Sejarah Bilangan dan Perkembangannya

Sejarah Angka di Dunia

Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya

mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmu

matematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut. Dalam berbagai

literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kali menemukan angka-angka atau

bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya

Keseimbangan Matematika dalam Al-qur’an, catatan angka pertama kali ditemukan pada

selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggal didaerah Mesopotamia sekitar tahun

3.000 SM. Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yang

dilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan, lengkungan

setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan

dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan.Sistem ini kemudian

dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.

Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D,

dan M, yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad

pertengahan. Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yang digunakan oleh para

ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang

Arab. Sehingga, angka tersebut disebut dengan angka Arab. Dibandingkan dari seluruh angka

yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan,

angka nol pernah ditolak keberadaannya oleh kalangan gereja Kristen. Orang yang paling berjasa

memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim

terkenal. Dia memperkenalkan angka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-

Muqbala atau yang lebih dikenal dengan nama Aljabar. Angka nol ini kemudian dibawa ke

Eropa oleh Leonardo Fibonacci dalam karyanya Liber Abaci, dan semakin dikenal luas pada

zaman Renaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.

Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di India disebut

dengan sunya (kosong, hampa). Hingga kini, angka nol memiliki makna yang sangat khas dan

memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanya keberadaan angka nol ini dapat

menimbulkan kekacauan logika. ''Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat

didefinisikan. Bahkan,komputer sekalipun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan

pembagi angka nol,'' jelas Sampayya. Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu

dengan sang divisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.

Bilangan dan angka

Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap

sebagai dua ha l yang sa ma . Se bena rnya , angka dan b i l a ngan m empunya i

penge r t i an yang be rbeda .  B i l a n g a n a d a l a h s u a t u k o n s e p m a t e m a t i k a

y a n g d i g u n a k a n u n t u k p e n c a c a h a n d a n  pengukuran . Sedangkan angka

adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk  mewak i l i s a tu

b i lan gan . Con t ohnya , b i l anga n l i ma dapa t d i l amba ngkan de ngan a ngka

5  maupun m enggunakan a ngka roma wi V . L ambang ” 5” dan ”V ” ya ng

d igunaka n un tuk  melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi,

sebenarnya benda apakah yang  b i a s a k i t a s e b u t d e n g a n b i l a n g a n i t u ?

S e t i a p b i l a n g a n , m i s a l n y a b i l a n g a n y a n g k i t a   lambangkan dengan

angka 1,  sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia,

tetapi bersifat universal.  Misalnya, tulisan atau ketikan 1. Yang anda liat  di kertas dan

sedang anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang

dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya

dari kertas ke mata anda. Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di

papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1,  melainkan tinta dari spidol yang membentuk

lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun

telah diperluas un tuk me l ipu t i b i l angan no l , b i l anga n a s l i , b i l angan bu l a t ,

b i l a ngan r a s iona l , b i l a ngan   irasional, dan lain-lain.

B i l a n g a n a s l i m e r u p a k a n s a l a h s a t u k o n s e p matematika

yang paling sederhana dan termasuk konsep  pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti

oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis  kera besar juga

bisa menggunakannya. Bilangan asli terdiri dari bilangan bulat positif yang bukan nol (1,

2, 3, 4,....). Wa ja r b i l a j en i s pe r t ama da r i b i l angan ya ng d igunakan  un tuk

mengh i tung in i t i da k me nggunakan no l . Ka re na   s e b e n a r n y a d a l a m

k e h i d u p a n s e h a r i - h a r i k i t a t i d a k   mem bu tuhkan b i l a ngan no l .

S epe r t i da l am mengh i tung   ape l pada gam bar d i ba wah , k i t a t i dak

mengh i tungnya dengan cara menghitung dari nol (nol apel, satu apel, dua apel, ....)

melainkan dengan menghitung dari satu. Atau  saat ditanya berapa apel yang kamu punya,

kita akan lebih c e n d e r u n g m e n j a w a b t i d a k p u n y a a p e l

k e t i m b a n g menjawab saya punya nol apel.

Perkembangan Angka dari berbagi tempat

Kemungkinan terbesar manusia mulai menghitung adalah setelah bahasa

berkembang. Saat itu jari-jari tangan merupakan alat hitung yang paling alami. Itulah

sebabnya mengapa sistem perhitungan yang kita gunakan saat ini menggunakan

bilangan berbasis 10. Untuk mencari bukti sejarah, ukiran pada batu atau kayu adalah solusi

yang paling alami. Dari bukti sejarah, sistem hitung yang paling awal terdiri dari simbol

berulang yang masing-masing terdiri dari sepuluh, yang diikuti oleh pengulangan

simbol untuk satu. Untuk contoh pada  angka-angka yang digunakan saat ini seperti 1

sampai 10, kemudian 11 (simbol bilangan satu diulang pada simbol bilangan sebelas sebagai

penanda 11 adalah 10 + 1). Atau pada bilangan romawi, bilangan dua puluh satu dilambangkan

menjadi XXI (simbol angka sepuluh diulang kemudian dimulai lagi dari satu sebagai penanda 20

adalah 10 + 10 +1)

Angka Mesir (3000-1600 SM)

Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang

ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10

diwakilkan oleh lambang ^. Orang mesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga

disimbolkan menjadi |||^^. Bila anda sulit mengartikannya menjadi 23, bandingkanlah

dengan angka romawi XXIII. Angka romawi tersebut pada dasarnya adalah sistem

Mesir, diadaptasi oleh Roma dan sampai sekarang masih kita gunakan setelah

kemunculan pertamanya yaitu lebih dari 5000 tahun yang lalu.

Para juru tulis Fir'aun (yang hartanya sangat sulit untuk dihitung) menggunakan suatu

sistem untuk menghitung angka-angka besar. Memang sulit digunakan, tapi tidak diragukan lagi

itu yang mereka pakai. Membaca versi tertulis dari angka-angka besar mesir sama seperti

menghitung total nilai dari koin-koin judi di Las Vegas. Orang-orang mesir kuno

meletakan angka yang besa r d i kana n , dan yang kec i l d i k i r i . J ad i , un tuk

kepe r l uan de mons t r a s i ,  bayangkanlah koin A bernilai 100.000, koin B bernilai 10.000,

koin C bernilai 1.000, koin D bernilai 100, koin E bernilai 10, dan koin F bernilai 1.

dengan nilai-nilai itu, angka Mesir  FEEEDDDDDDCCCCBBBAA bisa mewakilkan

angka 234.641. Dan angka-angka besar  seperti ini berperan dalam dokumen yang

mendeskripsikan harta-harta milik firaun. Simbol Mesir untuk angka besar seperti

100.000, adalah suatu simbol yang seperti burung, tetapi angka-angka yang lebih kecil

dilambangkan dengan garis lurus dan melengkung.

Angka Babylonia (1750 SM)

Orang-orang Babylonia, menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Sistem ini

benar-  b e n a r s u l i t d i g u n a k a n , k a r e n a s e c a r a l o g i k a

s e h a r u s n y a   m e m b u t u h k a n 5 9 s i m b o l y a n g   b e r b e d a ( s a m a s e p e r t i

s i s t e m   d e s i m a l b e r b a s i s 1 0 s a a t i n i mempunyai simbol yang

berbeda sa mpa i 9 ) . Se ba l i knya , angka d i  bawah 60 dilambangkan

dengan k e l o m p o k - k e l o m p o k s e p u l u h .

Angka Babylonia

Yang menyebabkan bentuk tertulisnya sangan aneh jika dibandingkan dengan

composisi aritmatika manapun.

Me la l u i ke unggu lan o r ang Baby lon ia pada b i dang a s t ronomi , s i s t em

pe rh i t ungan  berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang pada 60 detik dalam

satu menit, dan pada pengukuran sudut, 180 derajat pada jumlah sudut segitiga dan

360 derajat pada sudut satu lingkaran. Dan jauh setelah itu, saat waktu bisa diukur dengan

akurat, sistem yang sama juga digunakan dalam 60 menit dalam 1 jam.

Orang Babylonia mengambil langkah krusial menuju suatu sistem perhitungan

yang l eb i h e f e k t i f . M ereka mem perkena l kan konsep n i l a i t em pa t , ya i t u

angka ya ng sam a b i s a  mempunyai nilai yang berbeda tergantung letak angka pada

urutan. Untuk lebih jelas, kita ambil contoh angka 222. Pada angka tersebut terdapat

tiga angka 2 yang mempunyai nilai  yang berbeda-beda, yaitu 200, 20, dan 2. Tapi konsep

ini baru dan merupakan langkah yang sangat berani bagi orang Babylonia. Untuk mereka,

dengan sistem perhitungan berbasis 60, sistem nilai tempat lebih sulit untuk digunakan.

Untuk mereka angka simpel seperti 222 mempunyai nilai 7322 bila menggunakan

sistem hitung berbasis 10 yang kita gunakan (2 x60 kuadrat + 2 x 60 + 2)

Sistem nilai tempat membutuhkan suatu tanda yang bermakna ”kosong”, untuk saat-saat

dimana jumlah nilai pada satu kolom sama dengan kelipatan 60. Dari sinilah awal mula angka

0. Meskipun bilangan nol itu sendiri belum ada, dan angka 0 tidak mempunyai

nilai numerik tersendiri.

Angka Suku Maya

Suku maya, sama seperti suku Aztec, menggunakan sistem bilangan berbasis

20.Seperti orang Babylonia, suku Maya menggunakan sistem nilai tempat, dan tentu saja,

angka n o l . M e r e k a m e n g g u n a k a n 3 s e t g r a f i k   notasi yang berbeda untuk

mewakili angka:

a) Dengan titik dan garis,

b) Dengan figur antropomorfik, dan

c) dengan simbol.  

Angka suku Maya

Figur di atas melambangkan angka 0-10 untuk suku Maya

Angka Romawi 300 SM

Angka romawi menggunakan sistem bilangan berbasis 5. Angka I dan V dalam

angkaromawi terinspirasi dari bentuk tangan, yang merupakan alat hitung alami. Sedangkan

angka X/ lambang dari 10, adalah gabungan dua garis miring yang melambangkan 5. Dan L, C,

D,dan M, yang secara urut mewakili 50, 100, 500, dan 1.000, merupakan modifikasi dari simbol

V d a n X

Garis yang miring mewakili jempol, yang kemudian menjadi simbol limaX(10) adalah gabungan

dua garis miring

Symbol L, C, D, & M merupakanmmodifikasi dari simbol V & X

U n t u k m e n u l i s a n g k a , o r a n g R o m a w i menggunakan sistem

penjumlahan : V + I = VI (6) a t a u C + X + X + I = C X X I ( 1 2 1 ) ,

d a n s i s t e m  pengurangan : IX (I sebelum X =9) atau XCIV (X sebelum C = 90, I

sebelum V = 4)

Nol, Sistem Desimal , dan Angka Hindu-Arab (300 SM – sekarang)

Pada sistem perhitungan Babylonia dan Maya, bentuk angka tertulisnya masih

sangan rumit untuk perhitungan aritmatika yang efisien. Selain itu,  angka nol belum

berfungsi penuh.

Agar angka nol bisa memenuhi potensinya dalam matematika, setiap bilangan

harus mem punya i s im bo l s end i r i a t au pa l ing t i dak angka -angka das a r da l am

bas i s h i t unga n  mempunyai simbol sendiri. Sistem ini kemungkinan muncul

pertama kali di India. Angka-angka yang dipakai saat ini mengalami perubahan-perubahan

bertahap sejak 3 abad sebelum masehi.

Ora ng -o rang Ind i a menggunaka n l i ngka ran kec i l s aa t t empa t pa da

angka t i da k  mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya,

diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang

penuh sekitar tahun 800 M as eh i , s aa t s i s t em in i j uga d i adap ta s i d i Baghda d .

Ora ng a r a b m enggunakan t i t i k   sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti

yang sama dalam bahasa arab, sifr.

Sekitar dua abad kemudian angka India masuk ke Eropa dalam manuskrip Arab, dan

dikenal dengan nama angka Hindu-Arab. Dan angka Arab sifr berubah menjadi ”zero”

dalam bahasa Eropa modern, atau dalam bahasa Indonesia, ”nol”. Tetapi masih perlu berabad-

abad lagi sebelum ke-sepuluh angka Hindu-Arab secara bertahap menggantikan angka romawi di

Eropa, yang diwarisi dari masa kekaisaran Roma.

Tokoh-tokoh matematika

Leonardo Pisano/Fibonacci (1170-1250)

 Lenardo Pisano Bogolo, juga dikenal dengan nama Leonardo of Pisa, Leona rdo

P i s ano , Leona rdo Bonacc i , a t a u yang pa l i ng se r ing d i s ebu t   dengan nama

Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali. Beberapa orang menyebutnya “ahli

matematika dari barat yang paling berbakat pada  abad pertengahan”.

F i b o n a c c i d i k e n a l o l e h d u n i a k a r e n a m e n y e b a r k a n

s i s t e m  perhitungan Hindu-Arab di Eropa. Terutama melalui publikasi

bukunya pada awal abad ke 13 yaitu Book of Calculation atau Liber Abaci.

Lahir sekitar tahun 1170, anak dari Guglielmo Fibonacci, seorang  pedaga ng

kaya i t a l i a . G ug l i e lmo mem impi n s ebuah pos pe rda gangan   (beberapa catatan

menyebutkan ia adalah konsultan untuk Pisa) di Bugia, sebuah pelabuhan di sebelah

timur Algiers Muwahidun kesultanan dinasti diAfrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair).

Sebagai anak muda, Leonardo berpergian dengan ayahnya untuk membantu ayahnya,

disanalah dia belajar tentang sistem perhitungan Hindu-Arab.

Menyadari bahwa berhitung dengan angka Hindu-Arab lebih sederhana dan

lebih e f i s i e n d i b a n d i n g k a n d e n g a n a n g k a R o m a w i , F i b o n a c c i

m e n j e l a j a h i s e l u r u h d u n i a   Me d i t e r an i a un tuk be l a j a r d i bawa h

pengaw as an ma tem a t i kawa n Ara b t e rkem uka s aa t   itu. Leonardo kembali dari

perjalanannya sekitar 1200. Pada 1202, saat ia berusia 32 tahun, ia menuangkan semua yang ia

pelajari kedalam buku Liber Abaci (Kitab Abacus atau Book of Calculatiaon), dan dengan

demikian memperkenalkan angka-angka Hindu-Arab ke Eropa

Al-khawarizmi

                     Na ma As l i da r i a l -K haw ar i zm i i a l a h M uhamm ad Ibn  Mus a a l -

Kha wa r i zm i . S e l a i n i t u be l i a u d ikena l i s ebaga i A bu  Abdullah Muhammad bin

Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi  d i k e n a l d i B a r a t s e b a g a i A l -

K h a w a r i z m i , A l - C o w a r i z m i , A l - Ahawizmi,  Al-Karismi,  Al-Goritmi,  Al-Gorismi

dan beberapa cara ejaan lagi. 

Beliau dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan Al-

Khawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat a n t a r a t a h u n 2 2 0 d a n 2 3 0 M . A d a

y a n g m e n g a t a k a n A l - K h a w a r i z m i h i d u p s e k i t a r a w a l

p e r t e n g a h a n a b a d k e - 9 M .

         Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/ 780M

dan meninggal tahun 266H/ 850M di Baghdad.

Dalam pendidikan telah dibuktikan bahwa Al-Khawarizmi adalah seorang

tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya

dalam bidang syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu

hitung, sejarah Islam dan kimia. 

      B e l i a u t e l a h m e n c i p t a k a n p e m a k a i a n S i n u s d a n T a n g e n d a l a m

p e n y e l i d i k a n   t r i gonom e t r i dan a s t ronom i . D a l am us i a m uda be l i a u

beke r j a d i baw ah pe mer i n t ahan  Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah

di Baghdad.

Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan

astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau

pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia

Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin.

Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar

dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak lagi ilmu pengetahuan  yang beliau pelajari

dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer

yang masih digunakan sampai sekarang.

Kepribadian al-Khawarizmi telah diakui oleh orang Islam maupun dunia

Barat. Inidapat dibuktikan bahwa G.Sarton mengatakan bahwa “pencapaian-pencapaian yang

tertinggi t e l ah d i pe ro l e h o l e h o r ang -o ra ng T imur….” D a lam ha l i n i A l -

Kha wa r i zm i . Tokoh l a in , Wiedmann berkata…." Al-Khawarizmi mempunyai kepribadian

yang teguh dan seorang yang mengabdikan hidupnya untuk dunia sains". Beberapa

cabang ilmu dalam Matematika yangdiperkenalkan oleh Al-Khawarizmi seperti: geometri,

aljabar, aritmatika dan lain-lain.

Pythagoras

P y t h a g o r a s o f S a m o s a d a l a h s e o r a n g f i l s u f Y u n a n i I o n i a d a n

p e n d i r i g e r a k a n   keagamaan disebut Pythagoreanism. Sebagian besar informasi

tentang Pythagoras ditulis   be r aba d -abad se t e l a h i a h i dup , dan se d ik i t nya

i n fo rma s i yang dapa t d ipe r c aya s eh ingga   sangat sedikit yang diketahui tentang

dia. 

Ia lahir di pulau Samos, dan mungkin bepergian secara luas di masa mudanya,

mengunjungi Mesir dan tempat-tempat lain untuk mencari  pengetahuan. Sekitar 530

SM, ia pindah ke Croton, sebuah koloni Yunani di Italia selatan, disana dia mendirikan sebuah

sekte keagamaan. pengikut-nya mengejar ritual keagamaan dan praktek yang dikembangkan oleh

Pythagoras, dan mempelajari teori filosofisnya.  

Masyarakat menga mbi l pe r a n ak t i f da l am po l i t i k C ro ton , t ap i i n i

akh i rnya me nyebabkan ke j a tuhan  mere ka . T empa t pe r t em uan P y tha go ra s

d ibaka r , dan P y thago ra s t e rpaks a me l a r ika n d i r i . Dia dikatakan telah mengakhiri

hari-harinya di Metapontum. P y t h a g o r a s m e m b e r i k a n k o n t r i b u s i

b e r p e n g a r u h t e r h a d a p f i l s a f a t d a n a j a r a n keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.

Ia sering dipuja sebagai matematikawan besar, mistik dan ilmuwan, dan dia terkenal karena

teorema Pythagoras yang diambil dari namanya.

Perkembangan Bilangan

Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat

menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan

linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita

akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat,

dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai

pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana,

sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan

Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara

alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan

tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,

saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang

digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan

yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan

tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu

pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah

bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N..Anggota

bilangan asli adalah N={1,2,3,…}. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi

dengan suatu aturan untuk

mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli

bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli

akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita

akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli

hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan

anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas

dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai

bilangan Cacah.

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan

nol menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki

notasi yang sama. Desa adanya bilangan nol, penulisan bilangan –bilangan yang besarpun

menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India tetapi kemudian

dipopulerkan oleh bangsa Arab pada era keemasan Islam.

Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya

merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang

memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang

memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan

keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang

ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan

membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.

Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan

bulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan

cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4

= 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya

dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan

hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 =

-2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk

bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan Z bulat adalah

Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 - 6, tetapi dapat juga

dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal

tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah.

Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}.

Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti

anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan

asli.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk

struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah,

terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif

(grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat

tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan

komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup,

komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem

bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan

sebelumnya.

Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat

tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek

menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh.

Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak,

maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh).

Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak

mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk

menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.

Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/n

dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka

persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat

membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan

(Field).

Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga

siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi

miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis

real). Ini berarti ada bilangan lain di luar sistem bilangan rasional. Bilangan

tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan

bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem

bilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapat

memenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masih

dapat diperluas.