Program Studi Teknik Kimia Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Wa Ode Cakra Nirwana, ST., MT. Pengolahan Data Teknik &Persamaan Pendekatan untuk Estimasi Pengolahan data teknik danpersamaan pendekatan untuk estimasi A. Persamaan Linier Bentuk umum: y = ax + b bentuk grafispers. linier y= f (x1, x2, ) 2 variabel Variabel bebas/ faktor (independent variable) Variabel tdk bebas/ variabel response (dependent variable) x= variable bebas y= variabel tidak bebas D1,..,Dn= jarak antara garis dengan titik secara vertikal Garis regresi terbaik dicapai jika: D12 + D12 + .. + Dn2 memberikan nilai minimum CASE 1 Persamaan regresi least square: a0 dan a1 adalah koefisien regresi Dimana a0 = intercept; a1 = gradien Y = a0 + a1X a0 dan a1 dapat dicari dari pers. (1) dan (2). Sehingga: CASE 2 y= variable bebas x= variabel tidak bebas H3,..,Hn= jarak antara garis dengan titik secara horisontal/ deviasi Persamaan regresi least square: b0 dan b1 adalah koefisien regresi X dan Y adalah nilai koordinat X= b0 + b1Y Contoh Soal: In an experiment to determine the relationship between frequency and the inductive reactance of an electrical circuit, the following results were obtained: Frequency (Hz):50100150200250300350 Inductive reactance (ohms):30 65 90 130 150 190200 Determine the equation of the regression line of inductive reactance on frequency, assuming a linear relationship Since the regression line of inductive reactance on frequency is required, the frequency is the independent variable, X, and the inductive reactance is the dependent variable, Y.The equation of the regression line of Y on X is: Answer: Problem 1 Y = a0 + a1X Frequency, XInductive reactance, Y X2 XY 503025001500 10065100006500 150902250013500 2001304000016000 2501506250037500 3001909000057000 35020012250070000 X = 1400Y = 855X2 = 350000XY = 212000 =0.586 =4.94 the equation of theregression line of inductive reactance on frequency is: Y =4.94 + 0.586X Problem 2 For the data given in Problem 1, determine the equation of the regression line of frequency on inductive reactance, assuming a linear relationship In this case, the inductive reactance is the independent variable X and the frequency is the dependent variable Y. From equations 3 and 4, the equation of the regression line of X on Y is: Answer: Y = b0 + b1X =-6.15 =1.69 the equation of theregression line of inductive reactance on frequency is: X =-6.15 + 1.69Y B. Persamaan Logaritmik Bentuk umum persamaan logaritmik adalah y = axn x vs y pada koordinat logaritmik x y Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi : log y = log a + n log x y = ax + b dimana : y = log y x = log x Secara grafik dapat digambarkan dalam bentuk : log x vs log y pada koordinat linier log y log x y = axn Contoh Soal: Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviciae adalah sebagaiberikut : Berat biomassa (m) = 0.2 gram Volume larutan CuSO4 (V) = 100 ml NoCo

(mg/l) Cs

(mg/l) qs data (mg/g)% Penyerapan 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 9.5325 22.2425 34.9525 47.6625 63.55 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 52.3375 44.39375 41.74583 40.42188 36.45 Hubungan antara Cs dengan qs adalah Jika isotherm kesetimbangan yang dipakai adalah Model Isotherm Freundlich,dengan persamaan : qs = KFCs1/n

Carilah konstanta pada isotherm Freundlich tersebut! Dimana Cs = konsetrasi cairan, qs = konsentrasi padatan, K dan n = konstanta FreundlichPersamaan diatas dapat dilinierkan menjadi : log qs = log KF + (1/n) log Cs

y = ax + b Nox = log Csy = log qsx2xy 1 2 3 4 5 0.979207 1.347184 1.543478 1.678177 1.803116 0.718813 0.948352 1.097734 1.208676 1.260668 0.958846 1.814904 2.382325 2.816277 3.251226 0.703867 1.277604 1.694329 2.028373 2.273129 Total7.3511615.23424311.223587.977302 Menghitung harga a : = 0.677828 Menghitung harga b := 0.050284 Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan: y = 0.677828 x + 0.050284 log qs = 0.677828 log Cs + 0.050284 Sehingga diperoleh harga (1/n) dan KF,

sbb :1/n= 0.677828 KF = 10^0.050284 = 1.12275242 Hargakfdan1/ndisubstitusikanpersamaanisothermfreundlichakandiperoleh harga qs model (perhitungan) dan persen kesalahan : Noqs dataqs model% Kesalahan 1 2 3 4 5 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 5.176282854 9.192698152 12.48811818 15.40987089 18.72776711 1.09801091 3.535949903 0.284513983 4.693492756 2.75866727 % Kesalahan rata-rata2.474126964 C. Persamaan Eksponensial Bentuk umum persamaan logaritmik adalah Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi : ln y = ln a + bx Y= Ax + B y = aebx Dimana: Y = ln y X = x B = ln a A = b Contoh Soal: Pada suatu reaksi kimia diperoleh data hubungan antara temperatur (T)dengan harga konstanta kecepatan reaksi (k) sebagai berikut : NoTemperatur, Kk. 1/menit 13000.0012 23300.0017 33600.0025 43900.0036 54200.0042 Jika hubungan antara k dan T mengikuti persamaan Arrhenius : k = A.exp(-E/RT) Carilah harga A dan E!. Answer: Persamaan Arrhenius dapat dilinierkan menjadi : ln k = ln A E/RT y = b ax NoT, Kk, 1/mntx=1/Ty=ln kxyx^2 13000.00120.003333-6.72543-0.022421.11111E-05 23300.00170.00303-6.37713-0.019329.18274E-06 33600.00250.002778-5.99146-0.016647.71605E-06 43900.00360.002564-5.62682-0.014436.57462E-06 54200.00420.002381-5.47267-0.013035.66893E-06 0.014086-30.1935-0.085844.02535E-05 y= ln k x = 1/T b = ln A a = -E/R Dari hasil perhitungan akan diperoleh : Harga konstanta pada persamaan linier(a dan b) : a= -1373,19 b = -2,17002 Harga konstanta pada persamaan Arrhenius ( A dan E) dimana dimana R = 1,987 cal/mol K: A = 0,114175 E = 2728,529 cal/mol K ( ) =22..x n xxy n y xa( ) =222.. .x n xx y xy xbbx axy+=bxay+ =1Persamaan berbentuk: Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi: dimana : y = 1/y x = 1/x y = ax +b Contoh Soal DatakesetimbanganbiosorpsiCudengansaccharomycescereviacae adalah sebagai berikut : Berat biomassa (m)= 0.2 gram Volume larutan CuSO4 (V) = 100 ml NoCo

(mg/l) Cs

(mg/l) qs data (mg/g)% Penyerapan 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 9.5325 22.2425 34.9525 47.6625 63.55 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 52.3375 44.39375 41.74583 40.42188 36.45 mCs Co Vqs) ( =bCsbCs qqsmas+=1Hubungan antara Cs dengan qs adalah : Jika isotherm kesetimbangan yang dipakai adalahModelIsotherm Langmuir, dengan persamaan : Carilah konstanta pada isotherm Langmuir tersebut! Persamaandapat dilinierkan menjadi : 1/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks Jika data-data dimasukkan akan diperoleh: NoCoCs1/Cs = xqs1/qs = yx2xy 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 9.5325 22.2425 34.9525 47.6625 63.55 0.104904 0.044959 0.02861 0.020981 0.015736 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 0.191068 0.112628 0.079848 0.061848 0.05487 0.011005 0.002021 0.000819 0.00044 0.000248 0.020044 0.005064 0.002284 0.001298 0.000863 Total0.215190.500262 0.0145330.029553 Menghitung harga : ( ) =22..x n xxy n y xa =1.521983 ( ) =222.. .x n xx y xy xb =0.034549 Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan : y = 1.521983 x + 0.034549 atau maka qmaks = 28.94419 maka b= 0.0227 untuk memperoleh harga qs model (perhitungan) No Co Cs 1/qs (model)qs model1 20 9.5325 0.194213 5.1492 40 22.243 0.102977 9.7113 60 34.953 0.078094 12.8054 80 47.663 0.066482 15.0425 100 63.55 0.058499 17.0941/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks Harga Cs disubstitusikan ke persamaanNoqs dataqs model% Kesalahan 1 2 3 4 5 5.23375 8.87875 12.52375 16.16875 18.225 5.149019 9.710997 12.80515 15.04172 17.09442 1.618937 9.37347 2.24695 6.970406 6.203459 % Kesalahan rata-rata5.282644 Perhitungan % kesalahan : Metode Interpolasi Persamaan dasar metode interpolasi : ) () () (2211 ooY YX XXo XYo Y + =XY XoYo X2Y2 X3Y3 X4Y4 Misal untuk suatu variabel bebas dan terikat : Berapa harga Y pada nilai X1 yang terletak diantara Xo dan X2? Contoh Soal: Pada steam tabel pada steam jenuh terdapat nilai Hfg untuk masing-masing temperatur sebagai berikut : T, oFHfg 100950 120942 150935 Berapa harga Hfg pada T = 130 oF? Answer: ) 942 935 (3010942 + == 939,667 LANGKAH-LANGKAH UMUM DALAM MEMBUAT SUATU PERSAMAAN DARI SUATU DATA PERCOBAAN : 1. BUAT GRAFIK (X,Y) 2. TENTUKAN PERSAMAAN YANG PALING SESUAI 3. HITUNG KONSTANTA-KONSTANTA YANG ADA 4. HITUNG PERSEN KESALAHAN RATA-RATA 5. PERSAMAAN DIANGGAP MENDEKATI DATA JIKA PERSEN KESALAHAN RATA-RATANYA < 10% Operasi Matriks di Excel Operasi matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan secara simultan. Metode ini biasanya dipakai dalam neraca massa. Contoh: 2 3 48 3 22 12 1 = = +x xx xB AX =((

=3 43 2A ((

=21xxX((

=28BB A X1 =Blok sel yang akan digunakan untuk matriks inverse lalu ketik: =MINVERSE(C2:D3) lalu tekan Ctrl-Shift-Enter bersamaan Blok sel yang akan digunakan untuk matriks X lalu ketik: =MMULT(C5:D6,G2:G3) lalu tekan Ctrl-Shift-Enter bersamaan Column 1Column 2Column 3 Time Concentration -rA t, s CA,mol/liter0 10 0.125620 8 0.091940 6 0.061460 5 0.0476120 3 0.0233180 2 0.0132300 1 0.0050-rA= kCAn ExerciseReactant A decomposes in a batch reactor A product The composition of A in the reactor is measured at various times with results shown in the following columns 1 and 2.Find the reaction constant and reaction order if the reaction equation is -rA= kCAn Column 1Column 2Column 3Column 4 Column 5 Column 6 Column 7Time Concentration -rAx = log CA y = log -rAx2 xy t, s CA,mol/liter0 10 0.1256 1.0000 -0.9010 1 -0.901020 8 0.0919 0.9031 -1.0367 0.8156 -0.936240 6 0.0614 0.7782 -1.2116 0.6055 -0.942860 5 0.0476 0.6990 -1.3225 0.4886 -0.9244120 3 0.0233 0.4771 -1.6331 0.2276 -0.7792180 2 0.0132 0.3010 -1.8796 0.0906 -0.5658300 1 0.0050 0 -2.3010 0 0Total 4.1584 -10.2855 3.2279 -5.0494Persamaandapat dilinierkan menjadi : log -rA = log k + n log CA y = ax + b Menghitung harga a : = 1.4 Menghitung harga b := -2.30103-rA= kCAn n = 1.4 k = 0.005 Exercise!! A wet paper pulp is found to contain 71% water. After drying it is found that 60% Of the original water has been removed. Calculate the following: (a)The composition of the dried pulp (b)The mass of water removed per kilogram of wet pulp Solution: Wet pulp Pulp: 0.29 H2O: 0.71 F Driedpulp Pulp: 0.505 H2O H2O x y Basis: 1 kg of wet pulpSolution: Persoalan di atas dapat disederhanakan berdasarkan neraca massakomponen menjadi persamaan aljabar sebagai berikut: 0.505x = 0.29 0.495x + y = 0.71 A=0.5050B=0.29 0.49510.71 A-1 =1.98020 -0.981 X =0.574 0.426 Nilai x dan y dapat dicari dengan menggunakan matriks yang diperoleh menggunakan excel dimana A X = B atau X = A-1 Bx = 0574 y = 0.426 Latihan Soal 1 Steam table adalah tabel yang menyediakan data-data fisis dari uap H2O pada berbagai suhu dan tekanan, baik pada kondisi jenuh atau superheat. Tentukan entalpi steam pada tekanan 150 kPa dan 360oC bila data yang tertera pada steam table adalah sebagai berikut: Tekanan, kPaH, pada 350oCH, pada 400oC 1253175,23277,8 1503073,93174,7 1753072,73174,2 3094,06 Suatu kolom distilasi umumnya beroperasi untuk memisahkan seperti campuran etanol air berikut: Hitunglah massa distilat per kg limbah! 1 kg Feed (F): 35% Etanol 65% H2O Distilat (D): 85% Etanol 15% H2O Waste(W): 5% Etanol 95% H2O Latihan Soal 2 D = 0.375 W = 0.625 Latihan Soal 3 Pure gaseous reactant A (CA0 = 100milimol/lt) is fed at a steady rate into A mixed flow reactor (V = 0.1 liter) where it dimerizes (2AR).For different gas feed rates the following data are obtained: Run number1234 0, liter/hr 1031.20.5 CAf, millimol/liter85.766.75033.4 Find k and n if the rate equationis -rA= kCAn Note:Solver Microsoft Excel mempunyai modul yang disebut Excel Solver yang mengijinkanpemakai untuk memasukkan nilai decision variable, constraint, dan objective untukmelakukan optimasi ke dalam cell dari suatu spreadsheet Misal ada persamaan sebagai berikut: X1 = 2T X2 = 3T Y1 = 4.2 X1 Y2 = 7.5 X2 Y1 +Y2 = 1 Carilah nilai T yang memberikan Y1 +Y2 = 1 Uap sebanyak F mol/mnt yang mengandung i-butane, n-butane dan n-hexane dengan fraksi mol umpan masing-masingsebesar 0.3, 0.2, 0.5, didinginkan di dalam suatukondensor sehingga terbentuk campuran uap dan cairan yang kemudian dipisahkandalam suatu flash. Tekanan sistem sebesar 1500 mmHg. Diinginkan perbandinganlaju alir mol liquid dan laju alir mol feed (L/F) = 0.42. Berapakah suhu pendinginanyang diperlukan serta komposisi cairan danuap yang diperoleh? Data tekanan uap setiap komponen adalah sebagai berikut: A = i-butane B = n-butaneC = n-hexaneP dalam mmHg dan t dalam 0C Latihan Soal 4 Algoritma Perhitungan Langkah penyelesaian: 1. Trial T (suhu pendinginan dalam 0C) 2. Hitungdari pers. (2) 3. Hitung xi dari pers. (3) 4. Hitung yi dari pers. (3) 5. Cek apakah nilai T yang ditrial sudah memenuhi pers. (4). Jika belum, kembali ke langkah(1) (1) (2) (3) (4) Nilai T hasil solver Hukum Kekekalan & Pemodelan Matematika Hukum Kekekalan Massa Neraca massa total: massa tidak dapat berkurang atau bertambah, sehingga neraca massanya dapatdituliskan sebagai berikut: Laju akumulasi massa dalam sistem laju massa masuk sistem laju massa keluar sistem = - Neraca massa komponen: massa suatu komponen dapat berkurang atau bertambah, sehingga neracamassanya menjadi: Laju akumulasi massa komponen i dalam sistem = laju massa komponen i masuk sistem laju massa komponen i keluar sistem - + laju massa komponen i yang terbentuk - laju massa komponen i yang terpakai Hukum Kekekalan Energi laju akumulasi energi dalam sistem = laju energi masuk sistem laju energi keluar sistem - + laju energi yang timbul dalam sistem - laju energi yang terpakai dalam sistem Energi yang timbul ataupun terpakai dalam sistem dapat disebabkan oleh adanya reaksi kimia, reaksi nuklir, listrik, magnet, gesekan dan kompressi. Reaksi eksoterm akan menambah energi dalam sistem sedangkan reaksi endoterm akan mengurangi energi dalam sistem. Energi dapat dibagi menjadi dua yaitu: Energi yang dimiliki oleh aliran massa yaitu energi kinetik, energi potensial, energidalam dan energi alir Energi yang ditransfer melalui batas sistem yaitu energi panas (Q) dan kerja (W) Hukum Kecepatan a.Kecepatan Perpindahan Massa Perpindahan massa secara difusi:Perpindahan massa secara konveksi:dimana,= Laju perpindahan massa komponen A ke arah x [mol/s]= koefisien difusivitas komponen A [m2/s] = luas perpindahan massa [m2] = gradien konsentrasi komponen A ke arah x = koefisien perpindahan massa [m/s] = konsentrasi A pada bidang batas [mol/m3]= konsentrasi A pada badan fluida [mol/m3]b.Kecepatan Perpindahan Panas Perpindahan massa secara konduksi:Perpindahan massa secara konveksi:dimana,= laju perpindahan panas ke arah x [W], [Btu/h]= konduktivitas termal [W/m. K]= luas perpindahan panas [m2] = gradien temperatur ke arah x = koefisien perpindahan panas konveksi [W/m2.K] = temperatur pada interface [K]= temperatur pada badan fluida [K]c.Kecepatan Reaksi maka kecepatan reaksinya dapat dituliskan sebagai berikut: dimana, = laju reaksi komponen A = konstanta reaksi = konsentrasi A = konstanta reaksi Prosedur Penyelesaian dalam perumusan matematik suatu sistem proses: 1. Buat sketsa sistem, definisikan variabel-variabel & parameter- parameter 2.Pilih kontrol volume yang ditinjau untuk pengembangan modelnya 3.Buat persamaan neraca pada control volume dengan menggunakan hukum-hukum kecepatan dan atau hukum kesetimbangan yang diperlukan. Umumnya akan dihasilkan persamaan diferensial 4. Tulis kondisi batas dan kondisi awal 5. Selesaikan persamaan diferensial pada pers. (3) dengan kondisi batas/awal pada pers (4) 6. Interpretasi penyelesaian Asumsidiberikan untuk beberapa situasi atau variabel yang tidakterlalu berpengaruh.Garam: 10 kg Air: 1 m3 tidak bisa diasumsikan tetap atau dengan kata lain Contoh: Garam: 10 gr Air: 1 m3 Bisa dianggap tetap, berarti Karena perubahan tidak terlalu besar Contoh soal 1 (Kondisi Steady): Suatu tangki dengan volume 100 lt, mula-mula mengandung garam dengankonsentrasi sebesar CA0 kg/lt. Ke dalam tangki dialirkan air dengan laju 5 lt/mnt.Sedangkan liquid mengalir dari tangki dengan laju 5 lt/mnt. Jabarkan suatu persamaan yang menggambarkan perubahan konsentrasi garam yang keluar reaktorsetiap waktu! Penyelesaian: air = 5 lt/mnt CA1= 0 1 = air CA lar. garam = 5 lt/mnt CA2 = 2 = lar. garam Contoh soal 2 (Kondisi Unsteady): Suatu tangki dengan volume 100 lt, mula-mula berisi air murni. Ke dalam tangki dialirkan larutan garam dengan konsentrasi 0,0015 kg/lt dan laju 5 lt/mnt. Sedangkan liquid mengalir dari tangki dengan laju 3 lt/mnt.Hitung konsentrasi larutan garam yang keluar dari reaktor setelah 5 menit! 1.Sebuah tangki berisi 2 m3 air. Ke dalam tangki mengalir larutan garam dengan konsentrasi 20 kg/ m3 dengan kecepatan alir 0,02 m3/s. Liquid mengalir dari tangki dengan rate 0,01 m3/s. Berapa konsentrasi dalam tangki jika tangki mengandung 4 m3

larutan garam? 2.Tangki yang berisi larutan garam mula-mula bervolume 100 lt dengan konsentrasi0,002 kg/lt. Kemudian air murni dialirkan ke dalam tangki dengan laju 1 lt/mnt. a. Jabarkan suatu persamaan diferensial yang menggambarkan perubahan konsentrasi garam dalam tangki setiap waktu b. Hitung waktu yang dibutuhkan jika diinginkan konsentrasi garam dalam tangkisebesar 0,001 kg/lt 3.Dua buah tangki masing-masing bervolume 25 m3, berisi larutan garam dengan konsentrasi 100 kg/ m3.Ke dalam tangki pertama dialirkan air murni dengan rate 0,2 m3/min sedangkan larutan garam yang keluar tangki pertama dialirkan ke tangki kedua dengan rate 0,2 m3/min. Larutan garam yang keluar dari tangki kedua juga mempunyai rate yang sama yaitu 0,2 m3/min. a. Hitung waktu yang dibutuhkan agar konsentrasi garam dalam tangki pertamasebesar 10 kg/ m3

b. Hitung konsentrasi garam dalam tangki kedua pada saat konsentrasi garam dalam tangki pertama sebesar 10 kg/ m3

Tugas 1: 2. Suatu reaktor batch dengan volume konstan mengalami reaksi seri berikut ini:ABC k1k2 Anggap reaksi reaksi ini orde 1. Mula-mula di dalam reaktor terdapatlarutan A dengan kadar CA0 mol/volume. Tentukan CA(t), CB(t), CC(t) Contoh soal 3 1. 5 m3/jam larutan yang mengadung reaktan A dengan konsentrasi 2kgmol/m3 dialirkan ke dalam suatu reaktor alir tangki berpengaduk,yang mula-mula berisi pelarut murni sebanyak 2 m3. Di dalam reaktor terjadi reaksi peruraian A R + S yang merupakan reaksiirreversible orde 1. Dari reaktor keluar larutan dengan laju alir 5 m3/jam. a. Tentukan persamaan yang menyatakan konsentrasi A dalam reaktor sebagai fungsi waktu b. Tentukan waktu yang dibutuhkan agar konsentrasi A yang keluar reaktor k Lump Parameter & Distributed Parameter Model Lump parameter model: Model formulasi matematik suatu prosesdimana variabel-variabel dependennyaseragam di seluruh bagian sistem Contoh: Sistem tangki teraduk Konsentrasi di seluruh reaktor sama Sistem yang ditinjau untuk formulasi matematik adalah seluruhbagian sistem Distributed Parameter Model: Model formulasi matematik suatu proses dimana nilai variabel-variabel proses tersebut tidak seragam di seluruh bagiansistem Sistem yang ditinjau untuk formulasi matematik adalah bagian elemenkecil dari sistem keseluruhan Contoh: Sistem reaktor plug flow Control Volume in out Liquid yang dialirkan ke dalam reaktor tidak tercampur dengan sempurna sehingga terjadiperbedaan konsentrasi dan suhu ILUSTRASI PROSES PEMODELAN Contoh:Proses pendinginan fluida yang mengalir di dalam pipa berpenampang lingkaran. MODEL 1 PLUG FLOW 1. Buat sketsa sistem. Plug flow: Profil kecepatan fluida berbentuk plug (merata pada posisi radial). Elemen fluida bercampur sempurna ke arah radial sehingga temperatur fluida merata pada bidang normal terhadap bidang aliran (arah radial). Langkah Pemodelannya adalah Jika tube tidak panjang atau perbedaan temperatur tidak besar, maka sifat fisik fluida tidak banyak berubah. 2. Membuat asumsi: 1. Keadaan tunak; 2. Sifat fisik fluida (, Cp, k dll) konstan; 3. Temperatur dinding konstan dan merata (tidak berubah ke arah z atau r) dengan nilai Tw; 4. Temperatur inlet konstan dan merata (tidak berubah ke arah r) dengan nilai T0, dimana T0 > Tw; 5. Profil kecepatan berbentuk plug atau datar sehingga merata ke arah z atau r; 6. Fluida bercampur sempurna (turbulen Re > 2100) sehingga temperatur merata ke arah radial; 7. Konduksi termal sepanjang sumbu relatif kecil dibandingkan konveksi. 3. Buat sketsa elemen volume diferensialsistem (fluida alir) atau volume kontrol." 4.Kembangkan hukum kekekalan energi umum Keadaan tunak akumulasi nol. Tidak ada sumber kimia, nuklir atau listrik tidak ada pembangkit panas. Panas hanya berpindah melalui perimeter elemen akibat perbedaan temperatur antara fluida dan dinding. Laju pengambilan panas menggunakan hukum pendinginan Newton (+) Luas kontak = keliling x panjang. Koefisien perpindahan panas, h konstan. Tanda bar di atas T menyatakan nilai rata-rata antara T(z) dan T (z +Az) Kembangkan hukum kekekalan energi umum Sepanjang sumbu, panas masuk dan keluar hanya melalui konveksi (aliran) sehingga Dua suku pertama: laju alir massa x entalpi lokal (temp. rujukan untuk entalpi = 0).Disusun kembali dan dibagi Az, diperoleh Dengan menjadi Pengelompokan parameter menjadi satu suku (parameter lumping) menjadi . dimana .

Persamaan diferensial biasa orde pertama. Contoh soal Suatu cairan dengan suhu T0 masuk ke dalam pipa dengankecepatan superfisial v. Cairan tersebut didinginkan padasaat melewati pipa. Di luar pipa terdapat cairan pendingin dandianggap suhu dinding dalam pipa seragam dan konstan sebesar Tw. Anggap aliran sangat turbulen sehingga distribusi kecepatan cairanadalah flat. Koefisien perpindahan panas secara konveksi pada dinding pipa adalah h. Tentukan distribusi suhu cairan didalam pipa! PENERAPAN HUKUM KEKEKALAN ENERGI &HUKUM KECEPATAN PERPINDAHAN PANAS Suatu shell silinder metalik digunakansebagai peralatan perpindahan panas, dimana panas mengalir dari permukaan dalam ke permukaan luar. Jika kedua permukaan tersebut mempunyai temperatur konstan yang berbeda, cari distribusi temperatur kondisi steady dalam material tersebut! Contoh soal Perpindahan Panas Radial Melewati Konduktor Silinder MODEL 2 KECEPATAN PARABOLIK Volume kontrol berbentuk cincin dengan tebal Ar dan panjang Az; Panas melewati dua permukaan, area anular yang normal terhadap aliran fluida, dan area sepanjang keliling cincin; Fluks panas (laju per satuan luas normal) menggunakan konduksi molekular. MODEL 2 KECEPATAN PARABOLIK Laju bersih pembentukan (pelepasan) panasoleh konduksi = fluks x luas area normal terhadap arah fluks. Hukum kekekalan panas elemen volume MODEL 2 KECEPATAN PARABOLIK Dua koordinat posisi proses diferensiasi parsial, misalnya disusun kembali dan dibagi dengan 2tAzAr. . MODEL 2 KECEPATAN PARABOLIK Dengan limit, diperoleh Turunan terhadap z menunjukkan nilai r konstan, sehingga r dapat ditempatkan di luar suku; dengan membagi dengan r dan menata kembali, diperoleh Substitusi hukum Fourier dan uz ke diperoleh MODEL 2 KECEPATAN PARABOLIK Persamaan diferensial parsial orde dua Tugas 2: 1. Sebuah bola berongga (dengan jari-jari dalam 0,5 m dan jari-jari luar 0,6 m) berturut-turut dipertahankan pada suhu 330 K dan 310 K.Konduktivitas termal bahan bola adalah 0,9 W/m.K. Anggapperpindahan panas hanya terjadi secara konduksi. a.Tentukan distribusi suhu pada dinding bola b.Tentukan laju panas yang hilang dari bola 2. Suatu batang silider terbuat dari logam yang kedua ujungnya terisolasi sehingga perpindahan panas hanya ke arah radial saja. Mula-mulabatang silinder berada pada suhu seragam T0. Jabarkan persamaan diferensial yang menggambarkan peristiwa perpindahan panas didalam silinder jika dianggap perpindahan panas terjadi secara konduksi dan konveksi 3.Sebuah sirip berbentuk segitiga dengan panjang L, lebar dasar sirip W dan tebal sebesar satu satuan panjang. Dasar sirip di las pada suatu benda tertentu dengan temperatur konstan TB. Dari sirip terjadi kehilangan panas secara konveksi ke lingkungan yang bertemperatur TA. Koefisien transfer panas secara konveksi pada permukaan adalah h (Btu/j.ft2.0F) dan konduktivitas panas dari sirip adalah k (Btu/j.ft2.0F). Pada kondisi steady state, jabarkan persamaan diferensial yang menggambarkan hubungan antara temperatur dengan jarak dari dasar sirip (L-x) Persamaan Aljabar Linear Bentuk umum : dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. Persamaan Aljabar Linear Atau bila dinyatakan dalam notasi matriks: AX = B Metode Penyelesaian Persamaan Aljabar Linear Langsung: digunakan pada matriks yang rapat (dense matrix) Yaitu matriks yang elemen-elemen nol-nya hanyasedikit Metode: Eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan dan LU decomposition Tak Langsung: digunakan untuk sparse matriks Yaitu matriks yang banyak elemen-elemen nol-nyaDimana metode ini butuh harga awal (tebakan) Metode: Jacobi dan Gauss-Siedel Prinsipnya:merupakanoperasieliminasidansubstitusivariabel-variabelnya sedemikianrupasehinggadapatterbentukmatrikssegitigaatas,danakhirnya solusinya diselesaikan menggunakan teknik substitusi balik (backsubstitution). Diagonal utama tidak boleh sama dengan nol Contoh matriks segitiga atasPerlu dicatat: Pada setiap tahap, arr TIDAK BOLEH sama dengan nol Tiap tahap diadakan pertukaran baris agar harga arr adalah harga terbesar pada kolom yang sama METODA ELIMINASI GAUSS Contoh:Carilah x1, x2, dan x3 dari persamaan berikut dengan cara Eliminasi Gauss 3x1 x2 + 2x3 = 12 x1 + 2x2 + 3x3 = 11 2x1 2x2 x3 =2 Penyelesaian: B2- 1/3B1 B3- 2/3B1 B3+ 4/7B2 x3 = 2 x2 = 1x1 = 3Substitusi x3

ke pers. 2 Substitusi x2dan x3 ke pers. 1 Prinsipnya:miripsekali denganmetodeEG,namun dalammetodeiniharga (absolut) yang besar ada di diagonalnya 1. Jika sebuah baris seluruhnya bukan merupakan angka nol, maka angka bukan nol pertama pada baris tersebut adalah 1 (leading 1). 2. Jika ada 2 baris berurutan yang sama-sama tidak terdiri dari angka nol seluruhnya, maka leading 1 dari baris yang lebih bawah berada di sebelah kanan dari leading 1 yang berada di baris yang lebih atas. 3. Pada setiap kolom yang memiliki leading 1 di kolomnya, maka nilai yang ada di kolom tersebut kecuali leading 1 adalah nol. Syarat Metode Gauss-Jordan METODA GAUSS-JORDAN Contoh:Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan! Penyelesaian: Tukar baris1 dan 4 B1/6 B2-2B1' B3-4B1' Tukar baris2 dan 3 B2/(-11/3) B1-1/6B2' B3-5/3B2' B4-2B2' B3/(75/11) B1+ 9/11B3' B2+12/11B3' B4-24/11B3' B4/(39/25) B1- 1/25B4' B2+77/275B4' B3-62/75B4' Sehingga:x1 = -1/2 x2 = 1 x3 = 1/3 x4 = -2 Prinsipnya: melakukan dekomposisi matriks A terlebih dahulu sehingga dapat terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudian secara mudah dapat melakukan substitusi balik (backsubstitution) untuk berbagai vektor VRK (vektor ruas kanan). Matriks A diuraikan ke dalam hasil kali dua matriks L dan U, dimana L adalah Triangular bagian bawah (Lower) dan U adalah Triangular matriks bagian atas (Upper)dengan angka 1 pada diagonalnya. Penentuan elemen-elemen matriks L dan U dapat dijabarkan sebagai berikut: METODA LU DECOMPOSITION matriks L matriks U matriks A Dengan operasi perkalian matriks maka dapat diperoleh elemen-elemen L dan U yaitu Baris-baris L dikali kolom ke-1 U: L11 =a11L21 = a21 L31 = a31 L41= a41 Baris ke-1 L dikali kolom-kolom U: L11 U12 =a12L11 U13 = a13L11 U14 = a14L41= a41 Baris-baris L dikali kolom ke-2 U: L21 U12 + L22 =a22

L31 U12 + L32 = a32 L41 U12 + L42 = a42 L22 =a22 - L21 U12

L32 = a32 -L31 U12

L42 = a42 - L41 U12 Dengan cara yang sama diperoleh: L33 =a33 L31 U13 L32 U23L43= a43 L41 U13 L42 U23 L44 = a44 - L41 U14 L42 U24 L43 U34Rumus umum untuk memperoleh elemen-elemen L dan U: Untukj = 1Li1 = ai1 Untuki = 1U1j = a1j/L11 = a1j/a11 Setelah elemen-elemen L dan U diperolehPenyelesaian pers. A X = c Gunakan transformasi yang sama pada vektor c menjadi vektor baru c. Bila vektorc digabung dengan matriks U maka penyelesaian dapat dicari Persamaan umum untuk menghitung c : Persamaan untuk substitusi kembali: Contoh:Selesaikan sistem persamaan-persamaan berikut dengan metode LU decomposition: Penyelesaian: Dari soal diperoleh: Mencari matriks L dan U untukmatriks A Tugas Gambar berikut ini memperlihatkan sistem tiga buah reaktor yang terhubungkan oleh pipa-pipa. Laju perpindahan setiap komponen/zat melalui setiap pipa merupakan perkalian dari laju alir volumetriknya (Q, dalam satuan m3/detik) dengan konsentrasinya yang keluar dari masing-masing reaktor (C, dalam satuan mg/m3).Sistem proses berada dalam kondisi steady, yang berarti bahwa laju massa masuk ke setiap reaktor sama dengan laju massa keluar. Susunlah neraca massa pada masing-masing reaktor dan selanjutnya selesaikanlah sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk (untuk menentukan harga-harga C1, C2, dan C3). Tugas Kelompok Studi Kasus Umpan berupa zat A murni dengan laju 100 kmol/jam. Kendala:1. 80% dari A dan 40% dari B di dalam alur 2 didaur ulang (recycle). 2. Perbandingan mol A terhadap mol B di dalam alur 1 adalah 5:1 Susunlah neraca massa pada masing-masing alat dan selanjutnya selesaikanlah sistem persamaan aljabar linier yang terbentuk! Prosedur penyelesaian: Baris-baris persamaan diatur kembali sehinggaelemen-elemen diagonal diusahakan mempunyai harga yang relatif lebih besar dibanding elemen pada baris yang sama METODA JACOBI Pendekatan awal x(1) hitung masing-masing komponen x, untuk i = 1,2,ndengan pesamaan:

dimana adalah harga xi pada pendekatan k Iterasi dihentikan bila harga mendekati yaitu bila: adalah batas kesalahan maks yang diijinkan. Metode ini konvergen jikaMETODA GAUSS-SIEDEL Metode ini hampir sama dengan metode Jacobi. Prosedurpenyelesaiannyaadalah: Iterasi dihentikan bila harga mendekati yaitu bila: adalah batas kesalahan maks yang diijinkan. Metode ini konvergen jikaContoh:Tentukan x, y, dan z dari sistem persamaan-persamaan berikut dengan metode Jacobidan Gauss Siedel dengan harga awal x0 = 1, y0 = 2 dan z0 = 2Penyelesaian: Persamaan dapat ditulis Proses iterasi Jacobi: Proses iterasi Gauss Siedel: MASUKKAN HASIL PERHITUNGAN Tugas MetodePenyelesaian Numerik Introduction Even with advanced methods of integration there are many mathematical functions which cannot be integrated by analytical methods and thus approximate methods have then to be used. Approximate methods of definite integrals may be determined by what is termed numerical integration. It may be shown that determining the value of a definite integral is, in fact, finding the area between a curve, the horizontal axis and the specified ordinates. Three methods of finding approximate areas under curves are the trapezoidal rule, the mid-ordinate rule and Simpsons rule, and these rules are used as a basis for numerical integration. Trapezoidal rule Let a required definite integral be denoted byand be represented by the area under the graph of y = f (x) between the limits x = a and x = b as shown below An approximation to the area under the curve may be determined by joining the tops of the ordinates by straight lines. Each interval is thus a trapezium, and since the area of a trapezium is given by: area = (sum of parallel sides) (perpendicular distance between them) then, i.e. the trapezoidal rule states: (a) Use integration to evaluate, correct to 3 decimal places, (b) Use the trapezoidal rule with 4 intervals to evaluate the integral in part (a), correct to 3 decimal places Problem 1 Solution: (b) The range of integration is the difference between the upper and lower limits, i.e. 3 - 1 = 2.Using the trapezoidal rule with 4 intervals gives an interval width and ordinates situated at 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 and 3.0. Corresponding values ofare shown in the table below, each correct to 4 decimal places (which is one more decimal place than required in the problem). Problem 2 Use the trapezoidal rule with 8 intervals to evaluate, correct to 3 decimal places With 8 intervals, the width of each isgiving ordinates at 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75 and 3.00. Corresponding values of are shown in the table below: Simpsons rule Newton Raphson