 9x 20 0; x1 4, x2 5 • 16x2 64x 64 0; x 2 • x(x 3) 5(x 3) 0; x1 5, x2 3

b. Completar cuadrados • x2 10x 5x 50 3x2; x 10 m • 4x2 2; x 1/ √2 • 2x2 12x 20; No tiene solución

c. Diferencia de cuadrados o trinomio cuadrado perfecto

• x2 144 0; x 12 • 9x2 1 0; x 1/3 • x2 14x 49 0; x 7 • 4x2 49 0; x 7/2 • 25x2 60x + 36 0; x 6/5 • 1

4 x2 5x 25 0; x 10

d. Fórmula general • x 5 84/x; x 12 o x 7 • 3x2 3 0; x 1 • x2 5x 3 0; x 5/2 √13/2

e. • x2 4x 2 0; x 0.58 o x 3.41 • x2 3x 1 0; x 0.38 o x 2.61 • 3x2 2x 1 0; No tiene solución • x2 4 x 16 0; x 6.47 o x 2.47 • 10x2 8x 6 0; No tiene solución • 100x2 160 x 64 0; x 0.8

XLVII

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1. a. y 2(x 3)2 1 y −2(x 3)2 1 y 4(x + 1)2

y 1/2(3x 1)2 3 y 10 6x 3x2

y 12 x2 3

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2. b. P. R. El alumno debe identificar que si el determinante es positivo, la función toca el eje x en dos puntos; si el determinante es cero, la función toca el eje en un punto y si el determinante es negativo, la función no toca el eje.


Gráfica A. a. Dominio 6 a 10 y rango: 2 a 10 b. Es positiva de 6 a 10. c. Es creciente de 6 a 2 y de 2 a 6, es decreciente de 2 a 2 y de 6 a 10.

Gráfica B a. Dominio –5 a 5 y rango de 0 a 12 b. Es positiva de –5 a 5. c. Es creciente de –5 a 5.

Página 219

2. a.

b. En el intervalo de 0 a 500 • De 500 a 1 000

c. 500 d. La velocidad es 0.

• R. M. El estanque estaría lleno.


1. a. • Sí porque se forman ecuaciones de pri-

mer grado. b.

• R. M. El despeje


1. a. 31.18 m b. 31.18 m2. 38.89 cm


2. i. • 3 triángulos verdes • l /2

ii. • Se deben trazar a partir de los puntos

medios de los triángulos restantes. • 9 triángulos verdes • l /4 • Las áreas de los triángulos del paso ii son

1/4 de las áreas de los triángulos del paso i. Las áreas de los triángulos del paso ii son 1/16 del área del triángulo original.

250

200

150

100

50

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

P

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3

0-15-12 -9 -6 -3 3 6 9 12 15

-3

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1. • La razón es de 1/2 en cada paso. • El centro de homotecia sería el centro del

triángulo y la razón, –1/2. • Sí, porque los lados de los triángulos que

se eliminaron son paralelos a los lados de los triángulos originales.

Secuencia didáctica 42Página 265Punto de llegada

1. c. Jalisco Rango: 254.30 Media: 72.85 Desviación media: 70.23

Nuevo León Rango: 168.70 Media: 43.78 Desviación media: 42.04

Ciudad de México Rango: 107.30 Media: 39.15 Desviación media: 35.28

Puebla Rango: 277.20 Media: 92.03 Desviación media: 83.35

Querétaro Rango: 82.00 Media: 33.92 Desviación media: 23.90

• R. M. En Querétaro porque la cantidad de lluvia que cae es más consistente.

d. Jalisco Mediana: 37.15 Moda: No hay moda.

Nuevo León Mediana: 15.00 Moda: No hay moda.

Ciudad de México Mediana: 21.00 Moda: No hay moda.

Puebla Mediana: 40.90 Moda: No hay moda.

Querétaro Mediana: 21.50 Moda: No hay moda.

e. Jalisco Desviación a la mediana: 63.5

Nuevo León Desviación a la mediana: 39.8

Ciudad de México Desviación a la mediana: 34.6

Puebla Desviación a la mediana: 71.5

Querétaro Desviación a la mediana: 24.9

f. R. M. En Querétaro porque la cantidad de lluvia que cae es más consistente.

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Formato de planeaciónSecuencia didáctica

Bloque: Eje temático: Aprendizaje esperado:

Tema:

Duración: Número de sesiones:

Periodo: del al de

Desarrollo de la secuencia didáctica

Sesión Actividades Páginas del libro del alumno

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MATEMÁTICAS 3

María Trigueros Gaisman ■ Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres ■ María Dolores Lozano Suárez ■ Mercedes Cortés Lascurain

Emanuel Jinich Charney ■ Mónica Inés Schulmaister

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MATEMÁTICAS

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MATEMÁTICAS

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 de la serie Fortaleza Académica son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2021 por María Trigueros Gaisman, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, María Dolores Lozano Suárez, Mercedes Cortés Lascurain, Emanuel Jinich Charney y Mónica Inés Schulmaister

D. R. © 2021 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, alcaldía de Benito Juárez, Ciudad de México.

ISBN: 978-607-01-4655-8Primera edición: abril de 2021

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. núm. 802

Impreso en México/Printed in Mexico

Fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo de la Dirección General de Contenidos.

ColaboraciónCarlos Baltazar Vicencio

IlustraciónRogelio Bonilla Flores

FotografíaShutterstock

Fotografía de portadaShutterstock©SANTIL

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Presentación

Querido alumno:

Bienvenido a tu tercer curso de Matemáticas de secundaria.

El libro Matemáticas 3 lo hicimos pensando en ti, para que te acompañe en este último trayecto de la secundaria. En él encon-trarás situaciones y problemas orientados a que construyas ideas y conceptos matemáticos que te ayudarán a comunicar tus argu-mentos, a justificar tus procedimientos y a comprender las nue-vas técnicas con las que te irás familiarizando en el ciclo escolar.

A lo largo del curso, profundizarás en el estudio del álgebra, de la geometría y de la estadística, que iniciaste en grados an-teriores, lo que te permitirá resolver los problemas con ma-yor autonomía, usar técnicas y procedimientos cada vez más formales y apoyar tus argumentos en los conocimientos que construyas a lo largo de las secuencias didácticas.

Una de las actitudes más importantes para aprender matemáticas es la perserverancia. Por ello, cada vez que te encuentres ante un nuevo reto, decide cuáles conceptos y pro-cedimientos pueden serte útiles y cuáles debes descartar. Algunas decisiones pueden llevarte a no hallar la solución, así que prueba con otras estrategias e inténtalo las veces que sean necesarias. Si te equivocas, no tengas miedo de intentarlo otra vez, revisa tu procedimiento y corrige si lo consideras necesario. Identificar el origen del error te brin-da la oportunidad de aprender.

En la obra encontrarás también muchas oportunidades para proponer soluciones de ma-nera individual, en parejas, en equipo o en grupo. Te invitamos a compartir tus estrate-gias de solución y a escuchar y tomar en cuenta las de tus compañeros de clase. Una idea puede ser enriquecida poniendo atención a los demás. Recuerda que puedes preguntar a tu profesor o a tus compañeros. Juntos podrán relacionar lo que sabían con lo que es-tán aprendiendo.

Nuestro principal objetivo al escribir este libro es que adquieras, de manera significativa, los aprendizajes esperados del grado, plantees, modeles y resuelvas problemas y tomes decisio-nes con base en tus conocimientos matemáticos. Así podrás hacer de esta asignatura una he-rramienta útil para resolver problemas en otros contextos y en tu vida personal, al tiempo que comprendes la relevancia que tiene en la sociedad.

Estamos seguros de que el esfuerzo que hemos puesto al escribirlo se verá reflejado en tu aprendizaje a lo largo de este ciclo escolar. Disfrútalo mucho.

Los autores

En el aprendizaje de las matemáticas es fundamental que confíes en tus capacidades y seas perserverante en la búsqueda de soluciones a los problemas.

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¿Cómo trabajarásen este curso?

¿Para qué sirven las matemáticas?

Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas te ayudarán a resol-ver problemas en la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprende-rás técnicas y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años y que te permitirán no solo resolverlos, sino también aportar argumentos que justifiquen tus re-sultados y te ayuden a validar tus conclusiones.

Lo anterior se resume en el siguiente esquema:

¿Qué encontrarás en el libro?

Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diver-sos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen como finalidad que utilices lo que has aprendido previamente y des significado a nuevos aprendizajes. Asimismo, buscamos que reflexiones sobre aspectos de los problemas que te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de ra-zonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.

Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación así como tu capacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos cuestionamientos. Además, queremos que aprendas, mediante la reflexión y la comprensión, técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resul-ten significativas.

Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas con tu aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborativo, que estará presente en todas las secuencias didácticas de este libro. Considera que, en un equipo, cada integrante debe trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud abierta y respetuosa.

Matemáticas Nuevas técnicas y procedimientos Conocimientos

Resultados y conclusiones

Problemas

validarampliar

resolverdesarro

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¿Cómo trabajarásen este curso? ¿Cómo trabajarás en el libro?

Las secuencias didácticas se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de par-tida”, que es un problema orientado a que retomes y apliques tus conocimientos. Después, en el “Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promue-ven la reflexión sobre tus acciones y tu aprender a aprender. Además, en esta sección se in-cluyen conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.

El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren oportunida-des para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos la sección “Practicar para avanzar”, con ejercicios y problemas de aplicación que te permitirán hacer un seguimien-to personal de tu progreso. Por último, cada secuencia didáctica se cierra con una serie de preguntas en la sección “Punto de llegada”, para que valores si comprendiste los te-mas y conceptos que estudiaste.

Secciones para saber más

Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones, con ob-jetivos específicos, que te ayudarán a mejorar tus capacidades matemáticas.

“Resuelvo con tecnología”. La tecnología es un recurso importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, permite agilizar los cálculos y, más valioso aún, propor-ciona herramientas dinámicas que te permiten simular, imaginar, predecir y reflexionar sobre situaciones matemáticas y analizar problemas en distintos contextos.

“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán adentrar-te en la relación de las matemáticas con diversos temas como la optimización de recursos y algunas propiedades físicas de la Naturaleza, con la intención de que integres tu conocimiento general y reconozcas cómo las matemáticas permiten resolver problemas distintos.

¿Cómo reviso mi avance?

En el cierre de las actividades de las secuencias didácticas encontrarás diversas oportu-nidades para analizar, comunicar y validar tus procedimientos y resultados, y justificar-los con argumentos basados en los conocimientos y habilidades que has desarrollado hasta el momento. Lo anterior, con apoyo del profesor, te llevará a reconocer cuánto has avanzado y en cuáles temas requieres apoyo.

“Reviso mi trayecto”. En esta sección resolverás problemas en los que aplicarás e integra-rás lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, revises y reflexiones sobre lo aprendido y lo que se te dificulta. Esto es necesario para que tus compañeros y tu profesor te ayuden a superar las dificultades antes de continuar con el estudio de otros temas y conceptos matemáticos.

“Valoro mis fortalezas”. Al final de cada bloque encontrarás nuevos problemas con los cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.

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ÍndicePresentación 3

¿Cómo trabajarás en este curso? 4

Así es tu libro 12

B L O Q U E 1 16Aprendizaje esperado Secuencia didáctica Contenido Lecciones Página

Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos. 1. Divisibilidad y números primos Identificas los números primos y compuestos. Desarrollas y aplicas los criterios de divisibilidad.

1. Múltiplos y divisores 182. ¿Cuáles son los números primos? 203. Criterios de divisibilidad 224. Descomposición prima y algunas conjeturas 24

Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.2. Máximo común divisor Resuelves problemas que impliquen el cálculo del MCD.

1. Divisores comunes 262. Métodos para encontrar el MCD 283. Aplicaciones del MCD 30

3. Mínimo común múltiplo Resuelves problemas que impliquen el cálculo del mcm.1. Múltiplos de dos números 322. El menor de los múltiplos comunes 34


4. Factorización de monomios Factorizas monomios para hallar expresiones equivalentes.1. Multiplicación de expresiones 36




5. Multiplicación de binomiosObtienes expresiones equivalentes para representar el área de figuras a partir de la multiplicación de binomios. Diferencias entre expresiones algebraicas y ecuaciones.



6. Productos notables Desarrollas los productos notables. 1. Productos notables y áreas de figuras 462. Binomios conjugados 48

7. Equivalencia de expresiones Expresas el área de figuras mediante dos o más expresiones cuadráticas y demuestras su equivalencia.

1. Distintos procedimientos para calcular áreas 502. Expresiones equivalentes 523. Productos notables y expresiones equivalentes 54

Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones. 8. Representación algebraica

Estableces expresiones, funciones y ecuaciones, lineales y cuadráticas para representar diversas situaciones. Diferencias entre cada una de ellas.



Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas. 9. Introducción a las ecuaciones cuadráticas

Identificas y clasificas ecuaciones cuadráticas. Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante prueba y error, y método gráfico.




Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas. 10. Ecuaciones cuadráticas por despeje Resuelves ecuaciones cuadráticas por el método de despeje.

1. Ecuaciones cuadráticas incompletas B 5 0 66




11. Variación lineal o cuadrática Comparas situaciones de variación lineal y cuadrática. Analizas gráficas que representan ciertas situaciones.

1. ¿Cómo cambia la altura? 722. ¿De qué tipo de variación se trata? 74


Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos. 12. Medidas de tendencia central Calculas la media, mediana y moda de un conjunto de datos

agrupados.

1. ¿Cuál medida representa mejor al conjunto de datos? 782. Medidas de tendencia central en datos agrupados 803. Mediana en datos agrupados 82



13. Construcción de polígonos semejantes Reconoces la semejanza de polígonos.1. Figuras semejantes, ¿qué tienen en común? 862. Parejas de rectángulos semejantes 883. Polígonos semejantes 90

14. Más de polígonos semejantes Construyes figuras semejantes usando diferentes herramientas.

1. ¿Cómo hacer ampliaciones o reducciones? 922. Pantógrafo: ¿Para qué sirve? 94

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ÍndicePresentación 3

¿Cómo trabajarás en este curso? 4

Así es tu libro 12


Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos. 1. Divisibilidad y números primos Identificas los números primos y compuestos. Desarrollas y aplicas los criterios de divisibilidad.

1. Múltiplos y divisores 182. ¿Cuáles son los números primos? 203. Criterios de divisibilidad 224. Descomposición prima y algunas conjeturas 24

Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.2. Máximo común divisor Resuelves problemas que impliquen el cálculo del MCD.

1. Divisores comunes 262. Métodos para encontrar el MCD 283. Aplicaciones del MCD 30

3. Mínimo común múltiplo Resuelves problemas que impliquen el cálculo del mcm.1. Múltiplos de dos números 322. El menor de los múltiplos comunes 34


4. Factorización de monomios Factorizas monomios para hallar expresiones equivalentes.1. Multiplicación de expresiones 36




5. Multiplicación de binomiosObtienes expresiones equivalentes para representar el área de figuras a partir de la multiplicación de binomios. Diferencias entre expresiones algebraicas y ecuaciones.



6. Productos notables Desarrollas los productos notables. 1. Productos notables y áreas de figuras 462. Binomios conjugados 48

7. Equivalencia de expresiones Expresas el área de figuras mediante dos o más expresiones cuadráticas y demuestras su equivalencia.

1. Distintos procedimientos para calcular áreas 502. Expresiones equivalentes 523. Productos notables y expresiones equivalentes 54

Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones. 8. Representación algebraica

Estableces expresiones, funciones y ecuaciones, lineales y cuadráticas para representar diversas situaciones. Diferencias entre cada una de ellas.



Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas. 9. Introducción a las ecuaciones cuadráticas

Identificas y clasificas ecuaciones cuadráticas. Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante prueba y error, y método gráfico.




Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas. 10. Ecuaciones cuadráticas por despeje Resuelves ecuaciones cuadráticas por el método de despeje.

1. Ecuaciones cuadráticas incompletas B 5 0 66




11. Variación lineal o cuadrática Comparas situaciones de variación lineal y cuadrática. Analizas gráficas que representan ciertas situaciones.

1. ¿Cómo cambia la altura? 722. ¿De qué tipo de variación se trata? 74


Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos. 12. Medidas de tendencia central Calculas la media, mediana y moda de un conjunto de datos

agrupados.

1. ¿Cuál medida representa mejor al conjunto de datos? 782. Medidas de tendencia central en datos agrupados 803. Mediana en datos agrupados 82



13. Construcción de polígonos semejantes Reconoces la semejanza de polígonos.1. Figuras semejantes, ¿qué tienen en común? 862. Parejas de rectángulos semejantes 883. Polígonos semejantes 90

14. Más de polígonos semejantes Construyes figuras semejantes usando diferentes herramientas.

1. ¿Cómo hacer ampliaciones o reducciones? 922. Pantógrafo: ¿Para qué sirve? 94

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Índice

Punto de encuentro 96Reviso mi trayecto 98Valoro mis fortalezas 99


Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.15. Factores primos y reducción de fracciones Usas la descomposición en factores primos para resolver

problemas (reducción de fracciones).1. Descomposición única en factores primos 1042. Reducción de fracciones 106

16. Raíces cuadradas y la descomposición prima Calculas la raíz cuadrada de un número mediante su descomposición en factores primos.

1. Raíces cuadradas por descomposición de factores 1082. Aproximación de raíces cuadradas 110


17. Ecuaciones cuadráticas y factorización de términos semejantes

Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de términos semejantes.

1. Factorización de ecuaciones cuadráticas 1122. Solución de ecuaciones factorizando términos

semejantes 114

18. Ecuaciones cuadráticas y factorización en binomios

Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones en productos notables.

1. Factorización en binomio al cuadrado 1162. Factorización con productos notables 118



19. Factorización general de las ecuaciones cuadráticas

Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones.

1. Áreas de figuras y ecuaciones cuadráticas 1222. Factorización general en binomios 124


20. Construcción de gráficas Construyes y analizas gráficas en diversos contextos.1. Utilidad de las representaciones 1262. Uso de gráficas en el análisis de problemas 1283. Análisis de gráficas: distintos tipos de variación 130

21. Gráficas definidas por partes Analizas gráficas de funciones por partes.1. Intervalos con diferente variación 1322. Razón de cambio 1343. Problemas de llenado 136


22. Triángulos semejantes Determinas y usas los criterios de semejanza de triángulos.1. Criterios de semejanza 1382. Criterios de semejanza en triángulos 1403. Más de triángulos semejantes 142

23. Distancias inaccesibles y semejanza Resuelves problemas que implican el uso de la semejanza de triángulos.

1. Sombras y semejanza 1442. Cálculo de distancias 146


Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 24. Teorema de Tales Determinas y aplicas el teorema de Tales.

1. Rectas paralelas, transversales y semejanza 1502. Triángulos en posición de Tales 152


Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 25. Semejanza y transformaciones geométricas Exploras la semejanza en la homotecia de figuras.

1. Figuras semejantes y las sombras 1562. Homotecias positivas 1583. Homotecias negativas 160

Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras. 26. El teorema de Pitágoras Justificas y compruebas el teorema de Pitágoras.1. Las áreas de los terrenos 1622. Demostración del teorema de Pitágoras 164


Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras. 27. Aplicación del teorema de Pitágoras Aplicas el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

1. La longitud de los catetos 1682. La distancia al horizonte 1703. Las medidas de las pantallas planas 1724. Ternas pitagóricas 174

Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos. 28. Acercamiento a la variabilidad de datos Comparas la tendencia central y la dispersión de dos

conjuntos.1. ¿Cuántos integrantes tiene tu familia? 1762. Comparación de dos conjuntos de datos 178


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Índice



Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.15. Factores primos y reducción de fracciones Usas la descomposición en factores primos para resolver

problemas (reducción de fracciones).1. Descomposición única en factores primos 1042. Reducción de fracciones 106

16. Raíces cuadradas y la descomposición prima Calculas la raíz cuadrada de un número mediante su descomposición en factores primos.

1. Raíces cuadradas por descomposición de factores 1082. Aproximación de raíces cuadradas 110


17. Ecuaciones cuadráticas y factorización de términos semejantes

Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de términos semejantes.

1. Factorización de ecuaciones cuadráticas 1122. Solución de ecuaciones factorizando términos

semejantes 114

18. Ecuaciones cuadráticas y factorización en binomios

Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones en productos notables.

1. Factorización en binomio al cuadrado 1162. Factorización con productos notables 118



19. Factorización general de las ecuaciones cuadráticas

Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones.

1. Áreas de figuras y ecuaciones cuadráticas 1222. Factorización general en binomios 124


20. Construcción de gráficas Construyes y analizas gráficas en diversos contextos.1. Utilidad de las representaciones 1262. Uso de gráficas en el análisis de problemas 1283. Análisis de gráficas: distintos tipos de variación 130

21. Gráficas definidas por partes Analizas gráficas de funciones por partes.1. Intervalos con diferente variación 1322. Razón de cambio 1343. Problemas de llenado 136


22. Triángulos semejantes Determinas y usas los criterios de semejanza de triángulos.1. Criterios de semejanza 1382. Criterios de semejanza en triángulos 1403. Más de triángulos semejantes 142

23. Distancias inaccesibles y semejanza Resuelves problemas que implican el uso de la semejanza de triángulos.

1. Sombras y semejanza 1442. Cálculo de distancias 146


Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 24. Teorema de Tales Determinas y aplicas el teorema de Tales.

1. Rectas paralelas, transversales y semejanza 1502. Triángulos en posición de Tales 152


Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 25. Semejanza y transformaciones geométricas Exploras la semejanza en la homotecia de figuras.

1. Figuras semejantes y las sombras 1562. Homotecias positivas 1583. Homotecias negativas 160

Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras. 26. El teorema de Pitágoras Justificas y compruebas el teorema de Pitágoras.1. Las áreas de los terrenos 1622. Demostración del teorema de Pitágoras 164


Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras. 27. Aplicación del teorema de Pitágoras Aplicas el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

1. La longitud de los catetos 1682. La distancia al horizonte 1703. Las medidas de las pantallas planas 1724. Ternas pitagóricas 174

Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos. 28. Acercamiento a la variabilidad de datos Comparas la tendencia central y la dispersión de dos

conjuntos.1. ¿Cuántos integrantes tiene tu familia? 1762. Comparación de dos conjuntos de datos 178


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Índice



29. Ecuaciones cuadráticas: completar cuadrados Resuelves ecuaciones cuadráticas completando cuadrados


2. Interpretación de la resolución geométrica de ecuaciones cuadráticas 190

3. Solución algebraica con el procedimiento de completar cuadrados 192

30. Resolución de ecuaciones cuadráticas con A ≠ 1 por factorización

Resuelves ecuaciones cuadráticas con A ≠ 1 utilizando distintos métodos.



31. Fórmula general para ecuaciones cuadráticas Aplicas la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.




32. Métodos y tipos de ecuaciones cuadráticas Comparas y usas los diferentes métodos para resolver una ecuación cuadrática.

1. ¿En qué ecuaciones cuadráticas se usa el factor común? 204


33. Gráficas de funciones cuadráticas y las raíces Resuelves ecuaciones cuadráticas para calcular las raíces de una función.


2. Gráficas y discriminante 210Reviso mi trayecto 213


34. Crecimiento y decrecimientoAnalizas y comparas diversos tipos de variación a partir de distintas representaciones, para determinar intervalos en los que la función es positiva, negativa, creciente o decreciente.

1. Análisis detallado de la variación 2142. Intervalos de variación creciente o decreciente 2163. Análisis de gráficas 218

35. Modelos de variación Modelas y analizas diversos tipos de variación.1. Análisis de un problema de variación 2202. Análisis de la variación para encontrar un mínimo 2223. Análisis de la variación para encontrar un máximo 224

Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. 36. Razones trigonométricas Defines y calculas las razones trigonométricas.

1. Cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo 2262. La altura del monumento a la Independencia 2283. Seno, coseno y tangente 230


Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. 37. ¿Para qué sirven las razones trigonométricas? Usas las razones trigonométricas para calcular medidas de

triángulos rectángulos.

1. Los lados faltantes 2342. ¿Seno, coseno o tangente? 2363. El ángulo faltante 238


Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 38. Construcciones con regla y compás Construyes polígonos semejantes.

1. Triángulo de Sierpinski 2422. Dividir un segmento en partes iguales 244


39. Tipos de eventos Distingues entre distintos tipos de eventos: singulares, no singulares y complementarios.

1. Juguemos un rato 2462. Seguimos jugando 248

40. Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

Calculas la probabilidad de eventos excluyentes y usas la regla de la suma.

1. ¡Monedas al aire! 2502. ¡Dados al aire! 2523. Juegos tradicionales del mundo 254



41. Eventos mutuamente excluyentes y complementarios

Calculas y comparas la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios.

1. El dominó 2582. Cartas con números 260

Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos. 42. Desviación media Analizas la dispersión para comparar dos conjuntos.

1. ¿En cuál juego hay más riesgo? 2622. Desviación media y toma de decisiones 264


Fuentes de información 272

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Índice



29. Ecuaciones cuadráticas: completar cuadrados Resuelves ecuaciones cuadráticas completando cuadrados


2. Interpretación de la resolución geométrica de ecuaciones cuadráticas 190

3. Solución algebraica con el procedimiento de completar cuadrados 192

30. Resolución de ecuaciones cuadráticas con A ≠ 1 por factorización

Resuelves ecuaciones cuadráticas con A ≠ 1 utilizando distintos métodos.



31. Fórmula general para ecuaciones cuadráticas Aplicas la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.




32. Métodos y tipos de ecuaciones cuadráticas Comparas y usas los diferentes métodos para resolver una ecuación cuadrática.

1. ¿En qué ecuaciones cuadráticas se usa el factor común? 204


33. Gráficas de funciones cuadráticas y las raíces Resuelves ecuaciones cuadráticas para calcular las raíces de una función.


2. Gráficas y discriminante 210Reviso mi trayecto 213


34. Crecimiento y decrecimientoAnalizas y comparas diversos tipos de variación a partir de distintas representaciones, para determinar intervalos en los que la función es positiva, negativa, creciente o decreciente.

1. Análisis detallado de la variación 2142. Intervalos de variación creciente o decreciente 2163. Análisis de gráficas 218

35. Modelos de variación Modelas y analizas diversos tipos de variación.1. Análisis de un problema de variación 2202. Análisis de la variación para encontrar un mínimo 2223. Análisis de la variación para encontrar un máximo 224

Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. 36. Razones trigonométricas Defines y calculas las razones trigonométricas.

1. Cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo 2262. La altura del monumento a la Independencia 2283. Seno, coseno y tangente 230


Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. 37. ¿Para qué sirven las razones trigonométricas? Usas las razones trigonométricas para calcular medidas de

triángulos rectángulos.

1. Los lados faltantes 2342. ¿Seno, coseno o tangente? 2363. El ángulo faltante 238


Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 38. Construcciones con regla y compás Construyes polígonos semejantes.

1. Triángulo de Sierpinski 2422. Dividir un segmento en partes iguales 244


39. Tipos de eventos Distingues entre distintos tipos de eventos: singulares, no singulares y complementarios.

1. Juguemos un rato 2462. Seguimos jugando 248

40. Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

Calculas la probabilidad de eventos excluyentes y usas la regla de la suma.

1. ¡Monedas al aire! 2502. ¡Dados al aire! 2523. Juegos tradicionales del mundo 254



41. Eventos mutuamente excluyentes y complementarios

Calculas y comparas la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios.

1. El dominó 2582. Cartas con números 260

Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos. 42. Desviación media Analizas la dispersión para comparar dos conjuntos.

1. ¿En cuál juego hay más riesgo? 2622. Desviación media y toma de decisiones 264


Fuentes de información 272

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Así es tu libro

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¿Cómo trabajarásen este curso?

¿Para qué sirven las matemáticas?

Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas te ayudarán a resol-ver problemas en la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprende-rás técnicas y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años y que te permitirán no solo resolverlos, sino también aportar argumentos que justifiquen tus re-sultados y te ayuden a validar tus conclusiones.

Lo anterior se resume en el siguiente esquema:

¿Qué encontrarás en el libro?

Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diver-sos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen como finalidad que utilices lo que has aprendido previamente y des significado a nuevos aprendizajes. Asimismo, buscamos que reflexiones sobre aspectos de los problemas que te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de ra-zonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.

Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación así como tu capacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos cuestionamientos. Además, queremos que aprendas, mediante la reflexión y la comprensión, técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resul-ten significativas.

Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas con tu aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborativo, que estará presente en todas las secuencias didácticas de este libro. Considera que, en un equipo, cada integrante debe trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud abierta y respetuosa.

¿Cómo trabajarás en el libro?

Las secuencias didácticas se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de par-tida”, que es un problema orientado a que retomes y apliques tus conocimientos. Después, en el “Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promue-ven la reflexión sobre tus acciones y tu aprender a aprender. Además, en esta sección se in-cluyen conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.

El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren oportunida-des para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos la sección “Practicar para avanzar”, con ejercicios y problemas de aplicación que te permitirán hacer un seguimien-to personal de tu progreso. Por último, cada secuencia didáctica se cierra con una serie de preguntas en la sección “Punto de llegada”, para que valores si comprendiste los te-mas y conceptos que estudiaste.

Secciones para saber más

Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones, con ob-jetivos específicos, que te ayudarán a mejorar tus capacidades matemáticas.

“Resuelvo con tecnología”. La tecnología es un recurso importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, permite agilizar los cálculos y, más valioso aún, propor-ciona herramientas dinámicas que te permiten simular, imaginar, predecir y reflexionar sobre situaciones matemáticas y analizar problemas en distintos contextos.

“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán adentrar-te en la relación de las matemáticas con diversos temas como la optimización de recursos y algunas propiedades físicas de la Naturaleza, con la intención de que integres tu conocimiento general y reconozcas cómo las matemáticas permiten resolver problemas distintos.

¿Cómo reviso mi avance?

En el cierre de las actividades de las secuencias didácticas encontrarás diversas oportu-nidades para analizar, comunicar y validar tus procedimientos y resultados, y justificar-los con argumentos basados en los conocimientos y habilidades que has desarrollado hasta el momento. Lo anterior, con apoyo del profesor, te llevará a reconocer cuánto has avanzado y en cuáles temas requieres apoyo.

“Reviso mi trayecto”. En esta sección resolverás problemas en los que aplicarás e integra-rás lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, revises y reflexiones sobre lo aprendido y lo que se te dificulta. Esto es necesario para que tus compañeros y tu profesor te ayuden a superar las dificultades antes de continuar con el estudio de otros temas y conceptos matemáticos.

“Valoro mis fortalezas”. Al final de cada bloque encontrarás nuevos problemas con los cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.

Matemáticas Nuevas técnicas y procedimientos Conocimientos

Resultados y conclusiones

Problemas

validarampliar

resolverdesarro

llar

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¿Cómo trabajarás en este curso?

En estas páginas te explicamos la importancia de aprender matemáticas para resolver problemas y argumentar situaciones que van más allá del trabajo que realizas en el aula. También encontrarás una explicación sobre cómo trabajarás en el libro y cómo podrás revisar tus avances, para que reflexiones sobre lo aprendido y, con la ayuda de tus compañeros y profesor, encuentres estrategias para mejorar tu desempeño.

Entrada de bloque

Tu libro de Matemáticas está organizado en tres bloques. Al iniciar cada uno encontrarás los aprendizajes esperados que estudiarás. Además tendrás la oportunidad de conocer información interesante que muestra una aplicación de las matemáticas.

BLOQUE 1En este bloque:

• Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.

• Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.

• Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

• Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

• Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

• Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.

• Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos.

• Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.

Los videojuegos

Las matemáticas y la física forman parte del desarrollo y programación de los videojue-gos, los cuales buscan emular la realidad cada día con mayor precisión.

El conocimiento de las matemáticas es muy importante en el diseño de las imágenes en tercera dimensión y en el movimiento de los personajes.

Un claro ejemplo de esto son los videojuegos donde los personajes u objetos trazan una curva mientras se mueven. Por ejemplo, para describir la trayectoria de un balón o de un personaje, los desarrolladores deben calcular la función que representa el movimiento y programar los gráficos. El jugador, con las decisiones que toma durante el juego, sin dar-se cuenta proporciona los parámetros para que la función se ejecute.

¿De qué otras formas piensas que se aplican las matemáticas en los videojuegos?

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Las matemáticas son fundamentales en la programación de videojuegos, incluyendo los de realidad virtual.

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Así es tu libro

Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos.

Construcción de polígonos semejantes 13

Contenido: Reconoces la semejanza de polígonos.

Figuras semejantes, ¿qué tienen en común?

1. Reúnete con un compañero y lean la información. Hagan lo que se pide y respon-dan en su cuaderno.

En la vida cotidiana es posible encontrarse con imágenes u objetos que permiten es-timar las dimensiones de espacios reales. Por ejemplo, se puede tener una noción de la distribución de un hospital observando un plano o maqueta. También se puede calcular la medida de objetos, a partir de imágenes.

La imagen muestra un periódico elaborado por alumnos de secundaria y algunas representaciones en miniatura de este que se distinguen con las letras A, B y C. Mar-quen la letra de las representaciones que no son reducciones del original.

Lección 1

a. Midan el largo y el ancho del periódico original y de cada representación. Calculen el factor constante de proporcionalidad.

b. ¿El original y sus copias deben tener todas sus medidas iguales? ¿En qué casos sí? ¿En cuáles no?

c. ¿Cómopuedenidentificarcuálesuncopiadeloriginal?¿cuándoesunaamplia-ción o una reducción?

d. ¿En qué se parecen las tres imágenes del original? ¿En qué son diferentes?e. En matemáticas, ¿cuál es la diferencia entre parecido ser una copia, una amplia-

ción o una reducción?

A.

C.B.

Comenten sus respuestas con sus compañeros y lleguen a una conclusión. Revísenla con ayuda de su profesor.

Original

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Figuras y cuerpos geométricos

Rectángulos semejantes

1. Julián hizo el diseño de un celular para el periódico escolar usando un progra-ma de geometría dinámica. Utiliza regla, transportador y compás para analizar la imagen. Luego haz lo que se pide.

a. Analiza las relaciones entre los lados marcados con los mismos colores. Encuentra lados congruentes.

e. ¿Cómo son entre sí de las medidas?

Los rectángulos ABCD y ABCD son semejantes porque sus lados correspondientes son proporcionales y sus respectivos ángulos son iguales. Para denotar que dos fi-guras son semejantes se utiliza el símbolo ~ y se lee “es semejante a”. En el ejemplo,para decir que el rectángulo ABCD es semejante al rectángulo ABCD se escribeABCD ~ ABCD.


1. Construye en tu cuaderno dos cuadrados diferentes.

a. ¿Son semejantes? ¿Por qué?

2. ¿Todos los rectángulos son semejantes? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y juntos argumenten el procedimiento que usaron para determinar la semejanza de las figuras.

ABAB

CDCD

BCBC

ADAD

b. ¿Cuánto miden los ángulos del rectángulo ABCD y de ABCD?

c. Mide la longitud de cada lado del rectángulo exterior y su correspondiente en el interior. Anota esas medidas sobre cada lado.

d. Divide la medida del lado AD entre la del lado AD. Repite este procedimiento con los lados AB y AB. Coloca las respuestas donde corresponde.

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Aplica lo que aprendiste y responde.

1. Resuelve el siguiente problema.

Si la altura del trapecio ABCD es 4 cm...

a. ¿Cuánto mide la altura de sus semejantes ABCD y ABCD?

b. Marca los ángulos correspondientes con el mismo color y símbolo. ¿Cuánto mide cada ángulo?

c. ¿Cuál es la razón de semejanza entre parejas de trapecios? Describe el procedi-miento usado.

2. Respondelaspreguntasconbaseenlospolígonossemejantesqueidentificasteenla lección anterior.

a. ¿Qué relación hay entre la medida de los perímetros de dos polígonos semejantes?

b. ¿Qué relación hay entre el área de dos polígonos semejantes?

3. Considera lo que has aprendido sobre semejanza de polígonos y responde.

a. ¿Cómoseidentificanlasfigurassemejantesengeometría?

b. ¿En qué elementos o características se debe prestar atención para reconocer dosfigurassemejantes?

4 cm

4 cm

8 cm

A B

CD

3.09 cm 3.75 cm

6 cm

A B

CD4 cm

2.06 cm 2.5 cmA B

CD

4.12 cm5 cm

3 cm2 cm

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con ayuda del profesor. Luego comenten qué diferencia existe entre parecido y semejante. Investiguen qué objetos producen figurassemejantes.

91

Durante esta etapa resolverás problemas y realizarás actividades individuales y colectivas que te permitirán construir conocimientos, desarrollar habilidades, fortalecer tus actitudes y valorar tu trabajo. En el desarrollo de las secuencias didácticas, hallarás definiciones y procedimientos para que los analices, con base en tu experiencia en clase, y elabores conclusiones.

En esta última etapa de la secuencia didáctica encontrarás una lista de actividades desafiantes para que apliques lo que aprendiste. A lo largo de las secuencias didácticas podrás reflexionar de manera individual o colectiva acerca de tu trabajo e identificar tus avances mediante el análisis de tus resultados y procedimientos.

Secuencias didácticasCada bloque de tu libro está integrado por secuencias didácticas

con tres etapas de trabajo:

Te proponemos un problema en el que podrás revisar tus conocimientos previos, aplicar tus estrategias y explorar el contenido a tratar en la secuencia didáctica.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor e identifica cuá-les secuencias didácticas debes repasar para mejorar en tus áreas de oportunidad.

1. Un rectángulo mide de ancho x metros y de largo, x 4 metros. Si su área es de 6x 8 metros cuadrados, ¿cuáles son sus medidas?

2. Escribe qué función corresponde a cada gráfica.

a. y x + 6 b. y x2 4 c. y x 6d. y

5x e. y

x5 f. y 4 x2

y Compara las gráficas y en tu cuaderno escribe sus diferencias.

3. Traza en tu cuaderno un triángulo cualquiera, ubica los puntos medios de cada lado y únelos para formar un nuevo triángulo.

a. ¿Por qué los dos triángulos son semejantes? Justifica tu respuesta.

Función: Función: Función:

y

x

2

2

02

2

4

6

8

48 4 6 8

4

6

8

6

y

x2

0

2

4

6

8

48 4 6 8

4

6

8

6 22

y

x5

0

5

10

15

20

1020 10 15 10

10

15

20

15 55

En la columna "Nota", marca una en los reactivos que resolviste correctamente.Reactivo Nota Secuencias Páginas

1 19 122 a 1252 20 126 a 1313 22 138 a 143

149

Resuelvo con tecnología

Teorema de PitágorasReúnete con un compañero y sigan las instrucciones para verificar el teorema de Pitágoras.

1. Entren a la página www.geogebra.org/geometry.

2. Coloquen 2 deslizadores en la parte superior de la pantalla para modificar las medidas de los lados del triángulo que construirán. Para esto, utilicen la herramienta de Medición, Des-lizador, que se muestra en la imagen 1. Si no la localizan, en la parte inferior de la barra de he-rramientas, hagan clic en Más.

3. Ingresen los valores para los deslizadores a y b, como se muestra en la imagen 2, y den clic en OK. Modifiquen el valor del deslizador a para que valga 2.

4. Tracen un segmento con la herramienta de Rec-tas, Segmento de longitud dada. Para ello, den clic en el área de trabajo. En la ventana emergen-te, ingresen a como valor de la longitud.

5. Coloquen un nuevo deslizador para modificar la amplitud del ángulo del triángulo. Marquen la opción “Ángulo” y cambien el nombre del ángu-lo, como en la imagen 4. Nombren c al ángulo.

Imagen 2

Imagen 1

Imagen 3

Imagen 4

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A lo largo del bloque encontrarás las secciones:

GlosarioSe definen algunas palabras que te pueden

resultar de difícil comprensión.

Herramientas académicasTe ofrece actividades para que las resuelvas con ayuda de la tecnología. También encontrarás recomendaciones de páginas electrónicas e interactivos para que enriquezcas lo que has aprendido.

Practicar para avanzarTe proponemos ejercicios y problemas para que reconozcas tu progreso y fortalezcas lo que estás aprendiendo en la secuencia didáctica.

Reviso mis avancesDespués de desarrollar algunas actividades tendrás la oportunidad de comunicar tus procedimientos y resultados para que, en grupo y con apoyo del profesor, reflexionen sobre lo que ahora saben y lo que les falta por aprender.

En el desarrollo de las secuencias encontrarás los siguientes apartados:

Reviso mi trayecto

Al final de cada mes te proponemos problemas para que apliques lo que has aprendido, valores tus avances e identifiques tus áreas de oportunidad.


A lo largo de cada bloque encontrarás dos proyectos tecnológicos para explorar o aplicar los contenidos de la secuencia didáctica anterior y desarrolles tus habilidades digitales.

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Punto de encuentro

Lee el texto y haz lo que se pide.

Optimización

La optimización consiste en analizar los procesos con el fin de mejorar alguna acción o trabajo. Puede referirse a la reducción del tiempo en que se realiza una tarea o a la forma en que se utilizan los recursos para aprovecharlos al máximo, entre otros.

1. Lee y haz lo que se te solicita.

Una empresa hotelera tiene un terreno triangular con vista al mar, en el que se quiere construir un edificio con forma de pris-ma rectangular que ocupe la mayor área posible. El terreno tie-ne una longitud de 75 m sobre la avenida principal y 150 m de largo, como se muestra en la imagen.

a. Dibuja en tu cuaderno distintas formas de colocar la base rectangular del edificio sobre el terreno. ¿Cuántas maneras encontraste?

b. ¿Cuál de esas formas consideras que es mejor? ¿Por qué?

2. Luis,elarquitectoacargo,sugiereconstruireledificiodetalformaquelafacha-daquededefrentealmar,tomandolabasedeltriángulocomoladodelabaserectangular.

a. Observa el diagrama de cómo quedaría ubicado el hotel de acuerdo con la suge-rencia de Luis. Representa el largo y ancho de la base rectangular con las varia-bles x y y respectivamente.

y ¿Entre qué valores varían x y y?

y ¿Cómo cambia el área de la base rectangular si cambia el valor de x o el valor de y?

y Escribe una expresión que represente el área de la base rectangular. y ¿Cuántas variables tiene la expresión que escribiste?

75 m

150 m

Mar

Edificio

180

Valoro mis fortalezas

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obten-gas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Encuentra cinco números primos diferentes cuya suma sea 40. Menciona 3 solu-ciones posibles.

2. En una primaria hay 195 alumnos y en una actividad deportiva deben colocarse en filas de manera que haya la misma cantidad de alumnos en cada una.

a. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse? b. Encadaunadeesasopciones,¿cuántasfilashabrá?¿Cuántosalumnoshabráen

cadafila?

3. La maestra Ana tiene 36 lápices, 27 bolígrafos y 18 gomas y necesita armar paque-tes de material escolar.

a. ¿Cuáleselmayornúmerodepaquetesquepuedeformarsinquelesobremate-rialdeningúntipo?

b. ¿Cuántaspiezastendríacadapaquete?

4. En la ruta de un ultramaratón de 100 km se colocan estaciones de hidratación cada 8 km y estaciones de barras energéticas cada 12 km. ¿En qué momento de la carrera se instalarán ambas estaciones?

a. Sihayrevisiónmédicacada20km,¿enalgúnpuntocoincidiránlastresestaciones?¿Porqué?

5. En una fábrica se producen cilindros de diferentes materiales. El volumen de cada cilindro es de 39w4x2. ¿Cuánto mide la altura de un cilindro si su base tiene una su-perficie de 13w2x?

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Punto de encuentro

Te proponemos actividades en las que podrás relacionar lo aprendido en Matemáticas con algunos campos del conocimiento.


Cada bloque cierra con una serie de problemas y ejercicios que integran varios temas trabajados, para que analices los conocimientos y las habilidades que has obtenido a lo largo del bloque. También podrás identificar tus áreas de oportunidad y, junto con tu profesor, desarrollar estrategias que te permitan mejorar.

Fuentesde información

Para el alumno

y Bosh, C. y Gómez C. Una ventana a las formas, Santillana, México, 2003 (Biblioteca Juvenil Ilustrada).

y Grima, Clara. ¡Que las matemáticas te acompañen!, Ariel, Barcelona, 2018.

y Jouette, André. El secreto de los números, Swing, Barcelona, 2008.

y Ejercicios, problemas e interactivos de aritmética, álgebra y geometríanewton.matem.unam.mx/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

y Página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas con los diferentes exámenes y solu-ciones para que consultes y desarrolles la demostración matemática.www.ommenlinea.org/actividades/concursos/canguro-matematico/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

y Software de geometría dinámica gratuito que te permite hacer construcciones útiles para geometría, álgebra, cálculo, entre otros.www.geogebra.org(consulta: 26 de febrero de 2021)

Para la elaboración de este libro

y Alsina, C. y otros. Materiales para construir la geometría, Síntesis, Madrid, 1997 (colec-ción Matemáticas: cultura y aprendizaje).

y Batanero, C. y otros. “Sentido estadístico. Componentes y desarrollo”, en Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, volumen 83, 2013.

y Batanero, C. y Díaz C. J. “El papel de los proyectos en la enseñanza y aprendizaje de la estadística”, en Royo, J. Patricio. Aspectos didácticos de las matemáticas.

y Aprendizaje significativo en el área de matemáticas: una experiencia pedagógica. funes.uniandes.edu.co/2385/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

y Propuestas didácticas que se pueden llevar a cabo en clase. aprendiendomatematicas.com/actividades-matematicas-secundaria/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

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Fuentes de información

Encontrarás sugerencias de libros y direcciones electrónicas para que halles información complementaria y pertinente sobre temas relacionados con la asignatura.

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BLOQUE 1En este bloque:


• Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.



• Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

• Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.



Los videojuegos

Las matemáticas y la física forman parte del desarrollo y programación de los videojue-gos, los cuales buscan emular la realidad cada día con mayor precisión.

El conocimiento de las matemáticas es muy importante en el diseño de las imágenes en tercera dimensión y en el movimiento de los personajes.

Un claro ejemplo de esto son los videojuegos donde los personajes u objetos trazan una curva mientras se mueven. Por ejemplo, para describir la trayectoria de un balón o de un personaje, los desarrolladores deben calcular la función que representa el movimiento y programar los gráficos. El jugador, con las decisiones que toma durante el juego, sin dar-se cuenta proporciona los parámetros para que la función se ejecute.

¿De qué otras formas piensas que se aplican las matemáticas en los videojuegos?

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Las matemáticas son fundamentales en la programación de videojuegos, incluyendo los de realidad virtual.

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1 Aprendizaje esperado: Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.

Divisibilidad y números primos

Contenido: Identificas los números primos y compuestos. Desarrollas y aplicas los criterios de divisibilidad.

Múltiplos y divisores

1. Lee la situación y haz lo que se pide.

El dueño de un cine quiere renovar una sala y colocar 187 asientos nuevos, distribui-dos en varias filas.

a. Elabora en tu cuaderno un diagrama que ilustre dos formas de colocar los asien-tos del cine.

b. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir los asientos?

Divisores de un número

1. Retoma el problema anterior y responde en tu cuaderno.

Un número entero es divisor de otro número entero si el resultado de la división tam-bién es un número entero; y al efectuar la división se obtiene 0 como residuo.

Por ejemplo, 3 es divisor de 27, ya que el cociente de 27 3 es 9 y su residuo es 0. Por su parte, 2 no es divisor de 27, pues el cociente de 27 2 es 13 y su residuo es 1, por tanto, no cumple con la segunda condición.

Un número es múltiplo de otro si es el resultado de haber multiplicado el número por un número entero. Por ejemplo, 12 es múltiplo de 3, ya que 12 3 4.

e. Escribe todos los divisores de 187. f. Escribe cinco múltiplos de 17.

Lección 1

a. Explica qué ocurre si se distribuyen en filas de 10. b. ¿Se pueden distribuir los asientos en filas del mismo tamaño? Justifica tu respuesta. c. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar asientos para formar filas con la mis-

ma cantidad de asientos? d. ¿Cuántas veces cabe de manera exacta el 17 en 187? ¿Cuántas 11 en 187?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y comparen las formas de distribuir los asientos.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y completa si hace falta. Valídenlas con ayu-da de su profesor.

P. R. El alumno puede

Ver solucionario

distribuir los asientos en filas con el mismo número de asientos o en filas con diferente número de asientos.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Número

2. Lee y haz lo que se pide.

Una fábrica debe diseñar diferentes empaques rectangulares de jabón cuyas filas tengan la misma cantidad de jabones. Para los empaques con 30 piezas ya tienen la propuesta de empaques de 6 filas, cada una con 5 jabones, y la de 5 filas, cada una con 6 jabones, pero necesitan más opciones. ¿Cuántas formas más existen para or-denar las filas de los empaques con 30 piezas? ¿Cuántos empaques pueden diseñar para aquellos con 72 y 80 barras de jabón, respectivamente?

a. Escribe en la región del color que se indica números que cumplen con la característica que se describe.

y Amarilla: únicamente son divisores de 30. y Roja: únicamente son divisores de 72. y Azul: únicamente son divisores de 80. y Anaranjada: son divisores de 30 y 72. y Verde: son divisores de 30 y 80. y Morada: son divisores de 72 y 80. y Blanca: son divisores de 30, 72 y 80.

b. Responde. y ¿Qué tienen en común los números de la zona verde? y ¿Qué tienen en común los números de la zona morada? y ¿Qué tienen en común los números de la zona anaranjada?

3. En tu cuaderno, elabora un diagrama como el del ejercicio anterior, con los números 24, 30 y 54. Coloca en la región amarilla los divisores de 24, en la roja los de 30 y en la azul los de 54. Luego responde.

a. ¿Qué números están en las regiones anaranjada, verde y morada? ¿Por qué? b. ¿Qué relación hay entre los números 24, 30 y 54?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten lo que sucede con las caracterís-ticas analizadas. Con base en sus aportaciones, elaboren una explicación y compruébenla propo-niendo otros números. Luego lean la siguiente información y den ejemplos de cada propiedad.

Propiedad transitiva de la divisibilidad: Si un número a es divisible entre b y a su vez b es divisible entre c, entonces a es divisible entre c. Por ejemplo, como 280 es divisible entre 10 y 10 es divisible entre 2, entonces 280 es divisible entre 2.

Propiedad aditiva de la divisibilidad: Si dos números a y b son divisibles entre c, en-tonces a b y a b son divisibles entre c. Por ejemplo: 990 y 6 son divisibles entre 3, por tanto 990 6 996 y 990 6 984 son divisibles entre 3.

15

80

36

4 85 10

3 6

9 12

18 24

16 20

1 2

Son múltiplos de 5.

6 formas más. 12 y 10 respectivamente.

Son múltiplos de 4.Son múltiplos de 3.

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72

40

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¿Cuáles son los números primos?

1. Lee y responde.

Juan trabaja en una fábrica donde se diseñan cajas rectangulares para chocolates. Cada modelo de caja tiene únicamente una capa de chocolates, que se divide en di-ferente número de filas con el mismo número de chocolates cada una.

El jefe de Juan le pidió que encuentre todos los posibles modelos de cajas tomando en cuenta que se venden desde 2 hasta 36 chocolates. Por ejemplo, hay tres mode-los de cajas con 16 chocolates:

y Modelo A: 4 filas con 4 chocolates en cada una y Modelo B: 2 filas con 8 chocolates en cada una y Modelo C: 1 fila con 16 chocolates

a. ¿Cuántos y cuáles diseños diferentes de cajas se pueden hacer para vender 36 chocolates?

b. ¿Para qué número de chocolates hay cuatro diseños de cajas?

c. ¿Para qué número de chocolates hay tres diseños de cajas?

d. ¿Para qué número de chocolates hay dos diseños de cajas?

e. ¿Para qué número de chocolates hay únicamente un diseño de caja?

2. En parejas, lean la información y hagan lo que se pide.

Eratóstenes (276 a 194 antes de nuestra era) matemático, astrónomo y geó-grafo griego, fue conocido principalmente por ser la primera persona que calculó la longitud de la circunferencia de la Tierra.

También se le atribuye el siguiente método para encontrar números cuyos úni-cos divisores son el mismo número y el 1. A este método se le conoce como la Criba de Eratóstenes.

Lección 2

Compara tus respuestas con tus compañeros y comenten las dificultades que tuvieron para res-ponder las preguntas.


5 modelos: 1 fila de 36 chocolates, 2 filas de 18 chocolates cada

Para 24 y 30

Para 12, 16, 18, 20,

Para 4, 6, 8, 9, 10,

2, 3, 5, 7,

una, 3 filas de 12 chocolates cada una, 4 filas de 9 chocolates cada una y 6 filas de 6 chocolates cada una.

chocolates

28 y 32 chocolates

14, 15, 21, 22, 25, 26, 27, 33, 34 y 35 chocolates

11, 13, 17, 19, 23, 29 y 31 chocolates

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a. Sigan los pasos para hallar los números que tienen únicamente dos divisores.

i. En la tabla, tachen todos los números que son múltiplos de 2, excepto el 2, ya que al tener al 2 como divisor, tienen más de dos divisores.

ii. Tachen todos los múltiplos de 3, excepto el 3. y Observen cuáles ya habían tachado. ¿Por qué estaban ya tachados?

y ¿Es necesario tachar ahora los múltiplos de 4? ¿Por qué?

iii. Continúen el procedimiento tachando los múltiplos de 5, 7, 11, etcétera, excepto a estos, hasta que ya no puedan tachar más números.

y ¿Por qué no es necesario tachar los múltiplos de 6, 8, 9 ni 10?

y ¿Qué números no fueron tachados? ¿Por qué?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

A los números que tienen únicamente dos divisores (el 1 y el mismo número) se les conoce como números primos. Los números que tienen más de dos divisores se lla-man números compuestos. Al 1 no se le considera primo ni compuesto, ya que su único divisor es él mismo.


1. Encuentra los números primos menores a 250. Construye una nueva Criba de Eratóstenes y lleva a cabo el mismo procedimiento descrito.

Compartan las respuestas con sus compañeros y con el profesor.


Porque

Porque los

No, ya están

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

son múltiplos de 2.

múltiplos de estos números son múltiplos de 2 o 3.

tachados porque también son múltiplos de 2.

29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113. Porque no son múltiplos de otros números.

Ver solucionario

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Criterios de divisibilidad

1. Subraya los números divisibles entre 2. Luego responde.

Lección 3

22 18 30 31 20 14 54 56 93 12 55 86

2. Observaelsiguientedesarrolloparaverificarqueunnúmeroesdivisibleentre3.

528 500 20 8

100 (5) 10 (2) 8 99 (5) 5 9 (2) 2 8 99 (5) 9 (2) ( 5 2 8)

Por la propiedad transitiva de la divisibilidad, 99 (5) y 9 (2) son divisibles entre 3 por-que 99 y 9 son divisibles entre 3. Como 5 2 8 15 es divisible entre 3, entonces la suma 99 (5) 9 (2) ( 5 2 8) 528 es divisible entre 3.

a. Con base en el procedimiento descrito determina por qué el número 527 no es divisible entre 3. Luego determina cómo se pueden identificar los números divi-sibles entre 3 de forma sencilla.

b. Verifica si la forma de determinar si un número es divisible entre 3 sirve para de-terminar si un número es divisible entre 9.

i. Se separa el número en centenas, decenas y unidades.ii. Se escriben las centenas y decenas como producto de 100 y 10.iii. Se separan los productos en sumas.iv. Se reagrupan los números.

a. ¿Qué tienen en común los números que subrayaste, además de ser números di-visibles entre 2?

b. Enlista números divisibles entre 5 y otros que sean divisibles entre 10. ¿Qué tie-nen en común?

3. En tu cuaderno, escribe números divisibles entre 4 y responde.

a. ¿Se puede determinar si un número es divisible entre 4 a partir del dígito de las unidades o mediante la suma de sus dígitos? ¿Por qué?

b. ¿Conoces alguna manera de saber si un número es divisible entre 4? Si no es así, revisa que el número formado por los últimos dos dígitos sea divisible entre 4.

c. ¿Puedes ahora encontrar alguna regla para determinar si un número es divisible entre 4? Escríbela en tu cuaderno.

R. M. Terminan en número par.

R. M. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 y 60.10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100. Tienen en común los números que terminan en 0.

R. M. Sí, porque se

R. L

R. L

observa un patrón en las dos últimas cifras de los números divisibles entre 4.

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y Si un número termina en 0, 2, 4, 6 u 8, entonces es divisible entre 2.y Si la suma de los dígitos que conforman un número es divisible entre 3, entonces

el número es divisible entre 3.y Si el número formado por los últimos dos dígitos de un número es divisible entre 4,

entonces el número es divisible entre 4.y Si un número termina en 0 o 5, entonces es divisible entre 5.y Si un número par es divisible entre 3, entonces es divisible entre 6.y Si un número es divisible entre 2 y 5, entonces es divisible entre 10.

4. En cada caso considera tres números que cumplan la condición. Luego responde en tu cuaderno.

a. ¿Los números que son divisibles entre 2 y entre 3 son divisibles entre 6? Justifica tu respuesta con tres ejemplos.

b. ¿Los números que son divisibles entre 5 y entre 3 son divisibles entre 15? Explica por qué.

c. ¿Los números que son divisibles entre 2 y entre 4 son divisibles entre 8? Justifica tu respuesta con dos ejemplos.

d. ¿Por qué difiere el caso del inciso c respecto de a y b? e. Verifica si las siguientes reglas determinan si un número es divisible entre 8.

y Si el dígito de las centenas es par y el número formado por las decenas y las unidades es divisible entre 8.

y Si el dígito de las centenas es impar y el número formado por las decenas y unidades, más 4, es divisible entre 8.

y Si la suma de las unidades más el doble del número formado por los demás dígitos es divisible entre 8.

y Si el número formado por los últimos tres dígitos es divisible entre 8.

5. Elige tres números consecutivos de la lista y analiza si su suma es divisible entre tres.

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22

a. Si seleccionas otros tres números consecutivos diferentes, ¿la suma es divisible entre 3? Explica tu respuesta.

b. Comprueba si la suma de 4 números consecutivos es divisible entre 4; luego, si la suma de 5 números consecutivos es divisible entre 5, y así sucesivamente hasta el 7. ¿Qué ocurre?

c. Si representamos con n al primero de los números consecutivos, ¿cómo se re-presentarían los siguientes dos a partir de n?

d. ¿Cómo se representaría la suma de los tres números?

Comenta con tus compañeros por qué la expresión a la que llegaste en el inciso d justifica que la suma de tres números consecutivos es divisible entre 3. Luego demuestra que la suma de 5 y 7 números consecutivos es divisible entre 5 y 7, respectivamente.

Sí. R. L.

Sí. R. L.

No. R. L.

R. L.

Sí, porque la suma de los dígitos del resultado es divisible entre tres.

n 1 y n 2

n (n 1) (n 2)

Entre 4, y 6 no es divisible; entre 5 y 7 sí.

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Descomposición prima y algunas conjeturas

1. Observa las diferentes maneras de descomponer números como producto de nú-meros primos. Escribe en tu cuaderno cómo se efectuaron las descomposiciones. Considera los criterios de divisibilidad.

9045

931

2533

90 2 4590 2 5 990 2 5 3 3

90 10 990 2 5 3 3

90

10

2 5 3 3

9

a. Utiliza al menos dos formas de descomponer los números 12, 36, 72, 42 y 270 como multiplicación de números primos. Luego responde.

y ¿Cómo son las descomposiciones que obtuviste en cada caso?

Todo número compuesto se puede expresar como una multiplicación de números primos, la cual es única sin importar el método que se utilice. A este resultado se le conoce como teorema fundamental de la aritmética o descomposición prima.

Lección 4

Entra al sitio web www.esant.mx/fasema3-001 para reforzar lo aprendido en la secuencia.

Herramientas académicas

Compara con un compañero las descomposiciones que obtuvieron y lean la siguiente información.

1 2 3 4

12631

223

3618

931

2233

723618

931

22233

4221

71

237

270135

4515

51

23335

Iguales, es decir, se llega al mismo resultado.

12 2 612 2 2 3

72 2 3672 2 2 2 3 3

42 2 2142 2 3 7

36 2 1836 2 2 936 2 2 3 3

270 2 135270 2 5 27270 2 5 3 9270 2 5 3 3 3

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1. Lee la información y haz lo que se pide.

Una conjetura es una afirmación que se cree verdadera a partir de la observación, pero que no se ha comprobado. En 1742, el matemático Christian Goldbach le propuso en una carta al también matemático Leonhard Euler que:

y Cualquier número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos.

y Cualquier número impar mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.

A estos enunciados se les conoce como conjeturas de Goldbach.

a. Retoma los números que obtuviste en la Criba de Eratóstenes. Haz combinacio-nes de dos números primos y súmalos. Registra los resultados en tu cuaderno y responde.

y Verifica que todos los números que obtuviste sean pares entre 4 y 220. Con base en lo anterior, ¿es posible afirmar que todos los números pares se pue-den expresar como la suma de dos números primos? ¿Por qué?

y ¿Hasta que número tendrías que calcular para asegurar que la conjetura es verdadera?

y ¿Qué necesitas para afirmar que la conjetura de Golbach es incorrecta?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídalas con ayuda de tu profesor.

2. Retoma el problema 1 de la lección 2.

En la fábrica decidieron producir cajas que contengan más chocolates. Juan vio que, para determinar los diferentes modelos, puede descomponer en factores primos el número de chocolates y combinarlos. Por ejemplo, 60 chocolates se pueden acomo-dar de 6 formas diferentes considerando que 60 2 2 3 5.

60 = (2) × (2 × 3 × 5) = 2 × 30 2 filas de 3060 = (3) × (2 × 3 × 5) = 3 × 20 3 filas de 2060 = (5) × (2 × 2 × 3) = 5 × 12 5 filas de 1260 = (2 ×2) × (3 × 5) = 4 × 15 4 filas de 1560 = (2 × 3) × (2 × 5) = 6 × 10 6 filas de 1060 = 1 × 60 1 fila de 60

a. Calcula, en tu cuaderno, cuántos diseños de cajas se pueden hacer que conten-gan 120 y 180 chocolates, respectivamente.

No, porque

Hacer

Se debe hacer el cálculo con todos los números primos.

en la Criba no están todos los números primos.

el cálculo con todos los números primos no solo con los que están entre 4 y 220.

Para ambos casos, 8 modelos diferentes.

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Aprendizaje esperado: Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Máximo común divisor2

Divisores comunes


Para integrar a los alumnos del grupo 3.º A de secundaria, se realizarán varias acti-vidades recreativas. Deberán efectuarse todas las actividades en equipos de más de un estudiante. Los equipos deberán tener distinto número de integrantes según la actividad, pero entre ellos serán del mismo tamaño.

a. Si el grupo es de 42 alumnos, ¿es posible formar equipos de 5 integrantes? Explica tu respuesta.

b. ¿Cómo puedes saber si se pueden hacer equipos de 3 integrantes?

c. ¿Es necesario hacer una división para responder preguntas como las anteriores? Justifica tu respuesta.

d. ¿Pueden formarse parejas? De ser así, ¿cuántas? e. ¿Qué otros equipos pueden formarse?

f. Si el grupo fuera de 43 estudiantes, ¿se podrían hacer equipos de distintos tama-

ños sin que sobraran ni faltaran integrantes en alguno? ¿Por qué?

g. Explica la diferencia entre el grupo de 42 y el grupo de 43 estudiantes para efec-tos de formar equipos de distintos tamaños.

h. El grupo 3.º B, que tiene 48 alumnos, ¿de cuántos integrantes puede formar equipos?

i. El grupo 3.º B deberá realizar las mismas actividades que 3.º A. ¿Cómo puedes sa-ber de qué tamaño podrían hacerse los equipos de manera que tengan la misma cantidad de integrantes y no sobren ni falten educandos en ninguno de los dos grupos?

j. ¿Podrían hacerse actividades en parejas? ¿En equipos de 3 integrantes? Explica.

Lección 1

Contenido: Resuelves problemas que impliquen el cálculo del MCD.

Revisen sus respuestas en grupo y listen, con ayuda del profesor, las opciones de tamaños de equipos que pueden formarse en ambos grupos.

No es posible, porque dos alumnos se quedarían sin equipo.

R. M. En el grupo de 42 se pueden for-mar equipos de igual número de integrantes y no quedaría ningún alumno sin equipo. En el grupo de 43 integrantes, al menos un equipo quedaría con un elemento más.

Sí se puede, 21 parejas.

2, 3, 4, 6, 8, 12, 16 y 24 integrantes.

R. M. Encontrando los divisores que tienen en común el 42 y el 48.

Sí, porque ambos números son divisibles entre 2 y entre 3.

Dividiendo

Sí, porque los

Se pueden formar equipos de 6, 7 y 14

Sí, porque se debe conocer el residuo para determinar

42 entre tres y si el residuo es cero entonces sí se puede.

que quedan sin equipo se pueden integrar a los que se formen.

integrantes.

si hay alumnos que se quedarán sin equipo.

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¿Cuál de los divisores es mayor?

1. Retoma el problema de la actividad anterior y responde.

a. De los posibles equipos que se pueden formar si se hacen las mismas activida-des, ¿cuál es de menor tamaño?

y ¿Siempre será el mismo independientemente del tamaño del grupo? Explica.

b. ¿Cuáles son los posibles equipos con más integrantes si se hacen las mismas ac-tividades?

c. Escribe qué significa esto en términos de los divisores de 42 y de 48.

Al mayor de los divisores que tienen en común dos o más números se le conoce como máximo común divisor y se representa con la abreviatura MCD.

Para encontrar el MCD de dos o más números, por ejemplo, 24 y 36:1. Se encuentran los divisores de cada número.

Divisores de 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Divisores de 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

2. Se seleccionan los divisores que son comunes para ambos números.Divisores de 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Divisores de 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Divisores comunes de 24 y 36: {1, 2, 3, 4, 6, 12}

3. Se elige el mayor divisor, que será el máximo común divisor. MCD (24, 36) 12


Haz en tu cuaderno lo que se pide.

1. Utiliza el método anterior para calcular los divisores que se piden. Describe detalladamente tu procedimiento.

a. MCD (30, 42) b. MCD (35, 70)

Compara con dos compañeros tus respuestas. ¿Obtuvieron el mismo MCD para las parejas de números? ¿Puede haber más de uno? Anoten sus conclusiones.


Comenta con un compañero por qué piensan que es útil conocer los divisores comunes de dos o más números. Anoten sus conclusiones en su cuaderno. Después analicen la siguiente información.

El de 2 integrantes.

Sí, siempre y cuando el número de integrantes sea par.

Los de 6 integrantes.

R. M. Significa que 2 es el divisor más pequeño y 6 es el divisor más grande que tienen en común el 42 y el 48.

Ver solucionario

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Métodos para encontrar el MCD

1. Analiza la información y responde.

En la página 24 aprendiste a descomponer números como producto de números pri-mos por cuatro métodos. Observa el siguiente procedimiento e identifica a qué mé-todo se parece y por qué.

60 230 215 3

5 51

72 84

72 84

y ¿De qué manera puedes utilizar este método para encontrar el MCD de dos números?

b. Reúnete con un compañero y utilicen la siguiente tabla para idear un método que les permita encontrar el MCD de los dos números.

y ¿Encontraron un método que les funcionara? y ¿Cómo pueden comprobar que es el MCD de las dos cantidades?

y Escriban en su cuaderno su método paso a paso.

Lección 2


Comparen su método con el de otra pareja y comenten las semejanzas y las diferencias. Después analicen la información de la siguiente página.

a. Encuentra los divisores de 72 y 84. Utiliza alguno de los métodos que ya has trabajado.

236 42 218 21 2

9 21 33 7 3

1 7 7

1

236 218 2

9 33 3

1

242 221 3

7 71

R. M. Sí

R. M. Comparando los productos de los factores primos.

Al segundo método porque usando el mismo esquema va dividiendo al número entre cada número primo en orden ascendente.

R. M. Multiplicando los factores primos y comparándolos.

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Otro método para obtener el MCD de dos o más números es utilizar los factores primos.

1. Se obtiene la tabla de factores primos de los números. Por ejemplo, para 36 y 60, se tiene lo siguiente.

36 60 218 30 2

9 15 33 5 31 5 5

1

2. Se multiplican los divisores comunes de ambos números. En este caso:2 2 3 12

Por tanto, el MCD (36, 60) 12.


Divisores comunes

Compara tus resultados con los de tus compañeros y consulta con tu maestro las dudas que hayan surgido.

a. En una campaña de vacunación, cada alcaldía debe repartir entre sus colonias la misma cantidad de vacunas. Si la alcaldía A tiene 150 vacunas y la alcaldía B, 180 vacunas, ¿cuántas vacunas puede repartir cada una a sus colonias?

b. En el taller de arte de la escuela se cuenta con 98 botes de pintura amarilla, 70 bo-tes de pintura roja y 14 botes de pintura azul. Si el taller debe distribuirlos en pa-quetes con la misma cantidad de botes de cada color entre los alumnos, ¿cuántos paquetes pueden formarse?

2. Utiliza el método anterior para resolver los problemas.

30 vacunas por colonia.

Se pueden hacer 2 paquetes.

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Aplicaciones del MCD

1. Reúnanse en parejas y resuelvan los problemas. Anoten claramente su procedi-miento y la respuesta.

a. Para el almuerzo de los alumnos de un jardín de niños se cuenta con 120 cajitas de leche y 200 barras de granola. Se quieren hacer paquetes con igual número de cajitas de leche e igual número de barras, de manera que haya el mayor núme-ro de paquetes posible y que no sobre nada. ¿Cuántos paquetes y de qué tama- ño deben hacerse?

b. A un campamento de verano asisten niños de tres ciudades distintas. En el comedor quieren poner la menor cantidad de mesas posibles, de manera que se aproveche el espacio. Los niños de cada ciudad deberán estar repartidos equitativamente entre las mesas de manera que se integren. Si asisten 45 niños de Zacatecas, 36 de San Luis Potosí y 18 de Aguascalientes, ¿cuántas mesas deberá haber en el comedor?

c. Se necesita dividir fruta en canastos de manera que cada uno tenga la misma can-tidad de manzanas y de peras. Si hay 40 manzanas y 56 peras, ¿cuántos canastos se necesitan para que la cantidad de fruta en cada canasto sea la máxima posible sin que haya más de un tipo de fruta que del otro?

2. Escriban dos ejemplos de aplicaciones del MCD.

Lección 3


Comparen sus respuestas y ejemplos en grupo. Reflexionen si les parece útil conocer los diviso-res comunes de dos o más números y por qué. Anoten sus conclusiones en su cuaderno y co-méntenlas con su maestro.

Se pueden hacer 40 paquetes con 3 cajitas de leche y 5 mantecadas.

3 mesas

8 canastos

Ejemplo 1: Para repartir equitativamente una cantidad de elementos.Ejemplo 2: Para simplificar fracciones.

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Aplica lo que aprendiste.

1. Lee la información y responde. Escribe claramente el procedimiento realizado y justificatusrespuestas.

Se necesita cubrir una superficie de 360 m2 con pasto largo, y una de 408 m2 con pas-to corto. Ambas superficies tienen que estar una al lado de la otra, delimitadas cada una por una línea blanca pintada con cal. El dueño del terreno quiere gastar lo me-nos posible en cal, por lo que la línea tiene que tener la menor medida posible.

a. Si no se tuviera la restricción de gastar lo menos posible en cal, ¿habría distintas respuestas a qué dimensiones podría tener cada área? Explica.

y ¿Cuáles serían las dimensiones de cada área? Justifica tu respuesta.

b. ¿Cómo garantizas que se use la menor cantidad de cal? Explica.

y ¿Cuáles serán las dimensiones de cada área?

c. Calcula los metros de cal que se necesitan. Escribe tu procedimiento.

d. Traza en el recuadro un diagrama en el que se representen ambas áreas con sus respectivas medidas.


Compara tus respuestas y tus procedimientos con los de tus compañeros. Después, comenten sus dudas con su profesor.

Se necesitan 136 m de cal. Para determinarlo se suman los perímetros de las áreas, pero se quitan 24 m al total, pues es el lado común entre ellas.

17 m 14 m

24 m

Sí, porque hay distintos cuadriláteros con diferentes dimensiones que tienen las áreas mencionadas.

24 m × 15 m y 24 m × 17 m. Estas son las dimensiones con las quese forman las áreas requeridas y se tiene un lado común.

24 m × 15 m y 24 m × 17 m

Al tener unlado común solo se trazarían los otros tres lados de cada área.

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3 Aprendizaje esperado: Usarás técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Mínimo común múltiplo

Múltiplos de dos números

1. Lee y responde. Explica el procedimiento o razonamiento que utilizaste.

En el camellón de una avenida se colocarán árboles cada 8 m y arbustos cada 6 m.

a. ¿A lo largo de cuántos metros se habrán colocado 2 árboles? y ¿Y 6 árboles?

y ¿A cuántos metros del inicio se habrán colocado 10 árboles?

b. ¿A lo largo de cuántos metros se habrán colocado 5 arbustos? y Calcula lo anterior para 8, 10 y 20 arbustos.

c. ¿Qué significa que exactamente a los 24 metros se colocarán un árbol y un

arbusto?

Múltiplos comunes

1. Considera los números 4, 5 y 6 y responde.

a. ¿Qué relación hay entre los números de la tabla y el 4, 5 y 6?

b. Completa la tabla. c. ¿Qué observas en los números de las casillas de color gris?

y ¿Qué otras casillas consideras que deberían estar rellenas de gris según este

criterio? Justifica tu respuesta.

4 8

5 15 25 35 40

6 12

Lección 1

Compara tus respuestas con las de algún compañero y lleguen a una conclusión común. Valídenla con el resto del grupo y su profesor.

Comenten sus respuestas en grupo y lleguen a conclusiones con ayuda de su profesor. Después escríbanlas en su cuaderno.

Contenido: Resuelves problemas que impliquen el cálculo del mcm.

12 16 20 24 28 32 36 40

10 20 30 45 50

18 24 30 36 42 48 54 60

16 metros48 metros

80 metros

Significa que 24 es múltiplo de 8 y también de 6.

30 metros

Las casillas 30, 36 y 60

48, 60 y 120 metros

Los números de

Que son múltiplos

respectivamente

la tabla son múltiplos de 4, 5 y 6.

de por lo menos otro de los números en color rojo.

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Un múltiplo común de dos o más números es aquel que es divisible entre dos o más números resultando un número entero, cuyo residuo es cero. Por ejemplo, 70 es múl-tiplo común de 2, 5, 7, 10, 14 y 35.


En una fábrica se da mantenimiento a tres máquinas con distinta periodicidad. La máquina A requiere servicio cada 15 meses, la B cada 20 meses y la C cada 8 meses. Este mes se les ha dado mantenimiento a las tres.

a. ¿A cuáles máquinas les toca mantenimiento a los 40 meses? b. Durante los primeros 60 meses, ¿en qué momento coincidirá el mantenimiento

de dos o más máquinas?

3. Encuentra 3 múltiplos comunes a cada uno de los siguientes grupos de números.

a. 4, 5 y 9: b. 21 y 14: c. 12, 3 y 4: d. 7 y 8:


1. Resuelve el problema. Escribe tu procedimiento en tu cuaderno.

En una tienda, un modelo de tela de colores mide 2 m de ancho. Cada 3 m de largo, la tela cambia de color y no pueden venderse tramos incompletos de ningún color.

a. Calculasipuedenvenderselossiguientestrozosdetela.Justificatusrespuestas.

y 2 m 3 m: y 2 m 6 m: y 2 m 7 m:

b. Calcula el área que tendría cada trozo de tela del inciso anterior.

y ¿Qué relación guarda el área con las medidas originales de cada trozo de color (2 m × 3 m)?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten las diferencias con su profesor.


A la B y la C

A los 40 meses la B y C y a los 60 meses la A y B.

180, 360, 54042, 84, 126

12, 24, 3656, 112, 168

Sí, porque la tela cambia de color justo en los 3 m.Sí, porque 6 es múltiplo de 3.No, porque 7 no es múltiplo de 3 y se cortaría un color.

El área va aumentando proporcionalmente de acuerdo con el número de tramos que se corten.

Tendrían 6 m2, 12 m2 y 14 m2 respectivamente.

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El menor de los múltiplos comunes

1. Lee el problema y responde. Explica tu procedimiento.

Se está diseñando un librero para el salón de maestros. Las carpetas que utiliza el profesor de Historia son de 5 cm de ancho y las que utiliza el profesor de Inglés son de 3 cm de ancho.

a. ¿Cuál puede ser el ancho del librero, de manera que quepan en algunos estantes las carpetas de Inglés y en otros las de Historia, sin que sobre espacio en ellos? y ¿Hay varias medidas posibles para el librero? Explica.

b. Si se requiere que los estantes sean del menor ancho posible, ¿de qué ancho

pueden ser? y ¿Hayvariasrespuestasalapreguntaanterior?Justificaturespuesta.

2. En equipos de tres integrantes, hagan lo que se indica. Piensen en una situación en la que sea útil encontrar el menor múltiplo común de dos o más números. Es-críbanla y expónganla al grupo.

En ocasiones es útil conocer el menor múltiplo común de dos o más cantidades. A este se le llama mínimo común múltiplo y se abrevia mcm. Se puede utilizar una tabla de factores primos para encontrar el mcm. Por ejemplo, para hallar el mcm de 24 y 36:

24 36 212 18 2

6 9 32 3 21 3 3

1

Una vez que se obtienen los factores primos de ambos números, se multiplican tan-to los comunes de ambos números como los propios de cada uno. Entonces:

mcm (24, 36) 2 × 2 × 3 × 2 × 3 72

Lección 2

Comenten en grupo y con el profesor si en todos los problemas planteados conviene encontrar el menor múltiplo común y por qué.

Contenido: Resuelves problemas que impliquen el cálculo del mcm.

R. M. 15 cm

P. R. En la Ciudad de México, Juan paga $6 por abordar el metrobús, Martha paga $5 por viajar en el metro y Pablo paga $7 por subirse en el microbús. Si los tres gastaron la misma cantidad en un mes, ¿cuál es la cantidad mínima de viajes que realizaron?

15 cm

Sí, porque se pueden

No,

utilizar los múltiplos comunes de 3 y 5.

porque el 15 es el múltiplo común más pequeño de 5 y 3.

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3. Desarrolla en tu cuaderno el procedimiento anterior para encontrar el mcm de las si-guientes parejas de números y anota los resultados.

a. mcm (15, 20) b. mcm (14, 28) c. mcm (20, 25) d. mcm (6, 7) e. mcm (10, 13) f. mcm (36, 9)

4. Analizatusrespuestasdelejercicioanterioryresponde.Justificaloqueescribas.

a. ¿En qué casos el mcm es uno de los dos números originales?

y ¿Qué tienen en común estos casos?

b. ¿En qué casos el mcm es el resultado de la multiplicación de los núme-ros originales?

y ¿Qué tienen en común estos casos?


1. Resuelveelproblema.Justificatusrespuestas.

Pablo tarda 6 minutos en dar una vuelta completa a una pista de ciclismo, Guillermo, 7 y Diego, 8. Si los tres inician el recorrido al mismo tiempo:

a. ¿Cuántas vueltas deben dar para encontrarse los tres en el punto de salida?

b. ¿Cuántas vueltas deben dar Pablo y Diego para encontrarse en el punto de sali-da? ¿Cuántas Guillermo y Diego? ¿Cuántas Pablo y Guillermo?

Entra al sitio web www.esant.mx/fasema3-002 para fortalecer lo que aprendiste en la secuencia didáctica.


Compara tus respuestas con las de un compañero. Si hay alguna diferencia, coméntenla con su maestro y resuelvan dudas.

Reflexionayanotaentucuadernositepareceútilcalcularelmcmdevariosnúmerosy por qué. Comenta tus conclusiones con tus compañeros.


60100

130

2842

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En los incisos d y e.

En los incisos

Los números originales son múltiplos

Que uno de los números

b y f.

uno del otro.

originales es número primo.

Pablo y Diego; 4 y 3 vueltas respectivamente.

Guillermo y Diego; 8 y 7 vueltas respectivamente.

Pablo y Guillermo; 7 y 6 vueltas respectivamente.

Pablo debe dar 28 vueltas, Diego 21 y Guillermo 24.

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Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figurasgeométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.4Factorización de monomios

Contenido: Factorizas monomios para hallar expresiones equivalentes.

Multiplicación de expresiones


En un problema de matemáticas, Juan multiplicó algunas expresiones y obtuvo como resultado 1 848x7y2. ¿Qué cantidades multiplicó?

a. Reúnete con un compañero. Encuentren al menos tres respuestas diferentes y escríbanlas en el recuadro.

b. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. ¿Cuántas respuestas diferentes hallaron en el salón?

c. ¿Encontraron respuestas con más de dos factores? ¿Cuáles?

d. Tania multiplicó 1848x por x7y2. ¿Obtuvo el mismo resultado que Juan? ¿Por qué?

e. De las siguientes expresiones, subrayen las que equivalen a la expresión que ob-tuvo Juan.

2(924)(x7y2) x2

zy 3696x5y3 1848x2y2(1848x5y1)

2(2)(2)x5y2(308x) x4

3 924x5y3(6x8y1)

f. En cada caso, expliquen por qué las expresiones son equivalentes o por qué no lo son.

Lección 1

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.

R. M. (24x4y2)(77x3) (21x6y)(88xy) (56x5y)(33x2y)

R. L.

R. M. (2x2y)(7x2y)(12x2)(11x)

P. R. Sí, los alumnos pueden plantear expresiones como (2x2y)(77x3y)(12x2)

P. R. En las expresiones que no son equivalentes, los alumnos explicarán que, almultiplicarloscoeficientes,elresultadonoes1848yenlamultiplicaciónde las bases no se obtienen los exponentes correspondientes.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Ecuaciones

1. Resuelve el problema y haz lo que se pide.

Dos cilindros de diferentes dimensiones tienen un volumen de 36x2y.

a. Si la altura del primero es de 4y, ¿cuánto mide el área de su base? b. Si el área de la base del segundo cilindro tiene 12x, ¿cuánto mide su altura?

c. Escribe el procedimiento que utilizaste para hallar las dimensiones faltantes.

Observa que, para encontrar el área de la base del cilindro, es necesario hallar un número que, al multiplicarse por su altura (4y), dé como resultado 36x2y. Esto puede hacerse dividiendo 36x2y entre 4y y usando las leyes de los exponentes:

Al tener las medidas del área de la base y de la altura, se puede escribir la expresión 36x2y, que indica el volumen del cilindro, como un producto.

d. Completa la expresión: 36x2y 4y( )

2. Encuentra los factores faltantes en cada expresión.

y 24xy4 6x( ) y 162a2b6 ( )2b

y 12w2x3 2wx( ) y 8x2y2 2x( )y

y 14 d2e2 12 d4( )( ) y 2x3y2 6xy2( )

Al proceso de representar una expresión algebraica como producto de dos o más expresiones, se le conoce como factorización. Por ejemplo, 12xy = 3x(4y).

Un monomio es una expresión algebraica formada únicamente por un término, es decir,uncoeficienteyunaovariasliteralesquesemultiplicanentresí.Porejemplo:3x, 12xy o 23x2y.

Factorización de monomios

36x2y4y

9x2

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten en grupo los procedimientos que utilizaron para encontrar el resultado.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y juntos, a partir de lo que hicieron, establezcan un procedimiento para factorizar monomios.

4y4

9x2

9x2

3xy

81a2b5

6wx4 4xy3

12 d2

12 x2 y4

e2

R. M. Hallar el factor faltante para que, al multiplicar, se obtuviera el volumen, respetando las leyes de los exponentes.

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38a3A152a4b3


Expresiones equivalentes y factorización

1. Observa la imagen y haz lo que se pide.

a. Calcula el valor del lado faltante. b. Con un compañero, completa la tabla con las medidas de 5 rectángulos cuya

área sea 152a4b3.

Largo 152 a4

Ancho 4b2 2a3b

Observa que un monomio puede factorizarse de distintas maneras. Para esto, se puededefinirunfactorydespuésdividirlaexpresiónconelfindehallarotros.

2. En cada caso, escribe dos multiplicaciones diferentes cuyo resultado sea la expre-sión dada.

a. 28a2b6: b. 144wx2y3: c. 39c2d7: d. 8(24x)(x7y2): e. 8.5x4y2z6:


Resuelve los problemas y argumenta tus respuestas.

1. El volumen de un prisma rectangular es de 27x9y4. ¿Qué medidas puede tener el prisma? En-cuentra tres respuestas distintas.

2. El área de un rectángulo es 72a4b3 y su largo es de 9a. ¿Cuál es su ancho?

Lección 2

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten cómo se pueden emplear las leyes de los exponentes para factorizar monomios.

(7a2b)(4b5)

4b3

(14ab4)(2ab2)

(12wxy)(12xy4) (2y3)(72wx2)(13cd4)(3cd3) (6.5c2)(6d7)

4(24x)2(x7y2) (24x)(8x7y2)(17x2yz4) 12x2yz2

(54xy)12

x8y3

16x4z(51y2z7)

(3x4y)(9x5y3)(27x2)(x7y4)

8a3b3

38a4b 76ab2 8b2

a4b3 152b3 19a4b

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3. Lee la información y haz lo que se pide en cada caso.

a. Utiliza la factorización prima para escribir de manera equivalente las siguientes expresiones:

y 114a8b3 y 226x3y2 y 1480w7xy2

En ocasiones conviene descomponer las expresiones en el mayor número de facto-resposible.Enestecasoseutilizalafactorizaciónprimaparaloscoeficientes,ylasvariables se escriben como un producto con el mayor número de factores posible. Por ejemplo:

24x2y5 2(2)(2)(3)xxyyyyy

Los exponentes negativos de una expresión se pueden multiplicar por una frac-ción equivalente a 1 de manera que en el resultado haya solamente exponentes positivos.

18x2y2 18x2y2 x2

x2 18x2y2x2

x2 18y2

x2

Las fracciones algebraicas también se pueden factorizar, incluso de varias maneras:

18y2

x2 2y2

x 9x

18y2

x2 6yx2 (3y)

b. Factoriza las siguientes expresiones. Cuida que no haya exponentes negativos enelresultado.Despuésmultiplicalosfactoresparaverificarturespuesta.

y 75a2b3

y 504x6y3

y 4a4b3

6b

y x2y3

20x7y

y 3x2

12x3y

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Validen sus expresiones con el profesor y, si es necesario, corrijan.

2(3)(19)aaaaaaaabbb

2(113)xxxyy

2(2)(2)(5)(37)wwwwwwwxyy

112x3y(3x2)

75a2

b3 25ab3 (3a)

504x6y3 1

x7y4 (504xy)

4a4

6b4 26b4 (2a3)

x2

20x7y4 xx5 x

20x2y4

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Aplica lo que aprendiste

1. Resuelve los problemas.

a. El fondo de una alberca tiene un área de 14x2y. y ¿Cuáles podrían ser las medidas del largo y ancho de la alberca?

y Si el volumen de la alberca es de 112x3y2, ¿qué profundidad tiene?

b. Un cilindro tiene una capacidad de 36y2. y Si su altura es de 2y2, ¿cuál es el área de su base? y ¿Cuánto mide su radio?

2. Encuentra los factores que faltan. Comprueba tus resultados multiplicando.

y 12a4b2 5b

y 36w2x3y 2wx( )(3 )(3 )

y 35x3y2 5x1y1 ( )

y 23 a2b 1

2 a4( )( b)

y 5x2y3 xy ( )

y 4x3

72x4y5 ( ) ( 2x6

3x )

y 5.25x2y6z 1.5xy3 ( )(2x )

3. Factoriza las fracciones. Cuida que no haya exponentes negativos en el resultado.

y 15120x2y3

7560x7y

y 54a4b3

16a4b

y 288w6x4y1264wx8y2

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten las dudas que hayan surgido. Validen sus respuestas con ayuda de su profesor.


( 7x 2 y 3

5xy2

8xy

(7x2)(2y)

18

4.24

4

54a8

12a4

5b3

w y

13a2

1

z

112x6y5

1.75y3

x4

15120x2 17560x7y4

11264x4

116b4

(288w5y3)

( )

( )

2x4

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Reviso mi trayecto

Resuelvelosproblemas.Revisalasrespuestasconayudadelprofesoreidentificacuá-les secuencias didácticas debes repasar para mejorar en tus áreas de oportunidad.

1. Rodea los números primos que, al restarles la unidad, se obtenga el cuadrado de un número entero.

a. Escribelasoperacionesquejustificanturespuesta:

2. Elia debe repartir 420 rosas en arreglos, de manera que haya la misma cantidad de floresencadauno.

a. ¿Cuántas rosas puede haber por arreglo?

b. ¿Cuántas respuestas encontraste?

c. Justificaturespuestausandoloscriteriosdedivisibilidad.

3. Una fábrica da mantenimiento a los motores de la maquinaria como se indica en la tabla. Si hoy se les ha dado mantenimiento a las tres:

11 163 17 175 35 197 37 223 49 307

a. ¿Cuántos días habrán transcurrido para que los tres motores necesiten manteni-miento el mismo día?

b. ¿Cuántas veces coincidirá el mantenimiento de los tres motores en uno, dos y tresaños?Justificaturespuesta.

4. Encuentra una expresión equivalente, con exponentes positivos, para cada expresión.

a. b.

Motor A B CDías entre cada mantenimiento 42 24 126

36x2y2z

48x2z2 25m3n2n

En la columna "Nota", marca con una los reactivos que resolviste correctamente.Reactivo Nota Secuencias Páginas

1 1 18 a 252 2 26 a 313 3 32 a 354 4 36 a 40

R. M. 17 porque 17 1 16

20 diferentes

R. M. 2, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20,

R. L.

R. M. En un año no hay coincidencias. En dos

R. M. mcm(42, 24, 126) 504 días

42. 37 porque 37 1 36 62. 197 porque 197 1 196 132. Los demás son nú-meros compuestos o al restarles 1 no se obtienen cuadrados perfectos.

21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105 o 210.

años una vez. En tres años dos veces.

3x4

4yz25nm3

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Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Multiplicación de binomios5

Contenido: Obtienes expresiones equivalentes para representar el área de figuras a partir de la multiplicación de binomios. Diferencias entre expresiones algebraicas y ecuaciones.

Producto de binomios y áreas de figuras


Tere y Francisco compraron un terreno rectangular en un fraccionamiento y lo di-vidieron en dos partes, de tal manera que cada quien tuviera su propio terreno. El terreno de Tere mide x metros tanto de frente como de fondo, mientras que el de Francisco mide 25 metros de frente y x metros de fondo.

a. Dibuja, en tu cuaderno, los terrenos de Tere y Francisco. Incluye las medidas de sus lados.

b. Representa el área de cada terreno y el área del terreno completo. y Terreno de Tere: • Terreno de Francisco: y Terreno completo:

c. Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Si hubo respuestas diferentes, anótalas.

d. Una forma de calcular el área del terreno completo es sumar las áreas de los te-rrenos de Tere y Francisco. Otra forma es considerar el terreno completo y mul-tiplicar la longitud del frente por la del fondo. Escribe la medida del área que corresponde a cada procedimiento.

y Suma de las áreas: • Área del terreno completo: e. Si el área del terreno de Franciso es de 500 m2, ¿cuánto mide de fondo?

Lección 1

Producto de binomios

1. Reúnete con un compañero y elaboren, con material reciclable, piezas como las si-guientes.Luegoformenlafiguraquetengaeláreaindicadaporlasoperaciones.

y xy y (x 2)(y 1) y (y 2)(x 1) y (x 1)(x 2)

y

x x x x x

x1 1 1

y y

1 1 1 1

1 1

Comenta con tus compañeros y con tu profesor si para representar las áreas utilizaste expresiones o ecuaciones.

x2 xy

xy x2

x2 xy

R. L.

x(x y)

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

a. Verificaque,enlasfigurasqueformaste,labaseylaalturacorrespondanalasmedidas que indica la expresión.

b. Encuentreneláreadecadaunadelasfigurasqueformaron.Paraello,sumenlasáreas de cada pieza y anótenlas en su cuaderno.

El área de un rectángulo se puede representar de dos maneras. Por ejemplo, el área delasiguientefigurapuedeencontrarse:

y Multiplicando la base por la altura: (x 1)(x 1)y Sumandolasáreasdelasfigurasqueformanelrectánguloysimplificandotér-

minos: x2 2x 1

Comoambasrepresentaneláreadelafigura,entoncessonequivalentes,esdecir:(x 1)(x 1) x2 2x 1.


1. Lee nuevamente el problema del inicio y responde en tu cuaderno.

Después de unos años, Tere compra otro terreno junto al que ya tenía, con frente de 4 me-tros y x metros de fondo. Francisco también compra el terreno vecino, que tiene 3 metros de frente y x de fondo.

a. Encuentra el área de los nuevos terrenos de Tere y Francisco y del terreno completo. Exprésalas de dos maneras.

2. Lee la siguiente información y complementa los conceptos que has trabajado.

x 1

Una expresión algebraica es un conjunto de símbolos matemáticos (números y lite-rales) relacionados mediante operaciones. Por ejemplo: 7xy y.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en donde las lite-rales representan valores desconocidos o incógnitas. Por ejemplo, 2x 1 5x 8.

Sustituye varios valores para x en las expresiones anteriores y analiza si la igualdad se cumple siempre. Comenta con tus compañeros qué diferencia hay entre las igualdades obtenidas y una ecuación.

Ver solucionario

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Contenido: Obtienes expresiones equivalentes para representar el área de figuras a partir de la multiplicación de binomios. Diferencias entre expresiones algebraicas y ecuaciones.

Una forma de comprobar que dos expresiones algebraicas son equivalentes es me-diante operaciones algebraicas y la propiedad distributiva:

a(b c) ab ac

Al multiplicar dos binomios, es decir, dos expresiones algebraicas formadas por dos términos, tales como x 1 y x 2, se puede utilizar la propiedad distributiva dos veces para efectuar la multiplicación:

(x 1)(x 2) (x 1)(x) (x 1)(2) (x)(x) (1)(x) (x)(2) (1)(2) x2 x 2x 2

Alsimplificarlaexpresiónsumandolostérminossemejantes,setiene:

(x 1)(x 2) x2 3x 2

Lección 2

Analizalosresultadosdelasoperacionesenlasquefuenecesariosimplificar.Encuentracon tu grupo una regla que les permita ir directamente de la operación al resultado.

Propiedad distributiva

1. Lee los problemas y responde.

a. Marta y Pedro deben determinar si dos terrenos rectangulares tienen la misma superficie.Eláreadeunoesx(x 8), el de otro es x2 8x. ¿Los dos terrenos tie-nenlamismasuperficie?¿Cómopuedesaberse?

b. Marta está convencida que los terrenos del problema anterior no tienen la mis-ma área puesto que x(x8) es diferente a x2 8. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

2. Resuelvelasmultiplicaciones.Simplificaelresultadocuandoseaposible.

y 8(2x 1) y (x 1)(x 3) y (x 2)(y 1) y (2y5)(3y 1) y (4x 1)(2x2) y (3x 1)(2x1) y (4y 1)(5x 2) y (2x 1)(3x2)

5y 10x2 4x 3x xy 2y 2

6y2 13y 58x2 6x 26x2 x 1

5x 20xy 8y 26x2 x 2

Sí, ambos terrenos tienen la

Marta

mismasuperficie.Alhacerlamultiplicacióndelaexpresióndelprimerterrenoqueda la misma expresión que la que representa el área del segundo terreno.

notienerazón,ellaestáconsiderandolaexpresióndelasuperficiedelsegundoterreno diferente a la que es.

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4 dm

2x dm

x dm 6 dm

2 dm12

x dm


y (3x 1)(2x 4)

y (3y 3)(2y 1)

3. Calcula los siguientes productos con la regla a la que llegaron.


1. Un ropero con varias puertas tiene la siguiente forma.

a. Escribe dos expresiones para representar el área de distintas secciones del ropero.

Área del ropero completo:

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, con apoyo de su profesor, validen el procedimiento que plantearon.

2. Lee las situaciones y responde.

y La tapa de una caja rectangular mide x 5 cm de largo por x 3 cm de ancho. y Lasuperficiedelatapadeotracajaes80cm2. Un lado mide 10 cm, el otro mide x.

a. ¿Es posible conocer la medida en centímetros de los lados de la primera tapa? ¿Y de la segunda?

b. De acuerdo con lo aprendido en esta secuencia, describe las características de ambas expresiones.

4x(2x 4) 12(2 12 x) 4(2x2 4x) 2(12 3x)

6x2 10x 4

6y2 3y−3

4x(2x 4) 12(2 12 x) x(2x 4) 6( 1

2 x 2)

4(2x2 4x) 2(12 3x) 2x2 4x 3x 12

No,porquesolosepuederepresentarlasuperficiedelatapa.

Lasuperficiedelaprimeratapasolosepuederepresentar

De la segunda sí se puede con la información que se da.

mediante una expresión algebraica, mientras que en la segunda, se puede obtener una ecuación.

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6Secuencia didáctica

Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verificarás equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Productos notables

x cm

2 cm

Contenido: Desarrollas los productos notables.

Productos notables y áreas de figuras


Julia quiere decorar las paredes de su cuarto con azulejos que miden 1 cm por lado; con ellos diseñó un mosaico grande rojo con orilla verde para cubrir una pared cua-drangular. En el mosaico, la sección roja será un cuadrado de x cm de lado y la orilla verde sobresaldrá 2 cm en cada lado.

Lección 1

a. Considera que x es un número natural y contesta. y ¿Quésuperficievaacubrirseconazulejosrojos?

y ¿Quésuperficievaacubrirseentotalconlaspiezasdiseñadas?

y ¿Cuántos azulejos rojos necesita Julia para su diseño? ¿Y cuántos verdes?

b. Reúnete con un compañero, comparen sus respuestas y respondan.

y ¿Son diferentes sus respuestas? ¿Por qué?

c. Escriban dos expresiones que representen el área completa del mosaico y expli-quen cómo las encontraron.Expresión 1: Expresión 2:

d. DeacuerdoconloscálculosquehizoJulia,elmosaicocubreunasuperficiede x2 + 8x + 16 cm2. ¿Es correcta su expresión? ¿Por qué?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten el procedimiento que utilizaron para calcular el área del mosaico.

x2 cm2

(x 4) (x 4) cm2

R. M. Un azulejo rojo y 24 verdes

cuadros rojos con distintas medidas.

que se obtiene del producto (x 4) (x 4).

R. M. Sí, porque se tomaron

Sí, porque es lo

(x 4) (x 4)(x 4)2

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x cm

x cm

x cm

(x 1) cm

(x 2) cm1 cm

1 cm 1 cm

1 cm


Binomio al cuadrado

1. Construyevariasfigurascomolasquesemuestranpararepresentarconellaslapieza del mosaico de Julia.

a. Arma la pieza de mosaico. b. Dibuja en tu cuaderno dos construcciones diferentes de la pieza. Para cada una, escri-

be una expresión que represente su área a partir del área de las partes que la forman.Construcción 1: Construcción 2:

c. Analiza con un compañero la información y completen lo que falta.El área total se puede expresar de dos maneras. y Multiplicando la base por la altura de la pieza de mosaico:

y Sumandolasáreasdecadafiguraysimplificando:

Comolasdosexpresionesindicaneláreadelafiguraenestecaso,entoncessonequivalentes, es decir: (x 4)(x 4) x2 8x 16.Observen también que, igual que en la secuencia didáctica anterior, es posible utilizar la propiedad distributiva para multiplicar las expresiones:(x 4)(x 4)


1. Utiliza la regla anterior para resolver las operaciones.

a. (x 1)(x 1) b. (y 12 )(y 1

2 )

La multiplicación de la actividad anterior se llama binomio al cuadrado, ya que en ella se multiplica un binomio por sí mismo. El resultado de un binomio al cuadra-do puede encontrarse de la siguiente manera: (a b)2 a2 2ab b2; (a b)2 a2 2ab b2, para el caso de la resta.

¿Podrían ir directamente desde la operación hasta el resultado? ¿Cómo? ¿Qué sucedería si tuvieran que multiplicar (x 4)(x 4)? Escriban una regla en su cuaderno, para casos semejantes al estu-diado, y lean la siguiente información.

(x 4)(x 4)

x2 x x x x x x x x 4 4 4 4 x2 8x 16

(x 4)x + (x 4)(4) x2 4x 4x 16 x2 8x 16

R. L. R. L.

x2 2x 1 y2 y 14

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Binomios conjugados


Julia quiere elaborar ahora una pieza de mosaico como la que se muestra en la imagen.

a. ¿Quésuperficievaacubrirseconmosaicorojo?

b. ¿Quésuperficievaacubrirseconmosaicoamarillo?


Julia y su amiga Olga calcularon el área roja de la nueva pieza de mosaico. Julia calculó la base y la altura del mosaico rojo a partir de la medida del lado del cuadrado amarillo. Olga restó al área del mosaico amarillo los dos rectángulos amarillos que sobran y le sumó los dos rectángulos rojos que faltan.

a. Escribe una expresión que corresponda a lo que hizo Julia y otra para represen-tar lo que hizo Olga.Julia: Olga:

b. ¿Son equivalentes las expresiones? Simplifícalas y responde.

c. Observa que, en el caso de Julia, se multiplican binomios similares, pero no idénticos. ¿En qué son diferentes?

y ¿Qué observas en el resultado? ¿Cómo llegas de la expresión (y 2) (y 2) al resultado?

Lección 2

Los binomios conjugados son binomios cuya única diferencia radica en el signo de uno de sus términos: (a b)(a b). El resultado de una multiplicación de binomios conjugados puede calcularse de la siguiente manera: (a b)(a b) a2 b2.

3. Utiliza la regla anterior para calcular el producto de los binomios conjugados.

a. (y 8)(y 8) b. ( 1

2 x 1)( 12 x 1)

c. (5y 12 )(5y 1

2 ) d. (3x 1)(3x 1)

y cm

y cm

2 cm

2 cm

2 c

m

Revisen sus respuestas en grupo y propongan una regla general que sirva para resolver este tipo de multiplicación, luego analicen la siguiente información.

Compara tus respuestas con las de otros compañeros. ¿Hubo respuestas diferentes? Coméntenlas en clase y escriban sus conclusiones en su cuaderno.

Contenido: Desarrollas los productos notables.

y2 16 cm2

4y cm2

(y 4)(y 4) y2 2(2y) 2[2(y 4)]

R. M. Sí son equivalentes.

En el signo

Que es una diferencia de cuadrados. Se llega multiplicando término a término y después reducir los términos semejantes.

y2 64

9x2 1

14 x2 1

25y2 14

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En el sitio web www.esant.mx/fasema3-003 encontrarás más información y ejercicios sobre productos notables. Selecciona una actividad y realízala con con un compañero.



1. Señala con un si las expresiones son válidas (V) o no (F). Justifica tus respuestas resolviendo las operaciones.

a. (3x 1)2 9x2 1 V F

b. (2x 4)2 4x2 16x 16 V F

c. (2x 4)(2x 4) 4x2 16 V F

d. (3x 4)(3x 4) 9x2 16 V F

e. (2x 3)2 4x2 9 V F

f. (x 3)2 x2 6x 9 V F

g. (2x 1)2 2x2 4x 1 V F

2. Encuentra el resultado de las multiplicaciones. Escribe si se trata de un binomio al cuadrado o de binomios conjugados.

a. (2x 4)(2x 4)

b. (2y 1)(2y + 1)

c. ( 13 x 1)( 1

3 x + 1)

d. (2y 4)2

e. ( 12 x 1)2

Comenten en grupo la utilidad de conocer el resultado de un binomio al cuadrado y el producto de dos binomios.


4x2 16, binomios conjugados

4y2 4y 1, binomio al cuadrado19 x2 1, binomios conjugados

4y2 16y 16, binomio al cuadrado14 x2 x 1, binomio al cuadrado

9x2 6x 1

4x2 16x 16

4x2 16

9x2 − 24x − 16

4x2 + 12x 9

x2 6x 9

4x2 4x 1

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7 Aprendizaje esperado: Formularás expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verificarás la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Equivalencia de expresiones

Contenido: Expresas el área de figuras mediante dos o más expresiones cuadráticas y demuestras su equivalencia.

Distintos procedimientos para calcular áreas

1. Lee la situación, analiza la imagen y responde.

Martín quiere poner pasto en el jardín de su casa, que tiene la siguiente forma.

Lección 1

a. Encuentra la superficie del jardín de dos maneras diferentes. Considera que to-das las medidas están en metros. Escribe tus procedimientos.

b. ¿Son equivalentes los procedimientos que utilizaste? ¿Por qué?

x 1

x 3

x 1

x 1

x 5

3x 3

8

4

x 3

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.

Procedimiento 1:

Procedimiento 2:

Sí, porque llegan al mismo resultado ya que el área es la misma.

(x 1)(x + 5) (x 3)(x 3) (x 1)2 3x2 6x 13

(8x 8) (x 3)(3x 3) 4x 4 3x2 6x 13

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b.

c.


Áreas de figuras

1. Expresa el área de las figuras de dos maneras diferentes.

a.

yy Analiza tus procedimientos. En tu cuaderno, realiza las operaciones necesa-rias para simplificar cada expresión.yy ¿Obtuviste el mismo resultado en ambos procedimientos para cada figura?

¿Por qué piensas que ocurre esto?

2x

1 32x

y

y

5

2

3

3

a

a

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor. Identifiquen diferencias y similitudes en sus procedimientos.

y2 2y 5(y 2)

4x2 2x 2x2

a2 3a 3a 9

y(y 2) 5(y 2)

2x(2x 1 x)

(a 3)(a 3)

Sí, porque expresan la misma área en cada inciso.

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Expresiones equivalentes

1. Considera lo que hiciste en la lección anterior para encontrar el área de las figuras y contesta.

Observa que, cuando utilizas procedimientos distin-tos para calcular el área de una figura, obtienes ex-presiones diferentes pero que representan el mismo resultado, es decir, obtienes expresiones equivalen-tes. Por ejemplo, el área de la siguiente figura puede obtenerse mediante distintos procedimientos:

Procedimiento 1: Sumar el área de cada rectángulo por separado. 2(x 1) + (x 1)(x 1) 2(x 1) 2(2 x 1 2) 2x 2 x2 2x 1 2x 2 4 2x 2 4 x2 8x 15

Procedimiento 2: Obtener el área del rectángulo completo. (2 x 1 2)(x 1 2) (x 5)(x 3)

Dado que los dos procedimientos sirven para obtener el área de la misma figura, se puede concluir que las expresiones x2 8x 15 y (x 5)(x 3) son equivalentes, es decir, que x2 8x 15 (x 5)(x 3).

2 2

2

x 1

x 1

2. Utiliza la propiedad distributiva para multiplicar la expresión y verificar que equi-vale a x2 8x 15.

(x + 5)(x + 3) =

Lección 2

d. ¿Se obtiene el área del rectángulo completo con ambos procedimientos? ¿Cómo lo sabes?

e. Si el valor de x es 8, ¿se obtiene el mismo resultado para el área con ambos pro-cedimientos? ¿Y si x vale 7?

f. ¿Por qué en un caso hay un término cuadrático y en el otro parece no haberlo?

g. Si efectúas la multiplicación en el lado derecho de la igualdad, ¿obtienes la ex-presión del lado izquierdo?

a. ¿Las respuestas son diferentes? b. Si sustituyes valores en las respuestas, ¿obtienes el mismo valor?

c. ¿Las expresiones representan el mismo valor? ¿Por qué?

No

Las de la misma figura sí,

Sí, porque en ambos casos se considera toda la superficie.

Sí se obtiene el mismo valor en ambos procedimientos,

Porque en el que parece no haberlo no se ha hecho la multiplicación de los

Sí

ya sea que el valor de x sea 7 u 8.

binomios.

porque representan el área de dos formas diferentes, con el mismo resultado.

x2 5x 3x 15 x2 8x 15

Sí

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3. Obtén el área de las figuras siguiendo los procedimientos sugeridos.

a. Efectúa las operaciones algebraicas necesarias para verificar, en cada figura, que las expresiones que encontraste con cada procedimiento son equivalentes. Escribe tus procedimientos y tus conclusiones en tu cuaderno.

Procedimiento 1: Usa la fórmula del área del trapecio.

Procedimiento 2: Obtén el área de cada triángulo y después súmalas.

Procedimiento 1: Utiliza la fórmula del área del romboide.

Procedimiento 2: Obtén el área de uno de los triángulos y multiplícala por 2.

Procedimiento 1: Utiliza la fórmula para calcular el área del rombo.

Procedimiento 2: Obtén el área de uno de los triángulos y multiplícala por 2.

x

x

x 1

aa 3

y

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y 2

Comenta con tus compañeros que si multiplicar una cantidad por un número a y después dividirla entre b equivale a dividir la cantidad entre b y multiplicarla por a. Justifiquen sus respuestas y muéstrenselas a su profesor.

(10 y)(y 2)2 1

2 y2 6y 10

5 (y 2)2 y (y 2)

2 5 (y 2)

2 12 y2 6y 10

x(x 1)2 x(x 1)

2 x2 x

a(2a 6)2 a2 3a

2 a(2a 3)2 a2 3a

x(x 1) x2 x

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Productos notables y expresiones equivalentes

1. Retoma con un compañero el problema del inicio de la secuencia y resuelvan.

a. Revisen los procedimientos que utilizaron para obtener el área del jardín. yy ¿Utilizaron los mismos procedimientos? ¿Por qué?

b. Escriban en su cuaderno al menos tres procedimientos diferentes.yy Verifiquen que las expresiones asociadas con ellos son equivalentes.

c. Escriban, para cada caso, un ejemplo de las operaciones que hayan resuelto en el inciso anterior.

Lección 3

Multiplicación de un monomio por un binomio: a(b + c)Multiplicación de binomios: (a b)(c d)

Binomio al cuadrado: (a b)2

Binomios conjugados: (a b)(a b)

2. Resuelvan los problemas.

a. Martín dice que necesita 3x2 6x 13 metros cuadrados de pasto para cubrir todo el jardín. ¿Está en lo cierto? ¿Por qué?

b. Si Martín quiere dejar un metro sin pasto a lo largo de todo el perímetro de su te-rreno para colocar plantas, ¿cuánta superficie va a cubrir con pasto y cuánta con plantas? Encuentren la respuesta de dos maneras distintas.

(x 1) m

(x 3) m

(x 1) m

(x 1) m

(x 5) m

(3x 3) m

8 m

4 m

(x 3) m

Comenta con tus compañeros cómo verificaste que, al seguir distintos procedimientos, los resultados eran equivalentes.

R. L.

Sí, porque es el área que se

Área del pasto: 3x2 6x 13Área de la superficie para plantas: x9

calcula en el ejercicio al inicio de la secuencia.

(x 1)2

(x 3)(x 3)

(3x 3)(x 3)

8(x 1)

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1. En tu cuaderno, encuentra el área de cada figura mediante dos procedimientos. Efec-túa operaciones algebraicas para verificar que las expresiones son equivalentes.

2. Dibuja en tu cuaderno una figura que tenga el área que se indica en cada caso y en-cuentra una expresión equivalente para escribirla de otra manera.

a. (2x 4)(2x 4) b. (2y 1)(2y 1)c. a(a 8) 2a d. x2 4x 4e. x(x 5) x(x 2)

2 f. 2x2 5x

x 1

3x 2

y 2

a 4

a

a

x 1

x 8

x 1

12

1

1

1

22 2

2 2

2w

2w 2

2y

x

2x

a 2

Resuelve los ejercicios del sitio web www.esant.mx/fasema3-004 para reforzar lo que aprendiste en la secuencia didáctica.


Revisen sus respuestas en grupo. Después comenten cómo saben que dos expresiones algebraicas son equivalentes y qué procedimientos siguen para confirmarlo. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.

R. M. (x 3)(x 1)

R. M. 4w 3

8y2 15y 2

3x 2(2x) (x 6)(x1)2

R. L.

R. M. (a 4)a [(a 2)(a)]

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8 Aprendizaje esperado: Diferenciarás las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.

Representación algebraica

Contenido: Estableces expresiones, funciones y ecuaciones, lineales y cuadráticas para representar diversas situaciones. Diferencias entre cada una de ellas.

Lección 1 Expresiones, funciones y ecuaciones


Una fábrica está diseñando un portarretratos para fotografías pequeñas. Se quiere un marco de metal que tenga el mismo ancho y que el espacio para las fotografías sea de 4 10 cm.

a. En tu cuaderno dibuja el portarretratos, escribe sus medidas, indica con una x el ancho del marco y responde.yy Representa el perímetro del portarretratos mediante una expresión algebraica.

b. A partir de la expresión anterior, plantea una fórmula que relacione la medida

del lado x con el perímetro P del porterretratos completo:

P 5

yy Utiliza la fórmula anterior para completar la tabla y traza la gráfica.

yy A partir de la gráfica, ¿cuál debe ser el ancho del marco para que el perímetro del portarretratos sea de 40 cm? yy Plantea una ecuación que represente esta relación.

Ancho (cm)

0 0.5 1 1.5 2

Perímetro (cm)

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Luego valídenlas con ayuda de su profesor.

Perímetro (cm)

Ancho (cm)

2(4 2x) (10 2x)2

8x 28

8x 28 401.5 cm

28 32 36 40 44

80

90

70

60

50

40

30

20

10

00.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Ver solucionario

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1. Retoma el problema inicial y, en tu cuaderno, escribe una expresión algebraica que repre-sente el área del portarretratos. Establece y grafica la función del área y plantea una ecua-ción considerando que se requiere que el marco tenga un área de 22 cm2. ¿Qué ancho tiene el portarretratos en este caso?

Diferencias entre las representaciones

1. En parejas, retomen el problema anterior y hagan lo que se pide.

a. Anoten la expresión algebraica, la función y la ecuación que obtuvieron.yy Expresión algebraica: yy Función: yy Ecuación:

b. ¿Cuántos valores puede tomar x en cada caso?

c. En la fórmula, ¿cuál es el valor de P cuando x vale 5? ¿Y cuando vale 8?

d. ¿En qué se parecen las tres representaciones del inciso a? ¿En qué son diferentes?

A las fórmulas que expresen una relación entre dos variables, como x y P, se les lla-ma funciones.

Las expresiones algebraicas representan valores mediante números y letras rela-cionados a través de operaciones matemáticas.

Las funciones expresan, mediante una igualdad, la relación entre dos variables a las que se les llama variable dependiente, cuyo valor depende del valor de la otra variable, y variable independiente.

Las ecuaciones, representan valores desconocidos a encontrar a través de la igualdad entre dos expresiones.

Expresión: Función: Ecuación:

4x2 28x 40 A 5 4x2 28x 40 4x2 28x 40 5 22

Comenten sus respuestas con otros compañeros y lean el siguiente texto.

8x 28P 8x 28

8x 28 40

Se parecen en la expresión general, es decir, 8x 28; difieren en que la primera no representa una igualdad y las otras dos sí, una al perímetro y la otra a una cantidad particular.

En la ecuación puede tomar

68 y 92 respectivamente.

solo un valor en las demás, varios valores.

Ver solucionario

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Lección 2 Representaciones lineales y cuadráticas

1. Retoma las representaciones que obtuviste en la lección anterior y haz lo que se pide.

a. Compara las dos expresiones, las dos funciones y las dos ecuaciones y describe en qué se parecen y en qué son diferentes.

Las expresiones, funciones y ecuaciones pueden clasificarse según los exponentes de sus literales, variables e incógnitas, respectivamente. Si el mayor exponente es 2, decimos que se trata de una expresión, función o ecuación de segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente es 1, decimos que es de primer grado o lineal.

2. Elige una representación del recuadro que represente cada situación y escribe si se trata de una expresión algebraica, una función o una ecuación. Marca con si es li-neal o cuadrática.

Situación 1: A un número se le resta 5, el resultado se multiplica por –3 y luego se le suma 2.

Representación: ( ) Lineal ( ) Cuadrática

Situación 2: El costo total de cierta cantidad de gomas que cuestan $5 cada una.


Situación 3: El cuadrado de un número más 5.


Contenido: Estableces expresiones, funciones y ecuaciones, lineales y cuadráticas para representar diversas situaciones. Diferencias entre cada una de ellas.

23(x 2 5) 2 (x 5) 2x 5 32 c 5 5g n2 5

(x 5)(2x) 5 32 3(x 5) 2 c 5 15 g (n 5)2

Comenta las diferencias y semejanzas que encontraste con tus compañeros. Luego analicen la siguiente información.

yy Expresiones algebraicas: yy Funciones:

yy Ecuaciones:

n2 5

c 5g

3(x 5) 2

R. L.

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1. Formula una expresión, una función o una ecuación, según corresponda, para re-presentar cada situación e indica con una si es lineal o cuadrática.

Situación Representación Lineal Cuadrática

El cuadrado de un númeromenos 1 es igual a 89.

Se quiere hacer un marco paraun espejo cuadrado cuya áreaes de 225 cm2. Si el ancho delmarco debe medir x cm, ¿cuáles el área del espejo conmarco?

El área de un triángulo es iguala 64 cm2 y su base mide 5 cmmenos que su altura.

Un número menos 8 semultiplica por 1

2 .

A una cantidad se le aumenta50% y después se ledescuenta 25% del total.

El área de un cuadrado alvariar la medida de su lado.

La distancia que recorre unautomóvil que avanza a 30 km/h.


Situación 4: El área de un rectángulo cuyos lados miden x + 5 y 2x es igual a 32.


Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con su profesor.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor. Si es necesario corrijan.

x2 1 89

A 4x2 60x 225

(x 5)x2 64

(x 8) 12

x 0.5x (1.5x)(0.25)

A x2

d 30 t

(x 5)(2x) 32

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Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Introducción a las ecuaciones cuadráticas9

Contenido: Identificas y clasificas ecuaciones cuadráticas. Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante prueba y error, y método gráfico.

Ecuaciones que no son lineales

1. Lee el problema y haz lo que se pide.

La base de un triángulo mide 2 cm menos que su altura. Si su área es de 60 cm2:a. ¿Cuáles son sus dimensiones?

c. Simplifica la expresión, ¿qué diferencias y similitudes hay entre las ecuaciones que trabajaste la secuencia anterior?

d. Analiza la ecuación y explica qué procedimientos puedes realizar para resolverla.

Ecuaciones cuadráticas

1. Observa las ecuaciones.

a. Subraya las ecuaciones lineales y justifica tu respuesta.

Lección 1

y x 2 5

y 2x12 4

y x3 x2 4 0

y x(x 2x) 0

y 3x 3x4 3x2 3x3 3

y x 1 3x 2x 1

Dentro de las ecuaciones no lineales se encuentran las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, que son aquellas en las que el exponente más grande al que está elevada la incógnita es 2.

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Con ayuda de su profesor, validen las ecuaciones que plantearon.

b. ¿Cuál es la expresión que representa su área?

h(h 2)2

R. M. Que tienen un término elevado

La base es de 10 cm y la altura de 12 cm.

R. M. Son ecuaciones

al cuadrado.

lineales porque el máximo exponente de las incógnitas es 1.

R. L.

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Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma general Ax2BxC0, donde A, B y C son números.

Al coeficiente A se le conoce como coeficiente cuadrático; a B, como coeficiente li-neal, y a C, como constante.

Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en completas (cuando aparecen todos los términos) o incompletas (cuando B o C son iguales a cero). Por ejemplo:

Completa Incompleta (B 0) Incompleta (C 0)2x2 4x 2 0 x2 4 0 3x2 15x 0


1. Analiza las ecuaciones y subraya las que son cuadráticas.

y 3x2 2x 2 0 y x(x2 2x) 0y x(x 2) 0 y 4x 2x2 3x3 0

2. En tu cuaderno, simplifica y clasifica las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a. 3x2 7x 5 0 b. x2 2x 2x 6 c. 11x2 11x 6 6x2 6x 6

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Corrige si lo consideras necesario.

2. Analiza las siguientes ecuaciones.

Ecuación 1: 2x2 4x 2 0Ecuación 2: x2 4 0Ecuación 3: 3x2 15x 0

Comenta con tus compañeros la información anterior y clasifiquen las ecuaciones que analizaron en la actividad 2.

a. ¿Cuál es el grado de cada ecuación?

b. ¿Qué diferencia hay entre las ecuaciones 1 y 2?¿Y entre 1 y 3?

c. ¿Cómo son las gráficas de las ecuaciones si el coeficiente del término cuadrático es cero?

d. ¿Qué similitudes y diferencias hay entre la ecuación 1 y la ecuación del recuadro de la página 57?

Todas son ecuaciones de segundo grado.

Entre 1 y 2 el

La ecuación 1 se parece en términos, las demás carecen de algunos

Lineales

término lineal, la 1 sí lo tiene. Entre 1 y 3 el término constante.

términos respecto a la ecuación del recuadro.

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Ecuaciones cuadráticas, métodos de solución

1. Retoma el problema 2 del “Punto de partida” y responde.

a. ¿Qué números resuelven el problema? b. ¿Son los únicos números? c. ¿Qué procedimiento usaste para resolver el problema?

d. Una ecuación que describe el problema 2 es x(x 1) 20. En la tabla se colocan los dos lados de la igualdad y se asignan valores a x para hallar la solución. Con base en los ejemplos, completa la tabla.

Lección 2

x x(x + 1) 20

5 (5)(5 1) (5)(6) 30 204 (4)(4 1) (4)(5) 20 203210

1 2345

x x(x 2) 2 60

2. Elabora una tabla como la siguiente para resolver el problema 1 de la sección “Punto de partida”.

a. ¿Cuáles son los números que resuelven la ecuación? b. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo?

Las ecuaciones cuadráticas tienen a lo más dos soluciones, sin embargo, estas no siempre son solución del problema.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten cuántas y cuáles son las soluciones del problema.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten cuál es la solución del problema y por qué. Escucha y respeta las opiniones de los demás.

(3)(3 1) (3)(4) 12 20(2)(2 1) (2)(3) 6 20(1)(1 1) (1)(2) 2 20(0)(0 1) (0)(1) 0 20(1)(1 1) (1)(0) 0 20(2)(2 1) (2)(1) 2 20(3)(3 1) (3)(2) 6 20(4)(4 1) (4)(3) 12 20(5)(5 1) (5)(4) 20 20

4 y 5

SíR. M. Asigné valores a

la incógnita.

10 y 12Base: 10 cm y altura: 12 cm

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x y x(x + 1) 20

5 (5)(5 1) 20 1043210

1 2345

Método gráfico

3. Lee la explicación y haz lo que se pide para resolver el problema.

Otra forma de resolver una ecuación cuadrática es convertir esta en una función. Para lo anterior, se agrupan todos los términos del mismo lado de la ecuación y se asignan valores a la incógnita.

Por ejemplo, la función que se obtiene a partir de la ecuación del problema 2 del “Punto de partida” es y x(x 1) 20.

a. Sustituye los valores de x en la función de la tabla y úsalos para graficar la fun-ción en el plano. Observa el ejemplo.

b. Reúnete con un compañero, comparen sus gráficas y observen los puntos donde la gráfica se interseca con el eje x.

yy ¿Qué relación hay entre esos puntos y las soluciones de la ecuación que hallaron antes?

4. Grafica, en tu cuaderno, las funciones correspondientes a las siguientes ecuacio-nes para resolverlas. Luego contesta.

a. ¿Qué diferencias observas entre las gráficas?

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

x

y

5

y x2 0y 4x2 0

y x2 2 0y 2x2 0

y (x 2)2 0y 2 x2 0

Retomen el problema 1 y resuélvanlo utilizando el método gráfico. Comparen el resultado con el obtenido mediante el método anterior.

0

(4)(4 1) 20 0(3)(3 1) 20 8(2)(2 1) 20 14(1)(1 1) 20 18(0)(0 1) 20 20(1)(1 1) 20 20(2)(2 1) 20 18(3)(3 1) 20 14(4)(4 1) 20 8(5)(5 1) 20 0

Son los valores de x que dan solución a la ecuación.

Que se desplazan del origen o bien que cambia de sentido su abertura.

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1. Resuelve el problema en tu cuaderno utilizando ambos métodos.

La distancia que recorre un deportista de alto rendimiento en una caminata después de x horas se mide como x2 6. ¿Cuántas horas habían transcurrido cuando el depor-tista había recorrido 42 km?

a. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?b. Expresa cada solución en términos del problema. ¿Todas las soluciones podrían

representar las horas transcurridas? Explica por qué.

2. Identifica si cada ecuación es cuadrática o no. Si es cuadrática, clasifícala y resuélvela por ambos métodos para completar la tabla. Utiliza los planos y las tablas de abajo.

EcuaciónCuadrática

Clasificación SoluciónSí No

x(x1) 6

2x25 5

x1 (23)2

x x

x

yy

x

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten qué método fue más conveniente en cada situación.


Completa x2

Incompleta x0

x(x1) 6

3 12 62 6 61 2 60 0 6

1 0 62 2 63 6 6

2x25 5

3 23 52 13 51 7 50 5 5

1 7 52 13 53 23 5

-5-6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-5-6

-4-3-2-1

123456

-5-6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-25-30

-20-15-10

-5

51015202530

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Reviso mi trayecto


1. Indica el producto notable al que corresponde cada expresión.

Expresión Binomio

a. 4a2 4a 1

b. w2 6w 9

c. 9x2 64

2. El cuadrado mide z cm de lado y se recortará 1 cm de contorno. ¿Cuánto medirá el área después del recorte?

3. Paula es 7 años mayor que Diego y el producto de sus edades es 60. Completa la tabla y responde.

a. ¿Por qué x no toma valores negativos?

b. ¿Qué edades tienen Diego y Paula?

x 600257

101523

1 cm

z cm

z cm

4. Calcula el área de un terreno rectangular cuya base mide 3x 1 y altura 3x 1

En la columna "Nota", marca con una los reactivos que resolviste correctamente.Reactivo Nota Secuencias Páginas

1 9 60 a 642 5 42 a 453 6 46 a 494 7 y 8 50 a 59

9x2 1

R. M. Una vez que se recorta 1 cm de cada lado se tiene un cuadrado cuyo lado mide (z 1), por lo que su área será:

(z 1)2 z2 2z 1 cm2

R. M. Porque la edad de una persona se

(2a 1)2

(w 3)2

(3x 8)(3x 8)

expresa con números positivos Diego 5 años y Paula 12 años

(x)(x 7)0 0 0

2 14 285 12 607 14 98

10 17 17015 22 33023 30 690

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Ecuaciones cuadráticas por despeje10

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas por el método de despeje.

Ecuaciones cuadráticas incompletas B 0


En un restaurante se construirá un área de juegos de superficie cuadrada. Existen dos opciones para la disposición del espacio: el área puede ser de 36 m2 y tener jar-dineras al rededor o de 25 m2 y tener jardineras y bancas al rededor.

a. Describe cada situación con una ecuación. b. ¿Qué tipo de ecuaciones son las que planteaste? c. ¿Cuál es el resultado de elevar al cuadrado un número positivo? ¿Y de un número

negativo? d. ¿Cuántos y cuáles valores pueden ser solución de cada ecuación?

Soluciones y despeje

1. Reúnete con un compañero, analicen los procedimientos y respondan en su cuaderno.

Lección 1

Ecuación Solución

x2 16x2 0

x2 4

Comparen sus respuestas con las de sus demás compañeros. Propongan ecuaciones similares, analicen cómo son sus soluciones y juntos lleguen a una conclusión.

y x 3, x (x) 3 (3), x2 9 y x 9, x(x) (9)(9), x2 81 y x 9, x(x) (9)(9), x2 81

a. ¿Qué significa que en dos de los procedimientos el resultado sea el mismo?b. Completen la tabla con las posibles soluciones de las ecuaciones de la primera

columna.

c. ¿Qué diferencia hay entre las tres ecuaciones? d. ¿Cuántas y cómo son las soluciones de las ecuaciones? e. ¿Qué relación hay entre las características de cada ecuación y su solución? f. ¿Es posible encontrar un número que al elevarlo al cuadrado su resultado sea un

número menor que cero?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor.

4 y 40

No hay solución.

x2 36 y x2 25Ecuaciones cuadráticas B 0

Dos en cada

ecuación: 6 y 6 y 5 y 5 respectivamente.

Positivo en ambos casos.

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2. Completa el procedimiento para resolver la ecuación 2z2 4 4 y haz lo que se pide.

i. Se suma 4 a ambos lados de la igualdad.2z2 8 ii.

iii. Se dividen ambos lados de la igualdad entre 2.z2 4 iv. Se simplifican las fracciones.

z2 4± v.

vi. Se obtienen las soluciones.

a. Reúnete con un compañero y apliquen el procedimiento anterior para resolver las siguientes ecuaciones. Luego respondan en su cuaderno.

y ¿Se puede despejar la incógnita x en todas las ecuaciones cuadráticas igual que en el procedimiento anterior? ¿Por qué?

y ¿Qué características deben tener las ecuaciones para poder utilizar el método? y ¿Cómo son las soluciones de las ecuaciones que resolvieron?

Las ecuaciones cuadráticas de la forma Ax2 C 0 pueden tener una, dos o ningu-na solución, observa que este tipo de ecuación corresponde a una ecuación cuadrá-tica incompleta, donde B 0 que analizaste en la página 61. Al despejar la ecuación se obtiene la ecuación:

x2 C1 donde C1 CA

y Si C1 0, la ecuación tiene dos soluciones con mismo valor absoluto y diferentes signos.

y Si C1 0, la ecuación tiene una solución y es 0.y Si C1 0, la ecuación no tiene solución.


1. Resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno usando el despeje. Si no es posible, explica por qué.

Compara tus respuestas con las del resto del grupo y consulta con tu profesor si tienes alguna duda.

3x2 5 534x2 16x 0

a. 3y2 y 6

5x2 12 123x2 12 3

b. x2 9 450

4x2 8x 20 16x2 4 5

c. z2 4 72 11

En grupo analicen las soluciones y verifiquen la conclusión a la que llegaron en la actividad 1. Luego lean la siguiente información.

Se simplifican los términos en la ecuación.

Se saca la raíz cuadrada a la ecuación.

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2z2 4 4 4 4

2z2

2 82

z 2, z 2

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Aplicación del método de despeje

1. Plantea una ecuación para resolver cada uno de los siguientes problemas. Luego responde.

Problema 1: El área de un cuadrado es de 169 m2. ¿Cuánto mide su lado?

Problema 2: El cuadrado de un número n menos 4 da como resultado 0. ¿Cuál esel valor de n?

Problema 3: En una cadena, la cantidad de mensajes que se envían al día se repre-senta mediante la expresión x2 12, donde x es la cantidad de días. ¿Cuántos días han transcurrido si se enviaron 16 mensajes?

a. Explica si las soluciones de la ecuación planteada son solución de cada problema.Problema 1: Problema 2: Problema 3:

Lección 2

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas por el método de despeje.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor.

n2 4 0 n2 4 n2 4 n ± 2

l2 169

l2 169

l ± 13

x2 + 12 16 x2 16 12 x2 4 x2 4 x ± 2

Solo la solución con signo positivo puede ser considerada,

Ambas soluciones resuelven el problema, pues al elevar dichas

Solo la solución con signo positivo puede ser considerada,

debido a que un cuadrado no puede tener una longitud negativa.

soluciones al cuadrado obtenemos como resultado 4.

debido a que no podemos contar los días con números negativos.

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1. Reúnete con un compañero y planteen, para cada caso, un problema que se repre-sente con una ecuación cuadrática incompleta B = 0 que:

y Tenga dos soluciones, pero que ninguna sea solución del problema.

y Tenga dos soluciones y que solo una sea solución del problema.

y Tenga dos soluciones y que ambas sean solución del problema.

y No tenga soluciones.

a. Intercambien sus problemas con los de otros compañeros y resuélvanlos en sus cuadernos. Identifiquen qué soluciones de cada ecuación no son solución del problema que representan.

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y, con apoyo de su profesor, validen las ecuaciones que plantearon. Si es necesario corrijan.

R. L.

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Resolución de una ecuación cuadrática por método gráfico

Reúnete con un compañero y sigan los pasos para resolver esta ecuación cuadrática en una hoja elec-trónica de cálculo, si no cuentan con una hoja de cálculo, resuelvan la ecuación como lo trabajaron en el bloque. Usen una hoja de papel milimétrico para hacer la gráfica.

x2 2x 15 0

Para resolver una ecuación mediante el método gráfico, se grafica la función correspondiente. En este ejercicio, la función que se debe graficar es:

y x2 2x 15

Para trazar la gráfica, es necesario crear una tabla.

1. En una hoja electrónica de cálculo, ingre-sen en la primera fila los encabezados “x” y “x^22x15”, donde x^2 es x2. Luego, en la columna “x”, ingresen en cada fila los núme-ros de 10 a 10, como se muestra en la ima-gen 1.

3. Copien la fórmula a lo largo de la columna. Para ello, seleccionen la celda donde ingresa-ron la fórmula y arrastren la esquina inferior derecha hasta completar la columna.

2. Debajo del encabezado “x^22x15” ingre-sen la fórmula “A2^2-2*A215” para obte-ner el valor de la variable y.

4. Para trazar la gráfica de la función, seleccio-nen ambas columnas. En el menú Insertar den clic en el icono XY (dispersión) y elijan la op-ción Dispersión con líneas suaves.

y Como aprendieron en la secuencia 9, las soluciones de la ecuación son los puntos donde la gráfica interseca al eje x. ¿Cuáles son?

y ¿Qué deben hacer para ingresar una nueva ecuación?

Imagen 1

Imagen 2

3 y 5

R. M. Debemos cambiar la fórmula en todas las celdas de la columna B.

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Una alternativa para trazar diferentes gráficas sin modificar las fórmulas en cada fila es usar la forma general de las ecuaciones cuadráticas, la cual es:

Ax2 Bx C 0

Sigan las instrucciones para asignar valores a los coeficientes A, B y C, e ingresar una nueva fórmula que les permita resolver otras ecuaciones.

1. Ingresen los encabezados “x”, “y”, “A”, “B” y “C” como se muestra en la imagen 3. Luego ingresen los valores de –10 a 10, como hicie-ron en la página anterior.

4. Inserten la gráfica con los datos obtenidos. Revisen en qué puntos interseca la gráfica al eje x y verifi-quen que coincidan con los que hallaron con el pro-cedimiento anterior.

2. Ingresen los valores 1, 2 y 15 en las celdas E1, E2 y E3 respectivamente.

5. Modifiquen los valores a la derecha de “A”, “B” y “C” para resolver otra ecuación.

3. Los valores ingresados en las celdas E1, E2 y E3 deben mantenerse constantes, para lograrlo, anoten signos de $, es decir, $E$1. Debajo del encabezado “y” in-gresen la fórmula “$E$1*A2^2$E$2*A2$E$3”. Luego cópienla a lo largo de la columna, como hi-cieron en la actividad anterior.

Utilicen el procedimiento para resolver las siguientes ecuaciones.

y ¿Cuántas y cuáles son las soluciones de cada ecuación?

y ¿Qué ocurre con las gráficas de los incisos c y d?

Resuelvan la ecuación del inciso d usando el método de despeje. Luego comenten con el resto del grupo las ventajas y desventajas de usar el método gráfico y el método de despeje.

Imagen 3

Imagen 4

a. x2 5x 0 b. x2 10x 25 0 c. x2 9 d. 25x2 36 0

Para el inciso a 0 y 5 son solución; para el

En el inciso c no se puede hacer una gráfica

inciso b es 5; en el inciso c no hay una ecuación solo una representación algebraica, por tanto, no se puede realizar la gráfica, y para el inciso d las soluciones son 1.2 y 1.2.

porque no hay una función o una ecuación.

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Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Variación lineal o cuadrática11

Contenido: Comparas situaciones de variación lineal y cuadrática. Analizas gráficas que representan ciertas situaciones.

¿Cómo cambia la altura?

1. En equipos de tres integrantes, lean la situación y hagan lo que se pide.

Una pelota de tenis se lanza desde un lanzador al ras del piso. La tabla muestra la al-tura de la pelota para distintas distancias recorridas horizontalmente.

a. ¿Cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente?

b. ¿Cómo cambia la altura cuando cambia la distancia horizontal recorrida por la pelota? Calculen la diferencia de los datos de la tabla para ayudarse a responder.

c. ¿Es una función lineal la relación entre la altura de la pelota y la distancia reco-rrida horizontalmente? ¿Por qué?

d. Tracen en su cuaderno un plano cartesiano, localicen los datos de la tabla, unan los puntos y verifiquen su respuesta anterior.

y ¿Qué forma tiene la gráfica? y ¿Alcanza la pelota una altura máxima? ¿Cuál? y ¿La gráfica es simétrica? ¿Con respecto a qué recta?

y ¿Para qué valores de x es y 0? ¿Qué indica esto respecto al movimiento de la pelota?

y ¿Para qué valores de la distancia horizontal crece la altura de la pelota? ¿Para cuáles decrece?

Lección 1

Distancia horizontal en metros (x) 0 1 2 5 8 10 11 15 18 20

Altura en metros (y) 0 0.475 0.9 1.875 2.4 2.5 2.475 1.875 0.9 0

En parejas analicen las características de la gráfica y describan cómo se diferencia de una con variación lineal.

simetría. Correspondencia exacta en la distribución de los puntos de una figura respecto de un eje.

Glosario

La distancia

R. M. Una parábolaSí, 2.5 m

Sí, es simétrica con respecto a la recta x 10.

R. M. No, porque a pesar de que en algunos

x 0 y x 20, lo que indica que la pelota se encuentra al

R. M. Crece cuando 0 < x < 10 y decrece cuando

R. M. Conforme la distancia crece, la altura crece hasta alcanzar un punto máximo a partir del cual empieza a decrecer.

horizontal es la variable independiente, mientras que la altura en metros es la variable dependiente.

puntos ambas magnitudes crecen, también hay puntos donde la distancia re-corrida crece, pero la altura de la pelota decrece.

ras del piso

10 < x < 20.

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Eje: Número, álgebra y variaciónTema: Funciones

Variación cuadrática

1. Retoma la actividad anterior y contesta en tu cuaderno.

a. ¿Qué pasaría si x fuera negativa? ¿Y si x fuera mayor que 20? y ¿Puede suceder eso en este problema? ¿Por qué?

b. Si la relación funcional que describe los datos fuera y x(0.5 0.025x)… y ¿Cómo encontrarías los valores para los que y 0? y ¿Qué tipo de ecuación tendrías que resolver? y ¿Coincidirían los valores que encontraste utilizando la gráfica?

c. Describe el comportamiento de la pelota cuando cambia la distancia horizontal.

Una función cuadrática es una función no lineal en la que la variable independien-te aparece como parte de un polinomio de segundo grado, es decir, esta variable aparece en un término cuadrático o con potencia 2. La forma de su gráfica se cono-ce como parábola. Las parábolas son simétricas respecto a un eje de simetría que las interseca en un solo punto. Este punto se conoce como vértice.

2. Formen parejas y resuelvan.

a. Completen las tablas y tracen en su cuaderno las gráficas correspondientes en el plano cartesiano. Unan los puntos con segmentos curvos.

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y = x2

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y = x2

b. ¿En qué se parecen las dos gráficas? y ¿En qué difieren?

c. ¿Las funciones son cuadráticas? ¿Cómo lo saben?

d. Contesten en su cuaderno. y Si trazan una recta vertical en x 0, ¿cómo es la forma de la parábola a la izquierda

y a la derecha de la recta? ¿En cuál valor de x la función toma un solo valor? y ¿Qué tipo de número es el coeficiente del término cuadrático de la función y x2? y ¿Qué tipo de número es el coeficiente del término cuadrático de la función

y x2?

Comparen sus respuestas con otra pareja y discutan sus diferencias. Pregunten sus dudas a su profesor.

Validen en grupo sus respuestas. Después lean lo siguiente.

16 9 4 1 0 1 4 9 16

−16 −9 −4 −1 0 −1 −4 −9 −16

En la forma

R. M. En que una se abre hacia arriba y la otra hacia abajo.

R. M. Sí, ya que sus gráficas tienen un máximo o mínimo y un eje de simetría.

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¿De qué tipo de variación se trata?

1. En parejas, elaboren en su cuaderno tablas de datos y dibujen en un mismo plano cartesiano las gráficas de las siguientes funciones. Después contesten.

y 2x2, y 4x2, y 5x2, y 2x2, y 3x2, y 5x2

a. Describan las características de las gráficas de las funciones con coeficiente po-sitivo y negativo.

b. ¿Qué sucede con las gráficas de las funciones de la actividad 2 de la lección an-terior a medida que aumenta el valor absoluto de su coeficiente?

c. ¿Cómo es la gráfica de la función y ax2 si a está entre 0 y 1? y ¿Qué sucede si a es cada vez menor? y ¿Qué sucede si a está entre 1 y 0?

2. Analiza con un compañero las situaciones y respondan en téminos de la variación en cada situación.

Situación 1: Álvaro compró un refresco frío y lo dejó 25 min en una banca mientras jugaba futbol con sus amigos. Si la temperatura ambiente era de 30 °C, ¿qué ocurrió con la temperatura del refresco?

Situación 2: El señor López tiene 150 m de reja de alambre para cercar un rectángu-lo en su terreno y después dividirlo por la mitad con el mismo material. El ingeniero García le explicó cuál es el área que puede cercar para tener un terreno rectangular de ancho x. ¿Cómo cambia el área que es posible cercar con el ancho del terreno?

Situación 3: Lorena vende panqués caseros a sus amigas. El costo unitario de ha-cerlos disminuye al aumentar la cantidad de panqués, pero si hace demasiados, los costos pueden ser muy altos. Un amigo le ayudó a calcular cómo variarían sus costos en ingredientes y empaquetamiento según el número de panqués. ¿Cómo cambia el costo cuando hace más panqués?

Situación 4: Un automovilista recorre un camino a la mayor rapidez permitida. De-bido a que hay obras en una parte de la carretera, frena paulatinamente durante 45 min. ¿Cómo cambia la rapidez del automóvil durante ese tiempo?

a. ¿Cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente? Situación 1: Situación 2: Situación 3: Situación 4:

Lección 2

Comparen con otra pareja sus respuestas y las estrategias con que las obtuvieron.

El tiempo es la variable independiente y la temperatura es la

El ancho del terreno es la variable independiente y el área del

La cantidad de panqués es la variable independiente y el costo

El tiempo es la variable independiente y la velocidad del

variable dependiente.

terreno es la variable dependiente.

es la variable dependiente.

automóvil es la variable dependiente.

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b. ¿Qué sucede con la variable dependiente cuando la variable independiente aumenta?

Situación 1: Situación 2: Situación 3: Situación 4:

c. ¿La situación representa una variación lineal o no lineal? Expliquen por qué. Situación 1: Situación 2: Situación 3: Situación 4:

d. ¿En alguna de las situaciones esperarían una gráfica similar a la de una función cuadrática? Expliquen en su cuaderno.

e. Escriban el número de la situación correspondiente a cada gráfica. Apoyen su respuesta en lo que contestaron en las preguntas anteriores.

Situación: Situación:

Situación: Situación:

1000

800

600

400

200

010 20 30 40 50

y

x

50

40

30

20

10

05 10 15 20 25

y

x

250

200

150

100

50

020 40 60 80 100

y

x

120

100

80

60

40

20

010 20 30 40 50

y

x

Comenten en grupo y con su profesor sus respuestas y la estrategia con que identificaron las gráficas y la variación. ¿Coincidieron en su elección con otras parejas?

La variable dependiente (área del terreno) aumenta en algunos La variable dependiente (temperatura del refresco) aumenta.

Variación lineal, ya que si una variable aumenta la otra disminuye.

La variable dependiente (velocidad del automóvil) disminuye.

La variable dependiente (costos) disminuye siempre y cuando

Variación lineal, ya que si la variable independiente aumenta, la

Variación no lineal, ya que la variable dependiente aumenta o

Variación no lineal, ya que si una variable aumenta, la otra

casos y decrece en otros.

no se haga una cantidad demasiado grande de panqués.

dependiente también lo hace proporcionalmente.

disminuye según el valor de la variable independiente.

disminuye, pero solo si la cantidad de panqués no es muy grande.

R. M.

R. M.

2

1

4

3

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Prohi

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su d

istrib

ució

n

¿Cuál gráfica utilizarías?

1. Formen parejas, lean la situación y resuelvan.

Tomás e Inés quieren vender llaveros conmemorativos con el fin de reunir fondos para la fiesta de graduación. La mamá de Inés les hizo una gráfica para calcular cuánto gana-rían si hicieran cierto número de llaveros (x), considerando el precio de venta y los costos de construirlos (gráfica A). El papá de Tomás les ayudó también, pero propuso una gráfi-ca distinta (gráfica B). ¿Cuál gráfica describe mejor la utilidad (U) que podrían alcanzar?

a. ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente en esta situación?

b. ¿Cuántos llaveros necesitan vender de acuerdo con la gráfica A para no tener pérdidas?

c. ¿Cuántos llaveros necesitan vender de acuerdo con la gráfica B para no tener pérdidas?

d. ¿Cómo cambia la utilidad en la gráfica A conforme se venden más llaveros?

e. ¿Cómo cambia la utilidad en la gráfica B conforme se venden más llaveros?

f. ¿Qué tipo de variación representa la gráfica A? ¿Y la B?

g. ¿Cuántos llaveros deben vender de acuerdo con la gráfica A para tener la máxima utilidad? ¿Cuál es esa utilidad?

h. ¿Cuántos llaveros deben vender de acuerdo con la gráfica B para tener la máxima utilidad? ¿Cuál es esa utilidad?

i. ¿Cuál plan elegirían y por qué?


Lección 3

Gráfica A

1200

1000

800

600

400

200

0

200100 200 300 400 500

x

U

Gráfica B

1200

1000

800

600

400

200

0

200100 200 300 400 500

x

U

Comparen sus respuestas. Escriban en el pizarrón sus elecciones. ¿Dieron razones similares? ¿Alguna pareja cambió de opinión?

La cantidad de llaveros vendidos es la variable independiente y la utilidad es la variable dependiente

R. M. Más de 100 llaveros

R. M. Más de 200 llaveros

Para ciertos números de llaveros, la utilidad aumenta, pero luego disminuye.

Cuantos más llaveros se vendan, mayor será la utilidad.

muestra una variación cuadrática y la gráfica B, una variación lineal.

llaveros se generan más utilidades al incrementar el número de llaveros vendidos.

R. M.

R. M.

R. M. La gráfica A

R. M. 400 llaveros generan una utilidad de $1 200.R. M. El plan B, pues garantiza que con más de 200

200 llaveros, con una utilidad de $1 000.

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2. Analiza las gráficas e identifica el tipo de variación en cada una. En tu cuaderno, indica la pendiente, en el caso de las rectas y, su vértice y simetría en el caso de las parábolas.


1. Elige una situación de las que se trabajaron en la secuencia. En tu cuaderno dibuja una gráfica que la represente y describe lo ocurrido en la situación de acuerdo con el comportamiento de la gráfica.

2. Resuelve el problema en tu cuaderno.

En el movimiento de caída libre, la altura a la que se encuentra el cuerpo que se deja caer, considerando que la altura inicial es cero y la dirección positiva es hacia abajo, está dada por h = 1

2 gt2, recuerda que la altura se mide en metros, el tiempo en se-

gundos y la gravedad, g 9.8 m/s2.

a. ¿Qué tipo de variación corresponde a la caída libre? b. Dibuja una gráfica que describa la caída de una pelota desde una altura de 30 m.

y

10

20

20

10

024

x

2 4

y

x

200

400

400

0

200

2 424

y

x

20

40

40

20

024 2 4

Compara y discute tus respuestas con dos compañeros. Corrijan si es necesario.

Escribe un resumen en el que expliques las diferencias entre una función cuadrática y una función lineal. Entrégalo a tu profesor para que lo revise.

y

x

200

400

400

200

024 2 4

LinealPendiente: -2.5

CuadráticaVértice: (0, 100)Eje: x 0

No es lineal ni una parábola.

CuadráticaVértice: (-1, -15)Eje: x 1

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Aprendizaje esperado: Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.12Medidas de tendencia central

Contenido: Calculas la media, mediana y moda de un conjunto de datos agrupados.

¿Cuál medida representa mejor al conjunto de datos?

1. Reúnete con un compañero y lean el problema. Calculen las medidas de tendencia central.

En una comunidad se encuestó a 60 personas para saber cuántos hijos tenía cada una. Se obtuvieron los siguientes datos:

2 3 1 5 10 6 8 3 4 9 1 2 2 2 3

2 10 3 4 8 2 3 1 3 3 4 4 2 2 7

1 2 5 1 4 3 2 1 1 5 3 3 0 0 1

2 1 2 2 4 4 1 3 1 0 1 4 1 2 3

Media: Mediana: Moda:


a. ¿Cuál medida de tendencia central representa mejor el número de hijos que tie-ne cada persona encuestada? ¿Por qué?

Diferentes formas de presentar los datos

1. Analicen los datos de cada situación y calculen las medidas de tendencia central en cada caso. Luego respondan.

Situación 1: La tabla muestra el sueldo mensual individual del personal, por puesto, de una empresa de telecomunicaciones.

Puesto Cantidad de empleados Sueldo mensual

Técnico instalador 4 $6 000Ingeniero de reciente ingreso 5 $8 000Ingeniero de base 10 $12 000

Lección 1

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y validen sus resultados con ayuda de su profesor. Corrijan si es necesario.

3

$9 684.21

2.5

$12 000

2

$12 000

R. M. La media, porque si se distribuyeran equitativamente sería el número de hijos que cada familia tendría.

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Resuelve los problemas.

1. La edad promedio de un grupo de 12 personas que asistieron a una reunión es de 25 años.

a. ¿Cuál puede ser el rango de edad de las personas? b. Propón qué edad puede tener cada persona. c. Reúnete con un compañero, comparen las edades que propusieron y analicen si es posi-

ble tener otras respuestas.

2. La gráfica de barras presenta la cantidad de mochilas que se vendieron durante 10 meses consecutivos. Se quiere tener una medida que represente los datos de la gráfica.

a. Calcula la media, la mediana y la moda.

b. Ordena de menor a mayor dichas medidas.

c. ¿Cuál de las medidas representa mejor los datos?

d. ¿La distribución es simétrica o asimétrica?

Eje: Análisis de datosTema: Estadística

Situación 2: El polígono de frecuencia muestra los niveles de azúcar en la sangre de una persona con diabetes después de medir su glucosa.

a. ¿El punto (3, 300) significa que hay tres datos cuyo valor es 300? ¿Por qué?

b. ¿Qué significa el punto (4, 250)?

c. Calcula las medidas de tendencia central de los datos.


Media:

Mediana:

Moda:

300

350

250200

150

1 2 3 4 5

100

50

0

152

250300 300

250200

320

12

10

Moc

hila

s ve

ndid

as

Meses

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Niv

eles

de

azúc

ar (m

g/dL

)

Tiempo (h)

Comparen sus respuestas y procedimientos con sus compañeros. Comenten qué medida de tendencia central representa mejor los datos en cada situación.

R. M. No, porque lo que muestra la gráfica no es el número de datos, sino la cantidad de azúcar en ciertos tiempos.

R. M. Que cuando transcurren cuatro horas el nivel de azúcar en la sangre de la persona es de 250 mg/dL.

20 a 30 años

253.14

320

300

Media: 5, mediana: 6.5, moda: 11

0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11

La media

Asimétrica

20, 21, 22, 23, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 29, 30

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Medidas de tendencia central en datos agrupados

1. En parejas resuelvan las siguientes actividades.

En el salón de una escuela secundaria, los estudiantes midieron sus estaturas y agru-paron los datos en la siguiente tabla.

Estatura (cm)

De 101 a 110

De 111 a 120

De 121 a 130

De 131 a 140

De 141 a 150

De 151 a 160

De 161 a 170

Frecuencia absoluta 1 2 1 3 7 5 4

a. ¿Cuántos estudiantes hay en el salón? b. ¿Entre qué estaturas se encuentra la mayor cantidad de estudiantes?

c. ¿Pueden calcular la media y la mediana a partir de los datos en la tabla?

¿Por qué?

Cálculo del promedio o media aritmética en datos agrupados

Al no conocer la estatura de cada estudiante, es necesario utilizar el punto medio o mar-ca de clase de los intervalos.

2. Completen la tabla con las estaturas de los estudiantes de la actividad anterior. Luego sumen los datos de las últimas columnas.

Estatura (cm) Marca de clase ( x ) Frecuencia ( ƒ ) Producto: (ƒx)

101-110111-120121-130131-140 135.5 3 406.5141-150151-160161-170

n S

Lección 2

Para calcular el promedio o media ( x ) de datos agrupados, se suman los productos de las frecuencias por las marcas de clase ( ƒx ) y el resultado ( S ) se divide entre la suma de las frecuencias ( n ).

x Sn


Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten cómo podrían calcular las medidas de tendencia central.

23 estudiantes

y 150 cmEntre 141

R. M. No, porque no se sabe cuánto mide cada estudiante

105.5 1 105.5115.5 2 231125.5 1 125.5

145.5 7 1 018.5155.5 5 777.5165.5 4 662

23 3 326.5

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a. Calculen la estatura promedio de los estudiantes. b. ¿El promedio obtenido es exacto o aproximado? Expliquen su respuesta.

Moda en datos agrupados

3. Observen los datos de la tabla anterior y respondan.

a. ¿En qué intervalo hay mayor cantidad de estudiantes? ¿Cuántos hay?

b. ¿Cuál es la marca de clase de este intervalo? c. ¿Quésignificaelvalordeesepuntomedio?

Al intervalo con mayor frecuencia ( ƒ ) se le llama intervalo modal o moda y a la marca de clase de ese intervalo se le considera una aproximación a la moda de los datos agrupados.



La tabla muestra el número de adultos que, al asistir a una cita con el médico, reportaron ha-ber recibido previamente un diagnóstico de diabetes.

a. Calcula la media y la moda de los datos. b. ¿Cuál de las medidas de tendencia central usarías para representar la información de

la tabla? c. Traza en tu cuaderno el polígono de frecuencia y marca el valor de la media y la moda.

Comenta con tus compañeros qué significa la información obtenida, con base en el contexto.

Edad Marca de clase ( x ) Frecuencia en miles ( ƒ ) (ƒx)

20 a 29 176.330 a 39 345.640 a 49 1126.250 a 59 1616.060 a 69 2180.270 a 79 780.580 a 89 239.9

n S


144.63Es

En el

Significaquelasestaturasdelos145.5

Media: 58.51, Moda: 65.5

La media

intervalo 141-150

estudiantes están próximas a ese valor.

aproximado, pues se emplea la marca de clase.

24.5 4 319.3534.5 11 923.2044.5 50 115.9055.5 89 688.0065.5 142 803.1075.5 58 927.7585.5 20 511.45

6 464.7 378 288.75

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Mediana en datos agrupados

1. Analiza las situaciones y responde en tu cuaderno.

y ¿Cómo calcularías la mediana de las estaturas a partir de los intervalos, las marcas de clase y las frecuencias de la tabla?

y Para calcular la mediana de un conjunto de datos, se necesita que los datos estén ordenados. ¿Las medidas se encuentran ordenadas en la tabla de la pá-gina 80? ¿Por qué?

y ¿Cuántos datos hay en total? ¿El número de datos que hay es par o impar? y ¿En qué intervalo se encuentra el o los datos que están en la mitad? y ¿Essuficientecontarconlasfrecuenciasabsolutasparaubicarelintervaloque

tiene 50% de los datos encima y 50% por debajo?

En un conjunto de datos no agrupados con un número impar de datos, la mediana es el valor que está en medio de los datos ordenados. Cuando el conjunto tiene un número par de datos, la mediana es el promedio de los dos datos que se encuen-tran en medio de los demás.

Para calcular la mediana de un conjunto de datos agrupados es necesario calcular la fre-cuencia acumulada. Se le llama frecuencia acumulada a la suma de la frecuencia del intervalo más las frecuencias de los intervalos anteriores. En el primer intervalo, al no ha-ber intervalos anteriores, la frecuencia acumulada coincide con la frecuencia.

2. Completen la tabla con las frecuencias absolutas y acumuladas.


Estatura Frecuencia ( ƒ )Frecuencia

acumulada (ƒ )

101-110 1 1

111-120 2 1 + 2 = 3

121-130 1

131-140

141-150

151-160

161-170

n

a

Lección 3

a. Retoma la encuesta de la lección 1, ¿cómo obtuviste la mediana del conjunto de datos?¿el conjunto tiene un número par de datos? Explica tus respuestas.

b. Retoma las estaturas de los estudiantes de la lección anterior.

4

3 7

7 14

5 19

4 23

23

Ver solucionario

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a. ¿Qué representa el número 23 en la tabla?

b. Si la mediana se encuentra a la mitad de los datos, ¿qué valor de la frecuencia acumulada nos dice cuál es la mediana?

c. ¿En qué intervalo se encuentra la mediana de las estaturas?

d. ¿Qué valor dentro del intervalo se puede tomar como aproximación a la mediana? ¿Por qué?

e. Construye en tu cuaderno el polígono de frecuencia acumulada. Para esto, mar-ca los puntos (x, ƒa ), donde x es la marca de clase y ƒa es la frecuencia acumulada correspondiente. Luego une los puntos.

f. Traza en tu cuaderno el polígono de frecuencia.

g. Sobre el polígono de frecuencia traza las rectas horizontales a la altura de la me-dia y la moda. Sobre el polígono de frecuencia acumulada marca el punto que representa la mediana.


1. En grupo, realicen un estudio sobre el tiempo que les toma llegar de su casa a la escue-la, sin importar el medio de transporte que utilicen. Registren los datos en su cuaderno y sigan las instrucciones para analizarlos.

a. Ordenen los datos de menor a mayor y determinen el rango. Luego resten al tiempo máximo el tiempo mínimo.

b. Dividan el rango entre la cantidad de intervalos. Es recomendable que el núme-ro de intervalos sea impar, es decir, 5, 7 o 9.

c. Determinen el extremo inferior y el superior de cada intervalo. Para ello sumen al tiempo mínimo la amplitud obtenida consecutivamente hasta calcular los ex-tremos de todos los intervalos.

d. Hagan una tabla siguiendo este modelo. Complétenla con sus datos.

Tiempo (minutos)

Marca de clase ( x )

Frecuencia absoluta ( ƒ )

Producto (ƒ x)

Frecuencia acumulada (ƒa )

n S Total:


Con ayuda de su profesor, revisen las actividades de la secuencia y, si tienen resultados diferentes, analicen el procedimiento. Si es necesario corrijan.

e. Calculen las medidas de tendencia central, media, mediana y moda.f. Ordenenlasmedidasdetendenciacentralyanalicensilagráficadelosdatosseríasimétrica

o asimétrica. Respondan: ¿Cuál de las medidas de tendencia central representa mejor el con-junto de datos?

Representa el total de personas a las que se midió.

El 14

141-150

145.5, porque es el punto medio del intervalo.

R. L.

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Medidas de tendencia centralReúnete con un compañero, lean la situación y en una hoja electrónica de cálculo hagan lo que se pide para analizar los datos. Si no cuentan con acceso a la hoja de cálculo resuelvan en su cuader-no tomen en cuenta lo que aprendieron en la secuencia12.

En una escuela se encuestó a 60 estudiantes sobre cuántas horas duermen cada noche entre semana. La tabla muestra los resultados obtenidos.

7 9.5 9 8.5 9 6.5 6.5 8.5 7.5 9.5 7.5 8.5 10 7 6.57 7.5 7.5 9.5 10 8 7.5 10.5 9 10 7 6.5 8.5 7 8

8.5 6.5 7 6.5 9.5 10 9 8 6 6.5 7 9 8 9 78 8 6.5 9 8.5 7 7.5 7 9.5 7.5 10 6 7.5 8 6.5

1. Copien los datos de la tabla en la columna A. Coloquen los encabezados “Media”, “Mediana” y “Moda” en las celdas C1, C2 y C3 respectivamente. Hagan lo mismo en las celdas C5, C6 y C7 como se observa en la imagen 1.

2. Para obtener el promedio o media se divi-de la suma de los datos entre el número de datos. Ingresen en la celda D1 la fórmula “Suma(A2:A61)/Contar(A2:A61)” para calcu-lar el promedio.

Observen que la función “Suma(A2:A61)” devuel-ve la suma de los datos que hay desde la celda A2 hasta la celda A61 y la función “Contar(A2:A61)” cuenta la cantidad de datos.

3. Para calcular la mediana, ordenen los datos de menor a mayor y localicen el dato que queda en medio. Para esto, seleccionen los datos de la columna A y en la pestaña Datos, den clic en la opción Ordenar de menor a mayor. Como hay un número par de datos, busquen los dos que quedan en medio y obtengan su promedio. Anoten el resultado en la celda D2.

4. Para obtener la moda, observen la lista de datos ordenados y busquen el que más se repita y anó-tenlo en la celda D3.

5. Ingresen en las celdas D5, D6 y D7 las fórmulas “Promedio(A2:A61)”, “Mediana(A2:A61)” y “Moda(A2:A61)” respectivamente y comparen los resultados con los de las celdas D1, D2 y D3.

Modifiquen los datos iniciales y observen qué ocurre con las medidas de tendencia central. Comenten cuál método es más útil y por qué.

Imagen 1

Imagen 2

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Imagen 3

Imagen 4

Medidas de tendencia central en una tabla de frecuenciasEn la misma hoja de cálculo de la actividad anterior, elaboren una tabla de frecuencia y calculen las medidas de tendencia central. Sigan las instrucciones.

2. Copien los datos de la columna A en la colum-na F. Seleccionen los datos de la columna F y, en la pestaña Datos, den clic en el botón Qui-tar duplicados, como se observa en la imagen 3. En las celdas C9, C10 y C11 coloquen los en-cabezados “Media”, “Mediana” y “Moda”.

3. Seleccionen las celdas de G2 hasta G11 y te-cleen la fórmula “Contar.si($A$2:$A$61,F2)”. Presionen las teclas Ctrl y Bloq Mayús o Ctrl y Mayus, dependiendo del sistema operativo y, sin soltarlas, presionen Enter para copiar la fórmula en todas las celdas.

Observen que, a diferencia de la función Contar, la función Contar.si no cuenta todos los datos del rango, sino únicamente aquellos que son iguales al que se busca, en este caso el que se encuentra en la celda F2.

4. En la columna H, ingresen la fórmula “Frecuencia($A$2:$A$61,F2)” como hicieron en el paso anterior. Observen la imagen 4.

5. Para calcular el producto, ingresen la fórmu-la “F2*G2” en la columna I. Repitan el proce-dimiento anterior para ingresarla en todas las celdas.

6. Para calcular la media, ingresen en la celda D9 la fórmula “SUMA(I2:I11)/H(11)”. Para obtener la mediana, consideren la columna de la frecuencia acumulada y para la moda, la columna de la frecuencia.

Para verificar sus resultados, comparen los datos obtenidos en el paso 6 con los que resultaron en la página anterior. Retomen la tabla de la página 80 y calculen las medidas de tendencia central usando una hoja de cálculo electrónica. Comenten con sus compañeros qué modificaciones deben hacer al procedimiento.

1. En las celdas F1, G1, H1 e I1 coloquen los encabezados “Marca de clase”, “Frecuencia”, “Frecuencia acumulada” y “Producto” respectivamente.

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Construcción de polígonos semejantes 13


Figuras semejantes, ¿qué tienen en común?

1. Reúnete con un compañero y lean la información. Hagan lo que se pide y respon-dan en su cuaderno.

En la vida cotidiana es posible encontrarse con imágenes u objetos que permiten es-timar las dimensiones de espacios reales. Por ejemplo, se puede tener una noción de la distribución de un hospital observando un plano o maqueta. También se puede calcular la medida de objetos, a partir de imágenes.

La imagen muestra un periódico elaborado por alumnos de secundaria y algunas representaciones en miniatura de este que se distinguen con las letras A, B y C. Mar-quen la letra de las representaciones que no son reducciones del original.

Lección 1

a. Midan el largo y el ancho del periódico original y de cada representación. Calculen el factor constante de proporcionalidad.

b. ¿El original y sus copias deben tener todas sus medidas iguales? ¿En qué casos sí? ¿En cuáles no?

c. ¿Cómopuedenidentificarcuálesuncopiadeloriginal?¿cuándoesunaamplia-ción o una reducción?

d. ¿En qué se parecen las tres imágenes del original? ¿En qué son diferentes?e. En matemáticas, ¿cuál es la diferencia entre parecido ser una copia, una amplia-

ción o una reducción?

A.

C.B.

Comenten sus respuestas con sus compañeros y lleguen a una conclusión. Revísenla con ayuda de su profesor.

Original

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Rectángulos semejantes

1. Julián hizo el diseño de un celular para el periódico escolar usando un progra-ma de geometría dinámica. Utiliza regla, transportador y compás para analizar la imagen. Luego haz lo que se pide.

a. Analiza las relaciones entre los lados marcados con los mismos colores. Encuentra lados congruentes.

e. ¿Cómo son entre sí de las medidas?

Los rectángulos ABCD y ABCD son semejantes porque sus lados correspondientes sonproporcionalesysusrespectivosángulossoniguales.Paradenotarquedosfi-guras son semejantes se utiliza el símbolo ~ y se lee “es semejante a”. En el ejemplo,para decir que el rectángulo ABCD es semejante al rectángulo ABCD se escribeABCD ~ ABCD.


1. Construye en tu cuaderno dos cuadrados diferentes.

a. ¿Son semejantes? ¿Por qué?

2. ¿Todos los rectángulos son semejantes? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y juntos argumenten el procedimiento que usaron para determinar la semejanza de las figuras.

ABAB

CDCD

BCBC

ADAD

b. ¿Cuánto miden los ángulos del rectángulo ABCD y de ABCD?

c. Mide la longitud de cada lado del rectángulo exterior y su correspondiente en el interior. Anota esas medidas sobre cada lado.

d. Divide la medida del lado AD entre la del lado AD. Repite este procedimiento con los lados AB y AB. Coloca las respuestas donde corresponde.

Son iguales

Son iguales

1.13

1.13

1.13

1.13

R. M. Sí, porque sus lados correspondientes son

No, porque aunque sus ángulos

proporcionales y sus ángulos son iguales.

correspondientes son iguales, sus lados no siempre son proporcionales.

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Parejas de rectángulos semejantes

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide para determinar cuándo un par de rectángulos son semejantes.

a. Consigan regla, escuadras, transportador, compás, calculadora, tijeras y hojas cuadriculadas o milimétricas.

b. Repártanse las siguientes longitudes de rectángulos de forma que cada uno construya cinco de ellos. Trácenlos en sus hojas cuadriculadas y recórtenlos.

A. 5 cm, 3 cm B. 15 cm, 10 cm C. 8 cm, 6 cm D. 8 cm, 8 cmE. 20 cm, 12 cm F. 5 cm, 4 cm G. 18 cm, 12 cm H. 2 cm, 2 cmI. 16 cm, 12 cm J. 10 cm, 8 cm

c. Identifiquenlasparejasderectángulossemejantes.Expliquenquéprocedimientousaron para determinarlo.

2. Analicen las ideas con las que varias parejas de estudiantes querían comprobar que dos rectángulos son semejantes.


Trazar las diagonales y los centros de cada rectángulo y hacerlos coincidir.

Encontrar el número de veces que cabe el rectángulo chico en el grande.

Trazar una diagonal en cada rectángulo y hacer coincidir un vértice y la diagonal.

Colocar el rectángulo grande en el piso y colocar el pequeño arriba de este, tratando de que tape al grande.

Lección 2

Reúnanseconotraparejaycompartansusresultados.Elaborenunaestrategiaparaidentificarcuándo un par de rectángulos son semejantes.

P. R. El alumno debe describir su procedimiento y ver que A con E, F con J, C con I, B con G y D con H son semejantes.

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Calcular el cociente entre la medida del largo y el ancho de cada rectángulo y ver si coinciden.

Calcular el cociente entre el largo de un rectángulo y su correspondiente. Repetir el procedimiento con el ancho de los rectángulos y ver si coinciden.

a. Elijan un rectángulo de los que construyeron y dos de los métodos anteriores y encuentren el rectángulo que sea su semejante.

Cuandodosfigurassonsemejantes,paracadapartedeunafigurahayuna parte correspondiente en la otra. Al cociente entre la medida de un lado y su correspon-diente se le conoce como razón de semejanza.


1. Construye dos rectángulos semejantes y uno que no lo sea.

2. Observayanalizalossiguientesrectángulos,¿sonsemejantes?Encasoafirmativo…

a. ¿Cuál es la razón de semejanza? b. Silarazóndesemejanzafuera1…

y ¿Cómo serían los dos rectángulos? y ¿Qué medidas serían iguales?

y ¿Cuáles serían diferentes?

y ¿Quécaracterísticas(ángulos,lados,forma)identificas

entre dos rectángulos semejantes?

a

b

a

b

ba

b

a

a

b

a

b

bb

aa

Reúnanseconotrasdosparejasyseleccionenelmétodoqueconsiderenmásútilparaidentificarrectángulos semejantes.Utilícenlo para emparejar los rectángulos que construyeron y verifi-quen su respuesta del inciso c de la actividad 1.

1.625

Iguales

R. M. Sus lados

R. M. Todos los lados

La forma debe ser

correspondientes son iguales.

correspondientes son iguales.

la misma, los ángulos iguales y los lados correspon-dientes deben guardar la misma razón de semejanza.

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Polígonos semejantes

1. Reúnete con un compañero. Lean la información y respondan.

Dosfigurasson semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mis-motamaño.Silasfigurastienenlamismaformayelmismotamaño,sedicequesoncongruentes, en este caso, la razón de semejanza es 1.

Dos polígonos son semejantes si las medidas de los ángulos correspondientes son iguales y las razones entre los lados correspondientes son iguales, es decir, tienen la misma razón de semejanza.

Lección 3

a. ¿Laafirmaciónesciertaparacualquierpolígonoquenosearectángulo?¿Porqué?

2. Analicen los pares de polígonos y completen la tabla. En cada caso, identifiquen si cada par de figuras tienen una relación de semejanza, congruencia o ninguna.

Figura Relación Argumento

Sí, porque todo polígono consta de lados y ángulos interiores, por lo que se pueden hacer las respectivas comparaciones

Congruencia

Semejanza

Ninguna

Semejanza

R. M. Las imágenes tienen el mismo tamaño, solo

están rotadas.

R. M. Los triángulos están a escala uno del otro.

R. M. Los rectángulos no están a escala uno del otro.

R. M. Las imágenes están a escala una del otra.

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1. Resuelve el siguiente problema.

Si la altura del trapecio ABCD es 4 cm...

a. ¿Cuánto mide la altura de sus semejantes ABCD y ABCD?

b. Marca los ángulos correspondientes con el mismo color y símbolo. ¿Cuánto mide cada ángulo?

c. ¿Cuál es la razón de semejanza entre parejas de trapecios? Describe el procedi-miento usado.

2. Responde las preguntas con base en los polígonos semejantes que identificaste en la lección anterior.

a. ¿Qué relación hay entre la medida de los perímetros de dos polígonos semejantes?

b. ¿Qué relación hay entre el área de dos polígonos semejantes?

3. Considera lo que has aprendido sobre semejanza de polígonos y responde.

a. ¿Cómoseidentificanlasfigurassemejantesengeometría?

b. ¿En qué elementos o características se debe prestar atención para reconocer dosfigurassemejantes?

4 cm

4 cm

8 cm

A B

CD

3.09 cm 3.75 cm

6 cm

A B

CD4 cm

2.06 cm 2.5 cmA B

CD

4.12 cm5 cm

3 cm2 cm

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con ayuda del profesor. Luego comenten qué diferencia existe entre parecido y semejante. Investiguen qué objetos producen figurassemejantes.

La altura del trapecio ABCD mide 3 cm y la del trapecio ABCD mide 1.5 cm

El ángulo a mide 76.13°, el ángulo b mide 103.87°, el ángulo c

R. M. La razón de semejanza entre los trapecios ABCD y

mide126.87°y,finalmente,elángulod mide 53.13°.

ABCD es igual a 1.33 y entre los trapecios ABCD y ABCD es 2. Paracalcularla basta dividir las medidas de los lados correspondientes.

R. M. El perímetro del polígono más grande cumple la misma razón de

R. M. el área

R. M. Por la forma

R. M. En los lados y los ángulos interiores, así como en

semejanza que los lados, con respecto al perímetro del polígono pequeño.

del polígono más grande cumple la misma razón de semejanza que los lados, pero elevada al cuadrado, con respecto al área del polígono pequeño.

delasfiguras.

la razón entre lados correspondientes.

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Aprendizaje esperado: Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 14Más de polígonos semejantes

Contenido: Construyes figuras semejantes usando diferentes herramientas.

¿Cómo hacer ampliaciones o reducciones?

1. Reúnete con un compañero. Tracen en su cuaderno el siguiente dibujo con una razón de semejanza igual a 2.

a. ¿Qué herramientas utilizaron para hacer el trazo?

b. ¿El trazo que realizaron en su cuaderno es una copia exacta, una ampliación o unareduccióndeldibujo?Justifiquensurespuesta.

c. Con base en lo que trazaron, respondan. y ¿Cuál es el valor de la razón de semejanza en una copia exacta?

y ¿En una ampliación, cómo es? y ¿En una reducción, cómo es?

d. ¿Qué características tienen una copia exacta y su original?

e. ¿Quécaracterísticascompartenunafiguraoriginalyunareproducción,yaseaampliación o reducción?

Lección 1

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y valídenlas con ayuda de suprofesor.Comentenlasdificultadesquetuvieronpararealizareltrazo.

R. M. Regla graduada y

Es una ampliación

Son iguales en

Son iguales solo en su forma.

Dibujo

escuadras.

porque es más grande que el dibujo del libro.

forma y tamaño.

original/dibujo copiado 1Dibujo copiado/dibujo original 1

Dibujo copiado/dibujo original 1

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Construcciones con el juego de geometría

1. Analiza el polígono y responde.

a. ¿Qué relación hay entre la longitud del segmento AB y la longitud del segmento A′B′?

2. Usa tu juego geométrico para continuar con la construcción del polígono a razón de semejanza 1:2.

a. Mide todos los ángulos.b. Traza A′B′C′.¿CómoessumedidarespectoaABC? c. Construye B′C′. ¿Qué relación tiene este nuevo segmento con BC?

d. Traza B′C′D′,C′D′E′yconstruyeC′D′, D′E′ y E′A′.e. Con otro color, une cada vértice del polígono original con su correspondiente.

¿Quéidentificas? f. ¿PorquésepuedeafirmarqueDC y AB son paralelos?


En parejas, realicen la actividad en su cuaderno.

1. Calculenelperímetrodelasfigurasanteriores.¿Cuáleslarelaciónentreellos?2. Tracenlasdiagonalesenlafiguraoriginal.¿Quérelacióntienenconlasdiagonalescorres-

pondientesdelasegundafigura?3. Calculen el área. ¿Sucede lo mismo que ocurrió con el perímetro y las diagonales? Expliquen.

A A′ B′B

CD

E

Comenten sus respuestas en grupo y valídenlas con apoyo de su profesor.

El segmento A’B’ es el doble del segmento AB.

Mide lo mismo.

Porque el ángulo B y el

Mide el doble

C miden 90º y tienen en común el segmento BC.

Que las rectas que unen los vértices se cruzan en un punto.

Ver solucionario

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Pantógrafo: ¿Para qué sirve?


El pantógrafo es un instrumento de dibujo construido en 1603 por el físico alemán Christopher Scheiner. Su funcionamiento se basa en paralelogramos articulados.

a. Reúnete con dos compañeros y consigan el siguiente material para construir un pan-tógrafo: 4 regletas de madera o de cartón grueso de 36.6 cm de largo y 2 cm de ancho, 3brocheslatonados,tachuelasoalgoquepermitafijar,1marcador,2gomasigualesconunorificioenelcentrodelanchodeunlápiz,2lápicesycintaadhesiva.

Instrucciones

i. En cada regleta midan, a partir de un extremo, 9.8 cm, 12.7 cm, 18.4 cm y 24 cm y etiquéten-los con 4, 3, 2 y 1.5 respectivamente. Perforen cada punto para que entre un broche latonado. Tomencomoreferencialafigura1.

ii. Marquen cada regleta con una letra, como se muestraenlafigura2.

iii. En cada regleta, marquen un punto a 1.3 cm del extremo donde están las letras. Cuiden que quede centrado. Sobre cada punto, ha-ganunorificioenelquequepaunlápiz.

iv. En las regletas A y C, midan 1.2 cm a partir del otro extremo y perfórenlas para unirlas con un broche.

v. Coloquen un lápiz en cada goma y fíjenlo con cinta adhesiva. La punta del lápiz debe que-dar a 2 cm de altura respecto de la goma, comoenlafigura3.

vi. Unan las regletas B y D con uno de los lápices

congoma,comosemuestraenlafigura4.

vii. Con un broche, unan en la perforación 2, la regleta C con la D, y la B con la A.

viii.Coloquenelotro lápizcongomaenelorifi-ciode la regletaC. Tomen la figura 4 comoreferencia.

Figura 1

Figura 3

Figura 2

Figura 4

Contenido: Construyes figuras semejantes usando diferentes herramientas.

Lección 2

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2. Realicen la actividad en los mismos equipos.

a. Utilicen su pantógrafo y sigan las instrucciones.i. Retomen el trazo del zorro del inicio de la secuencia.ii. ColoqueneltrazobajoellápizqueestáenelorificioqueuneByD,yuna

hoja en blanco debajo del otro lápiz. Sigan los trazos del polígono dibujado. b. ¿Qué se está trazando con el lápiz que está en la regleta C?

c. Al terminar el dibujo, midan uno de los lados de la oreja del zorro original y del

nuevo trazo. ¿Cuál es la razón de semejanza? iii. Coloquen el trazo del zorro original debajo del lápiz ubicado en la regleta C. iv. Coloquen otra hoja en blanco debajo del otro lápiz.

d. ¿QuéseestátrazandoconellápizqueestáenelorificioqueuneByD?

e. Al terminar el dibujo, midan uno de los lados de la nariz del zorro original y del nuevo trazo. ¿Cuál es la razón de semejanza?

f. Describan para qué sirve un pantógrafo y cómo funciona.


1. Reunidos en equipo, hagan lo que se solicita.

a. Coloquenlosbrochesdelpantógrafoenlosorificiosindicados con el número 3 y tracen, en hojas blancas, el búho que se muestra a la derecha, con los dos lápi-ces.Luegocambienlosbrochesalosorificiosmarca-dos con 1.5 y tracen nuevamente el búho. ¿Cuáles son las razones de semejanza para cada caso?

2. Si dos polígonos son congruentes, ¿cuánto es el valor de la razón de semejanza? Expliquen su respuesta.

3. Escriban V o F en los siguientes enunciados. En caso de ser F, tracen un ejemplo en su cuaderno.

a. Todos los pentágonos son semejantes. b. Todos los cuadrados son semejantes. c. Todos los polígonos congruentes son semejantes. d. Todos los polígonos semejantes son congruentes.


Comenten en el grupo cómo es que funciona el pantógrafo y analicen las respuestas del ejercicio 2. Si hay dudas, discútanlas para aclararlas.

Una reproducción

Una

F

VF

V

Sirve para reproducir

Son 2 y 1/2

La razón es 1. Al ser congruentes son del mismo tamaño.

12

2 a 1

amplificadadeldibujodelzorro.

reproducción reducida del dibujo del zorro.

dibujos a escala y se utiliza haciendo coincidir los números de las regletas.

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Punto de encuentro


Los paracaídas

Los paracaídas son artefactos de tela cuya función es moderar la velocidad de caída de un cuerpo que se arroja desde un lugar elevado hasta que alcanza una rapidez constante, que se conoce como velocidad terminal. Esto lo logran gracias a la fuer-za de resistencia del aire.

Se utilizan para frenar aviones que llegan con gran aceleración a una pista, para frenar la caída de naves espaciales y cohetes experimentales o para entregar mer-cancíaenlugaresremotos.Sinembargo,tambiénseusanconfinesrecreativos,enlos que las personas se lanzan desde un avión para sentir el efecto de la caída libre.

1. Reúnete con dos compañeros, lean la situación y hagan lo que se solicita.

Un grupo de alumnos de tercero de secundaria hizo dos experimentos con muñecos de plastilina y paracaídas. En el primero usaron un paracaídas circular con área de 900 cm2 construido por ellos y sucesivamente colgaron de él diferentes muñecos de plastilina para obtener datos sobre la fuerza de resistencia al lanzarlos desde 2 m de altura. En el se-gundo experimento, usaron solamente un muñeco y variaron el área del paracaídas en cada lanzamiento. La masa del paracaídas con el muñeco era de 200 g.

a. ¿Qué variables escogieron los alumnos para analizar la fuerza de resistencia del aire?

b. ¿Están de acuerdo con su elección? ¿Por qué?

Los alumnos y su profesor decidieron utilizar los datos de velocidad terminal y masa para determinar cómo varía la velocidad con la fuerza de resistencia del aire. El ar-gumento que utilizaron para tomar esa decisión fue “Cuando se alcanza la velocidad terminal, el peso y la fuerza de resistencia del aire están en equilibrio, y como la ace-leración de la gravedad es constante, entonces a partir de la velocidad que alcanza cada paracaidista cuando las dos fuerzas son iguales se puede obtener información sobre la relación entre la fuerza de resistencia del aire y la velocidad terminal”.

c. ¿Están de acuerdo con ese argumento?

El área del paracaídas y la masa del muñeco con el paracaídas

R. L.

R. L.

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2. Analicen los datos de la tabla y hagan lo que se pide.

a. Los datos obtenidos por los alumnos se muestran en la siguiente tabla. Calculen las razones de cambio con los datos y anótenlos en la columna correspondiente.

y ¿Qué tipo de variación se presenta? y Dibujen la gráfica en su cuaderno. ¿Coincide la gráfica con su respuesta anterior?

y Escriban una expresión que represente la relación entre ambas variables.

Escriban en su cuaderno un resumen sobre la caída del paracaídas. Comenten la relación que hay entre la resistencia del aire y el movimiento del paracaídas y ex-pliquen por qué son importantes las matemáticas al estudiar física.

y ¿La variación es lineal? ¿Por qué?

y Dibujen en su cuaderno una gráfica en la que muestren la velocidad terminal del paracaídas respecto a la masa. ¿Coincide lo que se observa en la gráfica con su respuesta anterior?

b. Calculen el cuadrado de la velocidad terminal y completen la tabla. Construyan una gráfica usando, para el eje vertical, el cuadrado de la velocidad; y para el eje horizontal la masa.

y ¿Qué observan? y ¿Qué pueden concluir respecto a la relación entre la fuerza de resistencia del

aire y la masa?

y Escriban una expresión que represente la relación entre ambas.

c. La siguiente tabla muestra la variación entre la velocidad terminal y el área del paracaídas.

Masa (kg) Velocidad terminal (VT) (m/s) Razón de cambio VT2 (m2/s2)

0.10 1.00

0.15 1.440.20 1.790.25 2.070.30 2.320.35 2.55

Área (cm2) 700 800 900 1 000 1 100VT (m/s) 2.21 2.02 1.80 1.61 1.39

VT2 VT1

m2 m1 0.44

0.05 8.8

No, porque los datos no varían de

Sí

R. M. Que la gráfica es una línea recta.

Lineal

Sí

VT (2 103)A 0.81 donde A es el área del paracaídas.

manera proporcional.

R. L.

VT2 22m 12

1 8.8 2.17 3.25.6 4.35 5.44.2 6.5

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Reviso mi trayecto


1. Grafica y responde.

a. 12 x2 1 y b. x2

12 y

y ¿Ambas funciones son cuadráticas? ¿En qué difieren?

y ¿Qué sucede con la variable independiente conforme aumenta la variable de-pendiente en cada caso?

2. Une con líneas las figuras semejantes.

a. Explica por qué las figuras son semejantes.

y

x

-5 -4 -3 -2 -10

1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5y

x

-5 -4 -3 -2 -10

1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

3. Resuelve la ecuación x2 25 119. Escribe tu procedi-miento en el recuadro.

En la columna "Nota", marca una en los reactivos que resolviste

correctamente.Reactivo Nota Secuencias Páginas

1 10 66 a 692 11 72 a 773 13 86 a 91

R. M. Sí, en la primera

R. M. La primera función primero decrece y luego

x2 119 25, x2 144, x ± 12

función la parábola se abre hacia arriba y en la segunda, la parábola se abre hacia abajo.

crece y la segunda primero crece y luego decrece.

R. M. Los polígonos son semejantes porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados son proporcionales.

6

6

6

6

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Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obten-gas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Encuentra cinco números primos diferentes cuya suma sea 40. Menciona 3 solu-ciones posibles.

2. En una primaria hay 195 alumnos y en una actividad deportiva deben colocarse en filas de manera que haya la misma cantidad de alumnos en cada una.

a. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse? b. En cada una de esas opciones, ¿cuántas filas habrá? ¿Cuántos alumnos habrá en

cada fila?

3. La maestra Ana tiene 36 lápices, 27 bolígrafos y 18 gomas y necesita armar paque-tes de material escolar.

a. ¿Cuál es el mayor número de paquetes que puede formar sin que le sobre mate-rial de ningún tipo?

b. ¿Cuántas piezas tendría cada paquete?

4. En la ruta de un ultramaratón de 100 km se colocan estaciones de hidratación cada 8 km y estaciones de barras energéticas cada 12 km. ¿En qué momento de la carrera se instalarán ambas estaciones?

a. Si hay revisión médica cada 20 km, ¿en algún punto coincidirán las tres estaciones? ¿Por qué?

5. En una fábrica se producen cilindros de diferentes materiales. El volumen de cada cilindro es de 39w4x2. ¿Cuánto mide la altura de un cilindro si su base tiene una su-perficie de 13w2x?

2, 3, 5, 7 y 23; 2, 3, 5, 11 y 19; 2, 3, 7, 11 y 17

De 6 formas

3 filas de 65, 5 filas de 39, 13 filas de 15, 15 filas de 13, 39 filas de

9 paquetes4 lápices, 3 bolígrafos y 2 gomas

No, porque coincidirían luego de 120 km y el ultramaratón es de 100 km.

Cada 24 km coincidirán una estación de hidratación y una de barras energéticas.

5 o 65 filas de 3

3w2x

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6. En un conjunto residencial se ofrecen casas con áreas de construcción de diferen-tes tamaños. Cada casa tiene un patio con las medidas que se indican.

a. ¿Qué expresión representa el área del terreno de la derecha?

b. Si el área de un terreno rectangular fuera x2 4, ¿qué medidas podría tener el terreno?

7. Analiza la figura y obtén su área de dos maneras. Comprueba que los dos procedi-mientos sean expresiones equivalentes.

3 m

2 m

x2

x 2

x 2

11

8. Jorge tiene una fábrica de manteles y sabe que si produce cierta cantidad de man-teles los costos van disminuyendo, pero después de cierta cantidad los costos au-mentan. Observa la gráfica y responde.

a. ¿Qué tipo de función genera esta gráfica? b. ¿Cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente?

c. ¿A partir de cuántos manteles los costos aumentan? ¿Cuál es el costo en ese punto?

d. ¿Qué tipo de número tendrá el coeficiente cuadrático en la función? Explica.

300

250

200

150

100

50

0

Cost

os ($

)

2 4 6 8 10 12 14Número de manteles

16 18 20 22 24 26

(x 6)(x 4) x2 10x 24

x 2 y x 2

Una función cuadráticaLa variable

10 y el costo es $20 aproximadamente.

Positivo, ya que la parábola se abre hacia arriba.

dependiente es el costo y la independiente es el número de manteles.

(x 3)(x 5)

x2 8x 15

R. M.

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9. En una fábrica de baterías recargables verifican el rendimiento de su producto. Para ello prueban 25 piezas en diversos dispositivos con la finalidad de saber cuántas horas funcionan. Completa la tabla y calcula las medidas de tendencia central media, mediana y moda.

Explica tu respuesta. c. ¿Cuál será el sueldo de Ernesto si vende 5, 20, 30 o 100

cinturones de piel?

100020003000400050006000700080009000

20 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

15000140001200010000

5000600040002000

-12-16 -8 -4 40 8 12 16

Duración de la batería(Horas)

Marca de clase (x) Frecuencia (f) Producto (fx) Frecuencia

acumulada (fa)

10 a 17 818 a 24 425 a 32 733 a 40 541 a 48 1

n S Total:


10. Ernesto vende cinturones de piel y gana $5 500 mensuales además de una comi-sión de $50 por cinturón vendido.

a. Escribe una expresión que represente el sueldo mensual de Ernesto con comisión.

b. Encierra la gráfica que representa la expresión algebraica del inciso anterior.



1 1 18 a 252 2 26 a 313 2 26 a 314 3 32 a 355 4 36 a 406 5 42 a 457 6 y 7 46 a 558 10 66 a 699 11 72 a 77

10 12 78 a 83

13.5 1088421

199.528.5182.536.544.5

25

24.74 28.5 13.5

618.5 2544.5

812192425

función es lineal.

5 cinturones, $7 000 si vende 30 y $10 500 si vende 100.

S 50x 5500 donde S es el sueldo y x es el número de cinturones vendidos.

La gráfica es la primera porque la

Su sueldo será de $5 750 si vende

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Bloque 2En este bloque:





• Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.


Inteligencia artificial

En la actualidad, uno de los objetivos principales de la tecnología es impulsar el desarro-llo de la inteligencia artificial, es decir, construir una computadora capaz de aprender de su entorno y tomar decisiones.

Uno de los diversos métodos empleados para desarrollar la inteligencia artificial con-siste en usar redes bayesianas, las cuales son complejos diagramas, similares a la es-tructura cerebral, que permiten a la computadora tomar decisiones a partir de datos estadísticos y probabilidades frecuenciales. El resultado de las decisiones tomadas en el proceso actualiza los datos estadísticos con que contaba, que es como decir que la computadora “aprende” de sus decisiones.

Este tipo de redes se aplica en algunos algoritmos que ayudan al diagnóstico médico, así como en la educación mediante programas de computadora.

¿En qué otros ámbitos piensas que se aplica la inteligencia artificial?

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103103

La inteligencia artificial se emplea en la robótica para crear máquinas capaces de reproducir el razonamiento

humano y realizar tareas que las personas no pueden efectuar.

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Aprendizaje esperado: Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.

Factores primos y reducción de fracciones 15

Contenido: Usas la descomposición en factores primos para resolver problemas (reducción de fracciones).

Descomposición única en factores primos

1. Observa los números y haz lo que se pide.

420 231

a. Con base en lo que aprendiste en las primeras secuencias didácticas de este li-bro, encuentra un conjunto de números primos que, multiplicados, formen cada uno de los números anteriores. Escribe tu procedimiento.

b. Compara tus respuestas con las de dos compañeros.

y ¿Son iguales? y ¿Alguno de tus compañeros llegó a una respuesta distinta? ¿Por qué piensas

que ocurre esto?

Descomposición en factores primos

1. Lee la siguiente situación y responde.

Al resolver un problema en clase de Matemáticas, Adriana, Regina y Eduardo llega-ron a los siguientes resultados.

a. El maestro dijo que los tres resultados eran correctos, pero le dio un punto extra a Eduardo. ¿Por qué piensas que lo hizo?

Lección 1

Resultado de Adriana: 462231 Resultado de Regina: 154

77 Resultado de Eduardo: 2

Comenten en grupo sus respuestas y concluyan con ayuda de su profesor.

2 × 2 × 3 × 5 × 7 420

3 × 7 × 11 231

Sí

R. M. No, únicamente puede cambiar el orden de los

R. M. Es el resultado simplificado al

factores, pero el resultado es único para cada número.

máximo.

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b. ¿Son equivalentes las respuestas de los tres alumnos? ¿Cómo lo sabes?

y ¿En qué se diferencian?

c. Partiendo de la respuesta de Adriana, sugiere una serie de pasos para llegar a la respuesta de Eduardo.

y Compara tus respuestas con las de tus compañeros y corrígelas si es necesario.

2. Observa las siguientes descomposiciones en factores primos de 180 y responde.

2 × 2 × 3 × 3 × 5 1802 × 3 × 5 × 2 × 3 180

a. ¿Son iguales las descomposiciones? Justifica tu respuesta.

Todo número entero mayor que 1 es un número primo o puede descomponerse de manera única como un producto de números primos. A esta afirmación se le conoce como teorema fundamental de la aritmética.

3. A partir de las respuestas de Adriana, Regina y Eduardo, contesta.

a. ¿Para qué sirve saber descomponer en factores al trabajar con fracciones?


1. Resuelve el problema en tu cuaderno simplificando las fracciones.

Juan recibió los resultados de tres exámenes. Sus profesores registraron sus calificaciones como fracción al considerar el número de respuestas correctas entre el número de reactivos. En Matemáticas obtuvo 36

48 , en Química 100120 y en Inglés 56

64 . ¿En qué materia obtuvo mejor calificación?

Compara tus resultados con los de tus compañeros y comenten sus dudas con su profesor.

Valida tus respuestas en grupo. Después comenten con su profesor la siguiente información.

Comparte tu respuesta con tus compañeros y lleguen a una conclusión. Valídenla con ayuda de su profesor.

Ver solucionario

Sí. Al simplificar las fracciones el resultado es el mismo.

En qué tanto se simplificó cada respuesta.

R. M. Dividir el numerador y denominador entre 3,

luego entre 7 y, por último, entre 11.

Sí, únicamente cambia el orden de los factores.

Sirve

para simplificar el resultado o para simplificar fracciones antes de resolver operaciones.

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Reducción de fracciones

1. Resuelve el problema con un compañero.

La familia Fernández fue a la fiesta de unos amigos. Cuando llegaron, quedaban 1220

de pastel. De lo que quedaba, ellos se comieron 23 .

a. ¿Qué se obtiene al multiplicar las dos fracciones del problema?

b. Anoten dos posibles maneras de resolver esta multiplicación. Escriban el resul-tado simplificado.

Lección 2

y ¿Cuál procedimiento es más sencillo? ¿Por qué?

2. Analiza los procedimientos y responde.

655 × 9

6

Procedimiento 1: 655 × 9

6 13 × 55 × 3 × 3

2 × 3 131 × 5

5 × 32 × 33 13

1 × 32 131 × 32

392

Procedimiento 2: 655 × 9

6 58530 13 × 3 × 3 × 5

2 × 3 × 5 13 × 32 × 33 × 55 13 × 3

2 392

a. ¿En qué consiste cada uno de los procedimientos?

b. ¿Por qué las fracciones cuyo numerador y denominador son iguales ya no se es-cribieron en la siguiente igualdad?

c. ¿Cuál de los procedimientos consideras que es más sencillo y por qué?

Contenido: Usas la descomposición en factores primos para resolver problemas (reducción de fracciones).

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y lleguen a una conclusión que dé respuesta a la pregunta del inciso b. Luego lean la información de la siguiente página.

Se obtiene la fracción de pastel que se comió la familia Fernández.

R. M. En el procedimiento 1, se descomponen las fracciones, se reducen términos y se hace la multiplicación. En el procedimiento 2, se hace la multiplicación, se descompone el resultado y se reducen términos.

R. M. Descomponer las fracciones y eliminar los factores repetidos para simplificar, pues implica menos operaciones.

R. M. Porque una fracción con el mismo

R. L.

numerador y denominador equivale a 1, y todo número multiplicado por 1 da el mismo resultado.

1220 × 2

3 2 × 2 × 32 × 2 × 5 × 2

3 35 × 2

3 25

1220 × 2

3 2460 4

10 25

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Para reducir una fracción empleando factores primos, primero se hace la descom-posición del numerador y del denominador y, después, se identifican los factores que tienen en común. Estos se simplifican, ya que al dividir un número entre sí mis-mo, el resultado es 1.

858462 2 × 3 × 11 × 13

2 × 3 × 11 × 7 22 33 11

11 137 1 1 1 13

7 137

Comenta con tus compañeros si se pueden comparar las fracciones para responder antes de simplificarlas y por qué.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y concluyan cómo identificar cuándo una fracción es equivalente a un decimal finito o a un decimal periódico. Validen su respuesta con ayu-da de su profesor.

3. Observa las siguientes igualdades entre fracciones, decimales y fracciones deci-males. Haz lo que se pide y responde en tu cuaderno.

35 0.6 6

1034 0.75 75

10023 0.6 16

9 0.3 920 0.45

45100

a. Realiza la descomposición en factores primos de las fracciones en rojo. y ¿Qué tienen en común los factores de los denominadores de las fracciones

equivalentes a un decimal finito? y ¿Qué tienen en común los factores de los denominadores de las fracciones

equivalentes a un decimal periódico?

b. Analiza la fracción 924 . Explica por qué equivale a un decimal finito.


1. Lee la situación. Contesta en tu cuaderno y justifica tus respuestas.

Una empresa mexicana de alimentos hizo una encuesta en siete estados del país para saber si la gente prefiere sabores dulces o salados. Estos fueron los resultados.

a. ¿Por qué piensas que los resultados se expresan en fracciones? ¿Qué represen-tan el numerador y el denominador en cada fracción?

b Simplifica las fracciones con factores primos. y ¿En qué estado es más clara la preferencia por los sabores dulces? y ¿En qué estado es más clara la preferencia por los sabores salados? y ¿En qué estados es igual el gusto por ambos sabores?

Estado Chiapas Coahuila Puebla Sinaloa Sonora YucatánPrefieren sabores

dulces 60180

77385

286429

90990

55100

105420

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16 Aprendizaje esperado: Determinarás y usarás los criterios de divisibilidad y los números primos.

Raíces cuadradas y la descomposición prima

Contenido: Calculas la raíz cuadrada de un número mediante su descomposición en factores primos.

Raíces cuadradas por descomposición de factores

1. Lee el problema y responde.

Se quieren dibujar cuatro cuadrados cuyas áreas sean de 324 cm2, 900 cm2, 56 cm2 y 175 cm2. ¿Cuáles serán sus dimensiones?

a. Si se conoce la longitud de uno de los lados de un cuadrado, ¿qué operación se debe hacer para calcular el área del cuadrado?

b. Si se conoce el área del cuadrado, ¿qué operación se debe hacer para calcular la longitud de sus lados?

y De acuerdo con lo que aprendiste en el grado anterior, ¿qué se busca con esta operación?

y ¿Cuántos valores tiene esta operación y cómo se representa cada uno?

Raíces cuadradas por descomposición en factores primos

1. Haz lo que se indica.

a. Usa la descomposición en factores primos y agrúpalos para hallar los divisores de 900, como hiciste en el problema 2 de la página 25.

Lección 1

Comenta tus respuestas con un compañero.

b. Realiza el siguiente análisis.

y Determina cuál de los divisores multiplicado por sí mismo da 900. y Identifica la agrupación de factores primos del inciso a con la que obtuviste el

divisor que multiplicado por sí mismo da 900. y Describe las características de esta agrupación.

c. Con base en tu análisis, plantea un procedimiento con el que, dado un número, puedas hallar otro que multiplicado por sí mismo dé como resultado el primero.

Se eleva al cuadrado la longitud.

Dos

valores: positivo y negativo. El positivo se representa a y el negativo, a .

R. M. Obtener los divisores del número y agruparlos en dos conjuntos iguales.

900 2 450; 900 4 225; 900 6 150; 900 12 75; 900 30 30900 3 300; 900 9 100; 900 10 90; 900 18 50; 900 1 900900 5 180; 900 25 36; 900 15 60; 900 20 45

Se calcula la raíz cuadrada del área.

Se busca un número que multiplicado por sí mismo sea igual al área.

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Una forma de calcular la raíz cuadrada de un número consiste en descomponer el nú-mero como producto de factores primos, agrupar y simplificar las operaciones inversas.

784 2 2 2 2 7 7 22 22 72 (2 2 7)2 2 2 7 28


1. La maestra Angélica planeó una actividad en la que cada alumno de 3.° A deberá tener una tarjeta de papel por cada integrante que hay en el grupo. Para repartir el material guarda, en sobres individuales, las tarjetas.

a. Si la maestra elaboró 1024 tarjetas de papel, ¿cuántos sobres repartió?

b. Si para 3.° B elaboró 1225 tarjetas de papel, ¿cuántos alumnos tiene en ese grupo?

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si lo consideras necesario, corrige.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten si es posible aplicar el procedimiento para los demás números y por qué.

d. Emplea el procedimiento que planteaste en el inciso c para hallar un número que multiplicado por sí mismo dé 324.

324 2 2 3 3 3 3324 (2 3 3) (2 3 3)324 18 18

1024 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21024 (2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2)1024 32 32

1225 5 5 7 7 1225 (5 7) (5 7)1225 35 35

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2. Verifica que las operaciones sean correctas. Luego responde.

22 32 (2 3)2 2 3 6 22 32 2 3 6

a. ¿Que ambas operaciones den el mismo resultado implica que son equivalentes? ¿Por qué?

b. ¿Se obtiene el mismo resultado al sustituir 2 y 3 por otros números? ¿Por qué?

c. ¿Por qué ambas operaciones dan el mismo resultado? Explica si esto sucede siempre.

Aproximación de raíces cuadradas

1. Retoma el cuadrado de la actividad inicial de la secuencia cuya área es de 56 cm2 y aplica la descomposición prima para determinar sus dimensiones.

a. ¿Pudiste aplicar el procedimiento? ¿Por qué?

b. ¿Qué diferencia hay entre la descomposición de este número y las descomposi-ciones de los números de la lección anterior?

Al igual que ocurre con los exponentes, la raíz cuadrada puede separarse dentro de la multiplicación. Por ejemplo:

22 22 72 22 22 72 2 2 7

Contenido: Calculas la raíz cuadrada de un número mediante su descomposición en factores primos.

Lección 2

3. Retoma el problema 1 de esta lección. Si 7 2.64, ¿es posible aproximar el valor de los lados del cuadrado? Realiza las operaciones.

56 2 2 2 7

R. M. No porque los factores

R. M. Los factores primos de 56

R. M. No, hay operaciones que dan el mismo resultado sin ser equivalentes.

distribuye en la multiplicación.

R. M. Sí, porque, en este caso, las operaciones son equivalentes.

R. M. Las operaciones son equivalentes porque la raíz cuadrada se

56 2 2 2 7 (2)2 2 7 (2)2 2 7 2 2 7 2 1.41 2.64 7.4448

primos de 56 no se pueden agrupar en dos conjuntos iguales.

no se repiten una cantidad par de veces y los factores primos de los números de la lección anterior, sí.

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a. Utiliza la información anterior para encontrar las dimensiones del cuadrado cuya área es 175 cm2.

Por medio de la descomposición en factores primos puede encontrarse el valor de una raíz cuadrada con exactitud, expresando el resultado con raíces.

Resultado exacto: 56 2 2 2 7 22 2 7 2 14


1. Plantea las ecuaciones cuadráticas de cada situación y resuélvelas como hiciste en la secuencia didáctica 10. Emplea la descomposición en factores primos para calcular las raíces cuadradas.

Compara tus respuestas con las de un compañero. Si hubo diferencias en ellas, coméntenlas y corrijan si es necesario. Validen sus resultados con ayuda de su profesor y resuelvan las dudas que hayan surgido.

a. El cuadrado de un número más 26 suman 100. ¿Cuál es el número? Considera nú-meros positivos y negativos.

b. Una casa con 6 m 6 m de superficie tiene un jardín con un área de 13 m2. Si el terreno es cuadrado, ¿cuáles son sus dimensiones?

175 5 5 7 (5)2 7 (5)2 7 5 7 5 × 2.64 13.2

x2 + 26 100x2 100 26x2 74x 74 x 2 37x 8.57

x2 36 13x2 49x 49x 72 x 7

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Ecuaciones cuadráticas y factorización de términos semejantes17

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de términos semejantes.

Factorización de ecuaciones cuadráticas

1. Encuentra los números que satisfacen la ecuación.

12x2 8x 0

Factorización de ecuaciones

1. Observa las ecuaciones, responde las preguntas y justifica tus respuestas.

Lección 1

x(x 9) 0 x(x 2) 0 (3x 6)x 0

a. ¿Qué significa que el producto de dos factores sea igual a cero?

b. ¿Cuál es el resultado de multiplicar cualquier número por cero?

c. A partir de tus respuestas de los incisos a y b, ¿puedes hallar las soluciones de las

ecuaciones? Explica cómo.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten las características que tiene la ecuación.

Comenta con tus compañeros la estrategia que empleaste para resolver las ecuaciones.

a. ¿Cuántos números hallaste que satisfacen la ecuación? b. ¿Qué estrategia empleaste? c. ¿Corresponde con alguna de las que viste en el bloque anterior? ¿Por qué?

P. R. Se espera que el alumno aplique alguna de las estrategias que conoce para determinar que los valores de x para los que se cumple la ecuación son: x 0 y x 2

3 . Es posible que no todos puedan calcular ambos valores.

R. M. Que al

R. M. Sí. Como la multiplicación es igual a 0,

Cualquier número multiplicado por 0 es 0.

entonces uno de los valores debe ser igual a 0, por lo cual basta con igualar cada factor con 0 y resolver.

menos uno de los factores es igual a cero.

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2. Lee la información.

Cuando la multiplicación de dos factores a y b da como resultado cero, entonces a 0 o b 0. Por ejemplo, si y(y 9) 0, entonces y 0, o (y 9) 0.

Se comprueba que, si y 0 al sustituir en la ecuación: 0(0 9) 0(9) 0.

Si (y 9) 0, entonces y 9, y al sustituir en la ecuación: 9(9 9) 9(0) 0.

De este modo, cada factor de la ecuación factorizada se iguala a cero. Por tanto, se obtienen dos ecuaciones de primer grado con las cuales se puede resolver la ecua-ción cuadrática.


1. Resuelve las ecuaciones.

a. x(x 5) 0

b. (3x 12)x 0

Corrobora tus resultados sustituyendo los valores que encontraste en las ecuaciones originales.

Compara el procedimiento anterior con la estrategia que usaste para resolver las ecuaciones.

a. Retoma las ecuaciones de la actividad 1 y resuélvelas empleando el procedi-miento que se describe en el recuadro anterior.

x(x 9) 0 x (x 2) 0 (3x 6)x 0x 0 o x 9 0 x 0 o x 2 0 3x 6 0 o x 0 x 9 x 2 3x 6 x 6 / 3 x 2

x (x 5) 0 x 0 o x 5 0

x 5

(3x – 12)x 0 3x – 12 0 o x 0 3x 12 x 12 / 3 x 4

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Solución de ecuaciones factorizando términos semejantes

1. Retoma las ecuaciones de la sección “Practicar para avanzar” de la página ante-rior y responde.

x(x 5) = 0 (3x 12)x 0

a. ¿Qué tipo de ecuaciones son: lineales o cuadráticas? ¿Por qué?

b. Realiza la multiplicación que está del lado izquierdo de la igualdad. ¿Qué tipo de ecuación obtienes?

c. ¿Qué características tienen en común las ecuaciones que obtuviste y la ecuación 12x2 8x 0 de la sección “Punto de partida”?

d. Apartirdelascaracterísticasqueidentificasteydeloqueaprendisteenlalec-ción anterior, plantea una estrategia para resolver la ecuación 12x2 8x 0.

Al proceso de pasar de una expresión ab ac a la forma a(b c) se le conoce como fac-torización de términos semejantes o factorización por factor común. Por ejemplo:

x2 5x x(x 5)

Se puede emplear la factorización de términos semejantes para resolver una ecua-ción cuadrática. Por ejemplo:

x2 5x 0 x(x 5) 0 x 0 o x 5 0 x 0 o x 5

Lección 2

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de términos semejantes.

Resuelve la ecuación en tu cuaderno y valida las soluciones sustituyendo los valores en la ecuación original.

Con base en la información anterior, revisa la estrategia que planteaste en el inciso d y, si lo con-sideras necesario, ajústala.

2. Lee la siguiente información.

R. M.

R. M. Que el término

Una ecuación cuadrática

Ecuaciones cuadráticas porque al desarrollar la multiplicación, se obtiene una expresión cuyo mayor exponente es 2.

independiente vale 0.

R. M. Se factoriza una x de cada término para obtener una multiplicación cuyo resultado es 0. Luego se iguala con 0 cada uno de los factores y se re-suelven las igualdades.

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3. Resuelve las ecuaciones usando la factorización de términos semejantes.

a. 5x2 15x 0

b. 35y2 7y 0

c. x2 3x 0

b. El cuadrado de un número menos siete veces ese número es igual a cero. ¿Cuál es ese número?



a. En una empresa, la utilidad varía según los costos, de la siguiente manera, 25x2 1875x, donde x es el número de unidades producidas. ¿Para qué valor de x las utilidades son iguales a cero?


Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con ayuda del profesor. Si es necesario, corrijan.

5x2 15x 0x(5x 15) 0x 0 o 5x 15 0 x 15/5 x 3

25x2 1875x 0x(25x 1875) 0x 0 o 25x 1875 0 x 1875/25 x 75

x2 3x 0x(x 3) 0x 0 o x 3 0 x 3

35y2 7y 0y(35y 7) 0y 0 o 35y 7 0 y 7/35 y 1/5

x2 7x 0 x(x 7) 0

x 0 o x 7 0 x 7

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18 Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Ecuaciones cuadráticas y factorización en binomios

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones en productos notables.

Factorización en binomio al cuadrado


En una fábrica de cajas, los diseños se hacen de acuerdo con los requerimientos de los clientes. Para el diseño de una caja de base cuadrada, el diseñador obtuvo la si-guiente ecuación: x2 6x 9 144, donde x representa la medida del ancho de la caja. ¿En esa caja cabe un tablero cuadrangular de 100 cm2desuperficie?

a. Dibuja la caja y el tablero, escribe sus medidas e indica con una x el ancho de la caja.

f. Ensucuaderno,verifiquensurespuestasustituyendoelvalorqueobtuvieronpara x en la ecuación x2 6x 9 144.

g. Deacuerdoconsurespuesta,¿eltablerocuadrangularcabeenlacaja?Justifiquensu respuesta.

Lección 1

Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor. Discutan cómo se puede resolver este tipo de ecuaciones y en qué son diferentes de las que han resuelto anteriormente.

b. ¿Cómo es la ecuación que obtuvo el diseñador: lineal o cuadrática? c. ¿Con cuáles de los métodos que conoces puedes resolverla? d. ¿Es posible factorizar la ecuación para resolv'erla? ¿Cómo?e. En parejas, busquen la medida del ancho de la caja que se diseñó. Pueden utilizar

una calculadora o una hoja de cálculo. Anoten el procedimiento que siguieron.

P. R. Los alumnos deberán encontrar el valor 9 por tanteo. Es posible que algunos encuentren el valor de −15,elcualtambiénesunasolucióndelaecuación.

R. L.

No, las medidas del tablero cuadrangular son mayores que las de la caja. El tamaño máximo del tablero puede ser de 9 cm por 9 cm.

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Ecuaciones cuadráticas y binomio al cuadrado

1. Reúnete con un compañero y consideren el problema anterior.

Un compañero del diseñador le sugiere escribir la expresión del lado izquierdo de la ecuación x2 6x 9 144, como un binomio al cuadrado de la forma (x + a)2.

a. Den valores a a para escribir la ecuación de esa manera. Registren sus intentos y resultados en su cuaderno.

y Alelevarelbinomioalcuadrado,¿seobtienelaecuaciónoriginal?Justifiquen.

y ¿De qué sirve escribir la ecuación de esta manera?

b. Completen el procedimiento.

y ¿Cuánto vale x en cada caso? c. Analicen los valores que obtuvieron para x. ¿Tienen ambos valores sentido den-

tro del problema? ¿Por qué?

2. Realiza lo que se pide.

a. Escribe cada trinomio como un binomio al cuadrado.

y ¿Qué procedimiento seguiste?

b. ¿Es posible escribir el trinomio x2 x 1 como un binomio al cuadrado? ¿Qué observas?

c. ¿Qué características debe tener un trinomio para factorizarse como se hizo en el inciso a?

i. (x )2 144

iii. x 12 iv. x y x

x2 4x 4 ( )2 x2 8x 16 ( )2

(x )2 144

Comenten en grupo qué procedimiento siguieron para resolver las actividades y validen sus respuestas con ayuda del profesor.

ii.

Sí, ya que si se desarrolla el cuadrado, se obtiene la ecuación original.

Para poder resolverla y

encontrar la solución que satisfaga la ecuación.

x vale 9 y 15.

33

3 3 312 12

R. L.

x 2 x 4

No, falta multiplicar algún elemento para poder escribirlo como

El término lineal debe ser el doble producto de las raíces

binomio al cuadrado.

cuadradas del término cuadrático y el término independiente.

No, solo se consideran los valores positivos,

pues se trata de una distancia y no existen distancias negativas.

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Factorización con productos notables

1. En su cuaderno, respondan las preguntas sobre el problema de la página anterior.

a. ¿Qué se logró hacer en el inciso b? ¿ Por qué fue útil factorizar?b. ¿Es útil para el diseñador factorizar las ecuaciones cuadráticas como lo hiciste en

el ejercicio 2? ¿Por qué?

2. En parejas, lean el texto y realicen las actividades.

Lección 2

Un trinomio que puede escribirse como un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. Factorizar el trinomio implica ir del resultado del producto a la multiplicación, es decir, escribir a2 2ab b2 como (a b)2. Para saber si un trino-mio puede factorizarse en un binomio al cuadrado, se debe considerar que:y De dos de los términos se obtiene su raíz cuadrada (a2 y b2).y El otro término debe corresponder con 2ab, es decir, debe ser dos veces el pro-

ducto de las raíces de los otros dos términos.

Una ecuación cuadrática de la forma ax2 bx c d, donde ax2 bx c es un tri-nomio cuadrado perfecto, se puede resolver de la siguiente manera:

y Si d 0, se obtienen dos soluciones. Ejemplo:x2 12x 36 16 (x 6)2 16 (x 6)2 16 x 6 ±4 x1 6 4 y x2 6 4 x1 2 y x2 10

y Si d 0, se obtiene un solo valor para x y se dice que ambas solucio-nes de la ecuación tienen ese valor, por ejemplo:x2 12x 36 0 (x 6)2 0 x 6 0 x1 6 y x2 6

a. Resuelvan la ecuación x2 6x 9 144 con el procedimiento anterior.


1. Identificalostrinomiosquepuedenfactorizarseyresuélvelosentucuaderno.a. x2 4x 4 b. x2 10x 25 c. 4x2 12x 9

2. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno factorizando los trinomios.a. ℎ2 4ℎ 4 0 b. 9x2 24x 16 0 c. z2 + 24z 144 0d. x2 10x 25 16 e. 9x2 12x 4 0 f. x2 2x 1 25

Compara tus respuestas con las de un compañero; de ser necesario, corrige.


Comparen sus respuestas y valídenlas con ayuda de su profesor.

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Factorización en binomios conjugados

2. Lee y realiza lo que se pide.

En otro pedido, el diseñador de la fábrica de cajas obtuvo la ecuación 16x2 81 0. Para saber cuál es la medida del ancho de la caja, despejó x mientras que su compañe-ro le hizo la siguiente sugerencia:

“Observa que ambos términos tienen raíz cuadrada exacta y se trata de una resta. Puedes factorizarlos para tener una expresión como (x a)(x a) y después igualar cada término a cero”.

a. Resuelve la ecuación con los procedimientos del diseñador y de su compañero.

y ¿Obtuviste el mismo resultado en ambos casos? ¿A qué se debe?

b. Lee el texto y responde.

y ¿Qué procedimiento usaron el diseñador y su compañero para resolver la ecuación?

Las ecuaciones cuadráticas de la forma a2x2 c2 0 pueden resolverse por dos pro-cedimientos: el primero es despejando x, como viste en secuencias didácticas an-teriores, y el segundo es factorizando la expresión para escribirla como binomios conjugados. En este caso, la expresión a2x2 c2 se llama diferencia de cuadrados.

Para factorizar una diferencia de cuadrados, se debe considerar que el resultado de multiplicar binomios conjugados es (a b)(a b) a2 b2 e implica ir de derecha a izquierda, es decir, del resultado del producto a la multiplicación.

Con lo anterior, cuando se tiene una ecuación a2x2 c2 0 y se factoriza, se tendrá un producto de dos factores que al multiplicarse dan 0: (ax c)(ax c) 0. La úni-ca manera de que el producto dé cero, es que alguno de los factores sea igual a cero, es decir, que (ax c) 0 o (ax c) 0.

Despejando ambas ecuaciones se obtienen los valores para x.

Procedimiento 1 Procedimiento 2


x1 94 ; x2 9

4

x2 8116

x2 8116

16x2 81 0(4x + 9)(4x 9) 0x1

94 ; x2 9

4

R. M. Sí. La ecuación se puede resolver con ambos métodos.

Usaron despeje y factorización por diferencia de cuadrados.

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3. Reúnete con un compañero y resuelvan las siguientes ecuaciones factorizando en binomios conjugados.

a. x2 4 0 b. 9x2 16 0 c. 4x2 1 0

d. x2 25 0 e. 25x2 36 0 f. x2 19 0

g. 14 x2 9 0 h. 9x2 36 0 i. x2 1 0


1. Revisa los procedimientos y decide si son correctos o no. En caso de que alguno no lo sea, corrígelo.

x1 x2 x1 x2 x1 x2

x1 x2 x1 x2 x1 x2

x1 x2 x1 x2 x1 x2

2. Resuelve el problema.

El área de un marco cuyos lados miden x y x 8 está dada por la ecuación 9x2 18x 45 = 36. ¿Cuáles son las medidas del marco?

Procedimiento 1 Procedimiento 2 Procedimiento 3

x2 4x 4 0

(x 2)2 0

x 2

x2 + 16 0

(x 4)(x 4) 0

x 4 y x 4

4x2 4x 1 9

(2x 1)2 9

2x 1 ±9

2x1 1 9

2x2 1 9

x1 5 y x2 4

En grupo, repasen los procedimientos de factorización que aprendieron en esta secuencia didác-tica y comenten su utilidad en la resolución de ecuaciones cuadráticas. Anoten sus conclusiones en su cuaderno.


Compartan sus respuestas con el grupo. Con ayuda de su profesor, validen sus resultados.

1.

1. El procedimiento 3 no es correcto porque no se calcula la raíz cuadrada de 9.

El procedimiento no es correcto, para que se pueda factorizar así la expresión tendría que ser x2 4x 4 0.

9x2 18x 45 36 9x2 18x 9 0 (3x 3)2 0 3x – 3 0 x 3/3 x 1

El procedimiento no es correcto, la expresión no es una diferencia de cuadrados. Para poder resolver la ecuación, la expresión tendría que ser x2 16 0.

Ver solucionario

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Reviso mi trayecto

2. Calcula las raíces cuadradas usando la descomposición en factores primos.

3. Factoriza cada ecuación y encuentra los valores de x.

a. x2 4x 3 1

c. x2 20x 100

b. x2 16x 64 0

d. x2 17x 0



1 15 104 a 1072 16 108 a 1113 17 - 18 112 a 120

1. En una escuela, la razón de estudiantes que sacaron 10 en un examen de Matemá-ticas es 275

550 , mientras que en otra escuela fue de 48726 . Simplifica las fracciones

para encontrar en cuál escuela hay una mayor proporción de estudiantes que sa-caron 10 en el examen de matemáticas.

a. b.

c. d.

576

1296 2401

784

x2 4x 4 0 (x 2)2 0 x 2 0 x 2

x2 20x 100 0 (x 10)2 0 x 10 0 x 10

x2 16x 64 0 (x 8)2 0 x 8 0 x 8

x2 17x 0 (x 17)x 0 x 17 0 o x 0 x 17

En la primera escuela hay mayor proporción de alumnos con 10.

24 28

36 49

275550

5 5 112 5 5 11

12

48726

2 2 2 32 3 11 11

4121

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Factorización general de las ecuaciones cuadráticas

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones.

Áreas de figuras y ecuaciones cuadráticas

1. Observa la figura y haz lo que se pide para conocer sus medidas.

Lección 1

a. Expresaalgebraicamenteeláreadelafigura.Consideraquesuáreaesde22cm2. Luego simplifícala para obtener una ecuación de la forma ax2 bx c 0.

b. Analiza la ecuación que obtuviste y responde.

y ¿Se puede factorizar utilizando un factor común? ¿Por qué?

y ¿Se puede factorizar para que quede un binomio al cuadrado? ¿Por qué?

y ¿Se puede factorizar para que queden binomios conjugados? ¿Por qué?

x 4

x 32

x

Comenta con tus compañeros cómo se podría resolver la ecuación. Lleguen a una conclusión y valídenla con su profesor.

No, no hay factor común para la ecuación.

No,

No, un binomio conjugado solo tiene dos términos.

no es un trinomio cuadrado perfecto.

(x 4)(x) (x 3)(2) 22(x2 4x) (2x 6) 22

x2 6x 6 22x2 6x 16 0

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La ecuación cuadrática como producto de binomios

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide para obtener una ecuación de la forma (x a)(x b) 0 a partir de la que establecieron en la actividad inicial.

a. Desarrollen el producto (x a)(x b) y simplifíquenlo. y ¿Qué tienen en común la ecuación de la actividad anterior y la expresión que

acaban de encontrar? b. Escriban la expresión como una expresión de la forma (x a)(x b).

c. Verifiquensurespuestadesarrollando,ensucuaderno,elproductodebinomios

que acaban de escribir. Anoten todo su procedimiento.d. Escriban nuevamente la ecuación del problema. Del lado izquierdo de la siguien-

te ecuación, escriban el producto de binomios que acaban de encontrar.

(x ) (x ) 0

(x ) 0 (x ) 0

e. Completen las ecuaciones:

y ¿Qué valores debe tomar x para que se cumpla la igualdad en cada caso?

y ¿Los dos valores responden el problema inicial? Expliquen su respuesta.

y ¿Por qué conviene escribir la ecuación de esta manera?


1. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno.

x2 3x 2 0 x2 8x 12 0

a. Verificaquelosvaloresqueobtuvisteparax sean correctos sustituyéndolos en las ecua-ciones originales.

Compara tus procedimientos con los de tus compañeros y comenten lo que han aprendido sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor. Sustituyan los valores de x en la ecuación original para comprobar las soluciones.

(x2 (a b)x ab)

Tienen dos términos que se multiplican.

(x 2)(x 8)

Para obtener las soluciones de una manera más sencilla.

2

2

8

8

Debe tomar los valores 2 u 8.

Ver solucionario

Sí, ambos valores son solución de la ecuación.(2 4)(2) (2 3)(2) (12) (10) 22(8 4)(8) (8 3)(2) (32) (10) 22

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Factorización general en binomios

1. Haz lo que se pide y responde.

a. En tu cuaderno, escribe las expresiones como un producto de binomios. Luego responde lo que se pide.

Lección 2

y ¿Qué procedimientos usaste?

y ¿Fue posible escribirlos como se pidió? ¿Por qué?

y ¿Qué características debe tener el trinomio para que pueda escribirse como un producto de binomios?

2. Lean la siguiente información y validen sus respuestas.

x2 8x 6 x2 2x 3 x2 5x 6

Para factorizar un trinomio cuadrado y escribirlo como producto de binomios debe-mos recordar lo siguiente:

(a b)(a c) a2 ac ab bc a2 (b c)a bc

Para factorizar un trinomio cuadrado se considera que:y La variable de la ecuación, que se encuentra elevada al cuadrado, aparece en

los dos factores (a).y Se deben buscar dos números (b y c)quesumadosdenelcoeficientedeltérmi-

no lineal, es decir (b c)a.y Los mismos números b y c deben dar, al multiplicarse, el término constante de

la ecuación, es decir, bc.

Factorizar el trinomio implica encontrar los dos factores que, al multiplicarse, dancomo resultado el trinomio.

a2 (b c)a bc (a b)(a c)

Expresar un trinomio como producto de binomios a partir de la factorización es útil para resolver ecuaciones cuadráticas, pues si el producto de dos factores es igual a cero, entonces uno de los factores es igual a cero.

x2 (a b)x ab 0(x a)(x b) 0

x a 0 o x b 0x a o x b

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas mediante la factorización de expresiones.

R. M. Encontrar dos números que multiplicados den un valor y sumados den otro.

Sí, menos el último, pues

Elcoeficientedeltérminoindependientedebeserel

no existen dos números enteros que sumados den 8 y multiplicados den 6.

productodedosnúmeroscuyasumaseaigualalcoeficientedeltérminolineal.

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4. Resuelve la ecuación 2x2 10x 28 0 factorizando el trinomio.

a. ¿Qué ajustes se tienen que hacer al procedimiento para factorizar la ecuación conelcoeficientedex2 distinto de 1?

b. ¿Qué método usaste? ¿Por qué?


1. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno factorizando los trinomios.

a. x2 3x 10 0 b. 9x2 9x 4 0 c. x2 x 56 0d. x2 5x 6 e. x2 3x 54 0 f. 2x2 6x 8

2. La expresión 24x x2 representa lo que un comerciante tiene que pagar al com-prar su mercancía, donde x es el número de productos que adquiere. Si pagó $80, ¿cuántos productos compró?

Comparen sus respuestas con sus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor.


3. Reúnete con un compañero y resuelvan las ecuaciones.

x2 10x 16 0 x2 3x 28 0

Sumados deben dar: Sumados deben dar: Multiplicados deben dar: Multiplicados deben dar:

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor. En grupo, redacten el procedimiento ajustado del inciso a.

x2 10x 16 0 (x 8) (x 2) 0 x 8 0 o x 2 0 x 8 o x 2

24x x2 80 x2 24x 80 0 (x 20)(x 4) 0 x 20 o x 4

x2 3x 28 0 (x 7) (x 4) 0 x 7 0 o x 4 0 x 7 o x 4

2x2 10x 28 0 x2 5x 14 0 (x 7) (x 2) 0x 7 0 o x 2 0 x 7 o x 2

Se debe dividir la ecuación entre el

R. M. El método de factorización, porque es más sencillo.

coeficientecuadrático.

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Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Construcción de gráficas20

Contenido: Construyes y analizas gráficas en diversos contextos.

Utilidad de las representaciones

1. Formen equipos de tres integrantes, lean el problema y resuelvan.

El señor Lozano tiene un negocio de renta de lanchas en un pequeño lago. Actual-mente cobra $120 por rentar una lancha durante 1 hora y renta en promedio 36 lan-chas diarias. Un consultor le comentó que para mejorar sus ganancias considerara que por cada $5 de aumento en el precio de renta perdería, en promedio, la renta de dos lanchas por día. ¿Cuánto le convendría al señor Lozano cobrar para obtener el máximo ingreso posible? ¿Cuántas lanchas rentaría?

Número de aumentos de $5 al precio

Precio de renta

Número de lanchas rentadas

Ingreso total precio × cantidad de lanchas

rentadas

0 120 36 0 (120 0)(36 0)

1 120 5 1 36 1 2 (120 5 1)(36 1 2)

2 120 5 2 36 2 2 (120 5 2)(36 2 2)

3

4

5

c. Resuelvan las operaciones de la tabla anterior. ¿Qué sucede con el ingreso cada vez que el precio se aumenta en $5?

De la tabla a la gráfica

1. Retomen con su equipo la situación anterior y contesten en su cuaderno.

a. ¿Cómo cambia el ingreso del señor Lozano cuando disminuye el número de lan-chas rentadas y aumenta el precio?

b. ¿La función de ingreso es lineal? ¿Por qué? c. Si el señor Lozano usa el mismo patrón, pero en lugar de aumentar el precio de

renta lo disminuye, ¿aumentará o disminuirá el número de lanchas rentadas?

Lección 1

a. Analicen el problema y describan cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.

b. Analicen las operaciones que se muestran en la tabla de precios y complétenla.

Comenten sus respuestas con otros equipos y corrijan de ser necesario.

120 5 3 36 3 2 (120 5 × 3)(36 3 × 2)

120 5 4 36 4 2 (120 5 × 4)(36 4 × 2)

120 5 5 36 5 2 (120 5 × 5)(36 5 × 2)

La variable independiente es el número de lanchas y la dependiente es el ingreso.

Ver solucionario

Disminuye progresivamente.

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Número de aumentos de $5 al precio Precio de renta Número de

lanchas rentadasIngreso total precio ×

cantidad de lanchas rentadas

0 120 36 0 (120 0)(36 0)

1 120 5 × (1) 36 1 × 2 (120 5 × (1))(36 1 × 2)

2 120 5 × (2) 36 2 × 2 (120 5 × (2))(36 2 × 2)

3

4

5

d. Completen la siguiente tabla para analizar lo que ocurre en el caso anterior.

e. Utilicenlosdatosdelasdostablasparaconstruirensucuadernolagráficadelingreso del señor Lozano. Después respondan.

y ¿Quétipodefunciónrepresentalagráfica? y ¿Dóndeseencuentraelpuntomásaltodelagráficadelafunción? y ¿Cómo son los valores del ingreso por la derecha y por la izquierda del punto

más alto de la función? y ¿Lagráficaessimétricaconrespectoaesepunto?

f. ¿Cuál es el patrón que representa el cambio en el ingreso del señor Lozano si renta x lanchas?

y ¿Qué tipo de función representa el ingreso del señor Lozano según los cálcu-los del consultor?

g. Verifiquenquelaexpresiónalgebraicaparalafunciónescorrecta.Utilicenalgu-

nos valores de la tabla.

Cuando enfrentas un problema, una manera de analizarlo es construyendo una tabla de valores y una gráfica. En ocasiones, es posible encontrar, además, la representación algebraica de la función que describe al problema.

2. Reúnete con tus mismos compañeros y resuelvan en su cuaderno.

a. Construyanunatablaytracenlagráficadelafuncióny (2x 3)(4x 6). y Analicenlagráfica.¿Quétipodefunciónesy?Justifiquensurespuesta.

b. ¿Entre qué valores de x la función crece y entre qué valores decrece?c. ¿Entre qué valores de x la función es positiva y entre qué valores es negativa?

Comenten en grupo si analizaron la situación de la misma forma que los demás. De no ser así, discutan las diferencias. Luego lean la siguiente información.

Expliquen a sus compañeros cómo encontrar los valores de x en los que la función es igual a 0. Elaboren conclusiones con ayuda de su profesor.

Ver solucionario

120 5 × (3) 36 3 × 2 (120 5 × (3))(36 3 × 2)

120 5 × (4) 36 4 × 2 (120 5 × (4))(36 4 × 2)

120 5 × (5) 36 5 × 2 (120 5 × (5))(36 5 × 2)

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Uso de gráficas en el análisis de problemas

1. En parejas, lean el siguiente problema y respondan en su cuaderno.

En clase de Física estudiaste la ley de la gravitación universal de Newton. La fuerza entre dos cuerpos está dada por la expresión algebraica:

F G M × mr2

En la que G 6.67 × 1011 Nm2/kg2 es la constante de gravitación universal y r es la distancia entre los centros de dos objetos de masas M y m que interactúan.

En 2013, un meteorito de 1 107 kg cayó en Rusia. ¿Cómo cambió la fuerza de gravi-tación entre el meteorito y la Tierra desde que estaba a una distancia de 10 106 m hasta que llegó a una distancia de 6.5 106 m respecto del centro de la Tierra? Considera que la masa de la Tierra es de 6 1024 kg.

SielmeteoritohubieracontinuadosuviajehastalasuperficiedelaTierraaaunadis-tancia de 6.4 106 m de su centro, ¿cuál hubiera sido la fuerza con la que habría im-pactado? Y si el meteorito hubiera podido acercarse más al centro de la Tierra sin obstáculos, ¿cómo sería la fuerza conforme la distancia entre ellos se reduce?

a. Analicen el problema y describan cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente.

b. En este caso, cuentan con la representación algebraica de la fuerza entre los dos cuerpos. ¿Cómo cambia la fuerza conforme la distancia entre el centro del me-teorito y el de la Tierra disminuye?

c. Usen la expresión algebraica para la fuerza gravitacional y calculen la fuerza para distintos valores de la distancia entre los centros de los dos cuerpos, inclu-yendo los que están dados en el problema. Organicen los datos en una tabla.

y ¿La fuerza gravitacional aumenta o disminuye conforme el meteorito se acerca a la Tierra?

y ¿En qué intervalo de distancia cambia rápidamente la fuerza? y ¿En cuáles cambia lentamente?

d. Enunagráficaensucuadernorepresentenlosdatosdelatabla.Discutanquéunidades utilizar en los ejes para que se vea mejor la forma.

Lección 2


y ¿Cómodescribiríanlaformadelagráfica?

e. ¿Qué sucede con la fuerza cuando la distancia es cercana a cero?

y ¿Qué sucede con la fuerza cuando los cuerpos están muy alejados?

La fuerza aumenta exponencialmente.

R. L.

Ver solucionario

Ver solucionario

R. M. Se hace

R. M. La fuerza es prácticamente nula.

muy grande.

La variable independiente es la masa y la variable dependiente es la fuerza de gravitación.

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La función que representa la fuerza gravitacional es un ejemplo de función inversa-mente proporcional al cuadrado de la variable independiente.

En las gráficas de estas funciones se puede observar que, cuando la variable inde-pendiente es cercana a cero, la función toma valores muy grandes y que, cuando la distancia aumenta, la fuerza disminuye rápidamente, es decir, cuando la variable independiente es grande, la función disminuye lentamente.


Resuelve en tu cuaderno los problemas utilizando tablas y gráficas.

1. Si un automóvil viaja a una velocidad de 60 km/h y frena súbitamente, necesita una distancia de 20 m para pararse por completo. Si la distancia que se requiere aumenta proporcionalmente con el cuadrado de la velocidad, ¿qué tipo de relación hay entre la distancia y la velocidad?

a. Haz una tabla que represente esta variación para diferentes aumentos de la velocidad. y ¿Cuál sería la distancia de frenado si se duplica la velocidad? ¿Y si se cuadruplica? y ¿Cuál es la forma algebraica de esta relación?

2. Dos globos con cargas de 3.37 microCoulombs y 8.21 microCoulombs se atraen con una fuerza de 0.0636 N. Utiliza la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica y representa en una gráfica la varia-ción de la fuerza con la separación de las cargas.

F k q1q2r2

Donde k 9 × 109 Nm2/C2

a. ¿De qué tipo de variación se trata? b. Con ayuda de la gráfica, encuentra la separación entre estas cargas. c. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian la fuerza eléctrica y la de gravitación?

3. Dibuja la gráfica de la función y ( x 2)(2x 8) e indica sus principales características y tipo de variación.

Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor. Observen si todos obtuvieron lo mismo. De no ser así, compartan cómo analizaron el problema. Después lean la información.


f. ¿Cuál hubiera sido el valor de la fuerza si el meteorito hubiera impactado direc-tamente con la Tierra y no hubiera atmósfera?

y ¿Qué tan grande es esa fuerza?

y ¿Qué podría haber sucedido? R. L.

R. M. Es un muy grande.

4 1021 N

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Análisis de gráficas: distintos tipos de variación

1. Lee el siguiente problema y analiza la gráfica. Después responde.

Un asesor económico le envió a la licenciada Padilla la gráfica que se muestra a con-tinuación. En ella se reporta la estimación de la utilidad (ganancia neta), en miles de pesos, esperada para su negocio en términos de la cantidad en cientos de productos vendidos. Aclaró que esta gráfica es válida únicamente hasta una venta de 1 500 pro-ductos. ¿Es rentable el negocio de la licenciada Padilla?

a. Analiza el problema comple-to y describe cuál es la variable independiente del problema y cuál es la variable dependiente.

b. ¿En qué intervalo de valores de la variable independiente se en-cuentra la información perti-nente para la licenciada Padilla?

c. ¿En cuáles intervalos de valores la gráfica indica que la compa-ñía tendría pérdidas?

d. ¿Qué le recomendarías a la licenciada Padilla?

2. Reúnete con un compañero, retomen la situación anterior y contesten.

a. ¿Qué sucedería con la utilidad si las ventas estuvieran en el intervalo x en (0, 1) cientos de artículos?

b. ¿En qué otro intervalo de la cantidad producida sucede lo mismo?

y ¿Cómo explicarían lo que le sucede al negocio de la licenciada en este caso?

c. ¿En cuáles intervalos de la cantidad vendida la compañía tiene ganancias?

d. ¿Qué cantidad de su producto le conviene vender? Justifiquen su respuesta.

e. ¿Qué le recomendarían hacer a la licenciada Padilla?

4 2 2 4 6 8 10 12 14 16

x (cientos de artículos)

U (miles de pesos)

020

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

Lección 3

Ver solucionario

De 0 a 1 500

Entre 0

y 1, y 10 y 12

Vender más de 1 200 productos

Tendría una utilidad negativa.

de artículos sin entrar en los rangos de 0 a 100 o de 1 000 a 1 200 artículos.

Es el número de artículos que le producen pérdidas.

Entre 1 y 10; entre 12 y 15

1 500 productos, pues generan la mayor utilidad.

Entre 10 y 12

Vender la mayor cantidad

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3. Reúnete con dos compañeros para analizar las gráficas que se muestran. Para cada gráfica, encuentren los valores de x en los que la función es positiva, negativa, creciente o decreciente. Identifica los valores máximos y mínimos, si los hay.


1. Contesta en tu cuaderno.

a. ¿Por qué es importante analizar la gráfica de una función? b. ¿Para qué sirve hacer una tabla cuando tienes que resolver un problema?

2. Lee la situación y haz en tu cuaderno lo que se pide.

Una compañía de automóviles estimó la cantidad fabricada de un producto a partir de los datos que se muestran en la siguiente tabla. Las cantidades corresponden a los años comprendidos entre 2010 y 2016.

a. Traza la gráfica de la función. Observa que x 0 corresponde a 2010. b. ¿Qué tipo de variación representa la gráfica? ¿En qué años aumenta y en qué

años disminuye la producción? ¿Cuál es el valor mínimo de la producción? c. La función y 3x2 4x 9 representa la producción. ¿Cuánto produjo la com-

pañía en 2020?

Año 0 1 2 3 4 5 6Producción (millones de unidades) 9 8 13 24 41 64 93

8

6

4

2

0

2

y

x3 2 1 1 2 3 4

0

40

30

20

10

10

20

30

y

x5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

y

x4 3 2 1 1 2 3 40

4

2

2

4

y

x4 2 2 40

Comenten sus conclusiones y valídenlas con su profesor.

Revisa tus respuestas en grupo y resuelvan sus dudas.

R. L.

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Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.21Gráficas definidas por partes

Contenido: Analizas gráficas de funciones por partes.

Intervalos con diferente variación

1. Formen equipos de tres integrantes, lean la situación y contesten.

Muy a menudo se lanzan cohetes al espacio para diferentes misiones, como poner un satélite de comunicación en órbita. ¿Qué se puede decir del movimiento de un co-hete si se conoce cómo cambia su rapidez en cada intervalo de tiempo? La siguiente gráfica muestra la rapidez de un cohete a partir de su lanzamiento.

a. Analicen la gráfica y traten de describir cómo varía el movimiento del cohete de acuerdo con su rapidez.

b. Describan cómo cambia la rapidez a lo largo del tiempo.

c. ¿Para qué valores del tiempo hay un cambio brusco en el comportamiento de la rapidez del cohete?

d. ¿Cuál es la rapidez del cohete cuando han pasado 3 minutos? ¿Y cuando han pa-sado 5 minutos?

e. ¿Cuántos minutos han transcurrido cuando el cohete viaja a una rapidez de 1 050 km/h?

1 050

900

750

600

450

300

150

0 1 2 3 4 5 6 7(min)

r (km/h)

t

Lección 1

Comparen sus resultados con los de otro equipo, explicando cómo los obtuvieron, y rectifiquen sus respuestas si es necesario.

Primero se mueve muy rápidamente; después el movimiento es más lento y, por último, se mantiene constante.

Primero aumenta, luego disminuye, después es constante y al final empieza a aumentar.

En los minutos 1, 3, 4 y 6.5

1 050 km/h a los 3 minutos y 150 km/h a los 5 minutos

3 minutos

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Cambios de variación en la gráfica

1. Con el mismo equipo, retomen la situación anterior y respondan.

a. ¿Cuántas variaciones se observan en la gráfica? y ¿Entre qué valores de tiempo se observa cada variación?

b. Analicen cada uno de los tramos de la gráfica. ¿En qué se parecen y en qué difieren?

Justifiquen sus respuestas.

c. ¿En qué tramo la rapidez del cohete es constante?

y ¿Cuál era la rapidez del cohete en ese tramo? y ¿Cuánto cambió la rapidez en ese tramo?

d. Los tramos de la gráfica son segmentos de recta. ¿En cuáles de ellos la razón de cambio es constante?

y ¿Tiene la razón de cambio el mismo valor en cada uno de esos tramos?

y ¿Qué tipo de variación hay en cada uno de ellos?

e. ¿En qué tramos de la gráfica la variación es lineal?

f. Hagan en su cuaderno una tabla con cinco valores de la rapidez para cinco tiem-pos distintos.

y ¿Qué ocurre con la rapidez en cada tiempo?

Un fenómeno puede representarse en una gráfica que conste de varias secciones o tramos que pueden ser una combinación de rectas y curvas, cada una relacionada con distintos tipos de variación. Estas funciones se conocen como funciones defi-nidas por pedazos o por partes.

2. Con sus mismos equipos, construyan en su cuaderno una tabla y una gráfica para una función compuesta de tres rectas.

a. Escriban un problema que se pueda representar con la gráfica construida.b. ¿Cómo es la razón de cambio en cada tramo?

Comparen y discutan sus respuestas con otros equipos y resuelvan sus dudas con su profesor.

5 variacionesEntre 0 y 1, 1 y

3, 3 y 4, 4 y 6.5, y 6.5 y 7

La gráfica es continua; en algunos tramos su inclinación es positiva y en otros es negativa.

Entre 4 y 6.5 min

150 km/h

y 150

En cada uno de los 5 tramos la razón de cambio es constante.

No, depende de su inclinación.

Una variación de tipo lineal

De 0 a 1: v 50t 250; de 1 a 3: v 375t 75; de 3 a 4: v 900t 3750; de 4 a 6.6: v 150; de 6.6 a 7: v 250t 1500

R. L.

R. L.

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Razón de cambio

1. La siguiente situación puede representarse mediante una función a tramos. Lee, analiza y responde.

Los alumnos de una preparatoria que trabajan en la tienda de la escuela reciben $200 cada quincena independientemente del número de productos que vendan. Si venden más de 300 productos obtienen un bono de $0.80 por cada producto adicional a 300 ven-dido. Si venden más de 800 productos, además del bono anterior, se les dan $100 adicio-nales como premio.

Lección 2

y ¿Cuál es la razón de cambio de la variación? y ¿Qué significa la x en la expresión algebraica? y ¿Qué tipo de variación es?

c. Representen los datos de la tabla en la misma gráfica en la que representaron la variación del tramo 1. Para el tercer tramo, la ecuación de la recta correspon-diente es S(x) 300 0.8(x 300).

y ¿En qué difiere la expresión algebraica de la anterior? ¿Por qué cambió?

y ¿Qué tipo de variación es? y ¿Cuál es la razón de cambio?

Ventas 300 350 400 500 550 600 750 800

Salario ($) 200

a. Describe cuáles son la variable independiente y la dependiente.

b. Explica cuál es el intervalo de valores que puede tomar la variable independiente en cada tramo de la función.

c. Calcula cuánto ganarían los alumnos si vendieran 250, 400 y 1000 productos.

2. Reúnete con dos compañeros, retomen la situación anterior y contesten.

a. Consideren el primer tramo de variación de la variable independiente. y ¿Qué tipo de variación se presenta en este tramo? y ¿Cómo es la función en este tramo? y Tracen en su cuaderno la gráfica del primer tramo de la función.

b. Completen la siguiente tabla de valores para el segundo tramo, en el que la re-presentación algebraica de la función es S(x) 200 0.8 (x 300).

240 280 360 400 440 560 600

independiente es la cantidad de producto vendido y la dependiente es el salario. La variable

ConstanteConstante

0.8El número de productos

En el valor de la variable independiente, varía por las condiciones del problema.

Lineal

Lineal0.8

Ver solucionario

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y Representen los datos de la tabla en la misma gráfica del primer tramo. y Describan cómo es la gráfica. ¿Están todos los tramos unidos unos a otros?


Resuelve en tu cuaderno.

1. Revisa la gráfica de la página 132. Explica en qué intervalos de la la variable independiente es creciente y en cuáles decreciente.

2. Analiza las siguientes gráficas y, para cada función, determina los intervalos de la variable independiente que corresponden a cada tramo. Describe cómo es la función en cada tramo, si es lineal o no, si es cuadrática o no, si crece o decrece, si es positiva o negativa y si tiene máximos o mínimos.

a. b.

d.

8 6 4 2 2 4 6 8 100

10

8

6

4

x

y

2

5 5 10 150

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

x

y

c.

4 3 2 1 1 20 x

y

3

2

1

1

3 2 1 1 2 3 40

2

1

1

x

y

Comparen y discutan con otro equipo sus respuestas. Si tienen dudas, coméntenlas con su profesor. Después lean lo siguiente.

d. Representen en una tabla, en su cuaderno, la variación de este tramo tomando valores para x de 50 en 50, comenzando con x 800. Ver solucionario

Ver solucionario

De 0 a 3 es creciente; de 3 a 4 es decreciente; de 4 a 6.5

es constante y de 6.5 a 7 es creciente.

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Problemas de llenado

1. Lee la situación, analiza las imágenes y responde.

Laura ayudó a su mamá a llenar con agua los floreros de la casa. Al hacerlo, se dio cuenta de que a veces, en algunos floreros, el agua subía muy rápidamente y, si no tenía cuida-do, se derramaba. Para entender este fenómeno, Laura hizo los siguientes dibujos de los floreros.

Lección 3

a. Imagina que estás llenando los tres floreros vertiendo la misma cantidad de agua en cada momento. ¿Cómo crees que se llenen?

b. Laura hizo las siguientes gráficas para representar el llenado de cada florero, pero olvidó anotar cuál gráfica corresponde a cada uno. ¿Cómo puedes recono-cer esa correspondencia?

c. En parejas, analicen los floreros e imaginen que los van llenando con agua y cómo iría variando la rapidez a la que aumenta la altura del agua en cada parte de cada florero. Comparen sus observaciones con las gráficas y respondan.

y ¿Qué representa el eje horizontal de cada gráfica? ¿Y el vertical?

y ¿Qué representa un punto en cada gráfica?

y ¿Estas gráficas representan funciones definidas por pedazos? Expliquen.

y ¿Cuáles floreros tienen una gráfica con partes rectas en algún segmento? ¿Por qué?

A B C

a

0 0

I II III

0V V V

a a

En el florero A subirá a una

Por la forma de los floreros.

Sí,

La cantidad de agua vertida y la agua y el volumen que ocupa

La altura del

en el caso del florero C, pues su gráfica tiene un cambio de variación.

Los floreros A y C porque tienen partes con forma de cilindro o prisma.

altura del agua en en florero

velocidad constante, en el B, cada vez más lento y en el C, muy lentamente.

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d. ¿Cómo esperan que aumente la altura del agua si el florero es ancho? ¿Qué esperarían si fuera angosto?

y ¿Qué esperan que pase si el florero tiene una sección transversal que cambia en sus distintas partes?

e. Identifiquen la gráfica que corresponde a cada florero. Jus-tifiquen su elección.

f. Utilicen las gráficas para explicar a Laura de cuáles floreros se desbordará primero el agua y por qué. Escriban su respuesta en el cuaderno.

2. Analiza los recipientes de la derecha y dibuja en tu cuaderno la gráfica correspondiente al llenado de cada uno de ellos e interprétalas.

a. Compara tus gráficas con las de un compañero. Comenten en cuál recipiente puede desbordarse más rápidamente el agua y por qué.


1. Contesta en tu cuaderno.

a. ¿Qué estrategia seguiste para trazar las gráficas en la secuencia didáctica? b. ¿Cómo explicarías a un amigo cómo cambia una de las variables cuando cambia

la otra en una función definida por partes?

sección transversal. Corte horizontal de un sólido.

Glosario

Comenten con sus compañeros a qué florero corresponde cada gráfica y qué características les ayudaron a deducirlo.

sección transversal

Validen sus respuestas en grupo y con ayuda de su profesor. Comenten sus conclusiones sobre las gráficas definidas por partes.

2. Lee la situación. Luego haz lo que se pide.

Luis se prepara para correr un maratón. Durante su entrenamiento, registró la dis-tancia que recorrió cada 5 minutos.

a. Grafica los datos de la tabla y describe en tu cuaderno los tramos del recorrido. Determina la variación que se presenta.

b. ¿En qué tramo Luis fue más rápido y en qué tramo fue más lento? Explica.

t (min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 40 55 60

d (km) 0 1 2 3 6 9 12 15 18 20 22 24 25

R. M. Que haya un cambio de

Ver solucionario

R. L.

Ver solucionario

Si el florero es ancho, aumenta

lentamente. Si es angosto, la altura aumenta rápidamente.

variación.

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22 Aprendizaje esperado: Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos.

Triángulos semejantes

Lección 1

Contenido: Determinas y usas los criterios de semejanza de triángulos.

i.i.

ii.ii. iii.

Propuesta de Camila:i. Se dobla la hoja a lo ancho, por la mitad.ii. Se dobla la hoja a lo largo, por la mitad.

Propuesta de Patricio:i. Se dobla la hoja por la diagonal y se marca el doblez.ii. Se desdobla la hoja y se dobla a lo largo, sin importar la altura del doblez.iii. Se marca el punto donde se intersecan los dobleces y se dobla a lo ancho, de

forma que el doblez coincida con el punto marcado.

y Patricio encontró que con su propuesta, además de los rectángulos semejantes, se forman 6 triángulos semejantes. ¿Es cierto? ¿Por qué?

y Camila asegura que hay algunos pares de triángulos congruentes. ¿Cuáles crite-rios de congruencia de triángulos podrían usar para verificar esta afirmación?

y Coloca, unos sobre otros, los triángulos que podrían ser semejantes, de manera que sus lados y ángulos correspondientes coincidan. ¿Cómo son entre sí las medi-das de sus ángulos y de sus lados correspondientes?

Criterios de semejanza

1. Lee la siguiente situación y haz lo que se pide.

Camila y Patricio, con lo que aprendieron en las secuencias 13 y 14, quieren formar rectángulos semejantes a partir de dobleces sobre una hoja de papel.

a. Crea tu estrategia. Dobla una hoja tamaño carta para formar un rectángulo semejante al que se forma con toda la hoja. Responde en tu cuaderno.

y ¿Pudiste obtener un rectángulo semejante? y Si son semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza entre los dos rectángulos?

b. Camila y Patricio proponen dos maneras de hacerlo. Observa las imágenes y de-cide si los procedimientos permiten obtener rectángulos semejantes. Anota tus conclusiones en tu cuaderno. Responde las preguntas y justifica tus respuestas.

Comenta tus respuestas con tus compañeros. Compartan las diferentes estrategias que usaron para determinar la semejanza y la congruencia de las figuras.

Propuesta de Camila

Propuesta de Patricio

R. L.

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¿Cuántos datos se necesitan?

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

a. Cada uno trace un triángulo en una hoja. Remarquen los lados y los ángulos con colores diferentes para cada uno.

b. Intercambien sus triángulos y tracen, en la misma hoja, un triángulo semejante al que hizo su compañero. Para esto, elijan la razón de semejanza que usarán. Marquen los lados y ángulos correspondientes del mismo color que el original.

c. Devuelvan la hoja a su compañero y comprueben que los triángulos sean semejantes. y ¿Cómo podrían verificar si los triángulos son semejantes? ¿Por qué?

d. Comenten su procedimiento para trazar los triángulos semejantes y respondan.

y ¿Cuántos y cuáles elementos del triángulo original usaron para trazar el trián-gulo semejante?

y ¿Qué relación tienen los ángulos del triángulo original con los del nuevo triángulo?

Si dos triángulos ABC y ABC son semejantes (△ ABC △ ABC), se cumple que:

ABAB

BC

BC

ACAC

Es decir, entre los lados correspondientes hay una relación de proporción. Además, sus ángulos correspondientes son congruentes.


1. Observa el trapecio isósceles de la derecha y haz lo que se pide.

a. Responde las preguntas. y ¿Qué características tienen los lados y los ángulos de

un trapecio isósceles?

y ¿Cuántos pares de lados paralelos tiene? Remárcalos con un mismo color.

b. Traza las diagonales del trapecio isósceles y comprueba que lo dividen en 4 pares de triángu-los semejantes. Comprueba que la razón de proporción en 3 de esos pares es 1.

Comenten sus respuestas con sus compañeros y valídenlas con apoyo del profesor.

R. L.

R. M.

Sus lados opuestos no

Tiene un par de lados

paralelos tienen la misma longitud. Tiene dos pares de ángulos adyacentes iguales.

paralelos.

Calculando el cociente de los lados correspondientes.

Los ángulos son congruentes, es decir, su magnitud es la misma.

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Criterios de semejanza en triángulos

1. Lee la información y contesta.

Al igual que con la congruencia, es posible determinar cuándo dos triángulos son semejantes, sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y sus ángulos, me-diante los criterios de semejanza.

a. ¿Cuáles son los criterios de congruencia de triángulos?

b. Con base en lo que has estudiado sobre semejanza, ¿consideras que pueden usarse los criterios de congruencia de triángulos en la semejanza? Explícalo.

2. Reúnete con dos compañeros, consigan un juego de geometría y una calculadora y hagan lo que se indica.

a. Cada uno dibuje un triángulo en una hoja y anoten en su cuaderno las medidas de sus lados y ángulos de forma que los demás no las conozcan.

b. Intercambien los triángulos que trazaron y construyan un triángulo semejante al que recibieron. Para ello pueden preguntar máximo tres medidas del triángulo original. Anoten los datos que hayan solicitado.

c. Reúnanse con otro equipo, compartan sus construcciones y los datos que usa-ron para hacer los trazos. Luego concluyan cómo identificar los datos que se ne-cesitan para construir triángulos semejantes.

3. En equipo, analicen las siguientes propuestas y respondan lo que se pide.

Propuesta 1. Un estudiante de tercero de secundaria propone preguntar únicamen-te la medida de dos ángulos. Las medidas se muestran en la siguiente figura.


Lección 2

89°

68°

89°

68°89°

68°

a. ¿Es posible construir un triángulo semejante con esa información? ¿Por qué?

b. Tracen los triángulos y comprueben si son semejantes. ¿Cuántos triángulos se-mejantes podrían trazar con esa información?

Lado-Ángulo-Lado (LAL), Lado-Lado-Lado (LLL) y Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)

R. M. Sí, porque al conocer dos ángulos se puede calcular la medida del tercero.

R. M. Sí lo son, se pueden

R. L.

R. L.

trazar muchos triángulos semejantes

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c. Utilicen la propuesta 1 para construir un triángulo semejante al que les tocó trazar en la actividad 2. Recórtenlo. Elijan un ángulo y sobrepónganlo sobre su correspondiente en el otro triángulo.

y ¿Qué pasa con el otro par de ángulos? y ¿Hay lados paralelos que pudieran identificar? Usen lo que saben sobre los

ángulos entre paralelas para asegurar la congruencia de los ángulos.

Criterio ángulo-ángulo. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Propuesta 2. Para saber si el triángulo original y el construido son semejantes, se de-ben analizar los lados junto con los ángulos.

a. Marquen con una los casos que garanticen, con los datos dados, que dos triángulos son semejantes. Luego respondan en su cuaderno.

y ¿Cuál es la relación que existe entre los lados del triángulo original y los lados del triángulo semejante?

y ¿Cómo deben estar relacionados los dos ángulos y el lado? y ¿En qué casos la información es suficiente para que los otros dos pares de

lados correspondientes conserven la misma relación proporcional?

b. Completen cómo llamarían a cada criterio.

y Criterio . Dos pares de lados proporcionales y que el ángulo entre ellos sea congruente con su correspondiente.

y Criterio . Que todos los lados correspondien-tes sean proporcionales.

52°52°

100°

100°

4.536 cm

3.36 cm

52°52°

100°

100°

2.7 cm

2 cm

100°

100°2.7 cm

4.536 cm

3.36 cm

2 cm

2.7 cm

4.536 cm

3.36 cm

4.2 cm

2 cm

Caso 1

Caso 3

Caso 2

Caso 45.67 cm

Comenten con sus compañeros y su profesor la información anterior. Argumenten por qué no es necesario conocer la amplitud del tercer ángulo.

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y valídenlas con ayuda del profesor. En grupo, comenten en qué casos hay información que no se necesita para determinar que los triángulos son semejantes.

LAL

LLL

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Ver solucionario

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Más de triángulos semejantes

1. Realiza la siguiente actividad para justificar por qué el pantógrafo que elaboraste en la secuencia didáctica 13 sirve para trazar figuras semejantes.

Las imágenes muestran el pantógrafo, en el cual cada tablilla se identifica con una letra y una representación lineal del mismo.

a. Analiza las imágenes y contesta.

y ¿El cuadrilátero EFGI es un paralelogramo? Revisa la construcción del pantó-grafo de la secuencia didáctica 13 y argumenta tu respuesta.

y Analiza los triángulos PFH y PEI, ¿son semejantes? ¿Por qué?

y ¿Cambia la relación entre los triángulos si se cambia la abertura del pantó- grafo? ¿Por qué?

PEPF

EIFH

PHPI

PFPE

En consecuencia, los puntos P, I y H son colineales, es decir, están sobre la misma línea, y los triángulos que se forman son semejantes. Por tanto, se cumple la siguiente razón de semejanza:

Los puntos P, I y H guardan la misma proporción, lo que permite trazar figuras a escala.

Lección 3

A C

B D

F

G

HI

P

E

Entra al sitio web www.esant.mx/fasema3-005 para reforzar lo que aprendiste.


Valida tus respuestas con la información anterior y coméntalas con el grupo. Si tienen dudas consúltenlas con su profesor.

b. Con base en tus respuestas, explica a qué se debe que el pantógrafo sirva para hacer dibujos a escala. Luego lee la siguiente información.

El pantógrafo es un paralelogramo articulado. Las distancias entre los puntos E, F, G e I pueden cambiarse usando los puntos marcados sobre los segmentos A, B, C y D de tal for-ma que se conserva la proporción. Por tanto, se cumple que:

Sí lo son porque los lados del cuadrilátero que se forman son iguales, en consecuen-cia se tiene un paralelogramo.

Sí, porque los

ángulos PFH y PEI son congruentes y los lados son proporcionales.

No, porque los segmentos siguen siendo paralelos.

R. M. Se debe a que los segmentos guardan la misma proporción.

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1. Responde las preguntas en tu cuaderno.

a. En geometría, ¿cómo se identifican los triángulos semejantes? b. ¿Cuáles son los datos mínimos que necesitamos para establecer o no una rela-

ción de semejanza entre triángulos? c. ¿Qué aplicaciones tienen los triángulos semejantes en la vida cotidiana?

2. Marca con si los triángulos son semejantes y con si no lo son. En tu cuaderno, establece las razones de semejanza entre los lados y calcula la razón de propor-ción si los triángulos son semejantes.

3. Identifica los lados y ángulos correspondientes de cada par de triángulos seme-jantes. Con la información dada, indica el criterio de semejanza que se aplica. Luego explica en tu cuaderno.

Caso 1

Caso 1

Caso 3

Caso 3

Caso 2

Caso 2OQ es paralelo a MN

Caso 4

ABC FED

AED ACBCaso 4

CO

M

N

BA

10 cm 6.4 cm

5 cm

5 cm

3.2 cm

2.5 cm

O

N

M

C

AB5 cm

6.4 cm7.5 cm

15 cm

33°

C

BA

DF

E

A

EC

D B

N

DP

F

U

K

O

M N

Q

M

O

N A

BC

122°

122°25° 33°

122°

O

NM

B

C

A

10 cm

5 cm

5 cm

2.5 cm 33°33°

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con ayuda del profesor. Si es necesario corrijan.

Ver solucionario

Ver solucionario

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Distancias inaccesibles y semejanza23

Contenido: Resuelves problemas que implican el uso de la semejanza de triángulos.

Sombras y semejanza

1. Lee la información, analiza la imagen y contesta las preguntas.

En ocasiones es necesario medir alturas o distancias muy grandes que resultan inac-cesibles, por ejemplo, la altura de una montaña, una pirámide, un edificio o un árbol. Para ello se puede recurrir a la geometría.

Los rayos del sol y sus atributos geométricos

1. En equipos de cuatro integrantes, consigan un gis, un metro y un palo de escoba.

a. Marquen dos puntos, A y B, sobre la cancha o el patio de la escuela.

b. Un integrante del equipo debe permanecer de pie so-bre el punto A, mientras otro sostiene verticalmente el palo de escoba sobre el punto B.

c. El resto del equipo debe marcar los puntos A’ y B’ don-de terminen las sombras de su compañero y del palo de escoba respectivamente.

Lección 1

ABB A

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten cómo obtendrían la medida de la altura del árbol.

a. ¿Cuánto estimas que mide la altura del árbol? b. ¿Cómo llegaste a esa estimación?

c. Si conocieras la longitud de la sombra del árbol o la altura de la persona, ¿cómo podrías usarla para calcular la altura del árbol?

R. L.R. L.

R. L.

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d. Midan las longitudes de las dos sombras, la estatura de su compañero y el largo del palo de escoba. Registren las medidas en la tabla.

Altura (cm) Longitud de la sombra (cm)

Alumno Aa La Palo de escoba Ap Lp

Aa

Ap La

Lp

e. Calculen los cocientes:

y ¿Qué relación hay entre los dos cocientes?

y ¿La relación entre los dos cocientes se mantendrá si se registra la longitud de la sombra en horas diferentes? ¿Por qué?

2. Analizalasiguienteafirmación.

Un equipo asegura que se forman triángulos semejantes solo si registran las longitu-des de las sombras a la misma hora. El equipo midió las longitudes de las sombras primero a la misma hora y luego en dos horas diferentes. Observa las imágenes con las que ilustraron su trabajo.

a. ¿Qué cambia entre las dos imágenes? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten las diferencias entre las imágenes. Validen sus respuestas con ayuda de su profesor.

10:00 a. m. 10:00 a. m.12:00 p. m.

R. L.

P. R. El alumno debe concluir que

R. M. No, porque el tamaño de la

R. M. El tamaño de la sombra,

son iguales o aproximadamente iguales.

sombra depende de la posición del Sol.

porque como se midió a diferentes horas la posición del Sol cambió.

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Cálculo de distancias

1. Reúnanseenequipo,retomenloquetrabajaronenlalecciónanterioryhaganloque se pide.

a. Respondan las preguntas. y ¿Qué tipo de ángulo se forma entre el palo de escoba y el suelo sobre el que se

proyecta la sombra? y Cuando hicieron sus mediciones, ¿se observaba todo el triángulo?

b. Midan la longitud de la sombra del compañero más alto de su equipo y calculen su estatura a partir de lo que aprendieron en la lección anterior. Comparen su respuesta con el resultado de medir la estatura de su compañero.

y ¿Por qué funciona el procedimiento? Justifiquen su respuesta con argumen-tos geométricos.

Lección 2

Para calcular la altura de un objeto, se puede utilizar la sombra que proyecta to-mando como base la semejanzaentrelostriángulosqueseforman. Objetos para-lelos proyectan sombras paralelas.



a. Juan mide 1.75 m de altura y proyecta una sombra de 1.56 m de largo. Él quiere calcular la altura de la torre Constitución 999 de la ciudad de Monterrey. ¿Cuál es la altura del edificio si a la misma hora este proyecta una sombra de 260 m? Dibuja los triángulos y los datos.

b. ¿Cómo calcularías el ancho de un río mediante el método de las sombras? ¿Qué informa-ción necesitarías? Escríbela abajo.

Comparatusrespuestasyprocedimientosconlosdetuscompañeros.Luegovalídenlosconapoyodesuprofesor.Sihaydudas,coméntenlas.


De 90°No

291.66 m

R. L.

R. M. Porque se forman triángulos semejantes, los cualesguardan una razón de proporción.

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Otros instrumentos para calcular distancias

2. Leanlainformaciónenequiposyhaganloquesepide.

Para calcular indirectamente la medida de alturas inalcanzables, por ejemplo, la al-tura de una farola de luz, del poste de la cesta de baloncesto de tu escuela o de un árbol se pueden usar diferentes instrumentos y estrategias. Entre los métodos que se pueden emplear están el de Euclides, el de la escuadra y el del leñador.

a. Elijan un objeto del cual no puedan medir su altura de forma directa para medir-la mediante los tres métodos que aprenderán en esta lección. En cada caso, res-pondan las preguntas en su cuaderno.

MétododeEuclidesodereflexión

Consigan un espejo, cinta métrica, papel y lápiz.

i. Coloquen el espejo horizontalmente a una distancia mayor de 2 m del objeto que van a medir.

ii. Un miembro del equipo debe colocarse en un punto desde el que pueda obser-var en el espejo el punto más alto del objeto.

iii. Midan la distancia de los pies a la altura de los ojos del miembro del equipo que observa el objeto.

y ¿Por qué se debe medir la altura de esa forma?

iv. Obtengan la información adicional que consideren necesaria y escríbanla sobre la imagen de la derecha. Luego calculen la altura del objeto.

Métododelaescuadra

Consigan una escuadra, un popote reutilizable y cinta adhesiva.

i. Peguen el popote en el lado más largo de la escuadra.ii. Un miembro del equipo debe ubicarse en un punto desde el que pueda ver el

punto más alto del objeto a través del popote, de forma que uno de los lados de la escuadra quede paralelo al suelo.


y ¿Qué criterio de semejanza de triángulos se usa en este método? y ¿Cuánto mide la altura del objeto que eligieron?

O

P

O

P

R. L.R. L.

R. L.

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y ¿Qué datos necesitaron para calcular la altura del objeto con este método?

Métododelleñador

Consigan un lápiz o una regla.

i. Un miembro del equipo debe colocarse en un punto desde el cual, con el brazo extendido y el lápiz en posición vertical, tape el objeto por medir.

ii. Sin moverse de lugar, el miembro del equipo debe girar el lápiz hasta dejarlo en posición horizontal, cuidando que uno de los extremos del lápiz coincida con la base del objeto por medir.

iii. Otro miembro del equipo caminará desde la base del objeto por medir hasta que su posición coincida, desde la perspectiva del observador, con el otro extremo del lápiz. Cuiden que entre los dos miembros del equipo y la base del objeto se forme un ángulo de 90°. Calculen la distancia.

Aplicaloqueaprendiste.

1. Reúneteconuncompañeroyhaganloquesepide.

a. Cada uno elabore un problema de alturas inalcanzables sin dar información de las distancias y medidas. Intercámbienlo entre ustedes y proporcionen la infor-mación que solicite el otro, excepto la distancia del objeto por medir.

b. Respondan las preguntas en su cuaderno. y ¿Por qué es útil conocer la medida de una altura inalcanzable? y ¿En qué profesiones y oficios se usan estos conocimientos? y ¿Cómo se emplea la semejanza de triángulos para calcular distancias?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. En grupo concluyan cuál es la relación en-tre la semejanza de triángulos y el cálculo de distancias inaccesibles.


y ¿Cómo son los resultados de la altura del objeto inaccesible que eligieron usando los métodos anteriores?

iii. Midan las distancias que consideren necesarias y calculen la altura del objeto.P

O

B

S

Altura del árbol

P

Oh

s

dB

R. L.

R. L.

R. L.

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Reviso mi trayecto

Resuelvelosproblemas.Revisalasrespuestasconayudadelprofesoreidentificacuá-lessecuenciasdidácticasdebesrepasarparamejorarentusáreasdeoportunidad.

1. Unrectángulomidedeanchoxmetrosydelargo,x 4metros.Sisuáreaesde6x 8 metroscuadrados,¿cuálessonsusmedidas?

2. Escribequéfuncióncorrespondeacadagráfica.

a. y x + 6 b. y x2 4 c. y x 6d. y

5x e. y

x5 f. y 4 x2

y Compara las gráficas y en tu cuaderno escribe sus diferencias.

3. Trazaentucuadernountriángulocualquiera,ubica lospuntosmediosdecadaladoyúnelosparaformarunnuevotriángulo.

a. ¿Por qué los dos triángulos son semejantes? Justifica tu respuesta.

Función: Función: Función:

y

x

2

2

02

2

4

6

8

48 4 6 8

4

6

8

6

y

x2

0

2

4

6

8

48 4 6 8

4

6

8

6 22

y

x5

0

5

10

15

20

1020 10 15 10

10

15

20

15 55


1 19 122 a 1252 20 126 a 1313 22 138 a 143

El ancho mide 4 y el largo 8.

x(x 4) 6x 8 x2 4x 6x 8 0 x2 2x 8 0 (x 4)(x 2) 0

x – 4 0x 4

x 2 0 x 2

a. y x 6 b. x2 4 d. y 5x

Porque los lados correspondientes de los triángulos tienen una relación de proporción y sus ángulos co-rrespondientes son congruentes.

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Aprendizaje esperado: Construirás polígonos semejantes. Determinarás y usarás criterios de semejanza de triángulos. 24Teorema de Tales

Contenido: Determinas y aplicas el teorema de Tales.

Rectas paralelas, transversales y semejanza

1. Leelasituación.Respondelaspreguntas.

Un carpintero construye un librero con los soportes laterales perpendiculares al sue-lo y a las repisas como muestra la imagen. Para cada una de las 24 repisas debe hacer orificios sobre los 5 soportes y colocar los tornillos con los que se sujetarán.

Lección 1

a. ¿Qué características deben tener las repisas para que los objetos no se resbalen?

b. ¿Cómo puedes calcular la distancia entre la repisa verde y la amarilla?

c. ¿La distancia en el soporte izquierdo entre las repisas azul y verde es la mis-ma que en el soporte del lado derecho? ¿Cómo puedes calcular esas distancias?

d. ¿Todos los soportes del librero deben medir lo mismo? Justifica tu respuesta.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Coméntenlas con su profesor.

Las repisas deben ser paralelas al suelo, es decir, horizontales.

R. M. Usando las distancias conocidas entre otras repisas.

No, R. M. Usando la semejanza de triángulos y despejando la distancia que se desea conocer; por ejemplo, usando la distancia entre las repisas roja y azul.

No, su medida depende de su distancia al suelo y de la inclinación de sus soportes.

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Segmentos proporcionales y rectas paralelas

1. Reúneteconuncompañero,leanlainformaciónyhaganloquesepide.

El carpintero encontró una imagen en la que se muestran algunas medidas.

a. Midan los segmentos que necesitan para responder las preguntas.

y ¿Qué relación geométrica hay entre HK, GL, FM, EN, DO y CP?

y ¿Qué relación geométrica hay entre esos segmentos y HC? Justifiquen su respuesta.

b. Completen las tablas y respondan las preguntas en su cuaderno.

H

HG 40 cm

LM 20.6 cm

MN 72.4 cm

OP 31 cm

GF 20 cm

FE 70 cm

ED 60 cm

DC 30 cm

G

F

E

D

C P

O

N

M

L

K

Segmento Medida a escala Medida real

HC 11 cm

HG 40 cm

KP

KL

NO

OP 31 cm

Razón Resultado del cociente

HCHG KPKL FEHC MNKP

y Identifiquen las razones que son iguales. ¿Qué significa que exista esa igualdad?

y ¿Qué relación tienen los segmentos cuyas razones son iguales?

y ¿Cómo encontraron los valores fal-tantes en la imagen?

y ¿Se pueden hallar los valores faltan-tes sin medirlos?

Comenten sus respuestas con sus compañeros y lleguen a una conclusión. Valídenla con ayuda del profesor.

Son paralelos.

Son perpendiculares.

220 cm

2 cm

11.3 cm 226 cm

2.1 cm 42 cm

3.09 cm 61.8 cm

1.55 cm

5.5

5.5

0.32

0.32

Ver solucionario

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Contenido: Determinas y aplicas el teorema de Tales.

Triángulos en posición de Tales

1. Realiza la actividad. Analiza si los segmentos proporcionales solo se obtienencuandounadelasrectasesperpendicularalossegmentosparalelosylaotrano.

a. Sigue las instrucciones.

i. Traza tres rectas paralelas y nómbralas P1 , P2 y P3. ii. Traza dos rectas transversales a las anteriores cuidando que no sean perpendi-

culares y nómbralas T1 y T2.iii. Marca los puntos donde se intersecan las rectas paralelas y T1. Nómbralos A, B y C.iv. Nombra D, E y F a los puntos donde se intersecan las rectas paralelas con T2

y márcalos.v. Identifica los segmentos de una de las transversales y sus correspondientes en

la otra transversal.

b. Mide los segmentos y anota las medidas en la primera columna de la tabla. Luego reúnete con un compañero y compartan sus medidas. Anoten las medi-das en la segunda columna de la tabla.

Segmento Medidas

AB

BC

AC

DE

EF

DF

Razón Resultado del cociente

ABBC

EFDF

ABAC

c. Encuentren otras razones equivalentes a las de la tabla de la derecha.

d. Con base en los resultados del inciso anterior, escriban en su cuaderno una con-clusión respecto a las razones entre los segmentos y sus correspondientes.

ABBC

ABAC

EFDF

Puedes hacer la actividad de esta página usando GeoGebra, sigue los mismos pasos. Si tienes dudas consulta la sección "Resuelvo con tecnología" de la página 154. Calcula las razones y mueve las transversales. ¿Se conservan las razones entre los segmentos? ¿Qué ocurre si se mueven las paralelas?


Lección 2

Comenten sus conclusiones con todo el grupo y valídenlas con apoyo del profesor.

T1

P1

P2

P3

DEEF

DEDF

BCAC

R. L.

R. L.

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2. Comentalasiguienteinformaciónconuncompañero.

Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, las rectas paralelas dividen a las transversales en segmentos proporcionales. Es decir, la ra-zón de dos segmentos cualesquiera de una recta transversal es igual a la razón de sus correspondientes en la otra transversal.

Además, si los segmentos determinados por dos transversales a más de dos rectas son proporcionales, entonces las rectas son paralelas.

Este resultado se conoce como teoremadeTales.


1. Resuelveentucuaderno.

a. Elige un método y un problema de los que analizaste en la secuencia didáctica 23 y resuélvelo. Puedes aplicar el teorema de Tales.

2. Resuelveyresponde.

Para escalar una roca, Margot y Felipe necesitan una cuerda que mida el doble que la altura de la roca, pero desconocen esta altura.

Margot mide 1.48 m y usarán el método de Euclides. Para ver la cima donde está parada, Felipe tuvo que ubicar el espejo a 1 m de distancia. La distancia del espejo a la base de la roca es de 5.96 m.

1.48 m1 m 5.96 m

a. ¿Cuánta cuerda necesitarán Margot y Felipe para escalar la roca?

b. ¿Por qué se puede utilizar el teorema de Tales?

3. DescribeentucuadernocómodebencolocarsedostriángulosparaqueesténenposicióndeTales,esdecir,paraquesecumplaelteore-madeTales.

a. ¿Por qué es posible afirmar que, si dos triángulos están en posición de Tales, entonces son semejantes?

Entra al sitio web www.esant.mx/fasema3-006 y explora otra aplicación del teorema de Tales.


Compara tus respuestas con tus compañeros y comenten sus dudas. Validen las respuestas con ayuda del profesor. Si es necesario corrijan.

Comparen el texto anterior con la conclusión a la que llegaron. Discutan en qué se parecen y en qué son diferentes.

Al ser triángulos

Porque si están en posición de Tales, los lados correspondientes guardan la misma proporción y, por el criterio LLL, son semejantes.

semejantes se mantiene la proporción de sus medidas.

Se necesitan 17.6 m de cuerda.

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Teorema de TalesReúneteconuncompañero,entrenalapáginawww.geogebra.org/geometryysiganlasinstruccio-nesparaverificarelteoremadeTales.Sinotienesaccesoaunacomputadora,utilizaunahojami-limétricayunjuegodegeometríaparahacerlasexploraciones.

Imagen 2

Imagen 1

Imagen 3

1. Con la herramienta Recta, tracen dos rectas de forma que se intersequen como se muestra en la imagen 1.

2. Coloreen la recta que pasa por los puntos A y B de azul y la que pasa por C y D de rojo. Para ello, den clic derecho sobre una de ellas y eli-jan la opción Configuración. Den clic en la pes-taña Color y elijan el color indicado. Cierren el panel lateral dando clic en la x que aparece en la parte superior derecha.

3. Tracen la recta que pasa por los puntos A y C y la recta que pasa por los puntos B y D y colo-réenlas de verde y amarillo respectivamente. Cuiden que las rectas no sean paralelas. Si lo son, muevan alguno de los puntos.

4. Tracen los puntos E, F y G sobre la recta azul, y los puntos H, I y J sobre la recta roja, como se muestra en la imagen 2. Marquen el punto K donde se intersecan la recta azul y la recta roja.

5. Con la herramienta de construcción Paralela, tracen rectas paralelas a la recta verde que pa-sen por los puntos H, I y J. Hagan lo mismo con los puntos E, F y G, y la recta amarilla. Obser-ven la imagen 3.

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Imagen 4

Imagen 5

Imagen 6

6. Marquen los puntos L, M, N, O, P y Q donde se in-tersecan las rectas paralelas que trazaron con las rectas azul y roja según sea el caso, como se muestra en la imagen 4.

7. Con la herramienta de medición, Distancia o Longitud, midan las longitudes de KC, CH, HI, e IJ, y sus correspondientes KA, AL, LM y MN. Para ello seleccionen los puntos donde inicia y termina cada segmento.

8. Den clic en el icono de Configuración que apa-rece en la parte superior derecha de la pan-talla. Elijan la opción Configuración y den clic en la pestaña Global. Modifiquen la opción Re-dondeo para tomar 3 cifras decimales como se muestra en la imagen 5.

9. Calculen el cociente de la longitud de KC entre la longitud de CH. Para esto den clic en el ico-no Pasos y en la sección Entrada… escriban el texto KC/CH y presionen la tecla Enter, obser-ven la imagen 6. Hagan lo mismo con los seg-mentos correspondientes en la recta azul.

y ¿Cómo son los cocientes que se obtienen?

10. Calculen otros cocientes. Recuerden dividir segmentos de la misma recta y sus correspondientes. y ¿Qué relación hay entre los cocientes que se obtienen?

11. Repitan los dos pasos anteriores con los segmentos que se forman del otro lado. y ¿Cómo son los cocientes? y Tomen segmentos que estén en diferentes lados del punto K y sus correspondientes. ¿Cómo son

los cocientes? ¿Por qué?

MuevanlospuntosA, B, CyDyobservenquéocurreconloscocientesycompartansusobservacionesconsuscompañeros.ExpliquenporquéesteprocedimientosirveparamostrarelteoremadeTales.

Iguales

Son iguales.

Iguales

Son diferentes, porque las rectas no son paralelas.

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Semejanza y transformaciones geométricas 25

Un grupo de secundaria hará un teatro de sombras usando títeres. El equipo encargado de la proyección necesita ubi-car la linterna de tal forma que las sombras de los títeres sean tres veces el tamaño de los originales. ¿A qué distancia de las marionetas deben ubicar la linterna?

Contenido: Exploras la semejanza en la homotecia de figuras.

Figuras semejantes y las sombras

1. Enequipo,analicenlasiguientesituaciónyhaganloquesepide.

OA

A

B

C

D

EE

DC

B

Lección 1

a. Observen la imagen y respondan las preguntas. y ¿Qué es lo que no cambia al proyectar la sombra de un objeto? ¿Por qué?

y ¿Es posible que se proyecte una sombra del mismo tamaño que la del títere? ¿Por qué?

y ¿Podrían generar una sombra más pequeña usando una linterna? ¿Por qué?

¿Qué es fundamental en una homotecia?

1. Formenequiposdetres,consiganunalámpara,unlápiz,unahojadepapel,unmetroyhaganloquesepide.

a. Coloquen la lámpara sobre la mesa y déjenla fija de forma que puedan generar sombras sobre la pared, como se muestra en la imagen.

Comenten sus respuestas con sus compañeros.

R. M. La forma de la sombra, porque se proyecta proporcionalmente.

R. M. No, porque la linterna proyecta su luz de forma que la sombra crece.

R. M. No, porque tendrían que estar a la misma distancia de la lámpara.

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b. Repartan las siguientes tareas para desarrollar las actividades que se indican y respondan las preguntas.

y El primer miembro del equipo deberá sostener el objeto que se proyectará. y El segundo miembro medirá la distancia entre la lámpara y el objeto. y El tercer miembro deberá medir la sombra que se proyectará en la pared.

Actividad1. Coloquen el lápiz a 10 cm de la lámpara. y ¿Cuánto aumenta la longitud de la sombra del lápiz en relación con la longitud

del lápiz? y ¿A qué distancia de la lámpara deben colocar el lápiz para que la sombra tenga una

longitud igual a la del doble del lápiz? y ¿A qué distancia debe estar para que la longitud sea el triple?

Actividad2. Construyan un cuadrilátero y colóquenlo a 10 cm de la lámpara. y ¿Qué diferencias existen entre los lados del cuadrilátero original y los lados de la

sombra que se proyecta? y ¿Qué relación hay entre la distancia de la lámpara a uno de los lados del cuadrilá-

tero y la distancia de ese lado a su correspondiente?

y ¿Cuánto aumenta uno de los lados de la sombra respecto del original?

Las figuras homotéticas son semejantes y cumplen algunas particularidades. La ho-motecia es una operación geométrica que transforma una figura en una nueva, de tal manera que cada punto de la figura original lo transforma en otro. A la figura nueva se le llama figurahomóloga. Para identificar los puntos de la figura homólo-ga con sus correspondientes (imágenes), se emplea una comilla, por ejemplo, A (A prima) es el punto correspondiente o la imagen de A. Una característica fundamen-tal para que se dé una homotecia es que debe haber un punto, el cual forma una lí-nea con el punto original y su correspondiente en la figura homóloga. A este punto se le llama centrodehomotecia (O). A la razón AO entre AO se le conoce como ra-zóndehomotecia.

Actividad3. Construyan un círculo y colóquenlo a 10 cm de la lámpara. y ¿Qué diferencias hay entre el radio del círculo original y el radio de la sombra que

se proyecta? y ¿Cuánto aumenta la longitud del radio de la sombra respecto del original?

Comenten sus respuestas con sus compañeros. Lean la siguiente información e identifiquen los elementos que se mencionan en la imagen del inciso a.

R. L.

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Homotecias positivas

1. Hazloquesetepideycontestaentucuaderno.

a. Construye un cuadrilátero semejante al dado cuyos lados midan 1.5 con res-pecto al original. Analiza el procedimiento que se usó para localizar el punto R. ¿Cuál es la razón de semejanza entre ambas figuras? ¿La nueva figura será más grande o más pequeña que la original?

i. Se trazó la semirrecta que pasa por los puntos O y R.ii. Se midió la distancia OR y se ubicó el punto R sobre la recta. ¿A qué distan-

cia del punto O se ubicó el punto R'?

b. Ubica el punto P. Si usas el compás, ¿puedes tomar la distancia RR y, con esa misma distancia, ubicar los demás vértices del cuadrilátero? ¿Por qué?

c. Para ubicar los puntos M y N, recuerda trazar las semirrectas con origen en O y que pasen por dichos puntos.

2. Analizaelprocedimientoanterioryresponde.

a. ¿Cuál es el centro de homotecia? b. ¿Cuál es la razón de homotecia? c. ¿Cómo están situadas las dos figuras respecto al centro de homotecia?

d. Cuando se transforma una figura en otra a través de una homotecia, ¿qué pro-piedades no varían?, es decir, ¿qué propiedades no cambian?

e. ¿Por qué se puede afirmar que estas figuras están en posición de Tales?

R

R

O

P

N

M

Lección 2

Compara tu trazo con los de tus compañeros y comenten sus respuestas. Luego valídenlas con ayuda de su profesor.

O

1.5Están

Los ángulos y la

R. M.

del mismo lado del punto.

forma.

Porque son semejantes.

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3. Reúneteconuncompañero,leanlainformaciónyrespondanensucuaderno.

Cuando dos figuras homotéticas están situadas del mismo lado del centro de ho-motecia, se dice que la homoteciaesdirecta y, entonces, la razón de la homotecia (k) es positiva (k 0). Simbólicamente se escribe H(O,k).

a. ¿Qué sucede cuando la razón de homotecia es la misma, pero se cambia el cen-tro de homotecia?

4. Formenequiposdecuatrointegrantes.Haganloquesepide.

a. Trace cada uno un círculo de 6 cm de radio.b. Cada quien elija un caso y construyan un círculo homólogo al que trazaron con

una razón de homotecia de 0.5 y el centro de homotecia que se indica en el caso que eligieron.

Caso 1. El centro de homotecia coincide con el centro del círculo.Caso 2. El centro de homotecia está en la circunferencia.Caso 3. El centro de homotecia está 2 cm fuera de la circunferencia.Caso 4. El centro de homotecia está 6 cm fuera de la circunferencia.

c. Analicen los círculos homólogos que trazaron y comenten cómo afecta la posi-ción del centro de homotecia al círculo obtenido. Escriban su conclusión.


1. Las figuras azules se han transformado respecto del punto O. En cada caso, elige dos puntos, A y B, y ubica sus correspon-dientes A y B. Une los puntos A con A y B con B.

a. Verifica si las figuras (las originales con sus homólogas) son semejantes y explica por qué en tu cuaderno. En cada caso, identifica los lados correspondientes.

b. Mide las distancias que se indican y anota los resultados en tu cuaderno.

y La distancia de O al punto original. y La distancia del punto original a su correspondiente. y La distancia de O al punto en la homotecia. y Mide la longitud en la figura original y en la homóloga.

c. Analiza los resultados y responde en tu cuaderno.

y ¿Qué no cambia en la figura homóloga? y ¿Cuál es la relación entre el tamaño del objeto inicial y su homólogo?

Comparen sus conclusiones con las del resto del grupo. Revísenlas con su profesor.

O

O

O

R. M. La figura homóloga se acerca o se aleja dependiendo del punto.

La formaSon proporcionales.

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Homotecias negativas

1. Analizalasfigurasyhazloquesepide.Consideraquelasfigurasazulessonlasori-ginalesylasrojassushomólogas.Justificalaproporcionalidadentrelosladosco-rrespondientesylaigualdaddelosángulosencadapardefiguras.

Lección 3

a. Une los puntos de la figura original con sus correspondientes.b. Responde las preguntas en tu cuaderno.

y ¿Cómo está ubicado el centro de homotecia respecto a los puntos originales y sus correspondientes?

y ¿Son colineales el centro de homotecia, el punto original y el correspondiente? y ¿Qué relación hay entre el objeto original y su homólogo en cuanto al tamaño? y ¿Cómo están ubicadas la figura original y su homóloga respecto al punto O?

c. En cada caso, calcula el valor de k.

2. Analizalasiguienteinformaciónycontestaentucuaderno.

Una homoteciaindirectaoinversa se da cuando la razón de homotecia es menor que cero, es decir, esta razón es negativa (k 0).

a. Si k 0, ¿cuál es la distancia, en términos de OA y OA, entre los puntos A y A?b. ¿Sucede lo mismo si k 0? ¿Por qué?


1. Respondelassiguientespreguntasentucuaderno.

a. En geometría, ¿cómo se identifican dos figuras homotéticas? ¿Cómo se relaciona la homotecia con la semejanza?

b. ¿Qué aplicaciones en la vida cotidiana (en el arte, en la construcción de túneles, etcétera) tiene la homotecia?

2. Lee,analizayresponde.

Una homotecia es una transformación geométrica de puntos en el plano (objetos ini-ciales) en otros puntos en el plano (imágenes). Para realizar una homotecia se nece-sitan dos datos: el centro de homotecia (O) y la razón de homotecia (k).

a. ¿Qué valores puede tomar k? b. ¿Por qué k no puede ser 0?

O

A

B

A

B

C A

B

C

OC

BA

O

C

B

A

A

B


Positivos y negativosPorque no se formaría una figura homotética.

Ver solucionario

k 1/2 k 2k 1

Ver solucionario

R. L.

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3. Haz lo que se indica en tu cuaderno.

Los pares de figuras son homólogas. Las figuras originales están en azul. En cada caso, identifica si la razón de homotecia es positiva (mayor que 1 o menor que 1) o negativa. Explícalo.

4. En cada caso anota A, B, C, D o E en el recuadro de acuerdo con el valor de la razón de homotecia.

A. k 1 B. 1 k 0 C. 0 k 1 D. k 1 E. 1 k

O

a.

Oc.

O

b.

O

d.

A

B

O

C

E

A

B

O

C

C BA

FE

E

A

B

O

C

E ED

A

B C

F

C

A

A

B

O

C

EE

B

F

D

DD

D

D

D

F F

F

F

c. d.

a. b.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten qué relación hay entre la homotecia y la semejanza de polígonos.


E

C

A

D

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Aprendizaje esperado: Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras26

Contenido: Justificas y compruebas el teorema de Pitágoras.

Las áreas de los terrenos

1. En parejas, lean la situación y hagan lo que se pide.

El dueño de la propiedad rectangular que se muestra a la izquierda les regaló a sus hi-jos, Toño, Alberto y Emilio, los terrenos ubicados en las esquinas. A una de sus hijas le dará el terreno azul y a la otra, los terrenos verdes. Él se quedará con el terreno amarillo.

Laura y María tienen que decidir quién de ellas se queda con el terreno azul y quién con los dos terrenos verdes. Ambas quie-ren la mayor superficie posible.

Triángulos rectángulos y cuadrados

1. Observa los dibujos y contesta individualmente.

c. Tracen en una hoja cuadriculada un triángulo rectángulo con las dimensiones que quieran, los cuadrados correspondientes a sus tres lados y las otras figuras geométricas que completan el terreno rectangular.

d. Midan todas las distancias necesarias para poder resolver este problema.e. ¿Cuál terreno tiene mayor superficie: el azul o la suma de los dos verdes?

Lección 1

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Lleguen a acuerdos acerca del procedimiento descrito y escriban sus conclusiones en su cuaderno.

ToñoAlberto

Emilio Toño

Papá

a. ¿Qué características tiene el terreno triangular del papá?

b. ¿Qué información necesitan las hijas para tomar la de-cisión?

Es un triángulo rectángulo.

Conocer el área de los terrenos.

9

16

2536

64

100

Tienen la misma área.

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Eje: Forma, espacio y medidaTema: Magnitudes y medidas

a. Cuenta los cuadritos de los cuadrados que se contruyeron a partir de los lados de cada triángulo rectángulo. Anota tus respuestas junto a los dibujos. Considera que cada cuadrito representa una unidad cuadrada.

y ¿Qué relación existe entre las áreas de los cuadrados que se construyeron a partir de los lados de cada triángulo rectángulo?

y ¿Cómo es el área del cuadrado grande comparada con la suma de las áreas de los cuadrados de menor tamaño?

2. Haz lo que se pide.

a. Usa papel cuadriculado y traza triángulos rectángulos cuyos catetos midan las unidades que se indican. Considera que cada cuadrito es una unidad.

b. Traza y recorta cuadrados cuyos lados midan 8, 12, 15, 16, 17 y 20 unidades.c. Acomoda los cuadrados que recortaste alrededor de los catetos de cada triángu-

lo y encuentra la medida del cuadrado que puedes colocar sobre la hipotenusa.d. Comprueba que la suma de cuadritos de los cuadrados que están sobre los cate-

tos es igual al número de cuadritos del cuadrado que está sobre la hipotenusa.e. Si la medida de uno de los catetos es a, la medida del otro cateto es b, y la medi-

da de la hipotenusa es c, escribe una fórmula que relacione las áreas de los cua-drados que están sobre los lados del triángulo rectángulo.

En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa.

CatetoCateto

Hipotenusa

y 8 y 15 y 12 y 16

Fórmula:

Comenta con tus compañeros la relación que observaste entre las áreas de los cuadrados que se formaron. En grupo, comenten si esa relación se da en otros tipos de triángulos.

c2 a2 b2

El área de los cuadros de los lados chicos son menores que el área del cuadro del lado grande.

Es igual.

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Demostración del teorema de Pitágoras

1. Enequipo,leanlasiguienteafirmaciónyhaganloquesepide.

En la lección anterior comprobaron el teorema de Pitágoras con un número entero de cuadritos en cada lado del triángulo rectángulo. ¿Se cumple el teorema siempre o solamente para ciertos números? La siguiente demostración les dará la respuesta:

a. Tracen en una hoja una figura como la de la derecha. b. Recorten las cuatro piezas de colores que forman el cuadrado

ACMH y el cuadrado BCLK.c. Acomoden las cinco piezas recortadas dentro del cuadrado

ABDE de manera que cubran su área completamente.d. Expliquen qué se ha logrado demostrar si las cuatro piezas del

cuadrado ACMH, junto con el cuadrado BCLK, se pueden aco-modar perfectamente para cubrir el área del cuadrado ABDE.

2. Resuelvan los siguientes rompecabezas pitagóricos.

Observen cómo están construidas las partes de los cuadrados que se forman toman-do como lados los catetos del triángulo rectángulo. Repitan los diseños en cartulina. Usen plumones de colores, recorten las piezas y decidan cómo cubrir con todas las piezas el cuadrado que se forma sobre la hipotenusa.

Consideren lo siguiente al momento de trazar las figuras:

En la figura 1, AE y BC son perpen-diculares a AB, mientras que CD es perpendicular a BC.

En la figura 2, BR es perpendicular a AB, mientras que QT es perpendicu-lar a HQ.

En cualquier triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados que es-tán sobre los catetos es igual al área del cuadrado que está sobre la hipotenusa. Esta afirmación se conoce como teorema de Pitágoras.

H

G

A

E

FM

CL

K

Bb a

c

D

A

E

C

B

D

A

E

H Q

C R L

KB

D

M

ab cT

Contenido: Justificas y compruebas el teorema de Pitágoras.

Lección 2

Figura 1 Figura 2

Comenta con tus compañeros qué significa que se pueda cubrir el área del cuadrado grande con las piezas. Validen sus respuestas con su profesor.

Lo que se ha logrado demostrar es que si sumamos el área de los cuadrados que se forman en los catetos del triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado que se forma en la hipotenusa.

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3. En parejas, resuelvan las siguientes actividades.

a. Tracen un cuadrado dentro de otro, como se muestra en la figura.b. ¿Cómo se puede encontrar el área del cuadrado cuyos

lados miden a b?

c. ¿Cómo se puede encontrar el área del cuadrado cuyos lados miden c y está inscrito dentro del otro cuadrado?

d. ¿Cómo se puede encontrar el área de cada triángulo rectángulo ubicado en cada esquina?

e. Lean la siguiente información. Apliquen sus conocimientos de álgebra y comple-ten las igualdades.

Existen dos formas de calcular el área del cuadrado: multiplicando la longitud del lado del cuadrado por sí mismo o calculando el área de los cuatro triángulos y sumándola al área del cuadrado inscrito de lado c.

y Área del cuadrado lado lado = (a b)(a b) y Área del cuadrado área del cuadrado de lado c área de los cuatro triángulos

a

b

a

b

b

a

b

a

c

c

c

c

Comenta con tus compañeros qué significa que se cumpla la igualdad a la que llegaron. Validen sus comentarios con ayuda de su profesor.

Comparen sus respuestas en grupo y comenten las dudas que hayan surgido.


1. Retoma el ejercicio inicial de esta secuencia didáctica y responde en tu cuaderno.

Si los catetos del triángulo que corresponde al terreno del papá midieran 8 m y 15 m:

a. ¿Cuál sería la superficie de cada uno de los terrenos verdes?b. ¿Cuál sería el área del terreno azul y cuáles serían sus dimensiones?c. ¿Qué decisión podrían tomar Laura y María?

Si las dimensiones del terreno triangular del papá fueran 9 m y 12 m, ¿qué decisión podrían tomar Laura y María?

y Igualen los dos resultados anteriores y simplifiquen. Deben obtener una ecuación que relacione los lados a, b y c de los triángulos trazados en el dibujo anterior.

Multiplicando la longitud de su

base por su altura, es decir, (a b)(a b).

R. M. Elevando al cuadrado las longitudes de a y b y sumando esos resultados.

y b y el resultado dividiéndolo entre 2.

Multiplicando a

a2 2ab b2

64 m2 y 225 m2

289 m2 y 17 mPueden elegir cualquier terreno ya

El área de ambos terrenos sería igual.

que tienen la misma área.

c2 4 ab2

a2 2ab b2 c2 4 ab2 de esta igualdad se obtiene que a2 b2 c2.

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Teorema de PitágorasReúneteconuncompañeroysiganlasinstruccionesparaverificarelteoremadePitágoras.

1. Entren a la página www.geogebra.org/geometry.

2. Coloquen 2 deslizadores en la parte superior de la pantalla para modificar las medidas de los lados del triángulo que construirán. Para esto, utilicen la herramienta de Medición, Des-lizador, que se muestra en la imagen 1. Si no la localizan, en la parte inferior de la barra de he-rramientas, hagan clic en Más.

3. Ingresen los valores para los deslizadores a y b, como se muestra en la imagen 2, y den clic en OK. Modifiquen el valor del deslizador a para que valga 2.

4. Tracen un segmento con la herramienta de Rec-tas, Segmento de longitud dada. Para ello, den clic en el área de trabajo. En la ventana emergen-te, ingresen a como valor de la longitud.

5. Coloquen un nuevo deslizador para modificar la amplitud del ángulo del triángulo. Marquen la opción “Ángulo” y cambien el nombre del ángu-lo, como en la imagen 4. Nombren c al ángulo.

Imagen 2

Imagen 1

Imagen 3

Imagen 4

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6. Con la herramienta de Medición, Ángulo dada su amplitud, den clic en los puntos B y A. En la ventana emergente, coloquen c como el valor del ángulo.

7. Tracen una semirrecta que se inicie en el pun-to A y pase por el punto B’. Luego, con la herra-mienta Circunferencia (centro, radio), tracen una circunferencia con centro en el punto A y cuyo radio sea b.

8. Marquen el punto C donde se intersecan la circunferencia y la semirrecta. Oculten la cir-cunferencia, la semirrecta y el punto B’. Luego unan los puntos A, B y C con segmentos, para trazar el triángulo.

9. Tracen cuadrados sobre los lados AC, CB y BA del triángulo con la herramienta Polígono regular.

10. Con la herramienta de Medición, Superficie, den clic sobre cada uno de los cuadrados para calcu-lar sus áreas.

11. Ajusten el deslizador c para que tenga un valor de 90° y modifiquen libremente los valores de los deslizadores a y b.

y ¿Qué relación hay entre las áreas de los tres cuadrados?

y ¿Se cumple para todos los valores de a y b?

12. Modifiquen el valor del ángulo con el deslizador. y ¿Se sigue cumpliendo la relación? ¿Por qué?

Repitanlaexploración.Modifiquenlosdeslizadoresparaqueelincrementoseade0.1ycomprue-ben que el teorema también es válido para números decimales.

Si no cuentas con acceso a GeoGebra, traza en tu cuaderno un triángulo rectángulo con regla y compás. Traza otro triángulo que no sea rectángulo y que tenga dos lados de la misma longitud que los lados perpendiculares del primer triángulo.

Sobre los lados de cada triángulo, traza cuadrados y compara sus áreas. Repite el procedimiento. ¿Cómo son las áreas de los cuadrados de los triángulos rectángulos? ¿Y las otras?

Imagen 5

Imagen 6

El área del cuadrado más

grande es igual a la suma de las áreas de los otros dos. Sí

No, porque solo funciona para triángulos rectángulos.

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Aprendizaje esperado: Formularás, justificarás y usarás el teorema de Pitágoras.

Aplicación del teorema de Pitágoras27

120 m

Contenido: Aplicas el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

La longitud de los catetos

1. Lee el problema y responde.

La entrada a la casa de Laura mide 1.05 m por 2.10 m. Si compró una mesa circular que tiene un diámetro de 2.40 m, ¿cabrá la mesa por la puerta?

a. Traza un diagrama en tu cuaderno que represente la puerta. b. Si el diámetro de la mesa es mayor que la altura de la puerta, ¿de qué manera

podría entrar? c. Usa el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la diagonal.

Lección 1

y ¿La mesa cabe por la puerta?

El teorema de Pitágoras

1. Con base en la siguiente información, resuelve el problema. Usa la calculadora si es necesario.

a. Cada lado de un terreno en forma de triángulo equilátero mide 120 m.

y Explica cómo puedes usar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de este triángulo, si el teorema solamente aplica para triángulos rectángulos.

y ¿Cuánto mide la altura del triángulo? y ¿Cuánto miden el área y el perímetro?

Para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, si a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 b2 c2. A esta igualdad se le cono-ce como teorema de Pitágoras.

c b

a

c2 a2 b2

Acomodando la mesa de manera diagonal.

No

Al trazar la altura se forma un ángulo recto en la base del triángulo, y por ser un triángulo equilátero la base queda dividida exactamente a la mitad.

103.9 m P 360 m y A 6 235.3 m2

a2 b2 c2 5.5125 c2

1.052 2.102 c2 5.5125 c2

1.1025 4.41 c2 c 2.35 m

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50 cm

240 cm

1.5 m

m n

a

1.2 m 0.8 m

b. Dos paredes están separadas, una de la otra, por un callejón. Una escalera que mide 1.5 m está recargada en una de las paredes y alcanza una altura de 1.2 m. Si se rota la escalera y se recarga en la otra pared, alcanza 0.8 m de altura. ¿Cuánto mide de ancho el callejón?

y Identifiquen uno de los triángulos rectángulos que se for-man e identifiquen sus catetos y su hipotenusa.

y Sustituyan los datos correspondientes en la expresión del teorema de Pitágoras (a2 b2 c2).

y Analicen cómo despejar el dato faltante de la ecuación. y Repitan el proceso para el otro triángulo rectángulo. y Calculen las medidas faltantes de los triángulos y deter-

minen el ancho del callejón.


2. En pareja, lean la situación y resuelvan en su cuaderno.

a. La base de una escalera se coloca a 50 cm de la pared. Si la escalera mide 240 cm, ¿a qué altura toca la pared?

y Identifiquen el triángulo rectángulo que se forma en la imagen, sus catetos y su hipotenusa.

y Sustituyan los datos en la expresión del teorema de Pitágoras (a2 b2 c2).

y Analicen cómo despejar el dato faltante de la ecuación. y Resuelvan la ecuación y calculen a qué altura la escalera toca con

la pared.


Resuelve los problemas en tu cuaderno.

1. ABC es un triángulo rectángulo y sus catetos miden 6 cm y 8 cm.

a. Calcula cuánto mide su hipotenusa.b. Calcula el área de los tres semicírculos.c. ¿Cómo se relacionan las áreas de los tres semicírculos entre

sí? Justifica por qué se da esta relación.

2. Si un viajero recorre 80 km hacia el norte, 30 km hacia el este y luego 40 km hacia el sur, ¿a qué distancia está de donde comenzó el recorrido?

A

B

C

Si conoces las medidas de los catetos a y b, puedes encontrar la longitud de la hipote-nusa c con el teorema de Pitágoras: a2 b2 c2. Si conoces las medidas del cateto b y la hipotenusa c, emplea la expresión c2 b2 a2 para obtener la longitud del cateto a.

A partir de lo que hicieron escriban una expresión que les permita calcular la longitud de un cateto, si conocen las medidas de la hipotenusa y del otro cateto.

Ver solucionario

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La distancia al horizonte

1. En grupo, lean la información y hagan lo que se pide.

Lección 2

¿Qué tan lejos está el horizonte?

Imagina que estás parado sobre una playa y quieres saber cuál es la distancia de tus ojos a esa línea lejana que separa el mar del cielo.

¿Cómo calcularías la distancia al horizonte?

c. Pidan ayuda a un compañero para medir la distancia de sus ojos al piso.d. Observen que el segmento rojo es perpendicular al radio de la Tierra y forma en-

tonces un triángulo rectángulo.

y ¿Con qué variables o expresiones se representan los catetos y la hipotenusa del triángulo que se forma?

y ¿Cómo se puede utilizar el teorema de Pitágoras para relacionar las medidas representadas en el triángulo y resolver este problema?

e. Investiguen cuánto mide el radio de la Tierra. Utilicen el teorema de Pitágoras y sustituyan ese valor en la ecuación.

(R h)2 R2 d2

hd

R R


a. En el pizarrón hagan una lista de las distancias (de la pregunta anterior) que cada uno considera, en metros o kilómetros, para, posteriormente, ver quién estuvo más cerca de la respuesta correcta.

b. Observen el dibujo de la izquierda e identifiquen los elementos que se describen.

y La distancia de sus ojos al horizonte está represen-tada por el segmento rojo con longitud d.

y La distancia de sus ojos al piso está indicada por h. y R representa el radio de la Tierra.

La hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma del radio de la Tierra más la distancia de los ojos al piso, y uno de los catetos es el radio de la Tierra. El cateto desconocido es la distancia de los ojos al horizonte.

(6371 0.0013)2 63712 d2

(6371.0013)2 63712 d2

40589657.6 40589641 d2

16.6 d2 La distancia de los ojos al horizonte es 4.07 km.

Catetos: R y d; Hipotenusa: R h

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f. Completen la tabla. Sustituyan diferentes valores de h en la fórmula y escriban sus resultados. Todos los datos deben estar expresados en kilómetros.

g. Utilicen una calculadora y sus conocimientos de álgebra a fin de encontrar el dato faltante, es decir, la distancia de sus ojos al horizonte (d).

h. ¿Cuál es la distancia que alcanzan a ver cuando miran hacia el horizonte? ¿Sus compañeros obtuvieron la misma respuesta? Expliquen por qué y de qué depen-de la respuesta de cada uno.

R h R h (R h)2 R2 d2 d


1. Lee la situación y responde en tu cuaderno.

Si estuvieras en la terraza de un hotel mirando hacia el horizonte, el valor de h sería más grande. Completa la tabla con valores mayores para h. Incluye la altura de las siguientes situaciones.

a. ¿Qué tan lejos estaría el horizonte si estuvieras en el piso más alto de un rascacielos, a 235 m de altura?

b. ¿Y si estuvieras parado en la cima del Monte Éverest, a 8 848 m sobre el nivel del mar?c. ¿Y si lo miraras desde la ventanilla de un avión volando a 10 000 m de altitud?

y Si duplican la altura desde la que miran al horizonte, ¿se duplica la distancia hasta donde observan? ¿Por qué?


R h R h (R h)2 R2 d2 d

No se obtendrá la misma respuesta, pues esta

54.7 km

La distancia de los ojos al horizonte es 4.07 km

335.9 km357.1 km

6371 0.0013 6371.00136371 0.0014 6371.00146371 0.0015 6371.00156371 0.0016 6371.00166371 0.0017 6371.0017

40589657.640589658.840589660.140589661.440589662.7

4058964140589641405896414058964140589641

16.617.819.120.421.7

4.074.224.374.524.66

dependerá de la estatura de cada alumno.

6371 0.235 6371.2356371 8.848 6379.8486371 10 6381

40592635.440702460.540717161

405896414058964140589641

2994.4112819.5127520

54.7335.9357.1

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Las medidas de las pantallas planas

1. Reúnete con un compañero, lean la información y resuelvan.

En la actualidad, la mayoría de las pantallas de alta definición se fabrican de tal for-ma que si se divide la longitud de su base entre la longitud de su altura, el resultado es 16

9 , es decir, guardan una proporción de 16:9. A esta propiedad se le conoce como relación de aspecto.

En los anuncios de publicidad, las pantallas de te-levisión se promocionan indicando la medida de la diagonal en pulgadas. Por ejemplo, si una televi-sión es de 32’’ significa que la diagonal de la panta-lla mide 32 pulgadas.

Si se conoce la medida de la diagonal de una pan-talla plana, ¿cómo se puede determinar la longitud de su base y de su altura?

a. En el esquema, el primer triángulo representa la diagonal de una pantalla de 32” y el segundo triángulo, la relación de aspecto.

Lección 3

y Los triángulos son semejantes. ¿Cuál es la relación entre los lados correspon-dientes de los triángulos?

b. Encuentren el valor de c en el segundo triángulo.

c. Con base en el resultado, calculen las dimensiones de la pantalla de 32”.

32

9

16b

a

c

Comenten sus respuestas en grupo. Si tienen dudas, pidan ayuda a su profesor.

Son proporcionales.

18.36

Razón de semejanza 3218.36 1.74

b 16 × 1.74 27.88a 9 × 1.74 15.69

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Las diagonales de un cubo

2. Reúnete con un compañero, lean la información y resuelvan.

a. Una catarina caminó de A a B sobre la superficie de un cubo que tiene 10 cm de arista. Si la catarina recorrió la distancia más corta posible, ¿cuál fue su trayectoria?

b. ¿Cuál sería la distancia más corta que recorrería la catarina si cami-nara por las aristas del cubo?

c. ¿Cuál sería la distancia que recorrería la catarina si cruzara una de las caras del cubo por su diagonal y luego caminara por una arista?

d. Existe un recorrido más corto. Comenten con sus compañeros otros caminos para llegar de A a B sin entrar al cubo. Usen el teorema de Pitágoras y determinen cuál es la distancia que recorre la catarina.

e. ¿Cómo pueden usar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia en línea recta de A a B?

B

A


1. La compañía de luz necesita determinar en qué sitio exacto de la calle debe colocar un poste del que se van a conectar dos casas, A y B, de manera que el cable que se use sea de la menor longitud posible para así minimizar el costo. La distancia horizontal entre las dos casas es de 120 m y están a una distancia de 60 y 30 m respectivamente de la calle donde se colocará el poste. ¿En qué lugar deberán colocarlo para que el resultado de la suma de las dos hipote-nusas formadas sea el menor posible?

Sustituye diferentes valores para m y n, cuidando que sumen 120, y encuentra el punto en donde conviene ubicar el poste de luz.

60 m30 m

A

B

m n

120 m

10 cm

arista. Línea donde se intersecan dos superficies o caras de una figura.

Glosario

18.36

Primero caminó en forma

30 cm

24.14 cm

Para que la catarina recorra la menor distancia debe ir del punto A al punto medio de una arista no adyacente y de ahí al punto B. Recorre 22.36 cm

Utilizando un triángulo cuyos catetos miden 10 cm y 14.14 cm.

transversal desde A hasta la mitad de la arista vertical de la cara del frente y desde ese punto hasta llegar a B.

Ver solucionario

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Ternas pitagóricas

1. Lee y resuelve de manera individual.

a. En las lecciones anteriores has resuelto problemas y calculado las longitudes de los catetos y de la hipotenusa. Sin embargo, es poco frecuente que se obtengan resultados en donde los catetos y la hipotenusa sean todos números enteros.

Se le llama terna pitagórica a tres números enteros a, b y c que cumplan con el teo-rema de Pitágoras, es decir, que:

c2 a2 b2

Para encontrar los números de la terna pitagórica, se pueden elegir dos números en-teros p y q, en donde p sea mayor que q. Sustitúyelos en las fórmulas dadas y com-prueba que cumplan el teorema de Pitágoras.

p q cateto cateto hipotenusa comprobación

p q a 2pq b p2 q2 c p2 q2 a2 b2 c2

2 1

3 2

3 1

4 3

4 2

4 1

5 4

b. Como a2 b2 c2, utiliza tus conocimientos de álgebra y demuestra que:

(2pq)2 (p2 q2)2 (p2 q2)2

Recuerda que (p2 q2)2 (p2 q2)(p2 q2) p4 2p2q2 q4.

c. Traza tres triángulos con las medidas que obtuviste en la tabla. Analiza qué tipo de triángulo es. Luego lee la siguiente información.

Si las longitudes de los lados que forman un triángulo cumplen con la ecuación a2 b2 c2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Lección 4

Entra a la página www.esant.mx/fasema3-007 para profundizar en el tema.


Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si tienen dudas, pidan ayuda a su profesor.

d. Traza un triángulo con lados desiguales que no cumplan con la ecuación y veri-fica que no se forma un triángulo rectángulo.

16 9 25

144 25 169

36 64 100

576 49 625256 144 40064 225 289

1600 81 1681

a 4 b 3 c 5

a 12 b 5 c 13

a 6 b 8 c 10

a 24 b 7 c 25

a 16 b 12 c 20

a 8 b 15 c 17

a 40 b 9 c 41

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1. Resuelve de manera individual la siguiente actividad.

a. Traza un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan 1 cm. Llama c a la hipo-tenusa, y mediante el teorema de Pitágoras encuentra su medida. Usa la calculadora y obtén el resultado.

b. Dibuja un segundo triángulo rectángulo junto al anterior, como se muestra en la imagen, de manera que la hipotenusa del primer trián-gulo sea un cateto del nuevo triángulo, y el otro cateto mida 1 cm.

y ¿Cuánto mide la hipotenusa del segundo triángulo?

c. Explica los pasos siguientes para encontrar la medida de la hipote-nusa del segundo triángulo:

y ¿Cuál es el valor de d?

d. Dibuja un tercer triángulo rectángulo junto al anterior, de manera que la hipo-tenusa del segundo sea un cateto de este nuevo triángulo, y el otro cateto mida 1 centímetro.

y ¿Cuánto mide la hipotenusa del tercer triángulo?

y Si se dejan indicadas las medidas de las hipotenusas como raíces cuadradas, ¿qué patrón encuentras?

e. ¿Cuál es la medida de las hipotenusas en la espiral, si los catetos exteriores miden 1 cm? Deja las raíces cuadradas sin simplificar, para obtener un patrón.

y ¿Observas alguna relación entre los valores?

y ¿En cuáles triángulos se obtienen hipotenusas con va-lores enteros?

12 ( 2 )2 d2 1 2 d2 3 d2

1

1c

1

1

1

d

1

11

1

1

1

1 11

1

1

1

1

1

Comenta tus respuestas con tus compañeros.

1.732 cm

1.732 cm

2 cm

En los triángulos número 3 y 8.

Se sustituyen los valores de los catetos en la ecuación original.

Se elevan al cuadrado. Se realiza la suma de los valores.

donde x representa el número de triángulo.

x 1,

x 1, donde x representa el número de triángulo.

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28 Aprendizaje esperado: Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación media) de dos conjuntos de datos.

Acercamiento a la variabilidad de datos

6

4

2

Contenido: Comparas la tendencia central y la dispersión de dos conjuntos.

¿Cuántos integrantes tiene tu familia?

1. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema.

Los profesores de una escuela secundaria hicieron una encuesta para conocer cómo se conforman las familias de los estudiantes. En el cuestionario preguntaron a cada estudiante cuántas personas conforman su familia. Las gráficas muestran el número de personas que integran las familias de 12 estudiantes de 3.º A y de 3.º B.

a. Analicen las gráficas y expliquen en qué grupo difiere más el número de inte-grantes de cada familia y cómo llegaron a esa conclusión.

¿Qué tan dispersos están los datos?

1. Retomalosdatosdelasgráficasanterioresyhazloquesepide.

a. Responde las preguntas.

Lección 1

Comparen su respuesta con la de sus compañeros y argumenten su decisión.

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12

10

8

6

4

2

0

10

8

0

Número de integrantes en las familias de 3.º A

Núm

ero

de in

tegr

ante

s

Núm

ero

de in

tegr

ante

s

Número de integrantes en las familias de 3.º B

y ¿En cuál de las gráficas están más dispersos los datos? Explica tu respuesta.

y ¿Cuál es el mínimo y cuál es el máximo de personas que integran las familias de los alumnos de 3.º A?

y ¿Cuál es el mínimo y cuál es el máximo de personas que integran las familias de los alumnos de 3.º B?

R. M. En el grupo de

R. M. En la gráfica del grupo de 3.º B ya que hay estudiantes cuyas familias se integran hasta por 9 personas.

3 es el mínimo y 5 el máximo.

4 es el mínimo y 9 el máximo.

3.º B ya que hay estudiantes cuyas familias se integran por 9 personas.

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Comenta con tus compañeros cuál es la utilidad de conocer la desviación media de un conjunto y si su valor te ayuda a determinar si la media es representativa.

y ¿En cuál de los dos grupos hay mayor variación en el número de personas que integran las familias?

y ¿Cuál es el rango del número de integrantes de las familias de cada grupo?

b. Calcula la media de cada conjunto de datos.

Media de 3.º A: Media de 3.º B:

y Traza en cada gráfica una línea horizontal a la altura que indica su media para representarla.

y Analiza las gráficas y determina cuál de ellas tiene los datos más dispersos res-pecto a la línea que representa la media.

y En las gráficas, determina la distancia entre la altura de cada barra y la línea que representa la media.

c. Calcula la desviación media de cada conjunto y compáralas.

DM(3.º A) DM(3.º B)

y Si la desviación media de un conjunto de datos fuera muy grande, ¿cómo sería la dispersión de los datos?

y ¿Y si la desviación media fuera muy pequeña?

y Con base en lo que hiciste en el inciso b y la información anterior, explica qué significa que un conjunto tenga una desviación media mayor que otro.

d. Revisa lo que respondiste en los incisos anteriores y contesta.

La desviación media (DM) es el promedio de las distancias entre cada dato y la me-dia del conjunto.

Para calcularla, se suman los valores absolutos de las diferencias entre cada dato (xi) y la media (x). El resultado se divide entre el número de datos (n).

DM |x1 x| |xn x|

n

...

En el grupo de 3.º B ya que la diferencia entre el máximo

y el mínimo es mayor que en 3.º A.En

R. M.

R. M. Los datos estarían muy dispersos entre sí.

R. M. Los datos serían muy

4

0.5

5.41

1.72

3.º A es 2 y en 3.º B es 5.

Significa que los datos están más dispersos.

parecidos entre sí.

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Contenido: Comparas la tendencia central y la dispersión de dos conjuntos.

Comparación de dos conjuntos de datos

1. Lee con un compañero la información y resuelvan el problema.

Un médico veterinario analiza dos tratamientos para atender el padecimiento de un perro. Las tablas muestran el número de años que vivieron algunos perros luego de que se les dio cada tratamiento.

Lección 2

Tratamiento 1

7 6 5 9 8 4 60 8 9 5 8 7 57 3 7 6 4 8 79 8 2 8 10 9 6

Tratamiento 2

6 5 6 7 6 5 64 7 5 5 7 6 78 6 4 6 8 5 7

a. Elaboren una gráfica que muestre cuántos perros vivieron determinada canti-dad de años con cada tratamiento.

c. Calculen el rango y la desviación media de los datos.

Años

Tratamiento 110

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Núm

ero

de p

erro

s

Años

Tratamiento 210

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Núm

ero

de p

erro

s

Tratamiento 1 Tratamiento 2

MediaDesviación media

y ¿Con cuál tratamiento varían más los datos?

b. Calculen la media y la desviación media de cada conjunto de datos.

y ¿En cuál tratamiento los datos están más cerca de la media?

y ¿Qué tratamiento le conviene aplicar al veterinario para atender el padeci-miento del perro?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten las dudas que les hayan surgido.

Con el primero

6.461.82

60.85

En el

El tratamiento 2

tratamiento 2

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Un grupo de amigos quiere viajar a algún lugar de la República en el que no haga mu-cho calor ni mucho frío. ¿A qué estado les conviene ir y en qué mes? La tabla muestra la temperatura máxima y la temperatura mínima mensual que se registró durante el año 2020 en cinco estados.


En grupo y con apoyo de su profesor, comparen sus respuestas y comenten en qué otras situacio-nes se puede usar la desviación media para tomar decisiones.

a. A partir de las temperaturas máxima y mínima, calcula en tu cuaderno la tempe-ratura promedio mensual (TPM) de cada estado.

b. Con las temperaturas promedio mensuales, calcula la temperatura promedio anual (TPA) de cada estado.

MesJalisco Nuevo León Ciudad de

México Puebla Querétaro

máx. mín. máx. mín. máx. mín. máx. mín. máx. mín.Enero 26.2 9.3 23.5 8.9 23.0 8.3 23.7 7.8 23.9 7.8Febrero 28.2 10.8 24.6 8.3 25.9 10.3 25.7 8.9 27.3 10.0Marzo 31.7 13.0 30.4 15.3 27.9 10.8 29.0 11.1 30.9 13.1Abril 32.8 12.7 31.6 17.6 28.4 13.0 30.9 13.9 32.7 15.5Mayo 32.8 14.2 33.1 18.9 27.3 12.4 29.5 13.3 31.8 15.7Junio 32.4 17.4 33.3 20.2 26.5 13.0 28.3 13.5 30.1 15.7Julio 30.1 16.9 35.1 21.4 26.1 13.1 28.0 13.3 29.7 15.8Agosto 29.5 16.8 34.7 20.8 24.9 13.1 26.8 13.5 28.0 15.8Septiembre 29.0 16.3 30.9 18.6 23.9 13.1 25.8 13.4 27.1 14.8Octubre 30.4 14.0 31.3 13.7 24.5 9.3 26.4 10.3 27.7 10.9Noviembre 29.6 11.6 27.7 12.8 23.7 8.5 25.4 9.4 25.7 10.3Diciembre 26.5 9.2 22.9 5.7 23.2 7.9 23.8 7.5 23.1 7.5

Estado Jalisco Nuevo León Ciudad de México Puebla QuerétaroTPA

Estado Jalisco Nuevo León Ciudad de México Puebla QuerétaroDM

c. Calcula la desviación media para cada estado a partir de la temperatura promedio anual y las temperaturas promedio mensuales.

d. Explica a cuál de los estados les conviene viajar y por qué.

21.7

1.9

22.6

3.8

18.3

1.5

19.1

1.9

20.5

2.5

R. M. A la Ciudad de México porque las temperaturas son menos dispersas.

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Punto de encuentro


Optimización

La optimización consiste en analizar los procesos con el fin de mejorar alguna acción o trabajo. Puede referirse a la reducción del tiempo en que se realiza una tarea o a la forma en que se utilizan los recursos para aprovecharlos al máximo, entre otros.

1. Lee y haz lo que se te solicita.

Una empresa hotelera tiene un terreno triangular con vista al mar, en el que se quiere construir un edificio con forma de pris-ma rectangular que ocupe la mayor área posible. El terreno tie-ne una longitud de 75 m sobre la avenida principal y 150 m de largo, como se muestra en la imagen.

a. Dibuja en tu cuaderno distintas formas de colocar la base rectangular del edificio sobre el terreno. ¿Cuántas maneras encontraste?

b. ¿Cuál de esas formas consideras que es mejor? ¿Por qué?

2. Luis,elarquitectoacargo,sugiereconstruireledificiodetalformaquelafacha-da quede de frente al mar, tomando la base del triángulo como lado de la base rectangular.

a. Observa el diagrama de cómo quedaría ubicado el hotel de acuerdo con la suge-rencia de Luis. Representa el largo y ancho de la base rectangular con las varia-bles x y y respectivamente.

y ¿Entre qué valores varían x y y?

y ¿Cómo cambia el área de la base rectangular si cambia el valor de x o el valor de y?

y Escribe una expresión que represente el área de la base rectangular. y ¿Cuántas variables tiene la expresión que escribiste?

75 m

150 m

Mar

Edificio

R. L.

R. M. Es mejor

colocar la base rectangular usando los dos lados del triángulo porque de esa forma el hotel queda de cara al mar.

La variable x varía de 0 a 150 y la variable y, de 0 a 75.

El área de la base rectangular aumenta si alguna de las variables aumenta, y disminuye si alguna de ellas disminuye.

A xyDos

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3. Analiza el diagrama de la derecha y responde.

a. ¿Cuántos triángulos se forman en la figura? b. ¿Cómo son los triángulos que se forman?

c. ¿Qué representa la expresión 150 x en la figura y en el problema?

d. Usa la propiedad de los triángulos y las dimensiones del terreno

para encontrar una relación entre el valor de x y el valor de y. e. Despeja y de la expresión que obtuviste para representarla como una

función en términos de x. f. Utiliza la relación anterior para sustituir la variable y en la expresión que

representa el área. g. ¿Qué tipo de función representa al área del rectángulo? ¿Por qué?

h. Calcula los valores de y y del área del rectángulo a partir de los va-

lores de x dados. x 42 m y Área x 33 m y Área

y Haz una presentación con el diagrama del terreno y las dimensiones halladas. Incluyelagráficaytusrespuestas.Luegoexponlaatuscompañeros.

i. ¿Cuáles serían los valores de las variables si la superficie del rectángulo fuera de 1 300 m2?

j. ¿Es posible que dos rectángulos tengan la misma superficie y diferentes dimen-siones? ¿Por qué?

k. Usa la función anterior para construir una tabla utilizando valores para x. Consi-dera únicamente valores que tengan sentido de acuerdo con el problema.

l. Traza una gráfica con los datos de la tabla. y ¿Qué forma tiene la gráfica?

y Describe, en tu cuaderno, qué sucede con el área del terreno cuando aumenta el valor de la base del rectángulo.

m. ¿Cuál es el valor máximo que puede alcanzar el área de la base rectangular del hotel? ¿Cuáles son sus dimensiones?

Tres

La longitud de la base del triángulo inferior

1.

Área x(75 x/2) 75x x2/2

Es una función cuadrática porque la variable x tiene exponente 2.

54 m58.5 m

x 20 m y y 65 m o x 130 m y y 10 m

R. M. Sí porque algunas multiplicaciones tienen el mismo resultado.

Parábola

La base rectangular puede medir 2 812.5 m2

y sus dimensiones son x 75 m y y 37.5 m.

2 268 m2

1 930.5 m2

Son triángulos semejantes.

En los tres casos se llega a y 75 x/2

1. P. R. El alumno puede establecer cualquiera de las siguientes relaciones.

y150 x

75150

y150 x

75 yx

75 yx

75150

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Reviso mi trayecto

Resuelvelosproblemas.Revisalasrespuestasconayudadelprofesoreidentificacuá-les secuencias didácticas debes repasar para mejorar en tus áreas de oportunidad.

1. Los segmentos AB y EFsonparalelos.¿Esposibleafirmarquelosdostriángulosque se forman son semejantes? Explica tu respuesta.

2. Una persona cuya altura es de 1.5 m proyecta una sombra de 3.5 m. Muy cerca, un poste de luz proyecta una sombra de 10.3 m, como se muestra en la imagen. For-mula dos preguntas que se puedan resolver con esta información.

3. Considera que AB BE ED 1. Calcula la longitud de AC.

A

B DE

C

D

AE 2.9

F

E

ED 3.5

A

B

DF 2

J

H I K

L

HK 10.3

LI 1.5

IK 3.5



1 24 150 a 153 2 26 162 a 1653 27 168 a 175

Sí porque al ser paralelos los segmentos AB y EF, los triángulos son semejantes por el criterio ángulo-ángulo.

R. M. ¿Cuál es la altura del poste?¿A qué distancia se encuentra el poste del punto K?

AC 2 12

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Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obten-gas,retomaloscontenidosquesetedificultaron.

1. Una cancha de futbol mide 100 metros de largo y 75 metros de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal?

2. ¿Cuál debe ser la longitud de una rampa para discapacitados, si la altura de la ban-queta es de 17 centímetros? La norma establece que por cada centímetro de altura se debe tener una distancia horizontal de 16 centímetros.

3. El área de la región verde es de 54 cm2. Plantea la ecuación y determina el área de lafiguramoradaysusdimensiones.

x

5x

2x 9

1002 752 x2

10000 5625 x2

15625 x2

125 x

172 2722 x2

289 73984 x2

74273 x2

272.53 x

Superficie completa: 5x(2x 9) 10x2 45xSuperficie morada: x2

Superficie verde: 10x2 45x x2 9x2 45x

9x2 45x 54 9x2 45x 54 0 x2 5x 6 0 (x 6) (x 1) 0x 6 0 o x 1 0 x 6 o x 1

x

x

75 m

17 cm

100 m

272 cm

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4. Resuelve las ecuaciones factorizando. Escribe todos tus procedimientos.

5. Trazalagráficadelafunción.

y x2 4x 1

a. Resuelve la ecuación:

x2 4x 1 0

y ¿Cómo se relacionan las soluciones de la ecuación con la gráfica de la función?

a. x2 x 20 0 b. 6x2 4x 0

c. x2 7x 10 0 d. x2 16 0

e. x2 81x 5 0 f. 64x2 4x 0

y

5

4

3

2

1

05 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

R. M. Las soluciones de la ecuación son las raíces de la función, es decir, los pun-tos donde la gráfica toca el eje x.

x 5 o x 4

x 5 o x 2

x 80.93 o x 0.06

x 4.23 o x 0.23

x 23 o x 0

x 4 o x 4

x 0 o x 1

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6. Los segmentos CD y AB son paralelos en el triángulo 1 y en el triángulo 2, GH y EF también lo son, ¿qué valor tienen las longitudes desconocidas? Anota todos tus procedimientos.

7. Si tienes dos triángulos NCS y MDL, ¿la información dada en cada caso permite es-tablecer semejanza entre ellos? Si son semejantes, encuentra la razón de seme-janza. Dibuja cada par de triángulos en tu cuaderno.

a. Completa la tabla con dos casos en los que los triángulos sean semejantes y dos en los que no lo sean.

b. Analiza los casos y determina qué criterio de semejanza se empleó en cada caso.

Caso NC CS NS MD DL ML Razón de semejanza

Caso 1 7.5 6 5 5.1 4 3.4Caso 2 4 7 4 8 14 8Caso 3 4 7 4 5 5 5Caso 4 6 6 6 3 3 3

12 cm 5.1 cm

4.32 cm

4 cmG

H

F

Ex6.25 cm

7.5 cmC

xD

B

ATriángulo 1 Triángulo 2



1 27 168 a 1752 27 168 a 1753 19 122 a 1254 17, 18 y 19 112 a 1255 19 122 a 1256 24 150 a 1537 22 138 a 143

No son semejantes0.5

No son semejantes2

R. L.R. L.R. L.R. L.

x 3.75 cm x 3.44 cm

R. L.

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Bloque 3En este bloque:

De la Tierra a las estrellas

Desde la Antigüedad, el ser humano se ha interesado en observar y estudiar el cielo. Las primeras civilizaciones lograron, con base en la posición de las estrellas, definir el tiempo y orientarse; lo cual les permitió determinar la duración de un año e identificar con preci-sión la mejor época para sembrar y cosechar. La ubicación de las estrellas los guio en los desplazamientos y se convirtió en el primer sistema de orientación para los navegantes.

En la actualidad, el estudio de los astros, su composición, estructura, localización, mo-vimiento y los efectos que producen en la Tierra, sigue siendo de gran interés; la ciencia que se encarga de esta tarea es la astronomía.

Uno de los objetos de investigación de los astrónomos consiste en calcular la distancia a la que se encuentran los astros del Sol y de la Tierra. Para ello, cuentan con varios mé-todos, entre los cuales está el paralaje trigonométrico. Este consiste en medir el ángulo que se forma entre la Tierra, la estrella en estudio y el Sol en el momento cuya posición permite trazar entre ellos un triángulo rectángulo; de esta manera y, a partir de la distan-cia conocida entre la Tierra y el Sol, es posible calcular la distancia que separa a la estre-lla del Sol y de la Tierra mediante el uso de las funciones trigonométricas.

¿Qué otros aspectos del Universo se podrán explicar con apoyo de las matemáticas?




• Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

• Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

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Gracias a los avances tecnológicos y a los telescopios actuales es posible obtener información que ayuda a mejorar el estudio

de los astros.

carlo

s mar

tin d

iaz /

Shu

tter

stoc

k.co

m

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Ecuaciones cuadráticas: completar cuadrados

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas completando cuadrados.

Completando áreas de figuras

1. Observa el rectángulo y responde.

Resolución geométrica de ecuaciones cuadráticas

1. Reúnete con un compañero y realicen en su cuaderno lo que se pide.

a. Recorten cartoncillos con las medidas que se indican en la imagen. Consideren que, de las figuras marcadas con x2, 21, 25 y 4 necesitarán una pieza y de la mar-cada con 2x necesitarán dos. Sigan el procedimiento para resolver la ecuación x2 4x 21.

x2

15 cm

15 cm 5 cm 3 cm

10 cm

5 cm

5 cm

2x 21

25

4

Lección 1

a. ¿Cuál es el largo y el ancho del rectángulo bicolor?

y ¿Cuál es la razón entre su largo y su ancho? b. ¿Cuál es el largo y el ancho del rectángulo morado?

y ¿Cuál es la razón entre su largo y su ancho?

c. Plantea la ecuación que indique la igualdad entre las razones anteriores.

d. Simplifica la ecuación para escribirla de la forma ax2 bx c 5 0 y resuélvela.

e. ¿Qué métodos intentaste?

Comenta con tus compañeros y con tu profesor qué obstáculos enfrentaron al resolver la ecuación y propongan soluciones.

x

1

1

x2 x 1 0

x1 1

x1

R. L.

x y 1 respectivamente.

x/1

1 y x 1

1x1

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i. Representen ambos lados de la ecuación con las piezas de cartoncillo.

ii. Acomoden las piezas para formar un cuadrado.

iii. Sumen a ambos lados de la igualdad lo que falta para completar el cuadrado.

iv. Escriban el área de los cuadrados resultantes.

x2 4x 21

x2 4x 21

x2 4x 4 21 4

x2 4x 4 25

2x 2x 21x2

2

24

4

2x

x

2x 21x2

22

2x

x

2x 21x2

2

242x

x

2x25

x2

Comenta con tu profesor cuáles son las ventajas de completar el cuadrado al resolver las ecuaciones cuadráticas.

y ¿Es posible factorizar el área del cuadrado de la izquierda? Hagan el procedi-miento para comprobarlo.

y Resuelvan la ecuación y encuentren los valores de x1 y x2. y ¿Cuál de las dos soluciones tiene sentido para el problema que están resol-

viendo? ¿Por qué?

y ¿Se forma el cuadrado completo? ¿Qué falta?

y ¿Se completó el cuadrado?

Ver solucionario

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Interpretación de la resolución geométrica de ecuaciones cuadráticas1. Lee y realiza lo que se pide.

A continuación se escriben con lenguaje común y lenguaje algebraico los pasos que se siguieron en la lección anterior para encontrar la solución geométrica de la ecua-ción cuadrática x2 4x 21.

Método geométrico Lenguaje algebraico

Un cuadrado de lado x y dos rectángulos de área 2x cada uno son equivalentes a un rectángulo de área 21.

x2 2x 2x 21x2 4x 21

Si se completa el cuadrado de la izquierda, se obtiene un cuadrado de x 2 de lado y a la derecha otro cuadrado de 5 de lado.

x2 4x 4 21 4(x 2)2 25

Se deduce que x 3.(x 2)2 25(x 2) ±5 x1 3 y x2 7

a. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

Si se sustituye x1 3 en la ecuación, la igualdad se cumple.

x2 4x (3)2 4(3) 9 12 21

b. Sustituye x2 7 en la ecuación y verifica si se cumple la igualdad.

c. ¿Tiene sentido la solución x2 7 en el método geométrico? ¿Por qué?

2. Reúnete con un compañero y realicen en su cuaderno lo que se pide.

a. Resuelvan la ecuación x2 6x 25 de forma geométrica.

b. Resuelvan la misma ecuación en lenguaje común y en lenguaje algebraico. y ¿Cuál es la solución geométrica? y ¿Cuál es el resultado en lenguaje algebraico?

3. Resuelve en tu cuaderno la ecuación x2 10x 24 utilizando el procedimiento algebraico para completar el cuadrado.


Lección 2

Comenten con su profesor la diferencia entre los procedimientos y el porqué de los resultados, escriban sus conclusiones en su cuaderno.

Dos soluciones algebraicas

Ver solucionario

Ver solucionario

(7)2 4 (7) 49 28 21

No, porque x es la medida del lado del cuadrado y no puede ser negativo.

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1. Resuelve de forma geométrica y de forma algebraica las siguientes ecuaciones. Dibuja y es-cribe cada procedimiento.

2. Resuelve en tu cuaderno los problemas completando cuadrados de forma algebraica.

a. El área de un rectángulo está dada por la ecuación x2 11x 24, en la que x representa el ancho del rectángulo. ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo?

b. En una fábrica de manteles, el monto que se debe pagar se obtiene a partir de la expre-sión Monto 60x x2, donde x es el número de manteles que se compran. Si un cliente pagó $800, ¿cuántos manteles compró?

Comprueba tus resultados sustituyendo los valores de x en las ecuaciones. Valida tus respues-tas con tu profesor.

a. x2 6x 7 0

b. x2 10x 39 0

c. x2 10x 20 0

d. x2 x 35

1.865 unidades.

20 o 40 manteles

x 5.43

0.5x

0.5x

0.25

x2 35.25

x 1.70

5x

5x

25

x2 45

x 3

5x

5x x2

25

64

x 13x

3x 9

x2 16

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Solución algebraica con el procedimiento de completar cuadrados

1. Retoma la ecuación del problema del inicio de la secuencia y responde.

a. ¿Se trata de un trinomio cuadrado perfecto? ¿Puede escribirse directamente como un binomio al cuadrado? ¿Por qué?

b. Realiza las operaciones.

i. Escribe la ecuación igualada con el término constante.

Observa que cuando se eleva un binomio al cuadrado, el segundo término es de la forma +2ab.

ii. Completa la expresión para escribir el segundo término como +2ab sin que la ecuación se altere.

x2 2 x 1

y ¿Cuánto valen b y b2?

iii. Suma b2 en ambos lados de la ecuación.

x2 2 x 1

iv. Factoriza la expresión del lado izquierdo y resuelve la ecuación. y ¿Cuáles son los valores de x?

2. Utiliza el procedimiento anterior para resolver la ecuación x2 4x 1 0.

Lección 3

a. ¿Cuál es el valor de b? b. ¿Cuánto tuviste que sumar o restar a cada lado de la ecuación para completar el

trinomio cuadrado perfecto? c. ¿Cuáles son los valores de x? d. Sustituye los valores que obtuviste para x y verifica que sean correctos. Si no lo

son, intenta de nuevo el procedimiento.

Compara tus resultados con los de tus compañeros, de ser necesario, corrige tus procedimientos. Validen las respuestas con apoyo del profesor.


14

14

No se trata de un trinomio

cuadrado perfecto, pero sí puede escribirse como un binomio al cuadrado completando el término independiente.

x2 − x 1

b 12 y b2 1

4

12

12

b 2

Sumé 4.x1 2 3 0.27 y x2 2 3 3.73

x1 2 + 3 0.27 x2 2 3 3.73

(1 6 5)2

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Al procedimiento que realizaste en la actividad anterior se le conoce como comple-tar cuadrados. Los pasos para llevarlo a cabo son:

1. Escribe la ecuación de la forma x2 bx c. Por ejemplo: x2 8x 3 0 como x2 8x 3.

2. Divideelcoeficientedel término linealentredosparaobtenerelnúmeroquecompletará el trinomio cuadrado perfecto.

82 4

3. Obténelcuadradodelnúmerodelpasoanterior:42 = 16.

4. Suma esta cantidad en ambos lados de la igualdad y realiza las operaciones que se indican.

x2 8x 16 16 3

5. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto en un binomio al cuadrado.

(x 4)2 13

6. Obténlaraízcuadradadeambosladosparaencontrarlosvaloresdex.

(x 4)2 ± 13x 4 ± 13

x1 13 4 y x2 13 4


1. Resuelve en tu cuaderno la ecuación x2 5x 1

4 de forma geométrica y alge-braica. Verifica tus soluciones.

2. Resuelve en tu cuaderno la ecuación cuadrática representada en la imagen de la derecha.

x2

7x

7x 64


Compara tus procedimientos y resultados con los de tus demás compañeros. Sustituyan las soluciones de las ecuaciones para validarlas.

3. Reflexiona sobre el procedimiento que llevaste a cabo en la actividad anterior. Contesta en tu cuaderno.

a. ¿Dequémaneraesposibleencontrarelnúmeroquedebesumarseparacomple-tar el cuadrado?

b. ¿Quétepareceestemétodo,encomparaciónconotrosqueconoces,pararesol-ver ecuaciones cuadráticas?

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Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.30Resolución de ecuaciones cuadráticas con A 1 por factorización

Métodos de factorización

1. Haz lo que se pide.

Ensecuenciasdidácticasanterioreshasutilizadodistintosmétodosdefactorizaciónútilespararesolverecuacionescuadráticas.Mencionadosyexplícalos.Escribe,paracadauno,unaecuaciónquesepuedaresolverutilizándolo.

Lección 1

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas con A 1 utilizando distintos métodos.

y Método1:

y Método2:

Ecuaciones cuadráticas con A 1

1. Haz lo que se pide y responde.

a. Analiza la ecuación 3x2 12 12x.

y ¿Esposibleresolverlaconalgunodelosmétodosvistosanteriormente?¿Quédiferenciaencuentrasconlasecuacionestrabajadas?Explicatusrespuestas.

b. Escribe la ecuación en la forma Ax2 Bx C 0. c. Divideambosladosdelaecuaciónentreelcoeficientedex2.

y ¿Porcuálmétodopuedesresolverestaecuación?

y Resuélvelaencontrandoelolosvaloresdex que la satisfagan.

Compartansusrespuestasenparejas.Comentenconelgrupolosmétodosquemencionarony,juntoconsumaestro,haganunalistadeellos.

R.M.Sí,sepuedeemplearelmétododecompletarcuadrados.

x 2

Factorcomún:Eselfactorqueserepiteentodoslostérminosdel

Binomiosconjugados:Eselproductodedosbinomiosiguales,solopolinomio. a2 ab a (a b)

que uno es adición y el otro es sustracción. (a b) (a b) a2 b2

x2 4x 4 0

3x2 12x 12 0

R.M.Porfactorizacióndebinomio al cuadrado.

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d. Divide la ecuación 7z2 35z 42 0entreelcoeficientedeltérminocuadrático.

y ¿Quéecuaciónobtuviste? y ¿Porcuálmétodopuedesresolverestaecuación?Explica.

y Resuélvelaencontrandoelolosvaloresdez que la satisfagan.

2. Usa la información anterior para resolver las siguientes ecuaciones en tu cuaderno.

3y2 27 0 8y2 48y 72 0

a. Unavezqueencuentres lassolucionesde lasecuaciones,sustitúyelasycom-prueba la igualdad.

Cuando se tiene una ecuación cuadrática de la forma Ax2 Bx C 0,donde A 1,unpasopararesolverlaesdividirlaentreelcoeficientedeltérminocuadrático.

x2 BA x

CA 0

Segúnlascaracterísticasdelaecuación,seelegiráelmétodoadecuadopararesol-verla.Porejemplo,enlaecuacióncuadrática2x2 12x 16 0 se dividen ambos ladosdelaecuaciónentreelcoeficientedeltérminocuadrático:

2x2 12x 16 2

0 2

para obtener x2 6x 8.

La ecuación resultante puede resolverse completando cuadrados de la siguiente manera:

x2 6x 8x2 6x 6

2 2 8 6 2 2

(x 3)2 8 (3)2

x 3 17x 3 17


Comparatussolucionesconlasdeuncompañero,comentaconélsitumaneraderesolverlasfuelaadecuadayporqué.

R.L.Sícumplenconlaigualdad.

y 3x1 3,x2 3

z2 + 5z + 6 0R. L.

z1 2; z2 3

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su d

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ució

n

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas con A 1 utilizando distintos métodos.

Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas

1. Analiza cada problema y responde.

Problema 1.Unnúmeroes5unidadesmenorqueotro.Silasumadesuscuadradosesiguala53,¿cuálessonesosdosnúmeros?

a. Escribe una ecuación cuadrática que modele el problema. b. ¿Cuáleselcoeficientedeltérminocuadrático? c. Realizalospasosnecesariospararesolverelproblemayencuentralosnúmeros.

Problema 2.Agustínaseguraqueelcostodefabricarunalámparadisminuyemien-tras más lámparas se fabriquen. Si la cantidad de lámparas fabricadas es x,laexpre-sión que representa el costo de fabricar las primeras 100 lámparas es:

costo 120x x2

a. Sielcostofuede$575,¿cuántaslámparasfabricó? b. ¿Cuántas soluciones encontraste al resolver la ecuación? c. ¿Cuáldeellasessolucióndelproblema?Explicaturespuesta.

d. Escribe tus operaciones y resultados.

Lección 2

Comparatusrespuestasconlasdeuncompañeroycoméntenlasconsuprofesor.

2x2 10x 28 02

5 lámparas2 soluciones

5,puessifuera115nocumpliríaconloqueaseguraAgustín.

2x2 10x 28 0 (x 7) (x 2) 0

2x2 10x 28 0

2 (x 7) 0 (x 2) 0

x2 5x 14 0 x 7 x 2

120x x2 575

x2 120x 575 0 (x 115) 0 (x 5) 0

(x 115) (x 5) 0 x 115 x 5

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1. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno.

2. El área del rectángulo mide 9 cm2. Encuentra el valor de x.

3x

x 1

3. Reúnete con un compañero y resuelvan las ecuaciones de la tabla con un método distinto al de completar cuadrados.

Ecuación Método de solución Procedimiento Soluciones

Ecuación 1 2x2 6x 8 0

Ecuación 2 9x2 16 0

Ecuación 3 6x2 7x 2 0

a. 6z2 8z 10 0 b. 3x2 27 2 x 15


Comparensusrespuestasconlasdeotraparejaycomentendequétiposonsusresultados.Siidentificaronalgúnerror,corríjanlo.

R. L.

R. L.

R. L.

R. L.x1 1x2 4

R. L.

x1 43

x2 43

R. L.x1 2

3

x2 12

x 1 13

2

z (2 19)/3 x (9 161)/4

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Aprendizaje esperado: Resolverás problemas mediante la formulación y la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Fórmula general para ecuaciones cuadráticas 31

Contenido: Aplicas la fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

Planteamiento de la ecuación


Lección 1

Comentatusrespuestascontuscompañerosyvalídenlasconsuprofesor.

Dos amigos se despiden en una esquina y viajan por avenidas perpendiculares hacia susrespectivascasas,queestána100kmdedistanciaunadelaotra,comosemues-traenlafigura.

Elprimeroviajaenbicicletaconuna rapidezde20km/h.Elotro tarda una hora en partir porque tomó una pausa para un refrigerio.Cuandoemprendeeltrayecto,lohaceensubicicle-taconunarapidezde30km/hyllegaasucasaalamismahoraque su amigo.

¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a sus casas?

a. Analiza el problema.Escribeenlafigura la distancia que recorrecadaunodeellosentérminosdeltiempo.

b. Usatusconocimientosdegeometríaparaencontrarunaecuación en la que el tiempo sea la incógnita.

c. Simplificayfactorizaentucuadernolaecuaciónpararesolverelproblema. y ¿Cuántas soluciones encontraste?

y ¿Cuáles son?

y ¿Cuálescogeríasyporqué?

d. ¿Quémétodosconocespararesolverestetipodeecuaciones?

y ¿Esfácilfactorizarlaecuación?¿Porqué?

y ¿Esfácilcompletarcuadradosconlainformacióndada?¿Porqué?

50 km

(20t)2 (30t 30)2 (50)2

Dos

2 y 8/13

2 porque se está midiendo el tiempo en el problema.

R. L.

R.M.No,porqueloscoeficientesde

R.M.No,laecuaciónsondifíciles.

porqueelcoeficientedeltérminocuadráticohacequeaparezcanfracciones.

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Verifiquensussolucionesconelprofesorusandolafórmulageneral.Resuelvansusdudas en grupo.

La fórmula general

1. Utiliza el procedimiento que estudiaste en la secuencia 30 para resolver las ecua-ciones cuadráticas. Escribe todos los pasos que seguiste.

3x2 2x 1 0 5x2 x 3 0

a. Reúneteconuncompañero.Revisenlospasosquerealizaronyrespondan.

y ¿Realizaronlosmismospasospararesolverlasecuaciones?¿Porqué?

y ¿Cuáles operaciones coinciden en los procedimientos que hicieron para resol-ver las ecuaciones?

y ¿Consideranqueseaposiblesimplificarelprocedimiento?¿Cómo?

b. Revisen la siguiente información.

Una forma de resumir el procedimiento anterior es mediante la fórmula:

x B B2 4AC2A

Donde A,B y CsoncoeficientesdelaecuaciónAx2 Bx C 0. A esta igualdad se le conoce como fórmula general para ecuaciones cuadráticas.

R. L.

x1 1 y x2 13

x1 0.681 y x2 0.881

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Aplicación de la fórmula general

1. Sigue los pasos para resolver la ecuación cuadrática usando la fórmula general.

2x2 3x 1 0

Lección 2

i. Escribelosvaloresdeloscoeficientesdelaecuación:

A B C

ii. Sustituyelosvaloresdeloscoeficientesenlafórmulageneral.

iii. Resuelvelafórmulageneralsiguiendolajerarquíadeoperaciones.Hazloscálculosen tu cuaderno.

( )2 4( ) ( )2( )

x x B B2 4AC

2A

x1 x2

iv. Verificalosresultadosempleandolossiguientesmétodos.

Método 1.Sustituyelosvaloresobtenidosenlaecuacióninicialyverificaquesecumpla la igualdad.

Método 2. Desarrolla el producto de binomios en la ecuación (x x1)(x x2) 0 sustituyendo los valores de x1 y x2.


y ¿Seobtienelamismaecuación?¿Porqué?

y ¿Quéoperacióntendríasquehaceralproductodebinomiosparaobtenerlaecuación original?

Conbaseenturespuestaanterior,modificaelproductodebinomiosyvalidaqueseobtiene la ecuación original.

y Resuelvelaecuaciónentucuadernoconelmétododefactorización. y ¿Cuáldelosmétodosutilizadosconsiderasmásconvenientepararesolverlaecuación?¿Porqué?

12

2 12 2 3 1

2 1 12

32 1 0

2(1)2 3 (1) 1 2 3 1 0

x 12 (x (1)) x2

32 x

12

1

No,porqueloscoeficientesson

R. L.

diferentes en la ecuación.

Multiplicarlaecuaciónpor2

2 3 1

3 3 22

1

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1. Utiliza la fórmula general para resolver las ecuaciones cuadráticas en tu cuaderno y haz lo que se pide.

y 25x2 40x 16 y 2x2 3x 1 y x2 3x 2 0y x2 4x 10 y 3x2 12x 2 0 y 4x2 11x 6 0

a. Sustituye las soluciones que obtuviste en la ecuación correspondiente para comprobar que son correctas.

b. Resuelvelasecuacionesconelmétododefactorizaciónyresponde.

y ¿Quéventajastienelafórmulageneralpararesolverecuacionescuadráticas?

y ¿Quédesventajastienelafórmulageneral?

2. Resuelveyverificalassoluciones.

a. Una pelota se lanza desde el piso hacia arriba. La altura que alcanza se representa con la función a 16t2 120t,dondet es el tiempo en minutos. ¿En cuánto tiempo alcanzará 180 m de altura?

b. Con un cartón cuadrado se construye una caja sin tapa. Paraello,serecortauncuadradode3cmencadaesquinaque permita doblar los bordes. ¿Cuáles son las dimensio-nes de la caja si su volumen es de 432 cm3?

c. Los lados de un rectángulo miden (x 3) cm y (x 5) cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo si su área es de 30 cm2?

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y comenten cómo pueden comprobar que son correctas.

3 c

m

x cm

Ver solucionario

Hayecuacionesquesepuedenresponder

En 2.07 y 5.43 minutos

12 cm 12 cm 3 cm

4.57 cm y 6.57 cm

Se puede resolver cualquier ecuación.

con menos pasos y más rápidamente.

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Análisis del discriminante

1. Analiza las siguientes ecuaciones cuadráticas y haz lo que se pide.

y w2 20 w 100 0 y p2 4p 6y b2 2 b y 6t t2 5 0y y2 7y 5 y r2 25 10r

a. ¿Cuántassolucionesesperasquetengacadaecuacióncuadrática?¿Porqué?

b. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno usando la fórmula general. Anota de manera ordenada el procedimiento. Luego responde.

y ¿Pudistehallarlassolucionesdetodaslasecuaciones?¿Porqué?

y ¿Encontrasteecuacionesquetienenúnicamenteunasolución?¿Quécaracte-rísticastieneeltérminodentrodelaraízcuadradaenesoscasos?

y ¿Encontrasteecuacionesenlasqueeltérminodentrodelaraízcuadradaesnegativo? ¿Cómo interpretas esto?

AlsustituirlosvaloresdeloscoeficientesenlaexpresiónB2 4AC se puede conocer lacantidaddesolucionesquetieneunaecuacióncuadrática.Aestaexpresiónseleconoce como discriminante.

• Si el resultado del discriminante es mayor que cero, la ecuación tendrádos soluciones.

• Si el resultado del discriminante es igual a cero,laecuacióntendráuna solución.• Si el resultado del discriminante es menor que cero,sediráquelaecuaciónno

tiene solución.

Lección 3

Comentatusrespuestasyobservacionescontuscompañeros.Engrupo,lleguenauna conclusióny,siesnecesario,planteenecuacionescuadráticasparavalidarla.

2. Comparen la siguiente información con la conclusión a la que llegaron.

No,porque

2. R. L.

Sí,el

Sí.R.L.

enalgunoscasoslaraízcuadradanotienesoluciónyaqueelradicandoresulta negativo.

términosehacecero.

202

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1. Formen equipos de tres, lean la situación y hagan lo que se pide.

La jardinera de un parque tiene forma rectangular y mide 15 m de largo y 10 m de an-cho. Se quiere duplicar el área de la jardinera agregándole una franja de ancho uniforme.

a. Escriban la ecuación que permita resolver el problema.

Ecuación:

b. Resuelvan la ecuación utilizando la fórmula general y respondan.

y ¿Lassolucionesdelaecuaciónresuelvenelproblema?¿Porqué?

y ¿Cuánto mide el ancho que se agregará a la jardinera?

2. Resuelve el problema. Traza la gráfica en tu cuaderno.

a. Elmovimientodeunapartículaserepresentaconlaexpresións 1.9t 4.3t2,donde teseltiempomedidoensegundos.¿Cuántotiempotardalapartículaenrecorrer 50 m?

3. Escribe en tu cuaderno un problema que se pueda resolver planteando una ecuación cuadrática. Cuida que las dos soluciones de la ecuación sean solución del problema.

a. Reúneteconuncompañero,intercambiensusproblemasyresuelvanelquelestocó.Verifiquensussolucionesconlosmétodosaprendidos.

4. Responde con base en lo que trabajaste.

a. ¿Las soluciones de la ecuación cuadrática que representa un problema son so-lucióndelproblema?¿Porqué?

x m

15 m

10

m

x m

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten en grupo las ventajas y desventajas de la fórmula general y el discriminante para resolver ecuaciones cuadráticas.

x1 15; x2 52

52 m

R.M.Nosiempre,porquedependedel

t1 3.64; t2 3.2

contextodelproblema.

Solouna,

R. L.

porque no se pueden usar distancias negativas.

(2x 15)(2x 10) 2(15)(10)

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Métodos y tipos de ecuaciones cuadráticas 32

Contenido: Comparas y usas los diferentes métodos para resolver una ecuación cuadrática.

¿En qué ecuaciones cuadráticas se usa el factor común?

1. En parejas lean y hagan lo que se pide.

a. Analicenlasecuacionescuadráticaseindiquenporcuálmétodoesmásconve-niente resolverlas.

y ¿Cuálesecuacionessepuedenresolverusandoelfactorcomún?

y Escribanlascaracterísticasquedebetenerunaecuacióncuadráticaparafac-torizarseconelfactorcomún.

b. Justifiquensusrespuestasenloscasosenquenopuedanusarelfactorcomúnpara factorizar la ecuación.

c. Enaquelloscasosenloscualesfueposiblefactorizarconel factorcomún,re-suelvan la ecuación.

¿Con qué método se pueden resolver estas ecuaciones cuadráticas?

1. En parejas realicen las siguientes actividades.

a. Describan el procedimiento que deben seguir para resolver ecuaciones cuadráticas conlosmétodosqueseindicanenlatabladelasiguientepáginayescribanunaecua-ción cuadrática de la actividad 1 que se resuelva con cada uno. Luego completen.

Lección 1

2x2 12x 16 0 4x2 4x 1 0 4x2 12x 9 0 5x2 4 12x

9x2 9x 0 12x2 11x 2 7 2x2 8x 9 0 x2 x 20 0 x2 10x 21 0 x2 x 1 0

Conayudadesuprofesor,comparenlasrespuestasalasquellegaronconlasdeotrasparejas.

9x2 9x 0

En las demás ecuaciones no es posible usar factor

comúnyaquetienentérminoindependiente.

Todoslostérminosdelaecuacióndeben

tener una incógnita.

x1 0; x2 1

R. L.

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1. Analiza las ecuaciones cuadráticas de las actividades anteriores y responde.

a. Silasraícesdeunaecuacióncuadráticacompletanosonnúmerosenteros,¿puedeusar-selafactorizaciónpararesolverla?Siturespuestaesafirmativa,escribeentucuadernoun ejemplo donde se cumpla.

Método de resolución Procedimiento Ecuación

cuadráticaSoluciones de la

ecuación

Trinomio cuadrado perfecto

Diferencia de cuadrados

Completar cuadrados

Fórmula general

Procedimiento Solución Justificación

2x2 2x 6x

(x 1)(x 1) 5 (x 2) 4

20a2 15a 0

x2 5x 6 0

2. Elijan un procedimiento para resolver las siguientes ecuaciones. Justifiquen su elección.

R. L.

Factorcomúnx1 4x2 0

Todos los elementos tienen una x.

Fórmula general

x1 5 2

85 2

x2 5 2

85 2

Nosepuederesolver por otro método.

Factorcomún a1 3 4

a2 0

Todos los elementos tienen una a.

Diferencia de cuadrados

x1 1x2 6

Se puede factorizar la ecuación mediante la diferencia de cuadrados.

Buscarlasraícesquecumplanconelmétodoparapoderfactorizar la ecuación.

(2x 1)2 0 x 1 2

Buscarlasraícesquecumplanconelmétodoparapoderfactorizar la ecuación. En estas ecuaciones el factor de x es 0.

9(x2 1) 0 x1 1x2 1

Buscarlasraícesquecumplanconelmétodoycompletarlasunidades faltantes para poder formar un trinomio cuadrado.

2(x 3)2 17 0

x1 3 17x2 17 3

Cuando la ecuación no se puede resolver por ninguno delosmétodosanterioresserecurre a la fórmula general.

5x 2 4 12x

x1 2x2

2 5

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Ecuaciones cuadráticas para resolver problemas

1. Aplica el procedimiento más adecuado para resolver los siguientes problemas.

a. La fórmula que permite conocer la concentración de cierto medicamento en el organismo es C t2 6t,dondet es el tiempo transcurrido en horas desde su aplicación.

b. Analizalafigurayresponde.¿Cuáldebeserelvalordex para que el área del cua-drado HEFG sea la mitad del área del cuadrado ABCD?

Lección 2


1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas y los problemas con el procedimiento que se indica.

a. Factorización

y 2x2 5x 2 0 y x2 9x 20 0y 4x2 9 0 y 16x2 64x 64 0y 49x2 36 y x(x 3) 5(x 3) 0

c. Calcula la longitud del lado faltante del triángulo formado dentro del rectángulo si x 16. Escribe todo el procedimiento.

AE

G

B

H

D C

F

x

25 cm

y2

x2

10 cm

Contenido: Comparas y usas los diferentes métodos para resolver una ecuación cuadrática.

Con ayuda del profesor revisen sus respuestas y decidan cuál procedimiento tiene más ventajas que otros.

y ¿Cada cuántas horas se debe tomar el medicamento para no interrumpir el tratamiento?

y ¿Encuánto tiempose tiene lamáximaconcentracióndemedicamentoenel organismo?

Ver solucionario

Cada 6 horas

y 12 cm

3 horas

x 12.5 cm

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b. Completar cuadrados

y Un lote cuadrado se convierte en uno rectangular si se le agregan 10 m a un lado y 5 m al otro. El área del lote rectangular es tres ve-ces mayor que el del cuadrado. ¿Cuánto mide cada lado del lote cuadrado original?

y 4x2 2 y 2x2 12x 20

c. Diferencia de cuadrados o trinomio cuadrado perfecto

y x2 144 0 y 4 x2 49 0

y 9x2 1 0 y 25x2 60x 36 0

y x2 14x 49 y 1 4 x2 5x 25 0

d. Fórmula general

y Elresultadodesumar5aundeterminadonúmeroeselmismoqueseobtienededividir84entreesenúmero.¿Dequénúmerosetrata?

y 3x2 3 0 y x2 5x 3 0

e. Eligeelmétodoqueprefieras

y x2 4x 2 0 y x2 3x 1 0

y 3x2 2x 1 0 y x2 4x 16 0

y 10x2 8x 6 0 y 100x2 160x 64 0

2. Revisa lo realizado en esta secuencia didáctica y contesta.

Entra al sitio web www.esant.mx/fasema3-008 para profundizar en los temas de ecuaciones y funciones cuadráticas.


Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten sus observaciones sobre las ventajasydesventajasdecadamétodo.

a. ¿Cuál de los procedimientos estudiados se puede aplicar para cualquier tipo de ecuación cuadrática?

b. ¿Cuáldelosprocedimientosteresultómásdifícil?¿Porqué?

c. Escribe las ventajas y desventajas de cada procedimiento para resolver ecuacio-nes cuadráticas.

Fórmula general y completar el trinomio al cuadrado perfecto.

R. L.

R.M.Eltrinomiocuadradoperfectoeslaformamássencillapararesolverunaecuacióncuadrática,notienedesventajas.Alcompletarcuadrados,puederesultarcomplejosolucionareltrinomiocuadradoperfectoyobtenersusraíces.Ladiferenciadecuadradosesfácilderesolversiempreycuando los elementos de la ecuación lo permitan. La fórmula general permite encontrarlasolucióndecualquierecuacióncuadrática,perosusraícespueden ser complejas en algunos casos.

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Gráficas de funciones cuadráticas y las raíces 33

Contenido: Resuelves ecuaciones cuadráticas para calcular las raíces de una función.

Gráficas de funciones cuadráticas

1. Lee con un compañero la situación y respondan.

La altura de un proyectil lanzado desde el piso se representa por la función h (t 6)2 36,dondet es el tiempo en segundos y h la altura en metros.

a. ¿Aquéalturallegóelproyectilalos2segundos? b. ¿Llegóaunaalturamayordespuésdelos2segundos?

y ¿Hastaquéalturallegóyacuántossegundosdeserlanzado? c. ¿Esposiblequeelproyectilalcancelos20menotrotiempodiferente?Deserasí,

¿en cuál? d. ¿Despuésdecuántos segundosdehaber sido lanzadoelproyectil alcanza su

alturamáxima? e. ¿A cuántos segundos de ser lanzado el proyectil toca tierra?

Gráficas y raíces

1. Retoma el problema anterior y haz lo que se pide.

a. Enlosejesdecoordenadas,graficalafunciónh (t 6)2 36.

b. Marca en la gráfica los puntos que encontraste en los incisosa, c,d y e del problema anterior.

Lección 1

Comparensusrespuestasy,deserdistintas,decidancuálesrespondenmejoralproblema yporqué.Escuchenyrespetenlaopinióndesuscompañeros.

t h (t 6)2 36h

t

10 0

6

6

12

18

24

30

12

18

24

30

2 2 4 6 8 10468

20 mSí

36 m a los 6 s

Sí,alos10s

A los 6 s12 s

0

1

2

4

6

8

10

0

11

20

32

36

32

20

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c. ¿En qué valores de t y h la parábola corta al eje horizontal? ¿A qué altura está el proyectil cuando llega al suelo?

d. Iguala la función h a cero y despeja t. e. Sustituye los valores que obtuviste de t en la función h para verificarlos.

2. La trayectoria de una partícula está dada por la fórmula h t 2 t.

a. Grafica la función h.

b. ¿Qué valores toma t cuando h es igual a cero?

c. ¿Qué relación existe entre estos valores y las raíces de la ecuación?

Si se tiene la función y ax2 bx c, con a ≠ 0, y se resuelve y 0, entonces las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 bx c 0 corresponden a las inter-secciones de la gráfica de la función y con el eje x. A esos valores de x se les conoce como raíces de la ecuación cuadrática.



1. Analiza cuáles funciones cortan al eje x y para qué valores de x.� y 2(x 3)2 1 � y 4(x 1)2 � y 10 6x 3x2

� y 2(x 3)2 1 � y 12 (3x 1)2 3 � y 1

3 x2 39

a. Grafica y verifica que los valores de x que son raíces coinciden con los valores en que la función corta al eje x. ¿En qué funciones hay dos raíces?

h

t01

1

1

2

3

1 22

Compara tus resultados con los de tus compañeros y valídenlos con su profesor. Después lee la siguiente información.

t 0 y 12 s, h 0 m. A 0 m de altura.

Ver solucionario

0 o 1

Son los valores que resuelven la ecuación.

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Gráficas y discriminante

1. Observa las parábolas y contesta.

Lección 2

2. Analiza las siguientes funciones cuadráticas y haz lo que se pide.

� y1 13 x2 � y2

18 x2 5

� y3 12 x2 2x � y4

18 x2 5

� y5 12 x2 2x � y6

13 x2

y1 D 0 1 solución

y2 D 0 0 soluciones

y3 D 0 2 soluciones

2 2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

4 6 8 10 12 14 16

x

yy1 y2 y3

046810

2

Compara tus respuestas con las de un compañero y valídenlas con ayuda del profesor. Resuelvan juntos las dudas que hayan surgido.

a. Indica cuántas veces interseca cada función el eje horizontal.

b. ¿Qué representan las intersecciones de la gráfica? c. Une con una línea cada función con el valor del discriminante y el número de

soluciones que le corresponde.

y1 lo interseca

Las soluciones

2 veces; y2, una vez y y3, ninguna.

210

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a. Grafica las funciones.

b. Analiza la gráfica de cada función, corte o no al eje horizontal, usa la fórmula general y comprueba el signo que toma el discriminante. Escribe tu procedi-miento en tu cuaderno.

c. Analiza las gráficas y sus expresiones algebraicas y deduce a qué se debe que en algunos casos las ramas de la parábola van hacia abajo y en otros van hacia arri-ba. Escribe tus conclusiones.


1. Sin resolverlas, indica si la ecuación tiene una o dos soluciones o no tiene solu-ción. Luego grafícalas en tu cuaderno para validar tus respuestas.

6x2 5x 1 0 x2 x 1 0 4x2 17x 15 0

2. Lee la situación y resuelve.

Un jugador de futbol hizo un tiro libre que se convirtió en gol, ya que el arquero no pudo atajarlo. La trayectoria de la pelota se representa por h 0.02x 2 1.16x, donde x representa los metros en línea recta sobre el pasto desde el pie del jugador hasta donde se encuentra la pelota, y h, la altura en metros que alcanza la pelota.

y

5 0

1

1

2

3

4

5

2

3

4

5

1 1 2 3 4 5234

x

Comenten en grupo sus respuestas y resuelvan las dudas que aún tengan.

Ver solucionario

El signo del factor de x determina cuándo van hacia abajo o hacia arriba; si es positivo, las ramas van hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.

Dos solucionesNo tiene solución.Dos soluciones

y4 y1

y5

y3 y6

y2

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a. Traza la gráfica de la función h.

b. ¿A cuántos metros la pelota hubiera tocado el piso si no se hubiera impactado contra la red del arco?

c. ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota y a qué distancia de donde se ejecutó el tiro libre?

3. Responde las siguientes preguntas.

4. Reúnete con dos compañeros y planteen un problema que se resuelva con una ecuación cuadrática cuyo discriminante sea mayor que cero. Después contes-ten en su cuaderno.

a. ¿El problema cumple con lo solicitado? � ¿El problema aborda una situación de la realidad? De ser así, ¿cuál?

Ingresa al sitio web www.esant.mx/fasema3-009. Escribe el texto "-0.02x^2+1.16x" y presiona Enter para graficar la función h. Compárala con la que trazaste. Observa que se usa "^" para el exponente.


Presenten al grupo su problema y expliquen por qué cumple con las características requeridas.


� ¿Puede haber una función cuadrática con un máximo que no corte al eje x? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

� ¿Puede haber una función cuadrática con un mínimo que corte en un solo punto al eje x? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

b. ¿En qué tipo de problemas se aplican las ecuaciones cuadráticas? � ¿Qué diferencias observan entre resolver ecuaciones lineales y cuadráticas?

58 m

16.82 m de altura y a 29 m de distancia

Sí, las que no tienen solución.

Sí, las que su discriminante es cero.

R. L.

h

t

30 0

10

10

20

30

40

50

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60 70 80 9020 10

212

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Prohi

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su d

istrib

ució

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Reviso mi trayecto


1. Encuentra, con el método geométrico, una solución de la ecuación x2 8x 33. Dibuja los cuadrados y rectángulos que necesites.

2. En las siguientes ecuaciones, usa el discriminante para encontrar cuántas solucio-nes tienen y calcula cuáles son.

a. 2z2 3z 35 0 b. 9k2 12k 4 0

3. ¿Cuál método elegirías para resolver la ecuación x2 x 20 0? Justifica tu respuesta.

4. El número de bacterias s en un plato de co-mida refrigerada está dado por la expresión algebraica s 20t2 20t 120, donde t es la temperatura de la comida en grados Cel-sius. Realiza la gráfica de la función.

a. ¿La gráfica corta el eje horizontal? ¿Qué significa lo anterior? Explica tu respuesta.

b. Encuentra el intervalo de valores de t para el que crece, el intervalo en el que decrece y si tiene máximos o mínimos.

280

s

(°C)t

240

200

160

120

80

40

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5


1 29 188-1932 33 208-2073 32 204-2494 33 208-212

R. M. La fórmula general, porque el discriminante da información

Dos soluciones: x1 7 2 y x2 5

Una solución x 2 3

4x

4x 33x2

4x 16

164x 33

x2 (x 4)2 49x1 3 y x2 11

completa acerca de las o la solución de la ecuación.

No la corta. Eso significa que el discriminante es negativo y, por tanto, la ecuación no tiene solución.

Decrece hasta que t 0.5 y crece a partir de este punto. El mínimo es t 5.

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34 Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Crecimiento y decrecimiento

Barda

Huerto

Contenido: Analizas y comparas diversos tipos de variación a partir de distintas representaciones, para determinar intervalos en los que la función es positiva, negativa, creciente o decreciente.

Análisis detallado de la variación

1. Reúnete con dos compañeros, lean el problema y hagan lo que se pide.

La mamá de Gustavo quiere hacer un huerto rectangular en su terreno. Para ello, piensa separar una parte del terreno que se encuentra junto a la barda que lo deli-mita y rodear lo que será el huerto con una reja de alambre. Si compró 800 m de reja de alambre, ¿cómo puede colocar la reja para lograr que su huerto tenga la mayor área posible?

a. Analicen el problema y el esquema correspondiente. � ¿De cuántas maneras es posible colocar la reja de alambre para formar

el huerto?

b. Si el huerto será un rectángulo, ¿qué expresión algebraica se relacionaría con su área? A

� ¿Con cuántas variables se relaciona la variación del área del huerto? � ¿Qué representan esas variables?

c. La reja de alambre se colocará alrededor del huerto, junto a la barda. La reja debe cubrir tres lados del rectángulo: uno de largo y dos de ancho. Escriban una expresión que relacione el largo del rectángulo con los 800 m que mide la reja y con la medida de los otros dos lados.

� Sustituyan el largo en la expresión que encontraron para el área. A

d. ¿Qué tipo de variación representa la función del área? e. ¿Cuál es la variable independiente de la relación?

� ¿Qué representa esta variable en términos del problema? f. ¿Cuál es la variable dependiente de la relación?

� ¿Qué representa esta variable en términos del problema? g. ¿Hay valores de la variable independiente para los cuales el área del huerto sea

cero? De ser así, ¿cuáles son? � ¿Qué representan esos valores en términos de la cerca del huerto?

h. ¿Cuáles valores de la variable independiente son de interés para la función de área, según el problema?

Lección 1

Discutan sus respuestas con otro equipo. Analicen sus diferencias y traten de llegar a un acuerdo con ayuda de su profesor.

P. R. El alumno puede proponer diferentes formas para el huerto usando los 800 m de reja.

bhDos

El largo (b) y ancho (h) del huerto

b 800 2h

(800 2h)h

Cuadrática h

El ancho del huertoA

El área del huerto

0 y 400R. M. Lo

máximo y mínimo que puede medir el ancho del huerto.

El intervalo de 0 a 400

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Cuando en un intervalo de valores de la variable independiente los valores de la variable dependiente son negativos, la función es negativa en ese intervalo.

Cuando en un intervalo de valores de la variable independiente los valores de la va-riable dependiente son positivos, la función es positiva.

Análisis de la variación de la función

1. Con el mismo equipo, retomen la situación anterior y contesten.

a. En su cuaderno, elaboren una tabla para la función del área que incluya valores negativos y positivos. Consideren valores entre –1 000 y 1 000 para la variable independiente.

� Usen los datos de su tabla para dibujar una gráfica de la función.b. ¿Para cuáles intervalos de la variable independiente la gráfica de la función que-

da por debajo del eje que representa la variable independiente?

� Los valores de la función en esos intervalos, ¿son positivos o negativos?

c. ¿Para cuáles intervalos de la variable independiente la gráfica de la función que-da por arriba del eje que representa la variable independiente?

d. ¿Qué valores puede tomar la variable independiente para que el problema tenga sentido?

� En esos valores, ¿la gráfica se encuentra por arriba o por abajo del eje horizon-tal del plano cartesiano?

e. ¿Qué valores debe tomar la variable dependiente para que el problema tenga sentido?

f. ¿Para qué valores de la variable independiente el área sería cero?

g. ¿Para qué valor de la variable independiente el área sería, aproximadamente, la mayor posible?

2. Retomen la situación inicial y contesten.a. ¿En qué intervalos la función de área es negativa?

b. ¿En qué intervalos la función de área es positiva?

Revisen en grupo sus respuestas y analicen la siguiente información.

Escriban un párrafo en el que expliquen si todos los valores de la tabla tienen sentido en el problema inicial y por qué.

De –1 000 a 0 y de 400 a 1 000

Negativos

De 0 a 400

Valores entre 0 y 400

Por arriba del eje

Valores mayores que 00 y 400

200

De –1 000 a 0 y

De 0 a 400de 400 a 1 000

R. L.

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Lección 2

x60

40

20

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (meses)

20

40

60

80

100


Intervalos de variación creciente o decreciente

1. Con el mismo equipo, retomen la situación del huerto rectangular y contesten.

a. Analicen la tabla y la gráfica que hicieron en su cuaderno. � ¿Los valores de la variable dependiente aumentan al aumentar los primeros

valores de la tabla para la variable independiente? b. Si siguen aumentando los valores de la variable independiente, ¿sigue crecien-

do el valor de la variable dependiente?

c. ¿En algún momento, al aumentar los valores de la variable independiente, los valores de la variable dependiente decrecen en lugar de aumentar? ¿Para qué valores de la variable independiente ocurre esto?

� ¿Coincide ese valor con el máximo o el mínimo de la función?

2. Analiza con un compañero el problema y respondan.

La siguiente gráfica muestra la utilidad de un pequeño negocio desde que inició.

Uti

lidad

(Mile

s de

pes

os)

Comenten con otros equipos sus respuestas. ¿Coincidieron en todas ellas? Resuelvan sus dudas y analicen la siguiente información.

Una función es creciente en un intervalo si al aumentar el valor de la variable inde-pendiente aumenta el valor de la variable dependiente. Una función es decrecien-te en un intervalo si al aumentar el valor de la variable independiente decrece el valor de la variable dependiente.

Si al considerar un intervalo alrededor de un valor específico de la variable indepen-diente, la función es mayor en ese valor que en los demás del intervalo, el punto en la gráfica es un máximo local. Si, en cambio, la función es menor, el punto en la grá-fica es un mínimo local.

Sí

No, después de 200 disminuyen.

Para valores mayores a 200Sí

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Analiza las gráficas y haz lo que se pide. Escribe tus respuestas en tu cuaderno.

1. Para cada gráfica encuentra:

a. Los intervalos donde la función es negativa y donde es positiva.b. Los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente.c. Los máximos y mínimos locales.

2. ¿Alguna de las funciones está definida por tramos? Justifica tu respuesta.



8 6 4 2 2 4 6 8 100

10

8

6

4

x

y

2

5 4 3 2 1 0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5

x

yGráfica A Gráfica B

a. ¿Cuál es la variable independiente? b. ¿Para qué valores del tiempo la función es positiva y en cuáles es negativa?

� ¿Qué significa esto en términos de la utilidad del negocio?

c. ¿En qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente?

� ¿Qué significa esto en términos de la utilidad del negocio?

� ¿En que valores de t la función tiene un máximo y un mínimo?

d. ¿Entre qué valores varía la utilidad del negocio? e. ¿En qué valor del tiempo la utilidad es máxima?

Comparen sus respuestas con las de otras dos parejas y discutan sus diferencias con ayuda de su profesor.

De 0 a 2.5 y de 9.5 a 10 es positiva, de 2.5 a 9.5 es negativa.

R. M. Que la empresa tuvo pérdidas entre los dos meses y medio y los nueve meses y medio.

La función es creciente de 0 a 1 y de 7 a 10, y decreciente de 1 a 7

aproximadamente. Que la empresa

empezó a reducir su utilidad luego del primer mes y se comenzó a recuperar a los siete meses.

Entre 80 000 y 40 000

Ver solucionario

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Análisis de gráficas

1. Lee la siguiente situación y responde.

Se requiere la conexión entre una plataforma de perforación y una refinería mediante un oleoducto. La plataforma está a 12 km de la costa y la refinería está a 24 km del punto en la costa más cercano a la plataforma. La tubería que corre por debajo del agua cuesta $31 600 por km y la que corre por tierra cuesta $11 000 por km.

Los accionistas deben usar la gráfica para elegir en qué lugar a lo largo de la costa con-viene sacar la tubería del agua. La gráfica muestra el costo de la tubería en miles de pesos, en relación con la distancia por tierra, desde el punto frente a la plataforma en el que se sacaría la tubería del agua.

a. ¿Por qué consideras que la gráfica empieza en 0 km en el eje horizontal?

b. ¿La gráfica es creciente o decreciente entre los 10 y los 15 km de distancia sobre la costa?

� ¿Qué significa esto en términos del costo de instalación de la tubería?

c. ¿La gráfica es creciente o decreciente entre los 20 y los 24 km de distancia sobre la costa?

� ¿Qué significa esto en términos del costo de instalación de la tubería?

d. ¿El costo siempre es positivo en esta gráfica? � ¿Qué sucedería si el costo fuera negativo para algunos valores de la variable

independiente?

e. ¿Aproximadamente a qué distancia la función alcanza el valor mínimo? � ¿Cuál sería el costo para esa distancia?

Lección 3

Plataforma

RefineríaPunto en la costa más cercano a la plataforma

Punto dondesale la tubería

Tubería por el mar

Tubería por la tierra

12 km

x km

24 km

800

600

400

200

0 5 10 15 20 25

x (km)

C (miles de pesos)


R. M. Porque la distancia no puede ser negativa.

Creciente

Que el costo de la tubería aumenta en el intervalo de 10 y 15 km de distancia de la refinería.

CrecienteQue el

Sícosto de la tubería aumenta si son de 20 a 24 km.

Significaría que la instalación no solo sería gratis sino que les da una ganancia, lo cual no es posible.

5 km600 mil pesos

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f. Escribe un párrafo en el que expliques a los accionistas a qué distancia sobre la carretera convendría sacar la tubería y por qué.

2. Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.

La velocidad a la que se reproduce una población de peces (P) en un estanque está dada por la función:

0.8P (1 P1000

)

a. Dibuja una gráfica de la función velocidad de reproducción de los peces.b. ¿En qué intervalos de población crece la velocidad de reproducción de los peces?

� ¿En qué intervalos decrece?

c. ¿Para cuál población de peces la velocidad de reproducción es máxima?d. ¿Qué sucede con la velocidad de reproducción cuando hay 1 000 peces?

� ¿Qué sucedería si hubiera más de 1 000 peces en el estanque?


1. Dibuja en tu cuaderno una función con las siguientes características y contesta.

� La variable independiente varía desde x 10 hasta x 20. � La variable dependiente varía entre y x 10 y y 20. � Que sea negativa en los intervalos (10, 2) y (10, 15) y positiva para los demás

valores de la variable independiente. � Que sea creciente en los intervalos (10, 1) y (12, 15) y decreciente para el resto

de los valores de la variable independiente.

a. ¿La función tiene máximos y mínimos locales? ¿En qué puntos del plano coordenado?b. ¿La función que dibujaste es la única que se puede dibujar? Explica.

2. Escribe un párrafo en tu cuaderno en el que expliques qué información se puede obtener de una gráfica que muestra la ganancia de una compañía.

Compara tu explicación y tus respuestas con las de dos compañeros. Acuerden cuál es la distancia más conveniente.

Compara y discute tus respuestas con dos compañeros. Escucha y respeta sus ideas.

Revisen sus respuestas en grupo. Comenten a qué conclusiones llegaron en cuanto al análisis de las gráficas solicitado.


Ver solucionario

R. L.

R. L.

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35 Aprendizaje esperado: Analizarás y compararás diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Modelos de variación

Contenido: Modelas y analizas diversos tipos de variación.

Análisis de un problema de variación

1. Lee con dos compañeros la situación y resuelvan.

El director de una escuela propone construir una pista de carreras de 400 m cuya for-ma se muestra en la figura de la izquierda. El director quiere que la sección rectangu-lar que está en el centro tenga la mayor área posible para utilizarla durante festivales y ceremonias, pero necesita ayuda para determinar las demás dimensiones de la pis-ta con el fin de calcular los costos.

a. Discutan qué esperan que suceda con el área del rectángulo si se construyen distintos semicírculos y distintos rectángulos para la pista.

� ¿Qué sucede con el área del rectángulo al aumentar el diámetro de los semi-círculos?

� ¿Qué sucede al disminuir el diámetro de los semicírculos?

� ¿Es posible variar el diámetro de los semicírculos tanto como se desee? Explica tu respuesta.

b. Anoten junto a la figura los datos que conocen. c. Definan las variables que intervienen en el problema.

� La variable que se quiere maximizar es � Denótenla en la figura con la letra A.

d. ¿De qué variables depende A?

� Utilicen las letras x y y para denotar esas variables y completen las igualdades. x y

� Añadan estas variables a la figura.e. ¿Cuál es la relación entre el área por maximizar y las variables x y y?

Lección 1

Discutan sus respuestas en grupo y con su profesor para asegurar que comprendieron el problema. Resuelvan juntos sus dudas.

El área del rectángulo disminuye.

El área del rectángulo aumenta.

No, se debe cumplir que la pista sea de 400 m, lo que limita el

diámetro de los semicírculos.

El ancho y largo de la sección rectangular

el área del rectángulo.

Depende del ancho y largo de la sección rectangular.

ancho de la sección rectangular

largo de la sección rectangular

La multiplicación de x por y es igual al área A.

R. M.

x

y

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Funciones que modelan situaciones

1. Retomen con su equipo la situación anterior y contesten.

a. ¿De cuántas variables depende la expresión que encontraron para el área de la sección rectangular?

b. Hasta ahora hemos dejado de lado el perímetro de la pista por construir. La pista constará de dos tramos rectos, que son los lados del rectángulo. ¿Cuánto medirá la longitud de cada lado?

� ¿Cuál es la medida de los dos lados juntos? c. La pista constará además de dos secciones semicirculares. ¿Cuál será el diámetro

de cada una? � ¿Cuál es el perímetro de cada una de esas secciones? � ¿Cuál es el perímetro de ambas secciones semicirculares juntas?

d. ¿Cuál es el perímetro total de la pista? e. El perímetro de la pista debe ser de 400 m. ¿Cómo queda la expresión del inciso

anterior al sustituir este dato? f. Encuentren una relación en la que y esté en términos de x, a partir de lo que

encontraron en el inciso anterior. g. Ahora sustituyan esa expresión en la que obtuvieron en la actividad anterior

para el área del rectángulo. � ¿Qué tipo de variación obtuvieron? Expliquen.

h. ¿Qué valores puede tomar la variable independiente de la función A, considerando

que los valores de las variables deben ser útiles para resolver el problema inicial?

� ¿Para qué valores de x el área sería cero?

i. Elaboren una tabla en su cuaderno y dibujen la gráfica del área del rectángulo como función de uno de sus lados.

j. ¿Para qué valores de x el área es positiva?

� ¿Tiene sentido que el área sea negativa? Expliquen.

k. ¿Para qué valor de x se obtiene la mayor área posible? � ¿Cuál es el valor del área?

Comenten con otro equipo sus respuestas para validarlas. Si lo consideran necesario, corrijan.

Depende de dos variables: x y y.

Cada lado medirá y m.

2y m

x m

x m

x 2 m

2y x

2y x 400

y 400 x

2

A x (400 x)

2Una variación cuadrática,

pues la variable está elevada al cuadrado.

x1 0 y x2 400

Todos los reales positivos

Para valores entre 0 y 400

No, pues no existen distancias negativas.

x 200

m

A 20000

m2

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Análisis de la variación para encontrar un mínimo

1. Lean en parejas la situación y resuelvan lo que se pide.

Un grupo de dentistas quiere construir un centro de atención en el que pue-dan tener seis consultorios de 20 m2 cada uno, separados por un pasillo de 2 m de ancho. El espacio debe contar también con una recepción en la en-trada, de la misma dimensión horizontal que los consultorios.

Los materiales que desean usar son paredes de concreto colocadas alrede-dor del centro y como separación de los consultorios. Estas paredes cues-tan $400 por metro lineal. Cada consultorio, además de la recepción, tendrá puertas corredizas de vidrio, cuyo costo es de $1 000 el metro lineal. A con-tinuación se muestra un plano del centro. Las líneas grises corresponden al concreto y las rojas punteadas, al vidrio.

Los dentistas quieren encontrar las dimensiones exteriores del centro que harán que la construcción cueste lo menos posible.

a. Revisen el planteamiento del problema para asegurarse de que lo entienden.b. Anoten en la figura los datos que conocen. Observen que x corresponde al ancho

de cada consultorio y y, al largo.

c. ¿Qué variable se desea minimizar? � ¿De qué variables depende la variable que se desea minimizar?

d. ¿Cuántas puertas de vidrio se requieren?

e. ¿Cuántos metros de vidrio se necesitarán en la construcción, considerando las puertas de los consultorios y la de entrada a la recepción?

� ¿Cuánto costará el vidrio que se necesita?

f. ¿Cuántas paredes de concreto se requieren? � ¿Cuántos metros lineales de concreto se necesitarán? � ¿Cuánto pagarán los dentistas en total por el concreto?

g. Consideren la información anterior y calculen el costo total de la construcción. ¿De cuántas variables depende?

x

y

Lección 2

Comparen sus respuestas con las de otra pareja, discutan sus diferencias y corrijan.

metro lineal. Unidad de medida utilizada en construcción, que solo toma en cuenta la longitud, ya que la altura y el ancho son preestablecidos y constantes.

Glosario

El costo de la construcción

y

y

y y

y

y

y y

y

y

y y

x

xx

x

x

x

x

x

x

2

De las dimensiones de los consultorios. Las variables son x y y.

7 puertas

6y 26 000y 2 000

19 paredes10x 8y 2

4000x 3200y 800

C 4000x 9200y 2800

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2. Retoma con tu compañero el problema anterior.

a. ¿Pueden encontrar en la información del problema algún dato que les permita escribir una relación entre x y y? Expliquen.

b. Sustituyan el valor de la variable y en la función de costo. c. Simplifiquen la expresión para la función de costo. d. ¿Para qué valores de x tiene sentido calcular la función de costo?

e. Usen la expresión algebraica para la función de costo y hagan una tabla de valo-

res en su cuaderno.f. Usen los datos de la tabla y dibujen en su cuaderno la gráfica de la función.g. ¿En qué intervalos de x crece la función de costo? h. ¿En qué intervalos de x decrece la función de costo? i. A partir de la gráfica, aproximen el mínimo de la función.

� ¿Cuál es el valor aproximado de x para el que se obtiene el costo mínimo?

j. Usen el valor de x que encontraron para calcular el valor de y. k. Encuentren el costo de construcción del centro.

� ¿Cuánto medirá de largo el centro que puede construirse a ese costo? � ¿Cuánto medirá de ancho?



1. Escribe la lista de pasos que debes seguir para encontrar el máximo o el mínimo de una fun-ción que modela un problema.

2. Resuelve nuevamente el problema de inicio, pero cambia lo que sea necesario considerando que ahora se quiere maximizar el área de la región completa que queda dentro de la pista.

3. A partir de tu lista de pasos, resuelve el siguiente problema.

Rocío tiene que hacer un cartel para la feria de arte. El cartel debe tener un área total de 160 cm2 y debe incluir la fotografía de la mejor pieza de la feria, con márgenes superior e inferior de 12 cm y márgenes laterales de 4 cm cada uno. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel si Rocío quiere usar la menor cantidad posible de papel en la fotografía?

Comparen sus respuestas con las de dos parejas y lleguen a conclusiones.

Sí, el área de los consultorios es de 20 m2, entonces xy 20 m2.

C 4000x 9200(20/x) 2800C 4000x 184000/x 2800

Todos los reales positivos

C $35 941.13y 2.82 m

x 7.07 m

Para x 5 2Para x 5 2

x 2; y 35 941.13

y 2 2x 5 2

R. L.

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Análisis de la variación para encontrar un máximo

1. Resuelve el siguiente problema con tres compañeros.

En un auditorio caben 1 200 personas. Los boletos para las funciones cuestan $50. El gerente considera que es necesario subir los precios para cubrir los gastos de opera-ción. Las funciones normalmente se llenan y, en un estudio de mercado, se estima que por cada $5 que se aumenten los precios, dejarán de asistir 100 personas a cada función. El gerente quiere saber a qué precio podrá obtener el ingreso máximo.


Lección 3

a. ¿Cómo se obtiene el ingreso de un negocio, en este caso, el del auditorio?

b. ¿Cuál es el ingreso total en una función, considerando el precio de $50 y que el

auditorio se llena? c. ¿Consideran que se puede mejorar el ingreso anterior, aunque al aumentar el

precio del boleto disminuya la audiencia? Expliquen.

d. ¿Cuánto costará el boleto si se aumenta el precio en $5? � En lugar de llenarse el auditorio, ¿cuántos asistentes tendrá cada función?

� ¿Cuál será el ingreso del auditorio en este caso?

e. ¿Cuánto costará el boleto si se aumenta el precio en $10? � En lugar de llenarse el auditorio, ¿cuántos asistentes tendrá cada función?

� ¿Cuál será el ingreso del auditorio en este caso?

f. ¿Cuánto costará el boleto si se aumenta el precio en 5x pesos?

� En lugar de llenarse el auditorio, ¿cuántos asistentes tendrá? g. ¿Cuál es la expresión para la variación del ingreso con el número de veces que se

aumenta el precio? � ¿Qué tipo de variación representa esta expresión?

h. ¿Para qué valores de x el ingreso del auditorio sería cero?

i. ¿Entre qué valores cambia la variable independiente de la función de ingreso?

j. Hagan en su cuaderno una gráfica de la función que representa el ingreso. � ¿Qué valores toma la función de ingreso? � ¿En qué intervalos de x es negativa la función ingreso?

Se calcula cuánto dinero recibe el negocio al prestar un servicio. En este caso, se suma el costo de todos los boletos vendidos para las funciones.

$60 000

Sí, ya que cada persona

pagaría un precio más alto.$55

1 100 personas$60 500

$60

1 000 personas$60 000

50 5x pesos

1 200 100x personas

(50 5x)(1 200 100x)Parabólica

12 y 10

Todos los números

Valores menores o iguales a 60 500Menores a 10

y mayores a 12

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y ¿En qué intervalos de x es positiva? y ¿En qué intervalos de x es creciente la función ingreso? y ¿En cuáles es decreciente?

k. ¿La función tiene un máximo? De ser así, ¿aproximadamente en qué valor de x se encuentra?

y ¿Cuál es el precio de los boletos en ese caso? y ¿Cuál es la asistencia a la función en el auditorio? y ¿Cuál es el ingreso del auditorio en ese caso?

l. ¿Qué sucede con el ingreso conforme es mayor el número de aumentos? Expliquen.


1. Responde.

a. ¿Con qué frecuencia piensas que se tienen que resolver en el día a día problemas en los que se requiere encontrar el máximo o el mínimo de una función? Propor-ciona un ejemplo.

b. Si la función que modela un problema tiene varios máximos, ¿cuál de ellos se debe elegir como solución a un problema de maximización?

Justifica tu respuesta.

c. ¿Por qué es importante que los valores que toma la variable independiente de la función sean congruentes con el problema?

2. Resuelve el problema en tu cuaderno.

Se quiere construir un espacio para que los alumnos de una escuela practiquen el instrumento que aprenden en su clase de música. Para ello, se planeó construir 10 cubículos en un espacio rectangular. Si se cuenta con un total de 60 m lineales de material para construir las divisiones, ¿qué dimensiones deben tener los cubículos para maximizar su área?

Discutan sus respuestas en grupo con ayuda de su profesor.

Revisa tus respuestas con un compañero y, si tienen dudas, coméntenlas con su profesor. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.

Entre 10 y 12De 10 a 1

De 1 a 12

Sí, para x 1.$55

P. R. El alumno debe llegar a la función A 12x 12/5 x2 para obtener x 5/2 y y 6.

x

y

1 100 personas$65 000

Los ingresos disminuyen, se debe a que la gráfica es decreciente para aumentos mayores a $5.

R. M. En la construcción de cubiertas para techos

con la mayor área y con el menor volumen de material.

R. M. En su mayoría el punto más cercano al origen.

Para que el problema tenga una

solución real y tangible.

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36 Aprendizaje esperado: Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Razones trigonométricas

Contenido: Defines y calculas las razones trigonométricas.

Cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo

1. Lee la información y observa las imágenes. Responde las preguntas.

En un triángulo rectángulo, cada ángulo agudo, es decir, cada ángulo menor que 90°, está formado por un cateto y la hipotenusa. Al cateto que forma el ángulo agudo se le llama cateto adyacente a ese ángulo. Al otro cateto se le llama cateto opuesto.

a. Explica cómo se acomodan las literales mayúsculas y sus correspondientes mi-núsculas en los triángulos.

b. ¿Qué literal corresponde al cateto adyacente al BAC? c. ¿Qué literal corresponde al cateto opuesto al CBA? d. ¿Puede un cateto ser opuesto a un ángulo y al mismo tiempo ser el adyacente de

otro ángulo? ¿Por qué?

e. ¿Qué literal corresponde al cateto opuesto al DEF? f. ¿Qué literal corresponde al cateto adyacente al DEF?

Una relación proporcional

1. En equipos de seis integrantes hagan lo que se pide.

a. Con ayuda del profesor, asignen a cada equipo un ángulo agudo diferente.b. Cada integrante trazará, en una hoja tamaño carta, un triángulo rectángulo con

el ángulo que se le asignó al equipo. Cuiden que los seis triángulos del equipo sean de diferente tamaño.

Lección 1

B

C Ab

a

c

E

F De

d f

Comenta tus respuestas con tus compañeros y valídenlas con su profesor.

b

b

Sí, pueden compartir características cuando se tratan de diferentes ángulos de referencia.

e

d

Las literales en minúsculas corresponden a los lados opuestos de cada ángulo el cual tiene su correspondiente literal en mayúsculas.

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c. Anoten en la tabla el nombre de cada integrante, el ángulo asignado y los resul-tados de los cocientes que se indican.

d. En equipo, analicen los cocientes que obtuvieron. Si son parecidos, obtengan el valor promedio de cada cociente. En caso contrario, revisen sus mediciones y cálculos.

e. En su cuaderno elaboren una tabla como la siguiente, con los datos de todos los equipos y respondan.

y Analicen los resultados de la tabla. ¿Qué observan?

y ¿Cómo se les llama a las figuras que son de diferente tamaño, pero tienen án-gulos correspondientes iguales?

y ¿Qué se conserva en todos los triángulos que comparten el mismo ángulo?

y ¿Por qué solo importan las medidas de los ángulos y no el tamaño de sus lados?

y ¿Para qué pueden servir esos resultados?

Nombre Ángulo Cateto opuestoHipotenusa

Cateto adyacenteHipotenusa

Cateto opuestoCateto adyacente

Equipo Ángulo Cateto opuestoHipotenusa

Cateto adyacenteHipotenusa

Cateto opuestoCateto adyacente

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten en qué situaciones podrían usar sus resultados.

R. M. Algunos cocientes son iguales.

Figuras semejantes

Los cocientes de la división de sus lados

Porque los triángulos semejantes se mantiene una proporción entre el ta-maño de su lados, por lo que para un mismo ángulo se obtienen los mis-mos cocientes, sin importar el tamaño de sus lados.

R. M. Para calcular la altura de los edificios

R. L.

R. L.

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La altura del monumento a la Independencia

1. Lee la información y contesta las preguntas.

El monumento a la Independencia, o Ángel de la Independencia, fue inaugurado el 16 de septiembre de 1910 para conmemorar el centenario de la Independencia de Mé-xico. El monumento fue construido a nivel del suelo, sobre una cimentación, pero el hundimiento de la Ciudad de México ha provocado que sobresalga de dicho nivel, de tal forma que ha sido necesario agregar 17 escalones para acceder a su base. ¿Cómo se puede calcular la altura actual del monumento a la Independencia respecto al suelo?

a. Un observador se para sobre la banqueta de tal manera que puede conocer su distancia y el ángulo de elevación que se forma con el punto más alto del monumento.

Lección 2

y ¿Qué tipo de triángulo se forma? y ¿Cómo se pueden aprovechar los datos para calcular la altura del monumento?

y Si el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente del triángulo que se forma es 0.73, ¿cómo se puede calcular la medida del cateto opuesto, es decir, la altura del monumento?

b. Observen la siguiente relación:

0.73 Cateto opuesto (altura)Cateto adyacente (distancia)

y ¿Qué procedimiento algebraico se debe hacer en esta ecuación para encontrar el valor de la altura desconocida?

y Si el observador está a 61.6 m de la base de la columna, ¿cuánto mide la altura del monumento a la Independencia?

Ángulo de elevaciónObservador

Línea de mira


Comenta tus respuestas con tus compañeros y lleguen a una conclusión. Luego valídenla con ayuda del profesor.

Triángulo rectángulo

Con la ayuda de un cociente de un triángulo semejante

Multiplicando 0.73 por el cateto adyacente

Multiplicar ambos lados de la ecuación por el cateto adyacente para despejar el cateto opuesto

61.6 0.73 44.968 m

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a. Consigan un transportador, un popote reutilizable, hilo, cinta adhe-siva y una pesa. Sigan las instrucciones y construyan un transporta-dor para medir ángulos de elevación.

b. Observen la imagen y contesten. y ¿Cuánto suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo? y ¿Cuánto suman los ángulos y del diagrama? y ¿Cómo son el ángulo de elevación y el ángulo ? y ¿Qué representa el ángulo en el diagrama?

3. Elijan una construcción alta. Sigan estos pasos.

i. Colóquense a una distancia adecuada de la construcción que medirán, de tal forma que puedan medir la distancia a la que se encuentran.

ii. Observen a través del popote el punto más alto de la construcción y anoten el ángulo que marca el transportador con la pesa.

iii. Aléjense o acérquense unos metros y repitan el paso anterior.iv. Repitan el procedimiento al menos cuatro veces más y anoten sus mediciones

en su cuaderno, en una tabla como la siguiente.

Distancia horizontal Ángulo de elevación

Distancia horizontal Ángulo de elevación Altura

y ¿Qué sucede con el ángulo de elevación conforme la distancia es mayor?

a. Construyan triángulos rectángulos que tengan un ángulo igual al ángulo de ele-vación, midan los catetos, obtengan los cocientes y calculen la altura del edificio.

9010

011

012

013

014

015

016

017

0

180

8070

60 50 40 3020

100

2. Reúnanse en equipo y hagan lo que se pide.

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten la utilidad del ejercicio para calcular distancias y alturas inaccesibles.

i. Sujeten el popote al transportador con cinta adhesiva, sobre el ángulo de 90°.

ii. Aten la pesa a un extremo del hilo y peguen el otro extremo al centro del lado recto del transportador.

90°90°

IgualesEl ángulo de elevación

R. L.

R. L.

El ángulo disminuye.

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Seno, coseno y tangente

1. En parejas, lean la siguiente información. Hagan lo que se pide.

Lección 3

En matemáticas, a las razones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rec-tángulo se les conoce como razones trigonométricas.

A la razón del cateto opuesto a un ángulo A entre la hipotenusa se le llama seno del ángulo A y se abrevia sen(A).

A la razón del cateto adyacente a un ángulo A entre la hipotenusa se le llama cose-no del ángulo A y se abrevia cos(A).

A la razón del cateto opuesto al ángulo A entre el cateto adyacente al mismo ángu-lo se le llama tangente del ángulo A y se abrevia tan(A).

En resumen:

sen (A) Cateto opuesto al ángulo AHipotenusa

cos (A) Cateto adyacente al ángulo AHipotenusa

tan (A) Cateto opuesto al ángulo ACateto adyacente al ángulo A

HipotenusaCateto opuesto

al ángulo A

Cateto adyacenteal ángulo A

A B

C

a. Tracen un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos sean de 30° y 60°. Midan las longitudes de los lados y anótenlas.

b. Tomen el ángulo de 30° como referencia y contesten.

y ¿Cuánto mide el cateto opuesto? y ¿Cuánto mide el cateto adyacente? y ¿Cuánto mide la hipotenusa?


R. M. 5.77 cmR. M. 10 cm

R. M. 11.55 cm

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c. Con base en sus respuestas, calculen los cocientes.

y sen (30°) Cateto opuesto al ángulo de 30°Hipotenusa

y cos (30°) Cateto adyacente al ángulo de 30°Hipotenusa

y tan (30°) Cateto opuesto al ángulo de 30°Cateto adyacente al ángulo de 30°

d. Tomen el ángulo de 60° como referencia y contesten.

y ¿Cuánto mide el cateto opuesto? y ¿Cuánto mide el cateto adyacente? y ¿Cuánto mide la hipotenusa?

e. Con base en sus respuestas calculen los cocientes.

y sen (60°) Cateto opuesto al ángulo de 60°Hipotenusa

y cos (60°) Cateto adyacente al ángulo de 60°Hipotenusa

y tan (60°) Cateto opuesto al ángulo de 60°Cateto adyacente al ángulo de 60°

f. Analicen los cocientes que obtuvieron y contesten.

Si A y B son ángulos complementarios, es decir, si suman 90°, entonces:

cos(A) sen(B) tan(A) tan(B) 1

y ¿Qué relación hay entre el seno de un ángulo de 60° y el coseno de uno de 30°, o entre el seno de 30° y el coseno de 60°?

y ¿A qué se debe esta relación?

y ¿Qué ocurre si se multiplican las tangentes de los ángulos de 60° y de 30°? ¿Por qué?

y ¿Qué relación hay entre las tangentes de los ángulos de 30° y de 60°?

Tracen otros triángulos rectángulos y calculen las razones trigonométricas de sus ángulos agudos para corroborar sus respuestas. Luego analicen si es posible que el seno de un ángulo sea igual al coseno del mismo ángulo y por qué.

0.5

0.866

0.866

0.5

0.577

1.73

Su valor es el mismo.

A que se usan los mismos valores dependiendo del ángulo de referencia.

Son inversos multiplicativos.

Se obtiene 1 como resultado, pues son fracciones inversas.

R. M. 10 cmR. M. 5.77 cm

R. M. 11.55 cm

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En la calculadora científica se pueden calcular el seno, coseno y tangente de los ángulos. Para ello se usan las teclas sin (seno), cos (coseno) y tan (tangente) teniendo la calculadora en grados, es decir, en modo degree. Para esto se presiona la tecla MODE y se elige la opción Deg.

Por ejemplo, para calcular el seno de 30° se presiona la tecla sin, seguida del número 30 y se presiona el signo de igual. En algunas calculadoras, primero se teclea el número y luego se presiona la tecla sin, cos o tan.



1. En parejas, resuelvan los problemas.

a. Observen la ilustración. Calculen, de dos maneras distintas, las tres razones tri-gonométricas para cada ángulo agudo: dividiendo las longitudes dadas en el or-den correcto y con la calculadora, para verificar las medidas que se muestran.

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten qué tan exactos fueron sus cálculos respecto de los obtenidos en la calculadora.


b. Tracen en su cuaderno un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos midan 35° y 55°. Luego realicen lo siguiente.

y Midan las longitudes de los tres lados del triángulo. y Calculen las tres razones trigonométricas para los ángulos agudos, dividiendo

las distancias en el orden correcto. y Verifiquen sus resultados con la calculadora. Usen las teclas sin, cos y tan y los

ángulos dados.

70°

90°20°

4.68 m 1.60 m

4.40 m

R. L.

sen 20° 1.604.68 0.34 sen 70° 4.40

4.68 0.94

cos 20° 4.404.68 0.94 cos 70° = 1.60

4.68 0.34

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Reviso mi trayecto


1. La gráfica representa la distancia que recorrió un automóvil durante determinado tiempo. Establece si las afirmaciones son falsas o verdaderas.

3. Observa la gráfica y contesta.

a. ¿En qué intervalos de la variable x la función es positiva?

b. ¿En qué intervalos de la variable x la función es negativa?

c. ¿En qué intervalos de la variable x la función es creciente?

d. ¿En qué intervalos de la variable x la función es decreciente?

e. ¿La función tiene máximos y mínimos? ¿Cuáles son?

a. Al inicio del recorrido, la velocidad del automóvil era constante.

b. A partir del minuto 20, la velocidad aumentó.

c. Del minuto 30 al minuto 40 el automóvil estuvo estacio-

nado.

d. La velocidad en el último tramo fue constante.

2. Cada uno de los lados de la base de la gran pirámide de Keops, en Egipto, mide 230 m. Las caras triangulares de la pirámide forman un ángulo de 52° respecto del piso ho-rizontal. ¿Qué tan alta es la pirámide?

2

1

0

1

2

3

3 2 1 1 2 3 4 5

y

x

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Dis

tanc

ia (k

m)

Tiempo (min)

52°

230 m



1 34 214-2192 36 226-2323 34 214-219

Falso

Falso

Verdadero

De 1 a 1 y de 2 en adelante

La altura de la pirámide es de 147.19 m

Para valores menores a 1 y de 1 a 2

Para valores menores que 0.3 y mayores que 1.4

De 0.3 a 1.4

En (0.3, 2) hay un máximo y en (1.4,

0.8) hay un mínimo.

Verdadero

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Aprendizaje esperado: Resolverás problemas utilizando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

¿Para qué sirven las razones trigonométricas? 37

Contenido: Usas las razones trigonométricas para calcular medidas de triángulos rectángulos.

Lección 1 Los lados faltantes

1. Observa el triángulo y responde las preguntas para encontrar los datos faltantes.

a. ¿Cuánto mide el ángulo agudo conocido? b. ¿Con qué literal se está indicando la medida del cateto opuesto a dicho ángulo?

c. ¿Con qué literal se indica la medida del cateto adyacente al ángulo de 21°?

d. ¿Cuánto mide o con qué literal está indicada la hipotenusa? e. El ángulo C es un ángulo recto. ¿Cuánto mide el ángulo A? f. ¿Cuánto suman los tres ángulos internos del triángulo? g. ¿Cómo podrías calcular la medida de los catetos del triángulo rectángulo?

Despejando la incógnita

1. Con base en el ejercicio anterior, realiza lo que se te indica.

a. Sustituye los valores conocidos y las letras correspondientes en las siguientes expresiones.

b. Usa la calculadora para encontrar los siguientes valores:

sen (21°) cos (21°) tan (21°)

sen cos tan

b

C

A

a B

c 18 cm

21°

21°

b

a

c 18 cm

69°180°

R. L.

0.36 0.93 0.38

21° 21° 21°b a b

18 18 a

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c. Sustituye los resultados que obtuviste en el inciso b en las tres ecuaciones del inciso a.

y ¿Se pueden resolver algebraicamente las ecuaciones? y ¿Cuáles sí y cuáles no?

d. Resuelve las ecuaciones con las que se puede encontrar el valor de los catetos faltantes y anota los resultados.


1. Establece las razones trigonométricas para el siguiente triángulo y responde en tu cuaderno.

sen

cos

tan

a. Usa la calculadora para encontrar los valores de seno, coseno y tangente del ángulo que se conoce y plantea las ecuaciones.

y ¿Se pueden resolver las ecuaciones anteriores directamente? ¿Por qué?

b. Resuelve las ecuaciones con las que se puede encontrar el valor del cateto faltante y de la hipotenusa.

y ¿Qué dificultad especial se presenta cuando la incógnita está en el denominador?

Discute con tus compañeros qué razones trigonométricas sirvieron para calcular los valores faltantes y por qué.

12 cm

30°

A

C Ba

c

Discute con tus compañeros por qué la fórmula de la tangente no fue útil para encontrar los valores de a y b.

Sí, se pueden resolver.Las de seno y coseno sí se pueden resolver.

b 0.36 18 6.48 cm a 0.93 18 16.74 cm

sen (21) b18 0.36 cm cos (21) a

18 0.93 cm tan (21) ba 0.38 cm

30°

30°

30°

a

12

a

c

c

12

Ver solucionario

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¿Seno, coseno o tangente?

1. Reúnete con un compañero y realicen las actividades.

a. En cada caso, asignen valores al ángulo y lado que se indican en la columna de datos. Usen los datos para trazar en su cuaderno los triángulos rectángulos. Determinen la razón trigonométrica que permita conocer el dato faltante y calcúlenlo. Anoten sus resultados en la tabla.

Caso Datos Dato faltante Razón trigonométrica

1 Ángulo:Cateto opuesto:

Cateto adyacente:

2 Ángulo:Cateto opuesto:

Hipotenusa:

3 Ángulo:Cateto adyacente:

Cateto opuesto:

4 Ángulo:Cateto adyacente:

Hipotenusa:

5 Ángulo:Hipotenusa:

Cateto adyacente:

2. Lee el problema y responde las preguntas para resolverlo.

Desde el mirador de un edificio, que se ubica a 140 m de altura, se observa a una per-sona sobre la calle. El ángulo de depresión que se forma es de 60°. ¿A qué distancia del edificio se encuentra la persona?

Lección 2

60°

140 m

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor. Luego comenten qué caso hace falta y qué razón trigonométrica usarían para calcular el dato faltante.

R. L.

80.82 m

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a. Identifica en la imagen la hipotenusa y los catetos opuesto y adyacente al ángu-lo de 60°. ¿A qué cateto corresponde el dato 140 metros?

b. Usa la calculadora para encontrar los valores de:

sen (60°) cos (60°) tan (60°)


Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

1. Rafael quiere saber cuánto mide el ancho del río que pasa cerca de su casa. Justo frente a él, del otro lado del río, hay un árbol. Rafael camina 18 m a lo largo del río y mide el ángulo que se forma al mirar el lugar don-de estaba parado y el árbol.

a. Si el ángulo que se forma es de 60°, ¿cuánto mide el ancho del río?

b. Luego de un tiempo, Rafael caminó más lejos, hasta que el ángulo midiera 45°, ¿qué distancia caminó en total?

2. Halla la longitud de una resbaladilla si para llegar a la parte más alta hay que subir seis esca-lones. La separación entre dos escalones consecutivos es de 25 cm, y el ángulo de elevación de la resbaladilla es de 40°.

Comparte tus respuestas con tus compañeros y comenten qué razón trigonométrica emplearon en cada caso.

c. ¿Cuál razón trigonométrica conviene usar para calcular a qué distancia del edifi-cio se encuentra la persona?

d. ¿Se conoce la longitud de la hipotenusa? y ¿Cuál razón trigonométrica conviene usar si se quiere calcular la distancia que

separa a ambas personas?

e. Momentos más tarde, la misma persona caminó cierta distancia, de tal manera que el ángulo de depresión, desde el mirador del edificio, disminuyó de 60° a 30°. Explica en tu cuaderno cómo se puede saber si la persona se acercó o alejó del edificio.

f. Traza otro triángulo donde se muestre un ángulo de depresión de 30°. y ¿Cuánto mide el cateto opuesto al ángulo de 30°? y ¿Cuánto mide el cateto adyacente al ángulo de 30°? y ¿Qué distancia caminó la persona?


Comenta tus respuestas con tus compañeros.

18 m

45° 60°

Al cateto opuesto

La tangenteNo

El seno

140 m

242.48 m242.48 80.82 161.67 m

0.87 0.5 1.73

Ver solucionario

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El ángulo faltante

1. Lee el problema y haz lo que se pide.

¿Cuánto miden los ángulos agudos del triángulo rectángulo?

Lección 3

a. Observa la figura anterior y establece las tres razones trigonométricas para el ángulo A y para el ángulo B.

sen A cos A tan A

sen B cos B tan B

y ¿En cuáles ecuaciones se usaron los valores 8 y 10? b. Calcula los cocientes y escríbelos como número decimal. c. Si se conoce el valor de la tangente de un ángulo, ¿cómo se puede encontrar el

valor del ángulo? d. Usa la calculadora para hallar la tangente de diferentes ángulos hasta que el va-

lor que obtengas coincida con los cocientes del inciso b. e. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos? f. ¿Cómo pueden corroborar sus resultados?

y Investiga qué es una tabla trigonométrica. Usa una para verificar tus resultados.

Si se conoce la razón trigonométrica es posible determinar el ángulo con la calculadora. Para ello se presiona la tecla Shift seguida de la tecla sin, cos o tan y el valor de la razón. Por ejemplo, para saber qué ángulo tiene un seno de 0.5, se presiona Shift, la tecla sin, el valor 0.5 y después el signo de igual.


108

B Ac

C


Dialoga con tus compañeros y profesor mediante qué procedimientos se puede calcular la medida de la hipotenusa y si con ellos se obtienen los mismos resultados.

10

8

8

10

10

8

c

c

c

c

8

10

En las tangentestan (A) 1.25;

R. L.

A 51.34°, B 38.67°

R. M. Sustituyendo los valores en otra razón trigonométrica

tan (B) 0.8

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1. Calcula las medidas de los ángulos y los lados del triángulo rectángulo.

a A b B c C

2. ¿Cuánto mide el área de un jardín octagonal si sus lados miden 8 m? Sigue los pa-sos para responder el problema.

a. Encuentra el centro del octágono y divídelo en 8 triángulos iguales. y ¿Qué tipo de triángulos se forman? y ¿Cuánto mide la suma de los ángulos centrales? y ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos centrales?

b. Traza la altura de uno de los triángulos y trabaja con uno de los triángulos rectángulos que se forman.

y Calcula las medidas de los tres lados y de los tres ángulos.

c. Retoma los 8 triángulos que se formaron en el inciso a. y ¿Cuánto mide la altura de cada triángulo? y ¿Cuánto mide el área de cada uno de los triángulos que forman el octágono?

y ¿Cuánto mide el área del octágono?

3. Lee el problema y resuelve.

Las curvas de las carreteras deben estar inclinadas para evitar que los autos se derra-pen. El ángulo de inclinación depende de la velocidad de los vehículos que circulen en esa curva. La siguiente fórmula relaciona el ángulo de inclinación , la velocidad (v) en m/s, el radio de la curva (r) en m y la gravedad (g 9.8 m/s2).

tan v2

rg

a. Si la curva de una carretera tiene una inclinación de 4° y su radio es de 1.7 km, ¿para qué velocidad está diseñada la curva?

a 12 cm

25°


A B

C

c

b

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, si es necesario, corrige. Validen sus respuestas con ayuda de su profesor.

Triángulos isósceles

b 12tan (25) 25.73 cm

c 12sen (25) 28.39 cm

B 90 25 65°

12 cm25.73 cm

28.39 cm

25°65°

90°

360°

45°

4 m, 9.66 m y 10.45 m. 67.5°, 22.5° y 90°.

9.66 m

38.64 m2

309.12 m2

34.13 m/s

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Razones trigonométricasReúnete con un compañero, entren al sitio web www.geogebra.org/geometry y sigan las instruc-ciones para encontrar los valores de las razones seno, coseno y tangente en cualquier triángulo rectángulo.

1. Con la herramienta Recta, tracen una línea horizontal.

2. Tracen una recta perpendicular a la recta an-terior que pase por el punto A.

3. Coloquen un punto sobre la recta perpendicular y, con la herramienta Polígono, tracen un trián-gulo que pase por los puntos A, B y C, como se muestra en la imagen 1.

6. Con la herramienta Elige y Mueve, muevan los puntos C y D, y observen lo que pasa.

4. Tracen un triángulo semejante al anterior. Para ello marquen los puntos D y E sobre la recta vertical, como en la imagen, y con la he-rramienta Paralela, tracen dos rectas parale-las a los segmentos AB y BC que pasen por D y E, respectivamente. Tracen el triángulo con la herramienta Polígono, como se muestra en la imagen 2.

5. Usen las herramientas de Medición, Distancia y Longitud para medir los lados de ambos triángu-los. Luego midan los ángulos de los triángulos con la herramienta Ángulo.

Imagen 1

Imagen 3

Imagen 2

y ¿Qué se mantiene constante cuando mue-ven los puntos C y D?

y ¿Cómo son entre sí los triángulos ABC y DFE?

y ¿Qué es lo que cambia cuando mueven los puntos C y D?

Los ángulos

Semejantes

Los lados

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Imagen 4

Imagen 5

Imagen 6

7. Ingresen el texto “Seno del ángulo B ” usan-do la herramienta de Medios, Texto. Hagan lo mismo con las demás razones trigonométricas y el ángulo F, como se muestra en la imagen 4.

8. Calculen el seno del ángulo B. Para esto, den clic en el menú Pasos, luego den clic en el sím-bolo + y elijan la opción Expresión. Ingresen la fórmula “AC/BC” y opriman la tecla Enter.

y ¿A cuáles razones trigonométricas corres-ponde AC

BC ?

9. Arrastren el resultado con el cursor y colóquenlo en la pantalla donde corresponde. Observen la imagen 5. Luego calculen el seno del ángulo F.

10. Regresen al menú Herramientas y, con la herra-mienta Elige y Mueve, muevan los puntos C y D.

y ¿Qué ocurre con la longitud AB cuando cambia la longitud AC?

y ¿Qué ocurre con las razones al mover los puntos? ¿Por qué?

11. RegresenalmenúPasoseidentifiquenlale-tra griega con la que está nombrado el ángulo B o F. Luego ingresen una expresión, tecleen “sen” y presionen Enter. Ingresen con el tecla-do de GeoGebra la letra griega correspondien-te al ángulo B y presionen Enter nuevamente.

y ¿Quésignificaquenohayantenidoqueingresarlamedidadelosladosenlaexpresión?

y ¿Cómo son los resultados? ¿Por qué?

Repitan los pasos anteriores para calcular las demás razones trigonométricas. Muevan los puntos C y D para modificar los ángulos B y F. Usen esta herramienta para calcular las razones trigonomé-tricas de las secuencias didácticas anteriores.

Se conservan porque

Cambia la longitud.

A la razón seno

son triángulos semejantes.

Iguales, porque el ángulo que se toma como referencia es el mismo.

Que las razones trigonométricas dependen únicamente del ángulo.

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Construcciones con regla y compás 38

Contenido: Construyes polígonos semejantes.

Triángulo de Sierpinski

1. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.

a. Tracen en su cuaderno el fractal que se muestra.

b. Describan el procedimiento que utilizaron para construirlo.

y ¿Quétipodetriánguloeselqueformalafigura?

c. Coloquen el número 2 a los triángulos que se obtienen en el segundo paso de la construcción y el 3 a los triángulos que se obtienen en el tercer paso.

y ¿Qué características tienen en común todos los triángulos?

fractal. Objeto geométrico cuya estructura se repite a diferentes escalas.

Glosario

Lección 1

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor. Despuéscomentenlasdificultadesquetuvieronpararealizareltrazo.

R. M. Medir la

Todos los

Equilátero

distancia de uno de los lados del triángulo más grande para ubicar su punto medio, repetir para cada uno de sus lados y unir todos los puntos. Repetir el proceso dos veces más hasta copiar el fractal.

triángulos con el mismo número son iguales.

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Paso a paso

1. Resuelve en tu cuaderno. Necesitarás un compás, una hoja blanca y una regla.

i. Traza en la hoja un segmento y nombra a sus extremos A y B respectivamente. Este segmento será el lado del triángulo más grande y lo llamare-mos l.

ii. Abre el compás con la longitud de AB y traza un círculo en cada uno de los extremos de este segmento. En cada paso, ¿cambió la apertura del compás? ¿Cómo son las medidas trasladadas con el compás?

iii. Une el punto donde se intersecan los círculos con cada uno de los extremos del segmento para trazar el triángulo.

y ¿Qué tipo de triángulo obtuviste? ¿Por qué?

2. Utiliza el triángulo que trazaste para construir el fractal de la página anterior. Responde las preguntas en tu cuaderno.

i. Traza un triángulo con los puntos medios de los lados y quítaselo al triángulo original.

y ¿Cuántos triángulos del mismo tamaño (congruentes) quedan? y ¿Cuál es la longitud de los lados de esos triángulos respecto a la

del lado del original?

ii. Construyelostriángulosrojosyquítaselosalafiguraanterior. y ¿Cómo se deben construir los triángulos rojos? y Si eliminas los triángulos rojos, ¿cuántos triángulos verdes quedan? y ¿Cuánto mide la longitud de los lados de los triángulos que quedaron?

a. Continúa con la construcción y responde las preguntas anteriores. ¿Qué patro-nesidentificas?¿Cómoserelacionaestaconstrucciónconlasemejanzadetrián-gulos? ¿Qué criterio de semejanza se usa?

b. Leelaafirmaciónyconbaseentusrespuestasanterioresargumentasuvalidez.En el paso k-ésimo se tendrán 3k triángulos verdes. El lado de estos triángulos medirá l 1

2 k cm.


1. Plantea una forma de hacer la construcción anterior usando semejanza y contesta lo siguiente en tu cuaderno.

y En cada paso, ¿cuál es la razón de semejanza? y ¿Cuál sería el centro de la homotecia? y ¿Los triángulos están en posición de Tales? Explícalo.

A

A

B

B

Comenten sus respuestas en grupo con apoyo de su profesor.

I

I

Ver solucionario

Ver solucionario

Ver solucionario

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Dividir un segmento en partes iguales

1. Haz lo que se pide y completa. Necesitarás dos hojas blancas, una hoja rayada, media hoja de papel calca, regla, compás y lápiz.

a. Traza un AB en una hoja y divídelo en dos partes iguales. y ¿Cómo lo hiciste? y ¿Cómo garantizas que son iguales?

b. Nombra O al punto medio del segmento y anota la razón de semejanza entre los segmentos para completar las relaciones.

AB AO OB AB

AO AB AO OB

2. Sigue los pasos para dividir el AP en 5 partes iguales y responde en tu cuaderno.

a. ¿Por qué se garantiza que los puntos de intersección del procedimiento descrito anteriormente dividen un segmento cualquiera en cierto número de segmentos congruentes?Justifica tu respuestaapartirde loquehasaprendidosobre la semejanza de triángulos.

i. Traza una semirrecta que empiece en el punto A y que pase por el punto M.

ii. Traza en la semirrecta tantos círculos congruentes como partes en que se quie-ra dividir el segmento.

iii. Une con un segmento el último punto (M5) con P.

iv. Traza rectas paralelas al segmento ante-rior que pasen por los puntos M4, M3, M2 y M1.

v. Marca los puntos de intersección entre las rectas paralelas y el segmento AP. Estos puntos son los que dividen este segmento en 5 partes iguales.

Lección 2

A P

M

A P

M

A P

M

M1

M2

M3

M4

M5

A P

M

M1

M2

M3

M4

M5

Contenido: Construyes polígonos semejantes.

R. L.Usando la regla para medir las distancias.

2

1

R. L.

1 2

1 2

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3. Trabajen en equipos.

a. El triángulo ABC es rectángulo. Usando solamente regla y compás, construyan un triángulo ADC de tal forma que D esté sobre la recta AB y su área sea 1

3 del

área del triángulo ABC.

y ¿Qué segmento tienen en común los dos triángulos?

b. Consideren que el triángulo ABC y el triángulo ADC tienen la misma altura. y ¿Cómo podrían construir el nuevo triángulo?

c. Analicen la idea de Victoria. Ella dice que si se divide el AB en tres partes iguales

para colocar el punto D, entonces el área del triángulo ABC será tres veces mayor que la del triángulo ADC.

y ¿Funciona esta idea? ¿Por qué? y Realicen este procedimiento en el triángulo de arriba.

d. ¿Por qué la semejanza de triángulos es una herramienta fundamental para resolver este problema? ¿Se podría resolver de otra manera? Explíquenlo.


1. En parejas, realicen las siguientes actividades.

a. ¿PorquésepuedeafirmarquelostriángulosABC y ADC son semejantes? ¿Cuál es elcriteriodesemejanzaquepermiteconfirmarlo?

b. Cambien el triángulo del ejercicio anterior por uno isósceles. ¿Funciona el pro-cedimiento de Victoria? Explíquenlo.

c. Dado un segmento que consideren como unidad, construyan otro en su cuaderno, cuya longitud sea un número entero positivo a. Tracen, usando regla y compás, un segmento cuya longitud sea a.

C

A B

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y revísenlas con ayuda de su profesor.

Sí, porque la altura se conserva.

AC

Ubicando el nuevo D a una

R. L.

R. L.

distancia de 1 3 del punto A.

Sí, pues la altura sería la misma.

R. L.

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Aprendizaje esperado: Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

Tipos de eventos39

Contenido: Distingues entre distintos tipos de eventos: singulares, no singulares y complementarios.

Juguemos un rato

1. En parejas, dibujen en su cuaderno un diagrama como el que se muestra. Luego si-gan las instrucciones del juego. Necesitarán dos fichas y una moneda.

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

y Cadaunocoloqueunafichaenelceroy,porturnos,cadajugadorlanceunamo-neda al aire. Si cae sol, avanza un lugar a la derecha, y si cae águila, avanza un lu-gar a la izquierda.

y Despuésdelanzarlamoneda20veces,ganaeljuegoquientengasufichaenelnú-mero mayor.

a. Si lanzan la moneda al aire, ¿cuál piensan que será el resultado? ¿Por qué? b. ¿Qué es un evento aleatorio? c. En su cuaderno registren con un cada vez que ocurrió el evento águila y con

una cada vez que pasó el evento sol.d. ¿Cuántas marcas tiene cada suceso o evento?

Evento águila: marcas Evento sol: marcase. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego? ¿Cada jugador tiene la misma proba-

bilidad de ganar? ¿Por qué?

Eventos singulares o no singulares y otros

1. En equipos de tres integrantes, realicen esta actividad. Necesitan un dado y 20 fri-joles o fichas.

y Por turnos, cada jugador (A, B o C) lance el dado al aire. El jugador A obtiene un frijol si sale un número par; el B si sale un número impar, y el C si sale 3.

y Eljuegoconcluyecuandonohayamásfrijolesofichasquerepartir.Ganaquienreúnamásfrijolesofichas.

a. Anoten los resultados de cada jugada en una tabla como la siguiente:

Número de turno Jugador A Jugador B Jugador C

1

Lección 1

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

R. M. Puede ser un águila o un sol porque la moneda tiene dos caras iguales. Un evento que puede tener diferentes resultados.

R. L. R. L.

R. M. Es la mitad. Los jugadores sí tienen la misma probabilidad de ganar porque están en las mismas condiciones.

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Eje: Análisis de datosTema: Probabilidad

b. ¿Todos los jugadores tienen la misma posibilidad de ganar? ¿Por qué?

c. ¿Puedensaberdeantemanoquiénganaráeljuego?Justifiquensurespuesta.

d. ¿Cuáles son los resultados posibles de lanzar un dado? e. ¿Qué elementos tiene cada evento?

y Evento A: {números pares} { } y Evento B: {números impares} { } y Evento C: {número 3} { }

f. Al lanzar un dado, ¿los resultados pueden ser únicamente pares o impares? ¿Por qué?

2. Lee la información y, con base en el ejercicio anterior, responde.

a. De los eventos A, B y C, ¿cuáles son complementarios?

b. ¿Cuáles de los eventos son singulares y cuáles no son singulares?

c. Calcula la probabilidad de cada evento.

d. ¿Qué jugador tiene mayor probabilidad de ganar el juego? e. ¿Cuáltienemenosprobabilidades?Justificaturespuesta.

f. Analiza las probabilidades de los eventos complementarios. ¿Qué observas?

En un experimento aleatorio se denomina evento singular a aquel que solo posee un elemento. Si el evento tiene más de un elemento, se le conoce como evento no singular. Dos eventos son complementarios cuando cada resultado posible de un experimento aleatorio pertenece únicamente a uno de los eventos.

P(A) P(B) P(C)

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y juntos comenten si el juego es justo o no y expliquen por qué. Luego concluyan qué relación hay entre las probabilidades de los eventos complementarios.

No, porque para el Jugador C solo una cara del dado cumple la condición, mientras que para los jugadores A y B la cumplen tres para cada uno.

complementarios.

singular y los eventos A y B son no singulares.

evento singular y solo posee un elemento.

Que tanto A como B tienen igual número de elementos y por eso tienen la misma posibilidad de ganar.

R. M. No porque aunque el jugador C no tiene la misma posibilidad, los ju-gadores A y B sí la tienen entre ellos.

R. M.

Los eventos A y B son

El evento C es

C, porque es un A y B

1, 2, 3, 4, 5, 6

R. M. Sí porque no hay número que sean pares e impares a la vez.

2, 4, 6

12

12

16

1, 3, 53

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Contenido: Distingues entre distintos tipos de eventos: singulares, no singulares y complementarios.

Seguimos jugando

1. En parejas, realicen la actividad. Necesitan 2 dados y 20 frijoles o fichas.

y Decidan quién es el jugador A y quién el B. Cada uno tome 10 frijoles. y Por turnos, cada jugador debe lanzar los dados. Si sale el mismo número en am-

bos dados, el jugador A toma 5 frijoles del jugador B. Si salen números diferentes, el jugador B toma 1 frijol del jugador A.

y Gana el juego quien tenga más frijoles después de 20 lanzamientos.

a. Registren los resultados de cada lanzamiento en su cuaderno en una tabla simi-lar a la que usaron en la lección anterior. Luego contesten.

y ¿Qué jugador ganó? y Describe el espacio muestral y los eventos del juego.

y ¿Cómo son los eventos? y Calcula la probabilidad de ganar para cada jugador. y ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar? ¿Por qué?


1. Plantea un experimento aleatorio y haz lo que se pide.

Experimento:

a. Describe el espacio muestral del experimento y dos eventos complementarios, A y B, tales que el evento A sea singular y el evento B sea no singular.

y Espacio muestral: { } y Evento A: { } y Evento B: { }

b. Calcula las probabilidades:

y P(A)

y P(B)

y P(A) + P(B)

Lección 2

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y, en grupo, analicen la probabilidad de los eventos.Verifiquenlaconclusiónalaquellegaronenlalecciónanterior.

R. L.

R. M.

El espacio muestral

R. M. Lanzar una moneda y un dado

su probabilidad es 56 .

1/12

11/12

1/12 11/12 5 12/12 5 1

A 16 , B 5

6El jugador B porque

A1, A2, A3, A4, A5, A6, S1, S2, S3, S4, S5, S6

A2A1, A3, A4, A5, A6, S1, S2, S3, S4, S5, S6

Son eventos complementarios.

comprende todos los eventos posibles al lanzar los dos dados. (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

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2. En equipos de cuatro integrantes, consigan una pirinola como la de la imagen y jueguen siguiendo las instrucciones. Luego contesten.

La pirinola es un trompo de 6 caras de igual área cada una. Las caras dicen “Toma todo”, “Todos ponen”, “Pon 1”, “Pon 2”, “Toma 1” y “Toma 2” respectivamente.

Instrucciones

y Se reparten 10 frijoles a cada jugador. Cada uno coloca 2 frijoles en el centro de la mesa para iniciar el juego.

y Por turnos, cada jugador gira la pirinola y realiza la ac-ción que indica la cara superior una vez que se detiene.

y El juego termina cuando no queden frijoles en la mesa. Gana el jugador que tenga más frijoles.

a. Marquen en la tabla los resultados de cada jugador.

b. Escriban cada uno de los eventos que se dan en el juego. Describan qué tipo de eventos son y anoten cuáles son singulares, no singulares o complementarios.

c. ¿Todos los eventos tienen la misma posibilidad de salir? Expliquen su respuesta.

d. ¿Pueden saber de antemano quién ganará el juego? ¿Por qué?

Jugador Pon 1 Pon 2 Todos ponen Toma 1 Toma 2 Toma

todo Total

Comparen sus resultados y procedimientos con los de otros equipos.

Pon 1, Pon 2, Toma 1 y Toma 2 son eventos singulares si se consideran por separado. Las acciones de poner y tomar son eventos complementarios. Todos ponen y Toma todo son eventos no singulares.

Sí, porque las caras de la pirinola son iguales.

No, porque aun cuando todos los eventos tienen la misma probabilidad de salir, el evento Tomatododefinequiéngana.

R. L.

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40 Aprendizaje esperado: Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

Probabilidad de eventos mutuamente excluyentes

Contenido: Calculas la probabilidad de eventos excluyentes y usas la regla de la suma.

¡Monedas al aire!

1. En parejas, lean las instrucciones del juego. Necesitan tres monedas. Al concluir, contesten para analizar las posibilidades que ofrece el juego a cada jugador.

y Decidan quién es el jugador A y quién es el jugador B. Inicia el juego el jugador A. y Por turnos, cada jugador lanza las tres monedas al aire. Si salen 2 águilas o 2 soles,

el jugador A gana un punto. Si salen 3 soles o 3 águilas, el jugador B gana un punto. Gana el juego quien llegue primero a 5 puntos.

y Registren en la siguiente tabla los resultados de los lanzamientos de cada jugador. Marquen con si se cumple la condición que hace ganar al jugador o con si la condición no se cumple.

Lección 1

Jugador L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10

AB

a. ¿Quién ganó el primer juego? b. Si se lanzan las tres monedas y salen dos soles y un águila, ¿para qué jugador es

el punto? c. ¿Y si salen dos águilas y un sol?

d. Si salen tres águilas, ¿quién se lleva el punto? e. ¿Y si salen tres soles? f. ¿Qué es un espacio muestral?

Eventos mutuamente excluyentes

1. Completa el diagrama de árbol para calcular todos los posibles resultados de lan-zar tres monedas al aire. Luego responde lo que se pide.

Moneda 1

Moneda 2

Moneda 3


R. M. El jugador A

Para el jugador A Para el jugador A

El jugador B

El jugador B Es el conjunto de todos los resultados posibles

del experimento.

A

A

A A A A

A

S S S S

SS

S

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a. ¿Cuáles son los posibles resultados de cada evento al lanzar tres monedas al aire?

b. Si X es el evento en que caen dos soles, Y es el evento en que caen dos águilas, S es el evento en que caen tres soles y A es el evento en que caen tres águilas, en-tonces ¿cuáles son los resultados de que ocurran los siguientes eventos?

c. Si se unen dos eventos M y R, se obtiene el evento M R, que se lee M o R. Escri-be los resultados de los siguientes eventos.

y X Y { } y A S { }

d. ¿Es posible que ambos eventos, X y Y o A y S,sucedanalavez?Justificatures-puesta.

e. Con base en el diagrama de árbol, calcula la probabilidad de cada evento:

y P(X) y P(A)

y P(Y) y P(S)

y P(X Y) y P(A S)

Cuando dos eventos no pueden suceder a la vez, se dice que son eventos mutua-mente excluyentes.

y X { } yY { } y A { } yS { }

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten por qué se cumple la regla de la suma en eventos mutuamente excluyentes.

f. Con base en el diagrama de árbol, calcula las siguientes probabilidades y com-pleta las tablas.

y Analizalastablaseidentificacuálesprobabilidadestienenelmismoresulta-do.Luegocompletaladefinicióndelaprobabilidaddelaunióndedoseven-tos mutuamente excluyentes.

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P(A B)

P(X) P(Y) P(X Y) P(X) P(Y)

P(A) P(S) P(A S) P(A) P(S)

AAA, AAS, ASS, ASA, SAA, SAS, SSA, SSS

ASS, SAS, SSA AAS, ASA, SAA AAA SSS

ASS, SAS, SSA, AAS, ASA, SAA

AAA, SSS

3/8

3/8

1/8

3/8

1/8

6/8

2/8

6/8

2/8

3/8 6/8

No por que no no tienen elementos en común.

1/8 1/8

P(A) P(B)

2/8

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¡Dados al aire!

1. En parejas, lean las instrucciones y realicen el siguiente juego. Necesitan un dado rojo y uno azul.

y Echen un volado para decidir quién es el jugador A y quién el B. y El jugador A gana un punto cuando la suma de los números de ambos dados

es menor o igual que seis, y el jugador B gana un punto cuando la suma es mayor que seis.

y Gana el juego quien llegue primero a los 10 puntos. ¡A jugar se ha dicho! y Registren los resultados en la siguiente tabla:

a. ¿Quién ganó el juego? b. ¿Ambos tienen la misma posibilidad de ganar el juego? ¿Por qué?

2. En parejas, completen la tabla que les permita obtener el espacio muestral E al lanzar dos dados al aire. Con base en ella, respondan.

a. ¿Cuántos son los resultados posibles? b. Escriban los elementos de cada uno de los siguientes eventos:

Jugador A: la suma es igual o menor que seis Jugador B: la suma es mayor que seis

Posibles resultados del dado azul

1 2 3 4 5 6

Posibles resuldados

del dado rojo

1 1, 32 2, 23

4

5

6

Lección 2

y Evento H: La suma de los dados es igual a 6 { }

y Evento I: La suma de los dados es menor que 6 { }

y Evento H I : La suma de los dados es menor o igual que 6 { }

y Evento J: La suma de los dados es mayor que 6 { }

1, 1 1, 2 1, 4 1, 5 1, 62, 1 2, 3 2, 4 2, 5 2, 63, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 64, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 65, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 66, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

36

(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5,1)

R. M. El jugador A .R. M. No,

porque al jugador A solo lo favorecen 15 de 36 eventos.

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)

(1,6), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

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y Evento H J. La suma de los dados es mayor o igual que 6 { }

c. ¿Son los eventos H I y J mutuamente excluyentes? ¿Por qué?

d. ¿Son los eventos H y J mutuamente excluyentes? ¿Por qué?

e. Calculen las siguientes probabilidades: y P(H)

y P(I)

y P(H I) y P(J)


Lee los problemas y contesta.

1. Una tienda ofrece esta promoción. Los clientes cuyas compras sean de $500 o más, pueden girar la ruleta de los regalos, que está dividida en cuatro partes iguales numeradas del 1 al 4. Si sale el número 1, se le obsequian $100; si sale el número 4, se le dan $50, y si salen el 2 o el 3, se le descuenta 30% en su próxima compra.

a. Escribe en tu cuaderno los elementos de cada evento. y Evento A {salga 1} Evento B {salga 4} Evento C {salga 2 o 3}

b. ¿Cuáles son eventos singulares y cuáles son no singulares?

c. Calcula las siguientes probabilidades:

d. Si un cliente no ganó el descuento de 30%, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga alguno de los otros dos premios?

2. En una escuela secundaria, hay 5 profesores de Matemáticas, 6 de Español, 3 de Física, 4 de Biolo-gía, 2 de Química, 3 de Historia y 2 de Inglés. Para acompañar a los estudiantes de tercer año a la feria de Ciencias, se necesita escoger al azar a un profesor. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor elegido sea de las siguientes asignaturas? y Física: y Biología: y Química:

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y valídenlas con ayuda de su profesor.

y P(A) yP(B) y P(C) y P(2 3)

y Matemáticas: y Historia: y Inglés:

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten si los eventos para cada jugador son mutuamente excluyentes y por qué.

(1,5), (1,6),

Sí, porque la

Sí, porque no suma de los dados no puede ser menor o igual y mayor que 6 al mismo tiempo.

pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.

(2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

5/3610/36

3/25 1/54/25 3/25

2/25 2/25

1/4 1/4 1/2 1/2

Los eventos A y B son

Hay una probabilidad de 1/2 para cada uno.

singulares y el evento C es no singular.

15/36

21/36

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Juegos tradicionales del mundo

1. En parejas o en equipos, reúnan el material necesario y jueguen.

Hubbub es un juego que surgió en Oklahoma. Cuando la gente lo jugaba, se entusiasmaba y aplaudía “hubhubhub”, lo que dio origen a la palabra hub-bub,queenespañolsignificabullicio.

Necesitancincofichas.Endosdeellassepintará,enunsololado,untache.Enlastresfichasrestantessepintará,enunsololado,unaestrella.Losla-dos que no se pintaron se considerarán espacios en blanco.

y Porturnos,setomanlascincofichasentrelasmanos,serevuelvenyselanzan. y Se acumulan puntos en cada lanzamiento conforme se muestran en la siguiente

tabla de combinaciones.

Patrón que se muestra Puntos

2 taches y al menos una estrella 3

3 estrellas y 0 taches 3

2 taches y 0 estrellas 3

4fichasmarcadas 1

0fichasmarcadas 1

5fichasmarcadas 8

y Gana el juego quien llegue primero a 50 puntos. y Registren con | los resultados en una tabla como la que se muestra.

Patrón que se muestra Jugador 1 Puntaje Jugador 2 Puntaje

2 taches y al menos una estrella

3 estrellas y 0 taches

2 taches y 0 estrellas

4fichasmarcadas

0fichasmarcadas

5fichasmarcadas

a. ¿Quién ganó el juego? ¿En cuántas tiradas ganó?

b. ¿El juego es justo? ¿Por qué?

Lección 3

R. L.

R. L.

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2. Con base en los resultados del juego, haz lo que se pide.

a. Elabora un diagrama de árbol para obtener el espacio muestral con todos los posiblesresultadosdelanzarlastresfichaspintadasdeestrellas.

b. ¿Cuántos resultados posibles (espacio muestral E) hay? c. Describe los eventos singulares y los no singulares.

d. Los eventos que son el resultado de la unión de eventos simples, tales como: E1: {3 estrellas o 2 espacios en blanco} y E2: {2 taches o 3 espacios en blanco}, ¿pueden suceder al mismo tiempo? ¿Son mutuamente excluyentes?

e. Consideraqueselanzanlas5fichasycalculalassiguientesprobabilidades:


1. Escribe tres ejemplos de eventos singulares y tres de eventos no singulares.

2. Anota tres ejemplos de eventos mutuamente excluyentes y tres ejemplos de even-tos que no son mutuamente excluyentes.

y P(2 taches) y P(3 estrellas) y P(2 espacios) y P(3 espacios)

y P(5 espacios) y P(5 pintadas) y P(3 estrellas o 2 espacios) y P(2 taches o 3 espacios)

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analicen las probabilidades que obtuvieron. Comenten si los eventos son mutuamente excluyentes y por qué.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros del salón. Valídenlas con ayuda de su profesor y si es necesario corrijan.

Singulares:Quesalgansoloestrellasosolofichasblancas.Nosingulares:Quesalganfichasconestrellasyfichasblancas.

R. M. Eventos singulares: Que en el lanzamiento de dos dados la suma de las caras sea 2; que al sacar una carta de un mazo salga el as de corazones, y que al reproducir aleatoriamente 10 canciones, se reproduzca primero la numero 6. Eventos no singulares: Que de un mazo de cartas se tome una con el número 7, que al lanzar dos dados la suma de sus caras sea 7 y que al girar una ruleta salga color negro.

R. M. Eventos mutuamente excluyentes: Que al girar una pirinola salga todos ponen y toma todo; que al lanzar un dado caiga cinco y un número par y escoger un solo día de la semana para realizar una actividad. Eventos que no son mutuamente excluyentes: Que salga un trébol o un 5 cuando se escoge una carta de un mazo, que de los primeros 20 números positivos se elija un número primo y que al lanzar un dado caiga par o impar.

8 resultados posibles

No pueden ocurrir al mismo tiempo, pues son eventos mutuamente excluyentes.

8/32

4/32

10/3210/32

1/32

1/32

13/3217/32

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Probabilidad de eventos mutuamente excluyentesReúnete con un compañero y, en una hoja electrónica de cálculo, sigan los pasos para analizar la actividad inicial de la secuencia didáctica 40. Si no cuentan con una hoja de cálculo, resuelvan en su cuaderno usando tres monedas.

“Por turnos, cada jugador lanza tres monedas al aire. Si salen 2 águilas o 2 soles, el jugador A gana un punto. Si salen 3 soles o 3 águilas, el jugador B gana un punto”.

1. En las celdas A1 y E1 ingresen los encabezados “Jugador A” y “Jugador B” respectivamente.

2. Consideren que cada jugador hace 10 lanza-mientos de tres monedas cada uno. Coloquen los textos “Moneda 1”, “Moneda 2” y “Moneda 3” en las columnas A y E, 10 veces en cada co-lumna, como se muestra en la imagen 1.

3. En las columnas B y F se pondrán los resultados deloslanzamientos.Considerenque1significaque la moneda cayó águila y 0, que cayó sol.

4. Para simular los resultados de los lanza-mientos, ingresen en la celda B2 la fórmula “=Aleatorio.entre(0,1)”, como se muestra en la imagen 2. Copien la fórmula en el resto de la columna B y en la columna F.

y En una celda en blanco presionen la tecla Espacio y la tecla Enter. ¿Qué ocurre?

5. En las columnas C y G, sumen los tres resulta-dos de cada lanzamiento. Para eso, en la celda C3 ingresen la fórmula “Suma(B2:B4)”, como se muestra en la imagen 3. Hagan lo mismo para los 10 lanzamientos de cada jugador en las columnas C y G.

Observen que, si en un lanzamiento caen tres águilas, la suma de los números es 3; si caen dos águilas y un sol, la suma es 2; si caen un águila y dos soles la suma es 1, y si caen 3 soles, la suma es 0.

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

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6. Para conocer la puntuación de cada jugador, cuenten el número de veces que se obtiene 1, 2, 3 o 0 en los lanzamientos. Para esto in-gresen en la columna I los encabezados que aparecen en la imagen 4 y escriban la fórmu-la “Contar.si(C2:C31,1)+Contar.si(G2:G31,1)” en la celda I2.

Observen que en la fórmula anterior se suma el número de veces que aparece el 1 en las celdas que están entre C2 y C31, y el número de veces que aparece el 1 en las celdas que están entre G2 y G31.

7. Para contar las veces que aparece el número 2 en los lanzamientos, en la celda I3 ingresen la fór-mula “Contar.si(C2:C31,2)+Contar.si(G2:G31,2)”.

Imagen 4

y ¿Cómo se debe modificar la función Aleatorio.entre para generar números al azar entre 1 y 6?

y ¿El juego es justo? ¿Por qué?

y ¿Qué diferencia hay entre ambas fórmulas? y ¿En qué afecta el funcionamiento de la fórmula?

y ¿Qué tendrían que hacer para contar las veces que se obtiene 3 o 0?

8. Con base en sus respuestas, ingresen las fórmulas para saber cuántas veces se obtuvo 3 y 0 en las celdas correspondientes. Luego respondan.

y ¿Cuántas veces salieron 2 águilas y un sol? y ¿Cuántas veces salieron 2 soles y un águila? y ¿Cuántas veces salieron tres soles? y ¿Cuántas veces salieron tres águilas? y ¿Qué jugador ganó?

En una celda en blanco, presionen las teclas Espacio y Enter para simular nuevos lanzamientos. Ex-pliquen si el juego es justo o no. Luego apóyense en la actividad anterior y simulen el siguiente juego.

Se tiran 2 dados. El jugador A gana un punto cuando la suma de los números de ambos dados es me-nor o igual que 6, y el jugador B gana un punto cuando la suma es mayor que 6.

Comenten con el resto del grupo cuáles son las ventajas y desventajas de usar la hoja electrónica de cálculo para simular juegos de azar, o las dificultades que enfrentaron al resolver las activida-des sin apoyo de la tecnología.

El número que está entre los paréntesis después

En lugar de contar los unos, cuenta los

Cambiar ese número

Aleatorio.entre(1,6)

No porque hay mayor probabilidad de que la suma sea mayor que 6.

de la coma.

números dos.

por un 3 o un 0.

R. L.

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Secuencia didáctica Eventos mutuamente excluyentes

y complementarios 41 Aprendizaje esperado: Calcularás la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes.

Contenido: Calculas y comparas la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios

Lección 1 El dominó

1. En parejas, lean la situación y hagan lo que se pide.

Se hace un experimento con todas las fichas de un do-minó. Las fichas se colocan volteadas sobre una mesa, de manera que los puntos queden ocultos. Se mezclan y se escoge una ficha al azar.

En este experimento se definen los siguientes eventos:Evento A: Sale una ficha con el mismo número en sus dos partes, llamada mula.Evento B: Sale una ficha con un uno.Evento C: Sale una ficha con un seis.Evento D: Sale la ficha blanca o doble cero.

a. Escriban los posibles resultados para cada evento.

y Evento A { (0, 0), } y Evento B { } y Evento C { } y Evento D { }

b. Calculen la probabilidad de los eventos.

y P(A) • P(B) y P(C) • P(D)

c. Consideren sus respuestas anteriores y contesten.

y ¿Qué eventos son mutuamente excluyentes? y ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B?

y ¿Cómo calcularon la probabilidad anterior? y ¿Puede ocurrir que al sumar las probabilidades de dos de los eventos anterio-

res se obtenga 1? ¿Qué sería necesario para que esa suma fuera 1?


(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) (5, 5), (6, 6)

(0, 1), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) (1, 5), (1, 6)

(0, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6) (5, 6), (6, 6)(0, 0)

El D con los eventos B y C

R. M. Contando las fichas

Sí es posible, es necesario que sean eventos complementarios.

11/28

6/28

6/28

6/28

1/28

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Comparen sus resultados y sus estrategias con los de otros equipos.

Mutuamente excluyentes y complementarios

2. En equipos de tres integrantes, lean la situación y resuelvan.

Se tiene un dado verde y otro amarillo, las caras de ambos están numeradas del 1 al 6. El experimento consiste en tirar los dados y restar al número obtenido en el dado verde el obtenido en el dado amarillo.

a. Determinen el espacio muestral. Anoten los resultados en la tabla.

Dado amarillo

1 2 3 4 5 6

Dado verde

1 −123456 3

y ¿Cuántos resultados forman el espacio muestral?

b. Consideren los siguientes eventos y determinen lo que se pide.

Evento M: La diferencia es un número positivo. Evento N: La diferencia es un número negativo. Evento P: La diferencia no es un número negativo. Evento Q: La diferencia no es un número positivo.

y Evento M { } y Evento N { } y Evento P { } y Evento Q { }

c. Analicen sus respuestas del inciso anterior y conesten. y ¿Cuáles eventos son mutuamente excluyentes? y ¿Cuáles eventos son complementarios? y ¿Qué notan en sus respuestas anteriores?

Dos eventos complementarios también son mutuamente excluyentes, pero no todos los eventos mutuamente excluyentes son complementarios.

d. ¿Qué debe ocurrir para que los eventos P y Q sean, a la vez, mutuamente exclu-yentes y complementarios?

1, 2, 3, 4, 5

11

0 3 4 521 2 3 4102 1 2 3013 0 1 2124 1 0 1235 2 1 04

5, 4, 3, 2, 10, 1, 2, 3, 4, 55, 4, 3, 2, 1, 0

M y N, M y Q, N y P

M y Q, N y PR. M. Son parecidas.

R. M. Alguno de ellos no debería tener el 0.

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Contenido: Calculas y comparas la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios.

Cartas con números

1. En parejas, lean la situación y resuelvan.

Con las cartas que se muestran, se realiza el experimento de extraer una al azar.

Consideren los siguientes eventos:Evento E: Se obtiene una carta con un número par.Evento F: Se obtiene una carta con un número primo.Evento G: Se obtiene una carta con un número impar.Evento H: Se obtiene una carta con un número compuesto.Evento I: Se obtiene una carta con un número divisor de 24.

a. Registren las parejas de los eventos que cumplen con la característica que se indica.

y Eventos mutuamente excluyentes: y Eventos complementarios:

b. Calculen las siguientes probabilidades.

y P(E G) • P(F H)

c. Determinen un evento J que sea complementario al evento F y contesten. Evento J: P(F J)

y ¿Cuál es el resultado de sumar dos eventos complementarios?

y ¿Cómo se puede calcular la suma de un evento a partir de conocer la suma de su complemento?

La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es uno.

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

Lección 2

E y G, F y H.E y G

9/101

1

1

Restando a 1 la probabilidad del evento complementario.

Se obtiene una carta con un número compuesto o la unidad.

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d. Determinen las siguientes sumas de probabilidades. Luego respondan.

y P(F) P(I) • P(E) P(H) • P(G) P(H) y P(E) P(I) • P(I) P(G) • P(H) P(I)

y ¿Qué observan en los eventos cuya suma de probabilidades es uno?

y ¿Qué observan en los eventos cuya suma de probabilidades es mayor que uno?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Con ayuda de su profesor, lleguen a acuerdos sobre las respuestas correctas.

Si la suma de las probabilidades de dos eventos es uno, los eventos no necesaria-mente son complementarios.


1. Resuelve.

a. En un experimento aleatorio, P(X) 75% y P(Y) 65%. ¿Los eventos X y Y son mutuamente excluyentes y complementarios? Justifica tu respuesta.

b. Si en un experimento aleatorio se tienen dos eventos, R y S, mutuamente exclu-yentes, y se sabe que P(R) 0.15 y P(R S) 0.7, ¿cuánto es P(S)?

c. El espacio muestral de un experimento aleatorio es {m, u, r, c, i, é, l, a, g, o, s} y se elige una letra al azar. Define los eventos A, B, C y D, de manera que se cumpla lo que se indica.

Los eventos A y B son mutuamente excluyentes no complementarios. Los eventos C y D son complementarios. Los eventos B y C son mutuamente excluyentes no complementarios.

y Evento A: y Evento B: y Evento C: y Evento D:

Aunque sus probabilidades suman 1, no son complementarios.

porque sumados dan más de 100%.

{m, r, c}{u, i}{m, r, c, l, g, s}{u, i, é, a, o}

111/10 11/10 11/10

R. M.

No

R. M. Tienen elementos en común.

P(S) 0.55

1 1

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Desviación media 42 Aprendizaje esperado: Compararás la tendencia central (media, mediana y moda) y dispersión (rango y desviación

media) de dos conjuntos de datos.

Contenido: Analizas la dispersión para comparar dos conjuntos.

¿En cuál juego hay más riesgo?

1. Resuelve el problema con un compañero.

En una feria escolar se invita a los asistentes a participar en uno de los dos juegos en los que se puede ganar un premio o recibir un castigo. Si la puntuación del jugador es negativa, recibe un castigo y si es positiva, un premio. Para decidir en cuál partici-par, Juan observa a 10 personas en cada juego y registra sus resultados.

La tabla muestra los puntos que obtuvieron los participantes.

Lección 1

Juego 1 15 21 –4 50 –2 11 13 –25 16 –4

Juego 2 120 –120 60 –24 –21 133 –81 96 –132 –18

a. ¿En qué juego le conviene participar? ¿Por qué?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y argumenten su decisión.

Decisiones y desviación media

1. Retoma el problema anterior y haz lo que se pide.

a. Para cada juego, calcula la media de las puntuaciones registradas en la tabla.

Media del juego 1: Media del juego 2:

y ¿Qué representa la media de los juegos?

b. Calcula la desviación media de ambos conjuntos de datos.

Desviación media del juego 1: Desviación media del juego 2:

y ¿Cuál de las desviaciones es menor? y ¿Qué significaría que la desviación media fuera cero?

R. M. El juego 1 porque tiene

R. M. Que todos los

R. L.

14.2880.76

La del juego 1

9.1 1.3

menos resultados negativos.

valores son iguales.

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Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Comenten en qué situaciones conviene calcular la desviación media y en cuáles no.

c. Explica en cuál de los dos juegos es más probable recibir un castigo y por qué.

y ¿Coincide con la respuesta que diste en la actividad de “Punto de partida”? Explica en qué te basaste para responder esa actividad.

Es posible resolver diversas situaciones usando las medidas de tendencia central. Sin embargo, estas medidas no siempre representan adecuadamente el conjunto de datos. En esos casos, es importante conocer qué tan dispersos están los datos de la media aritmética.

2. En equipos de cuatro integrantes reflexionen sobre la siguiente situación.

En el consultorio de un médico, a los pacientes que llegan a revisión se les mide la masa y la presión arterial. Considera que la presión arterial se mide en milímetros de mercurio (mm de Hg).

A continuación se presentan los datos de cinco pacientes.

Paciente Masa (kg) Presión arterial (mm de Hg)

1 68 1202 54 1243 89 1354 93 1485 71 110

a. Calculen la desviación media de cada conjunto de datos.

Desviación media de la masa: Desviación media de la presión arterial:

b. ¿Qué conjunto de datos es más disperso: el del peso o el de la presión arterial?

c. ¿Se pueden comparar las desviaciones medias de la masa y de la presión arterial? ¿Por qué?

d. ¿Qué requisitos deben tener ambos conjuntos de datos para que sus desviaciones medias se puedan comparar?

R. L.

12.811.28

No porque son datos de diferentes cosas.

R. M. Deben ser datos de un mismo rubro.

El de la masa

R. M. En el segundo porque los valores son más lejanos.

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Contenido: Analizas la dispersión para comparar dos conjuntos.

Desviación media y toma de decisiones

1. En equipos de tres, lean la situación y hagan lo que se pide.

Se quiere analizar el desempeño académico en Matemáticas de los alumnos de tres escuelas. La tabla muestra la cantidad de estudiantes que obtuvieron cierta califica-ción en el tercer bloque de tercer grado de secundaria.

Lección 2

EscuelaCalificación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A 4 1 1 1 2 1 1 2 2 5B 1 2 2 1 2 2 3 3 2 2C 1 1 1 1 3 6 1 3 2 1

a. Observen la tabla y respondan. y ¿En cuál escuela varían más las calificaciones? y ¿Cuál escuela consideran que tiene el mejor desempeño?

b. Calculen la media, la mediana y la moda de cada escuela.

Medida de tendencia central Escuela A Escuela B Escuela C

Media

Mediana

Moda

c. Elaboren en su cuaderno una gráfica de barras con la información de la primera tabla y decidan si la media aritmética representa el conjunto de datos de cada escuela.

d. Calculen el rango y la desviación media de cada escuela.

Dato Escuela A Escuela B Escuela C

RangoDesviación media

y ¿Qué información proporciona el rango? y ¿Qué información proporciona la desviación media? y ¿Cuál de los dos datos permite asegurar qué tan representativa es la media:

el rango o la desviación media? ¿Por qué?

Comenten con el grupo cuál escuela tiene mejor rendimiento y cómo llegaron a esa conclusión.

En la escuela CEn la escuela B

2 2 2

1.5 2 1

1 2 1

4 2 51 0.4 1.2

La diferencia entre el valor máximo y mínimo

Que tan separados están los datos.

La desviación media, porque indica que los datos están muy cerca de la media.

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Comparen con sus compañeros el lugar y el mes que eligieron para realizar el encuentro de jóvenes y presenten sus argumentos.


1. Lean la información y hagan en su cuaderno lo que se pide.

Una institución quiere organizar, en el año 2022, un encuentro de jóvenes con acti-vidades al aire libre. El comité encargado necesita decidir en qué lugar y en qué mes se llevará a cabo el encuentro. Por ser actividades al aire libre, deben considerarse factores climáticos como las precipitaciones.

La tabla muestra la cantidad de agua que cayó en los estados que el comité está con-siderando para realizar el encuentro.

a. Elaboren una gráfica de barras con los datos en la tabla.b. Analicen la información y comenten si con ella se puede decidir en qué mes y es-

tado llevar a cabo el evento.c. Calculen el rango, la media y la desviación media para cada estado.

y ¿En qué mes y en qué estado se haría el encuentro de jóvenes planeado para el 2022? Justifiquen su respuesta.

d. Analicen qué ocurre con las demás medidas de tendencia central. Calculen la mediana y la moda de los datos.

e. Calculen la desviación respecto a la mediana y a la moda.f. Analicen las desviaciones y, con base en ellas, elijan el mes y el estado más pro-

picios para realizar el evento. Expliquen qué los llevó a hacer esa elección.g. Elaboren una presentación con sus cálculos y argumentos.

Mes Jalisco Nuevo León Ciudad de México Puebla Querétaro

Enero 49.8 13.0 11.3 25.9 23.7

Febrero 55.6 3.5 5.3 12.8 12.5

Marzo 1.1 15.2 8.1 9.6 19.3

Abril 1.4 37.0 21.9 41.3 17.2

Mayo 16.0 80.5 32.8 68.5 34.4

Junio 81.7 72.7 59.7 171.9 66.4

Julio 209.3 171.4 103.8 172.2 83.3

Agosto 254.4 14.8 107.8 239.0 58.6

Septiembre 167.4 102.8 97.0 285.1 70.3

Octubre 24.5 2.7 20.1 40.5 13.4

Noviembre 0.1 3.8 1.5 29.6 6.6

Diciembre 12.9 8.0 0.5 7.9 1.3

Ver solucionario

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Punto de encuentro

Lee y haz lo que se pide.

Placas tectónicas y sismos

La corteza terrestre está fragmentada, como un rompecabezas, en placas tectóni-cas. Esta ruptura de la corteza se debe a que en el interior del planeta se produce movimiento.

México está ubicado en las orillas de diversas placas tectónicas, las más importantes son la de Cocos, que ocupa aproximadamente tres cuartos del territorio nacional, y la de Norteamérica, que es la placa tectónica continental. Ambas placas chocan en el sur del país, en las costas de Oaxaca y de Chiapas.

Las placas tectónicas están en movimiento permanente, lo cual libera energía y ge-nera sismos. Existen dos tipos de sismos:

y Intraplaca. Se originan dentro de una placa tectónica. Un ejemplo de este tipo de sismo fue el ocurrido en México el 19 de septiembre de 2017.

y Interplaca o de subducción. Son provocados por la fricción entre placas tectóni-cas y ocurren con mayor frecuencia.

Fuente: www.eluniversal.com.mx/ciencia-y-salud/ciencia/que-es-la-placa-de-cocos-y-por-que-es-

importante-para-mexico (Consulta: 13 de noviembre de 2020)

1. Lee la siguiente información con un compañero.

¿Las construcciones de la Ciudad de México se mueven de igual manera durante un sismo?

La Ciudad de México está edificada sobre dos tipos de suelo: blando, sedimentos de los antiguos lagos, y firme; la zona de suelo blando es la que ocupa la mayor área de la ciudad.

Para saber cómo se mueven los edificios durante un sismo, los ingenieros y sismólo-gos, con los registros de los sismómetros, calculan aceleraciones espectrales que se definen como el gráfico de respuesta máxima en términos de la aceleración que un terremoto genera sobre una estructura; por ejemplo, un edificio. Dichas aceleracio-nes dan una idea de las que se pudieron registrar en las azoteas de edificios con diferentes alturas. La unidad para medir la aceleración máxima (Amax) del suelo pro-ducida por las ondas sísmicas es el gal, (1 gal 1 cm/s2), esto es una velocidad de 1 cm/s por cada segundo.

2. Analicen las gráficas y respondan.

Las gráficas muestran las aceleraciones espectrales experimentadas en los pisos de dos edificios ubicados en dos lugares diferentes de la Ciudad de México durante los sismos del 19 de septiembre de 1985 y 2017.

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a. ¿Cuál es la variable independiente? b. ¿Cuál es la variable dependiente? c. En su cuaderno, describan cómo cambia la aceleración espectral cuando el nú-

mero de pisos de los edificios aumenta, según el suelo en que están construidos (blando o firme).

d. ¿Cuál es el valor máximo aproximado en cada gráfica, según el tipo de suelo?

e. ¿A qué sismo pertenece el valor más alto para cada tipo de suelo?

f. ¿Aproximadamente a qué número de pisos corresponden los valores que identi-ficaron en el inciso anterior?

Mw 7.1. 19/09/2017

Mw 8.0. 19/09/1985

Mw 7.1. 19/09/2017

Mw 8.0. 19/09/1985

En su cuaderno, para cada gráfica, elaboren una tabla con los intervalos de la va-riable independiente donde la variación es creciente, y otra para los intervalos en los que la variable dependiente decrece. En sesión grupal, comenten sus respues-tas y tablas. Valídenlas con apoyo del profesor.

Fuente: Grupos de sismología e ingeniería de la UNAM. Nota informativa. “¿Qué ocurrió el 19 de septiembre de 2017 en México?” ciencia.unam.mx/leer/652/-que-ocurrio-el-19-de-septiembre-de-2017-en-mexico- (Consulta: 13 de noviembre de 2020).

Estación sísmica Secretaría de Comunicaciones y Transportes (suelo blando)

Ace

lera

ción

esp

ectr

al (g

al)

Número de pisos del edificio

800

700

600

500

400

300

200

100

05 10 15 20 25 30

Estación sísmica de Ciudad Universitaria (suelo firme)

Ace

lera

ción

esp

ectr

al (g

al)

Número de pisos del edificio

250

200

150

100

50

05 10 15 20 25 30

El número de pisosLa aceleración espectral

750 gal para suelo blando y 225 gal para suelo firme

de la primera es de 30 a 750 gal y de 20 a 225 gal para la segunda.

Al sismo de

El dominio es de 0 a 30 para ambas. El rango

1985 para suelo blando y al de 2017 para suelo firme

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Reviso mi trayecto


1. Un barco está detenido en el mar. Su radar detecta un submarino a una distancia de 80 m y con un ángulo de depresión de 30°.

a. ¿A qué profundidad se encuentra el submarino?

b. Justifica tu respuesta anterior.

2. Calcula la medida del cateto y de los ángulos faltantes.

3. Identifica los eventos de los experimentos aleatorios como singulares, no singula-res y excluyentes o no excluyentes.

a. Se lanzan dos dados al aire y se definen los eventos:Evento A La suma es menor o igual a 4. Evento B La suma es 8. A o B La suma es menor o igual

a 4 o la suma es 8.

b. En un salón de clases de 34 alumnos, 16 mujeres y el resto hombres, se definen los eventos:Evento N Ser alumna. Evento V Ser alumno. N o V Ser alumna o alumno.

y P(A) yP(N) yP(A B)

yP(B) yP(V) yP(N V)

5 m

3 m

53.13°

Barco

Submarino

30°

80 m



1 37 234-2392 37 234-2393 39 246-249

c. Calcula la probabilidad de cada evento.

1

6 36

16 34

5 36

18 34

11 36

Cateto 4 m

Ángulo 36.87°

40 m

Porque la profundidad del submarino

corresponde al cateto opuesto del triángulo rectángulo. El cateto opuesto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo.

No singular

No singularLos eventos son excluyentes

Singular

Singular

Los eventos son complementarios.

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1. La mamá de Luisa tiene un huerto de 100 manzanos en el que cada árbol produce 800 manzanas al año. Ella considera que si aumenta el número de árboles puede obtener mayor producción, pero una de sus amigas le comentó que tenía que es-timar que por cada árbol adicional que siembre en el mismo terreno, cada árbol del huerto dará en promedio 5 manzanas menos al año. ¿Cómo puede decidir la mamá de Luisa cuántos árboles debe sembrar para obtener el mayor número po-sible de manzanas al año?

a. Explora la situación. Para ello, completa la tabla.

b. Responde lo que se pide. Justifica tus respuestas.

Número de árboles adicionales 0 4

Número total de árboles 100 104 108 112 116 120 124 128 132

Número de manzanas por árbol

al año800 780

Producción total de manzanas 80 000 81 120

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que te conviene repasar.

y ¿Qué sucede con el número de árboles cuando se siembra un árbol más?

y ¿Cuál es la variable independiente en esta variación? y ¿Qué sucede con el número de manzanas que produce el huerto conforme se

aumenta el número de árboles? y ¿Cuál es la variable dependiente en esta variación?

c. Describe cómo cambia la producción total anual de manzanas conforme se

aumenta el número de árboles en el huerto y qué consideras que sería mejor.

d. Identifica el intervalo de la variable independiente en el que la función es cre-ciente y el intervalo en el que la función es decreciente.

e. Identifica los intervalos de la variable independiente en los que la función es po-sitiva y los intervalos en los que la función es negativa.

8

82 080

760

12

82 880

740

16

83 520

720

20

84 000

700

24

84 320

680

28

84 480

660

32

84 480

640

El número de árboles aumenta.

El número de árboles

La cantidad de manzanas por árbol disminuye.La cantidad de manzanas

por árbol

Conviene tener entre 28 y 32 árboles más.

Es creciente de 0 a 30 árboles adicionales y decreciente con más de 30 árboles adicionales.

La función es negativa a partir de 160.

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2. Con el fin de hacer reparaciones, un arquitecto necesita saber la altura de un edifi-cio. Para ello, toma como referencia un edificio de 200 m de altura. Desde la azotea de ese edificio, midió el ángulo de depresión hasta el piso del edificio que desea medir y resultó de 20º. Desde el mismo punto midió el ángulo de elevación hasta el techo del edificio que quiere medir y fue de 10º. ¿Cuál es la altura del edificio?

3. Un cable de 12 m se coloca de la punta de una antena a un punto del suelo. El cable forma con el suelo un ángulo de 30°. Calcula cuánto mide la altura de la antena.

4. En una población, 20% de las personas son hipertensas, 30% son diabéticas y 10% son hipertensas y diabéticas.

12 m

30º

200 m

10°

20°

a. ¿Los eventos ser hipertenso o diabético son mutuamente excluyentes? ¿Por qué?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa población sea hipertensa?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa población sea diabética?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa población no sea diabética ni hipertensa?

La altura es de 296.89 m

La antena mide 6.663 m

Sí, porque una enfermedad no depende de la otra.

0.2

0.3

0.6

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5. Grafica las funciones y responde.

6. ¿Cuál es la solución de las ecuaciones? ¿Cómo es su discriminante?

yx2 1 0 y12 x2 5x 12 0

y y 3x2 30x 78 y y x2 14x 49 y y x2 8x 9.5



1 34 y 35 214 a 2252 36 y 37 226 a 2393 37 234 a 2394 39 246 a 2495 32 204 a 2076 31 y 32 198 a 2077 29 188 a 193

a. ¿Cuáles son el máximo y el mínimo de cada función?

b. ¿Qué tipo de raíces tiene cada una? ¿Cuáles son?

7. Resuelve de forma geométrica la ecuación x2 16x 3 0. Dibuja todo el proce-dimiento que seguiste.

y

x

25

20

15

10

5

0

5

16 4 4 8 12812

10

15

20

25

La primera función solo tiene mínimo en (3, 5), en la segunda, (7, 0) es un mínimo y en la tercera (4, 6.5) es un máximo.

La primera función no tie-ne raíces, la segunda solo toca el eje x en (7,0) y la tercera tiene dos raíces; 1.4505 y –6.5495

No tiene solución.Su discriminante es negativo.

Soluciones: x 6, x 4Su discriminante es positivo.

x 67 8

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Fuentesde información

Para el alumno

y Bosh, C. y Gómez C. Una ventana a las formas, Santillana, México, 2003 (Biblioteca Juvenil Ilustrada).

y Grima, Clara. ¡Que las matemáticas te acompañen!, Ariel, Barcelona, 2018.

y Jouette, André. El secreto de los números, Swing, Barcelona, 2008.

y Ejercicios, problemas e interactivos de aritmética, álgebra y geometríanewton.matem.unam.mx/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

y Página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas con los diferentes exámenes y solu-ciones para que consultes y desarrolles la demostración matemática.www.ommenlinea.org/actividades/concursos/canguro-matematico/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

y Software de geometría dinámica gratuito que te permite hacer construcciones útiles para geometría, álgebra, cálculo, entre otros.www.geogebra.org(consulta: 26 de febrero de 2021)

Para la elaboración de este libro

y Alsina, C. y otros. Materiales para construir la geometría, Síntesis, Madrid, 1997 (colec-ción Matemáticas: cultura y aprendizaje).

y Batanero, C. y otros. “Sentido estadístico. Componentes y desarrollo”, en Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas, volumen 83, 2013.

y Batanero, C. y Díaz C. J. “El papel de los proyectos en la enseñanza y aprendizaje de la estadística”, en Royo, J. Patricio. Aspectos didácticos de las matemáticas.

y Aprendizaje significativo en el área de matemáticas: una experiencia pedagógica. funes.uniandes.edu.co/2385/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

y Propuestas didácticas que se pueden llevar a cabo en clase. aprendiendomatematicas.com/actividades-matematicas-secundaria/ (consulta: 26 de febrero de 2021)

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3 MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

La obra Matemáticas 3. Libro para el profesor de la serie Fortaleza Académica se creó con el propósito de apoyarlo a usted, profesor, en la planeación del curso de la asignatura y se compone de los siguientes apartados:

• Descripción del Modelo Educativo para la educación obligatoria y del mapa curricular

• Propuestasdedosificacióndelosaprendizajesesperados de la asignatura

• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales y solucionario

• Reproducción del libro del alumno con las respuestas de todas las actividades

Este material se elaboró con base en los principios pedagógicos del Modelo Educativo para la educación obligatoria y será una guía útil en el desarrollo de su labor docente.

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TE

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libro para el profesor matemÁticas 3 matemÁticas 3 · 2021. 6. 9. · matemÁticas 3 la...

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