base para mecanica vectorial

8/19/2019 base para mecanica vectorial

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• Vectores

SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistemabajo estudio.

Bases para el estudio delmovimiento mecánico

x(t)

y(t)

z(t)

Se le asocia

• Observador

• Sistema deCoordenadas

y

x

z

• Reloj


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Cómo describir la posición de un punto en el espacio:Sistemas de coordenadas

Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de:

Un punto de referencia fijo, O, denominado origen

Un conjunto de direcciones o ejes especifi cados, conuna escala y unas etiquetas apropiadas sobre sus ejes

Instrucc iones que indican como etiquetar un punto en el espaciocon respecto del origen y de los ejes.

Sistema de coordenadas cartesiano (u ortogonal)

Ejemplo en dos dimensiones:

Un punto arbi trario se define mediante las coordenadas (x,y)

y positivas hacia arriba

y negativas hacia abajo

x posit ivas hacia la derecha

x negativas hacia la izquierda


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Sistema de coordenadas polar

Ejemplo en dos dimensiones:

Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas polares planas (r, )

es el ángulo entre dicha líneay un eje fi jo (normalmente el x)

r es la long itud de la línea queune el origen con el punto

Movimiento planoCoordenadas Cartesianasy (m)

x (m)O

origenabcisa

o r d e n a d a (x,y)

Q (-2,2)

P (8,3)

Coordenadas Polares

O

origen

(r, )

Relacion entre (x,y) y (r, )

y (m)

x (m)O

origenabcisa

(x,y)

r

θ x r co s θ y r sen

θ y

ta n x

2 2

r x y


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Dos tipos de magnitudes físicas importantes:escalares y vectoriales

Magnitud escalar:

aquella que queda completamente especificada medianteun número, con la unidad apropiada

Número de papas en un saco

Temperatura en un determinado punto del espacio

Volumen de un objeto

Masay densidad de un objeto

…

Magnitud vectorial:

aquella que debe ser especificada mediante su módulo, dirección y sentido

Posición de una partículaDesplazamiento de un partícula (definido como la variación de la posición)

Fuerza aplicada sobre un objeto

…

Representación tipográfica de un vector

Letras en negrita: aFlecha encima del símbolo:

Convenciones para representar una magnitud vectorial en un texto

Convenciones para representar el m ódulo de una magnit ud vectorial en un texto

Letras en formato normal: a

Dos barras rodeando a la magnitud vectorial:

El módulo de un vector siemprees positivo, y especifica las unidades de la magnitudque el vector representa

(Cuántosmetros me he desplazado)


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¿Existe la derivada en la naturaleza?

¿Y los vectores?,

El vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelosmatemáticos que explican de la naturaleza newtoniana.

La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea de ladirección donde lanzamos o aplicamos este vector.

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• Dichas cantidades se llaman: ESCALARES

• Son ejemplos de cantidades escalares; el tiempo,

la masa, la energía, la carga eléctrica, entre otras.

• Existen cantidades físicas que quedantotalmente determinadas por sumagnitud o tamaño, indicada en algunaunidad conveniente.


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• Otras cantidades físicas requieren para su

completa determinación, que se añada unadirección a su magnitud.

• Dichas cantidades se llaman VECTORES.

• Dentro de las cantidades vectoriales tenemos; el

desplazamiento, la velocidad, aceleración, fuerza,

entre otras.

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• Gráficamente, un vector es

representado por una flecha.

La magnitud o módulo del

vector es proporcional a la

longitud de la flecha.

• El vector de la figura

sería . La magnitud

o módulo del vector seindica por , o

simplemente A.

A

A

A

• Un vector se acostumbra a

denotar por una letra con una

flecha sobre ella.

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Representación

de un vector

x

y

z

θ

A

Ax

Ay

Az

θsen A A x cos

θsen Asen A y

θcos A A z 222 z y x A A A A A

k A j Ai A A z y x

Base cartesiana para la representación de vectores en 3D.

En Física a un vector de módul o uno se le denomina versor

Base ortonormal en el espacio 3D:Tres vectores de módulo unidad que, además son perpendiculares entre sí.

La base form ada por los vectores se le denomina base canónica.Es la más utili zada usualmente, pero no la única


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Componentes cartesianas de un vector

Proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano

: componentes cartesianas de un vector

Cosenos directoresEn una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector a los cosenos

de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base


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A

B

A B

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A

B

A B

4

1

Álgebra vectorial Adic ión de dos vectores

Vector Componentes en un

sistema de coordenadas particular

La suma de dos vectores es ot ro vector

Cuyas componentes en un si stema de coordenadas particular vienen dadas por la

suma de las componentes de los dos vectores en el mismo sistema de coordenadas


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Álgebra vectorial Adic ión de dos vectores

Propiedades de la adici ón de dos vecto res

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Las dos se siguen inmediatamente a partir de sus componentes

Podemos sumar los vectores en cualquier orden

Significado geométrico de lasuma de vectores

Se disponen gráficamente un vector a continuación del otro, es decir, elorigen de coinc ide con el extremo de

El vector suma tiene como origen en el origen de y como extremo el extremo de

Los vectores se pueden sumar de esta forma sin hacer referencia a los ejes de coordenadas

Supongamos que y pueden representarse como segmentos en el papel,¿Qué sería ?


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Observaciones:

Las componentes rectangulares de unvector dependen del sistema coordenadoelegido.

La magnitud del vector no cambia.Permanece invariante en cualquiersistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientesvectores

A

4u 3u

B

B A R

7u


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+

A

B

8u 4u =

B A R

4u

Observamos que, cuando los vectores están

en la misma dirección podemos determinar

fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma

dirección ? , ¿ podremos determinar

directamente su magnitud ?


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B

La magnitud en este caso no puede determinarse

directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra

forma de determinarla

B A R

• Igualdad de vectores:

Sean y dos vectores,

entonces si y solo si

tienen igual magnitud y

dirección.

• Si definiremos como el vector nulo.

B

0 A A

A

A B

A

B

A

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• Vector opuesto:

Sea un vector. Se llamavector opuesto de alvector que tiene la mismamagnitud pero sentidoopuesto que . Se designapor .

A

A

A

A

A

A

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Suma de vectores

• Se forma un tercer vectorconstruyendo un triángulo conformando dos lados del triángulo,a continuación de .

• El vector que va desde el origen de hasta el extremo de esdefinido como el vector suma .

B

A

A B

B A

y

B A

y

B

A

A

B

A B

• Sean dos vectores.

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• Para calcular el módulo delvector suma se recurre a laley del coseno:

• Usando ley del Seno:

S A B

2 2 2 2 cosS A B AB

S A B

sen sen sen

S

A

B

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Sustracción de vectores

• La diferencia de 2 vectores representada pores un vector que sumado a reproduce el vector .

B A

y A B

B

A

( ) A B A B

B

B

A B

A

31

A

A

B

B

B

D

D

S

32


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A

B

y A

x A

xB

yB

4u

3u

6u

y A

x A

xB

yB

4u

3u

6u

y x A A A

y x B B B


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y y B A

x x B A

10u

5u

y y x x B A B A R

Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud

del vector resultante u R 55510 22

y A

x A

xB

yB

xC

yC

x D

y

D


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y y y y y DC B A R

x x x x x DC B A R

x R

y R

15 u

5 u

y x R R R

105R

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Dados los puntos indicados el

vector que los une estarepresentado por


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xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

k)z(z j)y(yi)x(x A 121212 ˆˆˆ

Álgebra vectorialMultiplicación de un vector por un escalar

Vector Componentes en un

sistema de coordenadas particular

El resultado de multipl icar un vector por un escalar es otro vector

Cuyas componentes en un si stema de coordenadas particular vienen dadas por el

producto de las componentes por el escalar


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Álgebra vectorialSustracción de vectores

Se define de la misma manera que la adic ión,

pero en vez de sumar se restan las componentes

Gráficamente: dibujamos el vector desde hasta para obtener

Álgebra vectorialMultiplicación de vectores

Los vectores se pueden multi plicar de varias maneras diferentes

Producto escalar: el resultado es un escalar

Producto vectorial: el resultado es un vector

Producto mixto: el resultado es un escalar


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Álgebra vectorialProducto escalar de vectores

Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto escalar

El producto escalar de dos vectores se representa poniendo un punto, ,entre los dos vectores

El result ado de esta operación es un escalar, es decir una cantidad que no tiene dirección.La respuesta es la misma en todo conjunto de ejes

Al producto escalar también se le conoce com o produc to interno, escalar o punto

Álgebra vectorialPropiedades del producto escalar de vectores

Propiedad distri butiva

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Producto escalar de los vectores de la base ortonormal canónica


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Producto escalarde dos vectores θABBA cos

cosθAAB

Proyección de A sobre B

cosθBBA

Proyección de B sobre A

1ˆˆ ii

1ˆˆ j j

0ˆˆ ji

0ˆˆ k j

0ˆˆ k i

x Ai A ˆ

1ˆˆ k k

y A j A ˆ

z Ak A ˆ

ZZYYXX BABABABA


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Álgebra vectorialDefinición geométrica del producto escalar

es el producto del módulo de por el módulo de por el coseno del ángulo que forman

es el menor de los ángulos que forman los vecto res

Significado geométrico del producto escalar.La proyección de un vector sobre el otro.


es el menor de los ángulos que forman los vecto res


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Utilización del producto escalar para saber sidos vectores son ortogonales entre sí


Si el producto escalar de dos vectores es cero, y el módulo de los dos vectores esdist into de cero, entonces los dos vectores son perpendicu lares entre sí.

Magnitudes físicas en las que intervieneel producto escalar de dos vectores

Trabajo

Flujo de un campo vectorial

Ley de Gauss para campos eléctricos

A student’s guide to Maxwell’s equat ion sDaniel FleischCambridge University Press(New York, 2008)


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Productovectorial de dos

vectores BAC

θABC sen

0îî

0ˆˆ

j j

0ˆˆ

kk

k ji ˆˆˆ ik j ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

Álgebra vectorialProducto vectorial de vectores

Dados dos vectores cualesquiera y definimos el producto vectorialcomo un nuevo vector

Cuyas componentes vienen dadas por


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)k ˆ

B jˆ

Biˆ

B()k ˆ

A jˆ

Aiˆ

A(BAC zyxzyx

Y Z Z Y X B A B AC

z x x z y B A B AC

x y y x z B A B AC

Álgebra vectorialProducto vectorial de vectores

El resultado de esta operación es un vecto r, es decir una cantidad que sí tiene dirección.

Al producto vector ial también se le conoce como producto externo , o produc to cruz


Cuyas componentes vienen dadas por

El produc to escalar de dos vectores se representa poniendouna cruz, , o un ángulo, , entre los vectores


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Módulo del vector producto vectorial


Módulo del vector producto vectorial

El módulo de es el producto del módulo de por el módulo de por elseno del ángulo que forman

El módulo del vector producto vectorial coincide con elárea del paralelogramo definido por los dos vectores

Dirección del vector producto vectorial


Dirección del vector producto vectorial

Dirección del vector producto vectorial: perpendicular a los vectores y


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El sentido de viene determinado por la regla de la mano derecha

Con los tres dedos consecutivos de la mano derecha, empezando con el pulgar,índice y, fi nalmente, el dedo medio, los cuáles se posicionan apuntando a tresdiferentes direcciones perpendiculares. Se inicia con la palma hacia arriba, y el

pulgar determina la prim era dirección vectorial, el índice la segunda y el corazónnos ind icará la dirección del tercero.

Sentido del vector producto vectorial

Álgebra vectorialPropiedades del producto vectorial de vectores

Propiedad anticonmutativa

Si

Propiedad distri butiva conrespecto a la suma

Producto de un escalar conrespecto a un producto vectorial

Productos vector iales entre losvectores de la base canónica


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Álgebra vectorialPropiedades del producto vectorial de vectores

Utili zación del producto vectorial para saber si dos vectores son paralelos

Reglas de la multiplicación usandoproductos escalares y vectoriales


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Determinese la suma de los siguientes vectores:

A 3 i 8 j 5 kˆ ˆ ˆ

2 3B -5 i j kˆ ˆ ˆ

7 2C 4 i j kˆ ˆ ˆ

Dados los vectores:

k ˆ3 ĵ5î4B

k ˆ5 ĵ3î3A

Determine :

a) El producto escalar entre ellos.b)el producto vectorial entre ambos

e) el ángulo que forman entre sí.

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