MATEMATIKA UNTUK KIMIA

BILANGAN REAL, PERTIDAKSAMAAN, NILAI MUTLAK

DAN PERTIDAKSAMAAN DALAM ILMU KIMIA

KELOMPOK 1

1. Luh Aridarmaswari (1113031002)

2. Putu Gede Gita Naradipta (1113031012)

3. Ni Putu Sri Aprianti (1113031090)

4. Abdul Ajiz Mauliyana (1413031028)

JURUSAN PENDIDIKAN KIMIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA

SINGARAJA

2014

A. SISTEM BILANGAN REAL

Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus

berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan real penting untuk

kita pahami terlebih dahulu. Sistem adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-

sifatnya, sedangkan himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan-bilangan rasional

atau irrasional, sehingga sistem bilangan real adalah himpunan yang terdiri dari bilangan

real beserta sifat-sifat yang dimilikinya.

Berikut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real.

a. Himpunan bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan ℕ = {1, 2, 3, ...}. Bilangan

asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut

dengan himpunan bilangan bulat positif.

b. Himpunan bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan dengan ℤ = {..., -2, -1,

0, 1, 2, ...}.

c. Himpunan bilangan rasional; misalnya { ,3

2,

2

16dsb}, dinotasikan dengan ℚ. Secara

umum, bentuk bilangan rasional dituliskan sebagai ℚ =

nmn

m, ℤ, dan n≠ 0

d. Himpunan bilangan irasional; misalnya { ,2 ,73 π, dsb}, merupakan bilangan yang

tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk n

m dengan m dan n

bilangan bulat dan n ≠ 0.

Himpunan bilangan real sering dinyatakan dengan R. Selanjutnya, berdasarkan

penjelasan himpunan dari sistem bilangan real di atas maka dapat diambil simpulan

bahwa bilangan real merupakan gabungan dari bilangan asli, bulat, rasional dan irasional.

Apabila dinyatakan dalam bentuk diagram Venn akan menghasilkan,

Keterangan:

N = Bilangan asli

Z = Bilangan bulat

Q = Bilangan rasional

I = Bilangan irasional

R = Bilangan real

Pada sistem bilangan real, kalau kita lakukan operasi penjumlahan dan perkalian,

maka hasilnya selalu bilangan real juga. Hal seperti ini dikatakan bahwa operasi

penjumlahan dan perkalian pada bilangan real bersifat “tertutup”. Beberapa aksioma

yang memberikan sifat-sifat tentang operasi penjumlahan dan perkalian di R, yaitu :

1. Sifat ketertutupan dan ketunggalan

Jika a, b ∈ R , maka terdapat satu dan hanya satu bilangan real yang dinyatakan

dengan a + b dan ab.

2. Sifat komutatif (pertukaran)

Jika a, b ∈R , maka a + b = b + a dan ab = ba

3. Sifat assosiatif (pengelompokan)

Jika a, b dan c ∈R , maka a + (b + c) = (a + b) + c dan a (bc) = (ab) c

N

Z

Gambar 1. Hubungan bilangan asli, bulat, rasional dan irasional dengan

bilangan Real

4. Sifat distributif (penyebaran)

Jika a, b dan c ∈R , maka a (b + c) = ab + ac , yaitu sifat penyebaran dari perkalian

terhadap penjumlahan.

5. Adanya unsur identitas (satuan)

Ada dua bilangan real 0 dan 1 sedemikian sehingga a + 0 = a dan a.1 = a

6. Adanya negatif atau invers terhadap penjumlahan

Untuk setiap bilangan real a, ada suatu bilangan real yang dinamakan negatif dari a,

dinyatakan dengan –a (dibaca “ negatif dari a”) sehingga a + ( -a ) = 0

7. Adanya kebalikan atau invers terhadap perkalian

Untuk setiap bilangan real a, kecuali 0 ada suatu bilangan real yang dinamakan

kebalikan dari a dinyatakan dengan a-1

atau a

1 sehingga a.

a

1= 1

B. PERTIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, ,

atau . Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi

pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan interval-

interval.

Interval terbuka (a,b) adalah himpunan bilangan rill yang lebih besar dari a dan

kurang dari b. Jadi (a,b) = {x| a < x < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah

himpunan semua bilangan rill yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama

dengan b. Jadi [a,b] = {x| a x b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.

Tabel 1. Penyajian Himpunan dalam Notasi Himpunan, Interval, dan Garis Bilangan

Notasi Himpunan Interval Garis Bilangan Rill

{ x|a< x < b } (a,b)

{ x|a x < b } [a,b)

{ x|a < x b } (a.b]

{ x|a x b } [a.b]

{ x|x b } (-, b]

{ x|x < b } (-, b)

{ x|x a } [a, )

{ x|x > a } (a, )

R

(-, )

Contoh pertidaksamaan

1) 2x – 7 < 4x – 2

2) -5 2x + 6 < 4

3) x2 – x – 6 < 0

4) 3x2 – x – 2 > 0

5) 1

Menyelesaikan pertidaksamaan

Sama halnya dengan persamaan, langkah-langkah untuk menyelesaikan

pertidaksamaan terdiri atas pengubahan pertidaksamaan satu langkah sampai himpunan

pemecahan jelas. Kita dapat melakukan operasi-operasi tertentu pada suatu

pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya, khususnya:

a b

a b

b a

a b

b

b

a

a

a

a

b

b

1. Suatu pertidaksamaan jika kedua ruas ditambahkan dengan bilangan positif atau

bilangan negatif yang sama maka tanda pertidaksamaannya tidak berubah.

2. Suatu pertidaksamaan jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif yang sama,

maka tanda pertidaksamaannya tidak akan berubah.

3. Suatu pertidaksamaan jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan negatif yang sama,

maka tanda pertidaksamaannya akan berubah.

Contoh 1:

Selesaikan pertidaksamaan berikut: 2x – 7 < 4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan.

Penyelesaian:

2x – 7 < 4x – 2

2x < 4x + 5 (tambahkan 7)

-2x < 5 (tambahkan -4)

x > (kalikan dengan - )

-3 -1 0 1 2 3

-2

Hp: interval ( )

Contoh 2.

Selesaikan -5 2x + 6 < 4 dan perlihatkan grafik himpunan.

Penyelesaian:

- 5 2x + 6 4

- 11 2x -2 (tambahkan -6)

- x < -1 (kalikan dengan )

-7 -6 -4 -3 -2 -1 0 1

-5

Hp: [ , -1) = {x| < x < -1}

Sebelum menangani pertidaksamaan kuadrat, dapat ditunjukan bahwa suatu faktor

linear berbentuk x – a adalah positif untuk x > a dan negatif untuk x < a. Ini berarti bahwa

hasil kali (x – a)(x – b) dapat berubah dari bernilai positif menjadi negatif, atau sebaliknya.

Titik-titik ini pada suatu faktor disebut titik-titik pemecah. Titik-titik ini merupakan kunci

)

(

untuk menentukan himpunan pemecahan dari pertidaksamaan kuadrat atau tingkat yang lebih

tinggi.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – x < 6

Penyelesaian:

x2 – x < 6

x2 – x – 6 < 0 (tambahkan -6)

(x – 3) (x + 2) < 0 (faktorkan)

Pada penyelesaian di atas, -2 dan 3 adalah titik-titik pemecah: titik-titik ini membagi garis riil

menjadi tiga interval (-, -2), (-2, 3), dan (3, ). Pada tiap interval ini, (x – 3)(x + 2) bertanda

tetap, yakni selalu positif atau selalu negatif. Untuk mencari tanda ini dalam tiap interval,

misalnya -3, 0 dan 5. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Titik Uji Nilai dari

(x – 3) (x + 2)

Tanda

-3 6 (+)

0 -6 (-)

5 14 (+)

Grafik himpunan:

+ + - - - + +

- 2 3

Hp : Interval (-2,3) = {x| -2 < x < 3}

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 – x – 2 > 0

Penyelesaian

Titik-titik pemecah

-3 0 5

3x2 –x – 2 > 0

(x – 1) (3x + 2) > 0

Titik-titik pemecah adalah , dan 1. Titik-titik ini bersama-sama dengan dengan titik-titik

uji -2,0,2 memberikan informasi yang diperlihatkan dalam grafik himpunan berikut. Kita

simpulkan bahwa himpunan pemecahan dari pertidaksamaan terdiri dari titik-titik yang

berada dalam interval (-, ), atau (1, ). Himpunan penyelesaiannya adalah gabungan

(dilambangkan dengan ) dari dua interval ini: yaitu (-, ) (1, ).

Hp: interval (-, ) (1, ) = {x| x < atau x > 1}

Contoh 5.

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

Penyelesaian:

Grafik himpunan:

+ + - - - + +

2 3

Hp: interval (2, 3] = x | 2 < x 3}

0

+ - 0 +

-2 -1 0 1 2 ) (

C. NILAI MUTLAK

Berbagai terapan matematika, khususnya bilangan, pada kasus-kasus tertentu

memerlukan suatu bilangan yang selalu positif. Misal dicontohkan dalam kasus jarak

suatu titik ke titik lain, jarak suatu kota ke kota lain, luas daerah suatu bidang, luas

daerah suatu kebun, dsb tidak mungkin bernilai negatif. Dalam sistem bilangan real,

bilangan yang tidak pernah negative didefinisikan sebagai harga mutlak.

Nilai mutlak x dengan notasi didefinisikan sebagai:

Contoh :

= -(-2) = 2, karena -2 < 0

= 0

= =

Akibat definisi nilai mutlak

-a < x < a < a

x > a atau x < -a > a

Sifat-sifat Nilai Mutlak :

1. =

2. ,y ≠ 0

3. <

4.

5.

D. PERTIDAKSAMAAN DALAM ILMU KIMIA

Salah satu penerapan pertidaksamaan dalam ilmu kimia adalah dalam

mengindentifikasi sifat asam-basa suatu larutan menggunakan larutan indikator.

Untuk mengidentifikasi sifat asam basa larutan, selain menggunakan kertas lakmus,

dapat juga menggunakan larutan indikator yang akan memberikan warna tertentu

sesuai kondisi pH. Identifikasi larutan di laboratorium umumnya menggunakan

empat jenis larutan indikator, yaitu larutan fenolftalein, metil merah, metil jingga,

dan bromtimol biru.

Tabel 2. Beberapa Contoh Larutan Indikator

No Indikator Rentangan pH Asam Basa

1 Timol biru 1,2 - 2,8 Merah Kuning

2 Pentametoksi

merah

1,2 - 2,3 Merah-ungu Tak berwarna

3 Tropeolin OO 1,3 - 3,2 Merah Kuning

4 2,4-Dinitrofenol 2,4 - 4,0 Tak berwarna Kuning

5 Metil kuning 2,9 - 4,0 Merah Kuning

6 Metil oranye 3,1 - 4,4 Merah Oranye

7 Tetrabromfenol

biru 3,0 - 4,6 Kuning Biru

8 Alizarin natrium

sulfonat 3,7 - 5,2 Kuning Ungu

9 Α-Naftil merah 3,7 - 5,0 Merah Kuning

10 P-

Etoksikrisoidin 3,5 - 5,5 Merah Kuning

11 Bromkresol

hijau 4,0 - 5,6 Kuning Biru

12 Metil merah 4,4 - 6,2 Merah Kuning

13 Bromkresol

ungu 5,2 - 6,8 Kuning Ungu

14 Klorfenol merah 5,4 - 6,8 Kuning Merah

15 Bromfenol biru 6,2 - 7,6 Kuning Biru

16 P-Nitrofenol 5,0 - 7,0 Tak berwarna Kuning

17 Azolitmin 5,0 - 8,0 Merah Biru

18 Fenol merah 6,4 - 8,0 Kuning Merah

19 Neutral merah 6,8 - 8,0 Merah Kuning

20 Rosolik acid 6,8 - 8,0 Kuning Merah

21 Kresol merah 7,2 - 8,8 Kuning Merah

22 Α-Naftolftalein 7,3 - 8,7 Merah mawar Hijau

23 Tropeolin OOO 7,6 - 8,9 Kuning Merah mawar

24 Timol biru 8,0 - 9,6 Kuning Biru

25 Fenolftalein (pp) 8,0 - 10,0 Tak berwarna Merah

26 Α-Naftolbenzein 9,0 - 11,0 Kuning Biru

27 Timolftalein 9,4 - 10,6 Tak berwarna Biru

28 Nile biru 10,1 - 11,1 Biru Merah

29 Salisil kuning 10,0 - 12,0 Kuning Oranye-coklat

30 Diazo ungu 10,1 - 12,0 Kuning Ungu

31 Tropeolin O 11,0 - 13,0 Kuning Oranye-coklat

32 Nitramin 11,0 - 13,0 Tak berwarna Oranye-coklat

33 Poirrier's biru 11,0 - 13,0 Biru Ungu-pink

34 Asam

trinitrobenzoat 12,0 - 13,4 Tak berwarna Oranye-merah

Contoh:

Suatu sampel air sungai diuji pH dengan ditetesi beberapa indikator:

- Dengan metil jingga berwarna jingga - Dengan metil merah berwarna kuning

- Dengan bromtimol biru berwarna biru - Dengan PP tak berwarna

Maka pH sungai diperkirakan sekitar…

Jawab :

Dengan metil jingga berwarna jingga, maka pH > 4,4

Dengan metil merah berwarna kuning, maka pH > 6,2

Dengan bromtimol biru berwarna biru, maka pH > 7,6

Dengan PP tak berwarna, maka pH < 8,0

sehingga pH larutan = 7,6 < pH < 8,0

SOAL LATIHAN

1. Sederhanakanlah -4[3(-6+13) – 2(5-9)]= ....

2. Sederhanakanlah ....3

2

4

1

6

5

3. Sederhanakanlah (3x-9)(2x+1)= ....

4. Sederhanakanlah

3

5

1

534

2

3 2

xx

xxx

x

= ....

5. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2472 xx adalah....

6. Penyelesaian dari pertidaksamaan 05352 xx adalah....

7. Penyelesaian dari pertidaksamaan 3284 xxx adalah....

8. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 21

42

x

x

9. Selesaikan nilai mutlak berikut

10. Selesaikan nilai mutlak berikut

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2009. Bilangan Real. pdf. Diakses dari hamimnova.files.wordpress.com pada

tanggal 7 September 2014

Anonim. 2010. Bilangan Real. pdf. Diakses dari p4tkmatematika.org pada tanggal 7

September 2014

Anonim. 2013. Indikator Asam Basa. Diakses dari www.ilmukimia.org pada tanggal 7

September 2014

Anonim. 2013. Kalkulus 1 Sistem Bilangan Real. pdf. Diakses dari

aswhat.files.wordpress.com pada tanggal 7 September 2014

Hartono, Tony. 2010. Handout Kalkulus Dasar. pdf. Diakses dari

teknikinformatika2013.files.wordpress.com pada tanggal 7 September 2014

Mendelson, Eliot. 1988. 3000 Solved Problems in Calculus. United States. McGraw-Hill

Companies, Inc.

Purcell, Edwin J. & Varberg, Dale. 1992. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Ed.5

(terjemahan). Jakarta. Erlangga