matematika metode numerik lanjut...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA
LANJUT 2
2KA162KA16
MATEMATIKA
LANJUT 2METODE NUMERIKMETODE NUMERIK
Dwi Ermawati
Pertemuan Minggu Ke-1
Metode Numerik
2 Teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang
diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi
hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi
Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka
Solusi dari metode numerik menghasilkan solusi dengan nilai yang
mendekati dengan nilai sebernarnya (Pendekatan,Hampiran dan
perkiraan)
Metode Numerik
2Dalam penyelesaian numerik terdapat kesalahan terhadap nilai
sebenarnya.
Ada tiga macam kesalahan yaitu:
1) Kesalahan bawaan : kesalahan dari nilai data
2) Kesalahan pembulatan : karena tidak diperhitungkannya beberapa anga terakhir dari suatu bilangan
3) Kesalahan Pemotongan : karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar
Contoh: Suatu proses tak berhingga dipotong menjadi hingga
Metode Numerik
2Aturan Pembulatan:
a) Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka bukan signifikan.
Contoh:
Empat angka signifikan dari bilangan 16,7321 adalah
Bukan
Angka
Signifikasi
Angka
Signifikasi
Metode Numerik
2b) Jika digit pertama dari bukan angka signifikan lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya
buang bukan angka signifikan.
Contoh:
Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,5
c) Jika digit pertama dari bukan angka signifikan lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka signifikan.
Contoh:
Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,67
d) Jika digit pertama dari bilangan bukan angka signifikan sama dengan 5, maka:
- Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka bukan
signifikan.
Contoh:
Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 37,8
- Jika digit terakhir dari angka signifikan merupakan bilangan genap, maka buang bukan angka signifikan.
Contoh:
Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 79,8
Aturan-aturan pada Operasi Aritmatika Angka Signifikan
2- Penjumlahan dan pengurangan:
" Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakang koma sebanyak angka di belakang
koma yang paling sedikit pada bilanganbilangan yang dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan".
Contoh:
2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68)
34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48)
40,55 + 3,1 + 10,222 = 53,872 (dibulatkan menjadi 53,9)
14,2294 – 2,37 = 11,8594 (dibulatkan menjadi 11,86)
- Perkalian dan pembagian:
" Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai angka signifikan sebanyak bilangan dengan angka signifikan
paling sedikit".
Contoh 2.18
(32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095
Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2 (2 angka signifikan).
Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dibulatkan menjadi 33 (2 angka signifikan)
2
Aturan-aturan pada Operasi Aritmatika Angka Signifikan
Contoh:
Tulis hasil perkalian dan pembagian berikut dalam
jumlah angka signifikan yang benar.
a) 32,2 x 7,1 = 228,62
b) 3,34 x 444,76 = 1485,4984
c) 84,22 : 2,1 = 40,1048
d) 76,3 : 4, 88888 = 15,668
e) 67,3333 x 2,5 x 3,555555 = 598,5181
Penyelesaian
a) 228,62 ditulis menjadi 230
b) 1485,4984 ditulis menjadi 1480
c) 40,1048 ditulis menjadi 4,0 x 101
d) 15,668 ditulis menjadi 15,7
e) 598,5181 ditulis menjadi 6,0 x 102
Kombinasi Perkalian dan/atau pembagian denganPenjumlahan dan/atau Pengurangan
2Contoh:
Selesaikan
[15,2 x (2,8 x 10−4 )] + [(8,456 x 10−4) : 0,177]
[4,256 x 10−3 ] + [4,7774011… x 10−3]
Bulatkan besaran-besaran di dalam kurung
[4,3 x 10−3 ] + [4,78 x 10−3]
9,08 x 10−3
Bulatkan Menjadi 9,1 x 10−3
Kesalahan Absolut dan Relatif
2Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan
kesalahan dapat diberikan dalam bentuk berikut ini :
Indeks e menunjukkan bahwa kesalahan
dibandingkan terhadap nilai eksak
Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan
dalam bentuk kesalahan relatif, yaitu dengan
membandingkan kesalahan yang terjadi dengan
nilai eksak.kesalahan absolut:
Kesalahan Absolut dan Relatif
2Dalam metode numerik, biasanya nilai tersebut
tidak diketahui. Untuk itu kesalahan dinyatakan
berdasarkan pada nilai perkiraan terbaik dari nilai
eksak, sehingga kesalahan mempunyai bentuk
berikut ini:
Indeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan
terhadap nilai perkiraan (approximate value)
Didalam metode numerik, sering dilakukan
pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan
tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan
perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini kesalahan
adalah perbedaan antara perkiraan sebelumya
dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif
diberikan oleh bentuk: