matematika teknik - matriks

Menu

MATRIKS

MATEMATIKA TEKNIK

Pengertian.Matriks adalah susunan yang berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dalam tanda kurungBentuk Umum Matriks

A m x n =

a11 a12 a13 …. a1n

a21 a22 a23 …. a2n

…. …. …. ….am1 am2 am3 amn

Baris ke-1

Baris ke - m

Kolom ke-1 Kolom ke-n

Menu

MATRIKS

Catatan :

a11,a12 ……amn merupakan elemen-elemen matriks

Banyaknya baris pada matriks A ada m buah

Banyaknya kolom pada matriks A ada n buah

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri atau elemen dalam matriks.

Definisi

Contoh :

Jawab : a21 berarti berada di baris ke- 2 dan

kolom ke-1, jadi a21 = -3

Dengan cara yang sama, maka didapat a12 = 4, a32 = -1 dan a34 = 6

Diketahui matriks A =

Tentukan a21, a12 dan a34

Menu

2 4 3 9

5 8 0

6-2-15

-3

Contoh :

64

52

31

A

265

072

301

234

B

9

5

2

C

3249 D

6E

Bentuk Umum Matriks :

nmijnm

mnmmm

n

n

n

nm

ij

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

nm

jia

nm

AA

AA

A

atau

: sebagai ditulis dan ordo mempunyai Matriks . dari

kolom dan baris dalam di terdapat yangentri adalah Notasikan

. kolom jumlah dan baris jumlah mempunyai matriks Misalkan

321

3333231

2232221

1131211

ORDO MATRIKSOrdo suatu matriks adalah banyaknya elemen-elemen pada suatu matriks atau banyaknya baris diikuti banyaknya kolom

Untuk memahaminya perhatikan matriks A dan B di bawah ini

A = B = dan

Matriks A mempunyai 2 baris dan 2 kolom, berordo 2x2 , ditulis A2x2, sedangkan matriks B mempunyai 2 baris dan 3 kolom, berordo 2x3 ditulis B2x3

-1 3

4 22 0 4

3-15

Contoh :

2 x 3 ordo mempunyai Matriks

43

91

27

AA

4 x 4 ordo mempunyai Matriks

215

072

301

132

BB

a. Matriks Kolom. Matriks yang hanya terdiri satu kolom

A =

B = C =

Contohnya :

b. Matriks Baris.

Matriks yang hanya terdiri satu baris

Contohnya :

A = B = C =

Menu

1

3

1

0

2

1

-3

2

5

2 -3 1 -3 1 2-3-3 76 5

JENIS – JENIS MATRIKS

Matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama

Matriks Bujur Sangkar

Bentuk Umum Matriks Bujur Sangkar :

nnnnn

n

n

n

nn

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

A

Contohnya :

A = B =

d. Matriks Diagonal. Matriks persegi yang pada diagonal utamanya tidak nol,

sedangkan elemen lainnya adalah nolContohnya :

A = B = C =

2 0

0 1

1 0 0

0 -2 0

400

2 0 0 0

0 0-4

06

0

0 3 0

000

3 5

4 1

1 0 5

3 -2 -1

43-4

c. Matriks Bujursangkar (Persegi) Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom

Matriks diagonal yang semua entri diagonalnya adalah satu

Matriks Identitas

Contoh matriks identitas

e. Matriks Identitas. Matriks persegi yang elemen pada diagonal utamanya adalah 1,

sedangkan elemen lainnya adalah nolContohnya :

A = B = C =

1

0

0

1

1

1

1

0 0

0 0

0 0

1 0 0 0

0 0 0

0100

0 0 0 1

1

Matriks bujur sangkar yang entri-entri diagonal utama dan entri-entri di atas diagonal utama tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di bawah entri diagonal utama sama dengan nol.

Purnami E. Soewardi / June 08

Matriks Segitiga Atas

Bentuk Umum Matriks Segitiga Atas :

jinjni

a

a

aa

aaa

aaaa

ij

nn

n

n

n

nn

;,,3,2,1;,,3,2,1

nol semuanya tidak dengan

000

00

0

333

22322

1131211

A

Matriks bujur sangkar yang entri-entri diagonal dan entri-entri di bawah diagonal tidak semuanya sama dengan nol dan entri-entri di atas entri diagonal adalah nol.

Matriks Segitiga Bawah

Bentuk Umum Matriks Segitiga Bawah :

jinjni

a

aaaa

aaa

aa

a

ij

nnnnn

nn

;,,3,2,1;,,3,2,1

nol semuanya tidak dengan

0

00

000

321

333231

2221

11

A

Matriks bujur sangkar yang entri entri diagonal tidak semuanya nol, dan entri-entri yang lain adalah nol

Matriks Diagonal

Matriks yang semua entrinya sama dengan nol

Matriks NolMatriks Nol

0

0

0

0

0

0000

0000

000

000

000

00

00

111442

000

00

Bentuk Umum Matriks Diagonal:

nia

a

a

a

a

ii

nn

nn

,,3,2,1 , nol semuanya tidak dengan

000

000

000

000

33

22

11

A

Kesamaan Matriks.Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen yang seletak dari kedua matriks juga sama

Perhatikan contoh berikut :Diketahui matriks A =

dan matriks B =

Jika matriks A = B, tentukan nilai x dan y

Karena A = B maka

=

Sehingga 3x = 6 dan 2y = -4

x =

x = 2

y =

y = -2

Jawab :

Jadi x = 2 dan y = -2

1 3

2y3x

1 3

-46

6

3

-4

2

1 3

2y3x

1 3

-46

Menu

Transpose MatriksTranspose dari matriks A adalah suatu matriks baru yang ditulis dalam bentuk AT. Matriks baru ini diperoleh dengan cara mengubah baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks baru dan mengubah kolom pada matiks A menjadi baris pada matriks baru.

Contoh : Tentukan transpose dari matriks A =

dan B = Jawab :

A = Maka AT =

B = Maka BT =

4 2

3 -14 3

2 -1

4 7

5 8

7 9

4 3

2 -1

4 7

5 8

7 9

4 5 7

7 8 9

Menu

Operasi Matriks1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks2. Perkalian Skalar dengan Matriks

3. Perkalian Matriks dengan Matriks

Slide 14

Menu

Definisi:Definisi:

Jika Jika AA dan dan BB adalah sebarang dua matriks yang adalah sebarang dua matriks yang

ukurannya sama, maka jumlah ukurannya sama, maka jumlah AA + + BB adalah matriks adalah matriks

yang diperoleh dengan menambahkan bersama-yang diperoleh dengan menambahkan bersama-

sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks

tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda

tidak dapat ditambahkan.tidak dapat ditambahkan.

Penjumlahan MatriksPenjumlahan Matriks

1. PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN MATRIKSDua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan dan kurangkan jika ordo kedua matriks itu sama.

Proses penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.Contoh :

Jika matriks A = dan B =

Hitung : a. A + B

b. A - BJawab :

a. A + B =

+ = =

b. A – B = = =-

Menu

-1 2

3 -4

5 6

7 8

-1 2

3 -4

5 68

3 7+ 8

6

-4

2 +

+

4 8

10

4

-1 +

7

-1 2

3 -4

5 6

87

3 7- 8

6

-4

2 -

-

-1 - 5 -6 -4

-4 -12

5

OPERASI MATRIKS

Contoh :

0

4

3

724

201

012

A

5

1

1

423

022

534

B

5

3

4

307

221

542

5

1

1

423

022

534

0

4

3

724

201

012

BA

Definisi:

Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang

ukurannya sama, maka A – B didefinisikan sebagai

jumlah A + (–B) = A + (–1)B. Matriks-matriks yang

ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.

Pengurangan MatriksPengurangan Matriks

Perhatikan bahwa A – B dapat diperoleh secara

langsung dengan mengurangkan entri B dari entri A

yang bersangkutan.

Contoh:

121

432A

531

720B

531

720B

450

312

531

7

121

432 20BA

Definisi:

Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.


Perkalian Matriks :

Definisi:

Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu

skalar, maka hasil kali (product) c A adalah

matriks yang diperoleh dengan mengalikan

masing-masing entri dari A oleh c.

Perkalian Matriks dengan Skalar

Contoh:

0

3

2

1

1

4

A

0

6

4

2

2

8

2A

0

3

2

1

1

4

1 A

2. Perkalian Skalar dengan Matriks.Bila A suatu matriks dan k adalah suatu bilangan real, maka

k.A adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil perkalian dengan setiap elemen pada matriks A.

Contoh :

Diketahui :

A = dan B =

Tentukan :

a. 2A c. 3Bb. -2B d. 3A + 2B

Jawab :

a. 2A ==

b. -2B

= =

3 -4

2 1

6 -7

-8 9

3 -4

2 1

6 -8

4 2

6 -7

-8 9-12 1

416

-18

Slide 13

2

-2

c. 3B = 3 =

d. 3A + 2B =

3 + 2

+ = =

3 -4

12

9 -12

36

3 -4

12

9 -12

36

6 -7

9-8

12 -14

18

-16

21

-26

21

-10

3

3. Perkalian Matriks dengan Matriks

Suatu matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.

Untuk mencari hasil perkalian matriks A dengan matriks B ialah mengalikan baris-baris pada matiks A dengan kolom-kolom pada matriks B dan kemudian jumlahkan hasil perkalian baris dan kolom itu.Dan hubungan ordonya didapat : Am x n . Bn x p = C

m x pContoh :

1. Diketahui matriks A =

dan B =

Tentukan : A x B

Jawab :=

Slide 13

y

a b

c d

x

y

a b

c d

x + b.y

A x B = x a.x

c.x d.y

+

2. Diketahui A =

dan B =

A x B = =

B x A =

Ternyata A x B ≠ B x A, jadi perkalian pada matriks tidak berlaku sifat komutatif

3 5

0 2

2 1

1 3

5

0 2

Tentukan :

1

1 3=

6

3

2 5 3 + 150 + 2 0 + 6

+ 18

112 6

1

1 3

2x

5

0 2

3

=6 0 1

0+ 2

3 + 0 5 + 6

+=

12

6

3 11

2 18

2

3x

1

0x

Contoh:

062

421A

2

1

3

572

310

414

B

............

.........12

2

1

3

572

310

414

062

421BA

12240241

............

......2712

2

1

3

572

310

414

062

421BA

27741211

............

...302712

2

1

3

572

310

414

062

421BA

30543241

Dst

122648

13302712

2

1

3

572

310

414

062

421BA

Lanjutan…

Ukuran matriks hasil perkalian

A x B = AB

m x r r x n m x n

Definisi:

Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpose

A dinyatakan dengan At dan didefinisikan dengan

matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris

pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua

dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah

baris ketiga dari A, dan seterusnya.


Transpose MatriksTranspose Matriks

Contoh:

342414

332313

322212

312111

34

24

14

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

a

a

a

aaa

aaa

aaatAA

653

421

64

52

31tBB

Contoh:

952

9

5

2

tCC

66 tEE

712

145

253

712

145

253tDD

1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif untuk penjumlahan)

3. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

4. A(B + C) = AB + AC (Hukum distributif)

5. (B + C)A = BA + CA (Hukum distributif)

6. A(B – C) = AB – AC

7. (B – C)A = BA – CA

Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks

8. a(B + C) = aB + aC

9. a(B – C) = aB – aC

10. (a + b)C = aC + bC

11. (a – b)C = aC – bC

12. (ab)C = a(bC)

13. a(BC) = (aB)C = B(aC)

Aturan-aturan Ilmu Hitung MatriksAturan-aturan Ilmu Hitung Matriks

Definisi:

Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita

dapat mencari matriks B sehingga AB = BA

= I, maka A dikatakan dapat dibalik

(invertible) dan B dinamakan invers

(inverse) dari A.

Invers MatriksInvers Matriks

Contoh:

Matriks

21

53B adalah invers dari

31

52A

karena IAB

10

01

21

53

31

52

dan IB

10

01

31

52

21

53

TeoremaTeorema

Jika B dan C adalah invers dari matriks A, maka B = C.

Selanjutnya, invers dari matriks A dilambangkan dengan A-1. Jadi AA-

1 = I dan A-1A = I.

Definisi :

Jika A dan B adalah matriks bujursangkar berordo sama sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B adalah invers A (B=A-1) dan A adalah invers B ( A = B-1)

Contoh : Jika A = dan B

=

Jawab : Harus ditunjukkan bahwa AB = BA = I

A B =

Tunjukkan bahwa matriks A dan B saling invers satu sama lain !

= =

B A =

= =

Karena AB = BA = I, maka A = B-1 dan B = A-1

Menu

7 2

3

1 -2

-3 7

7 2

3 1

1 -2

-3 71

0

0

1

1

1 -2

-3 7

7 2

3 1 10

017 + -6

-21

+

-6

21

2 + -2-6

-6

+ -6

+ 7

I=

= I

7 + -6

3 +

-6

-3

-14

+14

-6 -14-6

+ -6

+ 7

INVERS MATRIKS

Rumus Invers matriks bujursangkar ordo 2 x 2

Misal A =

maka A-1 =

Dimana det A =

= ad

Catatan :

•Jika det A ≠ 0, maka A mempunyai invers, dan disebut matriks non singular

•Jika det A = 0 maka A tidak mempunyai invers, dan A disebut matriks singular

Atau A-

1=

a b

c d

1

Det A

d -b

a-c

a b

c d

1

ad - bc

d -b

a-c

bc-a

d

Pandang matriks 2 x 2

dc

baA

Jika det(A) = |A| = ad – bc 0, maka

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

ac

bd

bcad11A

Mencari invers matriksMencari invers matriks

Contoh :

Tentukan invers matriks :

a. A = b. B =

c. C =

Jawab :

a. A-1 = = =

b. Det B =

= (-3).4 – (-6).2 = (-12) + 12 = 0

Karena det B = 0, maka matriks B tidak mempunyai invers

c. C-

1= = =

2 -5

-1 3

-3 -6

2 4

2 0

2 1

1

2.3–(-5)(-1)

2

5

1

31

6 - 5

3 5

1 23 5

1 2

-3 -6

2 4

1

2.1 – 2.0

1 0

-2 2

1

2

1 0

-2 2

1

20

-1 1

Contoh:

31

52A

det(A) = |A|= ad – bc = (2)(3) – (-1)(-5) = 6 – 5 = 1

21

53

21

53)1(

11

ac

bd

bcadA

Untuk matriks 3x3

Misalkan A dan B matriks-matriks yang mempunyai invers dan berukuran sama, k≠0 skalar.

Sifat-sifat Matriks

1. AB invertible

2. (AB)-1 = B-1 A-1

3. A0 = I

4. An = A A ... A

5. A-n = (A-1 )n = A-1 A-1 ... A-1

6. (An )-1 = (A-1 )n untuk n = 0, 1, 2, ...

n faktor

n faktor

Sifat-sifat Matriks

1. Ar As = Ar+s

2. (Ar )s = Ars

3. (kA)-1 = (1/k) A-1

4. (At)t = A

5. (A + B)t = At + Bt

6. (kA)t = kAt

7. (AB)t = BtAt

Determinan

21122211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

aaaa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

A

A

Determinan

211233113223312213231231133221332211

23

22

21

13

12

11

332313

322212

312111

332313

322212

312111

332313

322212

312111

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

A

Latihan

987

654

321

24

13

B

A

Sifat-sifat Determinan

1. det (A) = det (At )

2. det (AB) = det(A)det(B)

3. A invertible det(A)≠0

4. det(A-1 ) = 1/det(A)

Definisi:

Jika matriks A adalah matriks kuadrat, maka minor

entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan

menjadi determinan submatriks yang tetap setelah

baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-

1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor

entri aij.

Kofaktor

Contoh:

841

652

413

A

Minor entri a11 adalah:

16244084

65

841

652

413

11

M

Kofaktor a11 adalah:

161 111111

11 MMC

Minor entri a32 adalah:

2681862

43

841

652

413

32

M

Kofaktor a32 adalah:

261 323223

32 MMC

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap 1≤i≤n dan1≤j≤n, maka

det(A) = a1j C1j + a2j C2j + ... + anj Cnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

dan

det(A) = ai1 Ci1 + ai2 C2j + ... + ain Cin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Teorema

Matriks Kofaktor

Definisi:

Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij , maka matriks

nnnn

n

CCC

CC

CCC

21

2221

11211

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A

dan dinyatakan dengan adj(A).

Teorema

Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

AA

A 1 adjdet

1

Latihan

042

361

123

A

Jika

Maka bentuk persamaan ini dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut :

=

Untuk menghitung nilai x dan y dapat menggunakan rumus :

=

ax + by = ecx + dy = f

a b

c d

x

y

e

f

x

y

1

ad -bc

d -b

-c a

e

fMenu

MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIKS

Contoh : Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan linier berikut :

Jawab : Pernyataan itu dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

= Atau =

=

== 1 = =

Jadi nilai x = 2 dan y = 1

3x + y = 75x + 2y = 12

3x y

5x 2y

712

3 1

5 2x

y

7

12

xy

2 -1

-5 3

7

12

1

3.2 – 1.5

1

6 - 5

2 -1

-5 3

7

12

2.7 – 1.12-57 + 3.12

14 - 12

-35 + 36

2

1

Aturan CramerELIMINASI GAUSS

Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui sehingga

det(A)≠0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah

AA

xdetdet 1

1 , AA

xdetdet 2

2 , ... , AA

x nn det

det

Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari

A dengan entri-entri dalam matriks

nb

b

b

2

1

B

Contoh:Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan:

62 31 xx

30643 321 xxx

832 321 xxx

Jawab:

321

643

201

A

328

6430

206

1A

381

6303

261

2A

821

3043

601

3A

Maka:

11

104440

detdet 1

1

AA

x

11

184472

detdet 2

2 AA

x

11

3844152

detdet 3

3 AA

x

EXAMPLE OF FINDING THE INVERSE OF A MATRIX A

We must find the inverse of the matrix A at the

right A =

1 2 -2

-1 1 -2

3 2 1


Below is the same matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first

pivot encicled in red

Below are the row operations required for the first pivoting

Next pivot on "3" in the 2-2

position below, encircled in red

The columns of the 3x3 identity

matrix are colored blue as they re-

appear on the left side

Below is the result of performing P1, so the pivot (2-2 position) is

now "1". Next we perform P2

Row operations of P2

are below

The result of the second pivoting is below. We now pivot on the

element in the 3-3 position, encircled in red below


now "1". Next we perform P2.

Below are the row operations

of P2

The result of the third (and last) pivoting is

below with 3x3 identity matrix in blue

The matrix below is NOT A-1

(REDUCED) DIAGONAL

FORM

Thus, our final step is to separate the desired inverse from the above matrix:

A-1 =

EXAMPLE OF FINDING THE INVERSE OF A MATRIX A

We must find the inverse of the matrix A at the

right A =

1 2 -2

-1 1 -2

3 2 1

Below is the same matrix A, augmented by the 3x3 identity matrix. The first

pivot encicled in red

Below are the row operations required for the first pivoting

Next pivot on "3" in the 2-2

position below, encircled in red

The columns of the 3x3 identity

matrix are colored blue as they re-

appear on the left side



now "1". Next we perform P2.

Below are the row operations

of P2

The result of the third (and last) pivoting is

below with 3x3 identity matrix in blue

The matrix below is NOT A-1

(REDUCED) DIAGONAL

FORM


Thus, our final step is to separate the desired inverse from the above matrix:

A-1 =

Soal-soal latihan .


65432

09876

54322

y

x

32

32

a. Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A ?b. Sebutkan elemen baris ke- 2 ?

c. Sebutkan elemen kolom ke- 4 ?

d. Sebutkan elemen baris ke – 2 kolom ke – 4 ?

2. Tentukan nilai x dan y untuk setiap persamaan matriks berikut :

a. =

y

x

32

32

b.

7

50

y

x

732

1030

y

x=

Menu


dan

B =

Tentukan :

a. 2 A b. 3B c. -2 A

d. 2 A + 3 B

4. Diketahui matriks

B =

C = D =

A =

Tentukan :

a. B.A b. B.C b. C.D c. 2CD + 3C d. 3BA – 2A

4

3 2

-3

1 5

-1 -2

-3

43 -4

5 6

1 -2 3

-4 5 -6

3 2 -1

7 5 0-4 35

5. Tentukan invers dari matriks berikut :

a. b. c. d. A = B = C = D =

6. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan menggunakan

matriks :

a.

b.

c.

d.

4x + 3y = 13x + y = 4

x + 2y = 9

-5x + 2y = 27

x + 3y = 4

-x + 2y = 1

2x - 3y = 7

3x + 2y = 4

1 2

43

8 -7

5-6

-4 3

-124 -1

23

Penggunaan Matriks Langkah untuk menyelesaikan soal kehidupan sehari-

hari: 1. Mengubah soal cerita dan menyusun sistem

persamaannya

2. Menyelesaikan sistem persamaan dengan matriks

E1=84 V R3

R1= 12 ohm R2=3 ohm

E2=21 V

Contoh:Contoh:

Hitunglah iHitunglah i11 dan i dan i22 dengan menggunakan matriks dengan menggunakan matriks d dari ari

rangkaian listrikrangkaian listrik berikut:berikut:

18i18i11 - 6i - 6i22 = 84 = 84

-6i-6i11 + 9i + 9i22 = -21 = -21

Sistem Persamaan Linier ( SPL ) Metode Cramer :

DDy y dan

DDxx

ca

ca ydan

bc

bc x ;

ba

ba D

22

11

22

11

22

11 DD

Apabila berbentuk :Apabila berbentuk : aa11x + bx + b11y y == c c11

aa22x + bx + b22y y = = cc22

mmaka :aka :

dimana :dimana :

Apabila berbentuk :Apabila berbentuk :aa11x + bx + b11y + cy + c11z = kz = k11

aa22x + bx + b22y + cy + c22z = kz = k22

aa33x + bx + b33y + cy + c33z = kz = k33

mmakaaka::

dimana :dimana :

333

222

111

333

222

111

333

222

111

333

222

111

kba

kba

kba

z

cka

cka

cka

y ;

cbk

cbk

cbk

x ;

cba

cba

cba

D DDD dan

DDz z dan

DDy y ;

DDxx

DAFTAR PUSTAKA

PURNAMI.E.SOEWARDI,MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA,BANDUNG,2008

K.Astroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik,halaman141 sd 186, halaman 101 sd 117, PT. Gelora Aksara Pratama,1987.

matematika teknik - matriks

Engineering