BAB I

SISTEM BILANGAN REAL

Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real, dilambangkan dengan R.

Dalam himpunan bilangan real, terdapat 2 operasi dasar, yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.).

Sifat-sifat bilangan real adalah sebagai berikut:

1) Sifat untuk operasi penjumlahan:

1.1) Sifat komutatif, yaitu : a + b = b + a untuk semua a, b R.

Ex : 1 + 2 = 2 + 1, yaitu 3

1.2) Sifat assosiatif, yaitu : (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a, b, c R.

Ex : (1 + 2) + 3 = 6, dan 1 + (2 + 3) = 6. Jadi (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3).

1.3) Existensi bilangan 0, yaitu : ada suatu bilangan yaitu 0 R sedemikian sehingga 0

+ a = a dan a + 0 = a untuk semua a R.

Ex : 0 + 2 = 2 dan 2 + 0 = 2

1.4) Existensi bilangan negatif, yaitu : untuk setiap bilangan real (misalkan a), selalu ada

bilangan negatifnya (yaitu a) sedemikian sehingga a + (a) = 0 dan (a) + a = 0.

Ex : Invers dari 5 terhadap penjumlahan adalah 5, maka 5 + (5) = 0 dan

(5) + 5 = 0.

2) Sifat untuk operasi perkalian:

2.1) Sifat komutatif, yaitu : a . b = b . a untuk semua a, b R

Ex : 2.3 = 3.2, yaitu 6

2.2) Sifat assosiatif, yaitu : (a . b) . c = a . (b . c) untuk semua a, b, c R.

Ex : (1.2).3 = 6, dan 1.(2.3) = 6. Jadi (1.2).3 = 1.(2.3)

2.3) Existensi bilangan 1, yaitu : ada suatu bilangan yaitu 1 R sedemikian sehingga

1.a = a dan a.1 = a untuk semua a R.

Ex : 1.3 = 3 dan 3.1 = 3.

2.4) Existensi invers, yaitu : untuk setiap bilangan real yang tidak sama dengan 0

(misalkan a 0), selalu ada bilangan inversnya (yaitu 1/a R) sedemikian sehingga

a.(1/a) = 1 dan (1/a).a = 1.

Ex: Invers dari 5 terhadap perkalian adalah 1/5. maka 5.(1/5)= 1 dan (1/5).5 = 1.

3) Sifat distributif perkalian dan penjumlahan, yaitu : a.(b+c) = (a.b) + (a.c) dan (b+c).a =

(b.a) + (c.a) untuk semua a, b dan c R.

Ex : 2.(3 + 4) = 2.3 + 2.4 = 6 + 8 = 14

(3 + 4).2 = 3.2 + 4.2 = 6 + 8 = 14

Garis Bilangan Real:

-3 -2 -1 0 1 2 3

Bilangan negatif 0 Bilangan positif

Contoh:

1) 3 + 4 = 1

2) 3 – 4 = 7

3) 3 + (4) = 3 – 4 = 7

4) 3 – (-4) = 3 + 4 = 1

5) 3 – (4) = 3 + 4 = 7

6) 3 + (4) = 3 – 4 = 1

7) 3. (4) = 12

8) 3. (4) = 12

9) 3. 4 = 12

10) 12 : (3) = 4

11) (12) : (3) = 4

Sistem bilangan Real terdiri dari himpunan bilangan rasional dan irrasional.

1) Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dengan a/b

(atau berupa pecahan), dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b 0. Himpunan bilangan

rasional dilambangkan dengan Q.

Himpunan bilangan rasional terdiri dari :

Himpunan bilangan bulat, yaitu : {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Bilangan asli, yaitu : {1, 2, 3, ...}

Bilangan cacah, yaitu : {0, 1, 2, 3, ...}

2) Himpunan bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan

a/b. Himpunan bilangan irrasional dilambangkan dengan I.

Ex : √2= 1.4142135623731 kita tidak bisa menyatakan nilai dari √2 dalam bentuk

pecahan atau pembagian dari 2 buah bilangan bulat.

Ex:

1) 3,242424..... adalah anggota bilangan Rasional, karena bilangan itu bisa dinyatakan dalam

bentuk pembagian antara dua buah bilangan bulat.

Misalkan a = 3,242424.....

Kalikan kedua ruas dengan 100, maka 100a = 324,242424....

100a – a = 324,242424.... – 3,242424….

99a = 321 sehingga a = 321/99.

Dengan demikian 3,242424…. = 321/99, dan oleh karena itu 3,242424…. adalah bilangan

Rasional.

2) 3√2= 3.( 1.4142135623731) = 4,242640687 adalah bilangan Irrasional karena kita tidak

bisa membuat bilangan tersebut menjadi pembagian antara 2 buah bilangan bulat atau tidak bisa

dinyatakan dalam bentuk pecahan.

3) √2 .√2= 2 adalah bilangan Rasional.

Bilangan Rasional dikali bilangan Rasional adalah bilangan Rasional juga.

Bilangan Rasional dikali bilangan Irrasional adalah bilangan Irrasional.

TEOREMA

1)

ac+b

c=a+b

c , dengan c 0

Ex:

23+ 5

3=2+5

3=7

3

2)

ac+ b

d=ad+bc

cd , dengan c dan d 0

Ex:

23+ 4

5=2.5+3 .4

3 . 5=10+12

15=22

15

Syarat untuk operasi penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan pecahan adalah

menyamakan penyebut.

3)

ac

. bd= ab

cd , dengan c dan d 0

Ex:

23

. 45=2. 4

3 .5= 8

15

4)

ac

: bd=a

c. db=ad

cb , dengan b, c dan d 0

Ex:

23

: 45=2

3. 54=2 .5

3 . 4=10

12

5) a.0 = 0, untuk semua a R (artinya: setiap bilangan real yang dikalikan dengan 0, hasil

perkalian akan selalu 0). Ex: 5.0 = 0

6) Jika a.b = 0, maka pasti a = 0 atau b = 0.

Exercise

1)

23

. 45= 2. 4

3 . 5= 8

15

2)

25

.(5) =

25

.(−5 )¿1=−10

5=−2 ¿

3)

23

: 45=2

3. 54=2 .5

3 . 4=10

12

4)

25

:(5) =

25

: (−5)1

=25

. 1(−5)

= 2 .15.(−5 )

= 2−25

5)

23+ 4

5=5.2+3 . 4

3 .5=10+12

15=22

15

6)

25−6=2

5−6

1=1. 2−5 .6

5=2−30

5=−28

5

x

a b

x

-2 5

x

a b

x

-2 5

x

a b

x

-2 5

x

a b

x

-2 5

INTERVALS

Interval adalah kumpulan dari bagian himpunan bilangan real.

Macam-macam interval :

1) (a,b) = {a < x < b, x R} , disebut interval buka berhingga (finite open interval)

Ex: (-2, 5) = {-2 < x < 5, x R} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}

2) [a,b] = {a x b, x R}, disebut interval tutup berhingga (finite closed interval)

Ex: [-2, 5] = {-2 x 5, x R} = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

3) [a,b) = {a x < b, x R}, disebut interval setengah buka/ setengah tutup-berhingga

Ex: [-2,5) = {-2 x < 5, x R} = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

4) (a,b] = {a < x b, x R}, disebut interval setengah buka/ setengah tutup-berhingga

Ex: (-2,5] = {-2 < x 5, x R} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

x

a

x

-2

x

a

x

-2

x

b

x

5

x

b

x

5

5) (a, ) = {x > a, x R }, disebut interval buka-tak hingga

Ex: (-2 , ) = {x > -2, x R } = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

6) [a, ) = {x a, x R }, disebut interval tutup-tak hingga

Ex: [-2, ) = {x -2, x R } = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

7) (-, b) = {x < b, x R }, disebut interval buka-tak hingga

Ex: (-, 5) = {x < 5, x R } = {4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, …}

8) (-, b] = {x b, x R }, disebut interval tutup-tak hingga

Ex: (-, 5] = {x 5, x R } = {5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, …}

9) (-, ) = { x R }, disebut interval tak hingga

PERTIDAKSAMAAN

-3-2 -1 0 1 2 3

-3-2 -1 0 1 2 3

-3-2 -1 0 1 2 3

-3-2 -1 0 1 2 3

Pertidaksamaan dinotasikan dengan tanda:

> artinya: lebih besar

Ex: x > 3, maka nilai x adalah angka-angka yang lebih besar dari 3, yaitu jika digambarkan

dengan garis bilangan, maka nilai x yang memenuhi x > 3 adalah daerah dikanan 3, yang

diwarnai berikut:

artinya: lebih besar atau sama dengan

Ex: x 3, maka nilai x adalah angka 3 itu sendiri atau angka-angka yang lebih besar dari 3,

yaitu jika digambarkan dengan garis bilangan, maka nilai x yang memenuhi x 3 adalah

daerah dikanan 3, yang diwarnai berikut:

< artinya: lebih kecil

Ex: x < -2, maka nilai x adalah angka-angka yang lebih kecil dari -2, yaitu untuk angka-angka

berada di kiri 2, yang di warnai pada garis bilangan berikut.

artinya: lebih kecil atau sama dengan

Ex: x -2, maka nilai x adalah angka 2 itu sendiri atau angka-angka yang lebih kecil dari 2,

yaitu daerah yang berada di kiri 2.

Exercise

1) Interval (3, 1]

a) Garis Bilangan =

b) Anggota himpunan bilangan = {2, 1, 0 1}

3 1

c) Penulisan pertidaksamaan : 3 < x 1

2) Interval (1, )

a) Garis Bilangan =

b) Anggota himpunan bilangan = {2, 3, 4, 5, ....}

c) Penulisan pertidaksamaan : x > 1

3) Interval ( , 1)

a) Garis Bilangan =

b) Anggota himpunan bilangan = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}

c) Penulisan pertidaksamaan : x < 1

PERSAMAAN & PERTIDAKSAMAAN LINIER, PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

1) PERSAMAAN LINIER

Yaitu persamaan yang di dalamnya hanya terdapat variabel berpangkat 1, tidak boleh ada

pangkat lain selain 1.

Bentuk umum dari persamaan linier adalah : ax + b = c ; a 0

Yang dimaksud dengan Solusi dari persamaan linier adalah menemukan nilai untuk variabel

yang memenuhi kondisi persamaan.

Example:

a) Carilah solusi dari persamaan linier 2x – 8 = 4

Maka solusinya adalah: 2x – 8 = 4 2x = 4 + 8 2x = 12 x = 12/2 x = 6

b) Carilah solusi dari persamaan linier 4x = 16

Maka solusinya adalah x = 16/4 x = 4.

2) PERTIDAKSAMAAN LINIER

Bentuk umum: ax + b < c ; atau ax + b > c ; atau ax + b c ; atau ax + b c ; a 0

Example:

a) Tentukan nilai x yang memenuhi x – 2 > 6

1

1

Jawab: x – 2 > 6 x > 6 + 2 x > 8

b) Tentukan nilai x yang memenuhi 3x + 6 12

Jawab: 3x + 6 12 3x 12 – 6 3x 18 (supaya 3x menjadi x, maka ruas

kiri dan ruas kanan dibagi 3. Dan setiap melakukan pembagian dengan bilangan negatif,

tanda pertidaksamaan selalu di balik) x (18/6) x 3.

Note: setiap melakukan pembagian ataupun perkalian dengan bilangan negatif, tanda

pertidaksamaan selalu ditukar.

3) PERSAMAAN KUADRAT

Yaitu : persamaan yang didalamnya variabel berpangkat tertinggi adalah 2.

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = d ; a 0. Jika konstanta c pada

ruas kiri digabung dengan konstanta di ruas kanan dengan e = c – d sehingga di ruas kanan

menjadi 0, maka bentuk persamaan kuadrat dapat ditulis ax2 + bx + e = 0.

Solusi dari persamaan kuadrat adalah menemukan nilai untuk variabel yang memenuhi

kondisi persamaan kuadrat tersebut.

Ada 2 pilihan cara untuk menemukan solusi dari persamaan kuadrat, yaitu :

a) Cara Faktorisasi

b) Cara Rumus a, b , c, yaitu: x1=

−b+√b2−4 ac2 a , dan

x2=−b−√b2−4 ac

2 a

Ex:

a) Carilah solusi dari persamaan kuadrat x2 – 2x – 3 = 0

Jawab:

Dengan menggunakan cara 1 : faktorisasi

Cari 2 buah bilangan yang kalau dikalikan hasilnya adalah 3. Dan dua bilangan tersebut

kalau dijumlahkan hasilnya adalah 2. Atau singkatnya dituliskan:

... x ... = 3

... + ... = 2

Dua buah bilangan yang memenuhi kondisi tersebut adalah +1 dan 3.

1 x (3) = 3

1 + (3) = 2

Maka x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) = 0.

Solusinya ada dua, yaitu:

x + 1 = 0 x = 0 – 1 = –1 x = –1

atau x – 3 = 0 x = 0 + 3 = 3 x = 3

Dengan demikian, solusinya adalah x = –1 dan x = 3

Dengan menggunakan cara 2 : rumus a, b, c.

x2 – 2x – 3 = 0, maka a = 1, b = 2, dan c = 3

x1=−b+√b2−4 ac

2a =

−(−2)+√(−2 )2−4 . 1.(−3 )2.1 =

2+√4−(−12)2

=2+√162

=

2+42

=62=3

x2=−b−√b2−4 ac

2 a =

−(−2)−√(−2)2−4 . 1 .(−3 )2. 1 =

2−√4−(−12 )2

=2−√162

=

2−42

=−22

=−1

Maka solusinya adalah x1 = 1 dan x2 = 3

4) PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum : ax2 + bx + e < 0 atau ax2 + bx + e > 0 atau ax2 + bx + e 0 atau ax2 + bx

+ e 0.

Langkah-langkah dalam menemukan solusi dari pertidaksamaan kuadrat adalah:

Langkah 1 : Temukan dulu jalaban/ solusi dari persamaan kuadratnya

Langkah 2 : Gunakan bantuan garis bilangan untuk menemukan daerah untuk solusi

pertidaksamaan kuadratnya.

Note:

- Jika tanda pertidaksamaan adalah < atau , maka jawaban berada di daerah bernilai

negatif.

- Jika tanda pertidaksamaan adalah > atau , maka jawaban berada di daerah bernilai

positif.

x < 1 1< x < 6 x > 6

Ex: Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat x2 – 5x – 6 0

Jawab:

Langkah 1) Cari x yang memenuhi persamaan kuadratnya x2 – 5x – 6 = 0

Dengan cara faktorisasi:

Cari dua buah bilangan yang memenuhi kondisi berikut:

... x ... = 6

... + ... = 5

Dua buah bilangan itu adalah 1 dan 6.

Karena

1 x (6) = 6

1 + (6) = 5

Sehingga x2 – 5x – 6 bisa kita faktorkan menjadi x2 – 5x – 6 = (x + 1)(x – 6) = 0.

Untuk x + 1 = 0 x = 0 – 1 x = -1.

Untuk x – 6 = 0 x = 0 + 6 x = 6

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat untuk x2 – 5x – 6 = 0 adalah x = 1 atau x

= 6.

Langkah 2) Cari solusi dari pertidaksamaan dengan bantuan garis bilangan,

-1 6

Tes nilai fungsi pada salah satu daerah:

Tes pada daerah kedua yaitu 1 < x < 6, ambil x = 0 (karena x = 0 terdapat pada daerah

kedua).

Jika x = 0, maka nilai x2 – 5x – 6 = 02 – 5.0 – 6 = 0 – 0 – 6 = 6 (bernilai negatif).

Dengan demikian disimpulkan sebagai berikut:

Daerah tengah (1 < x < 6) akan bernilai negatif.

Daerah kiri dan kanan akan bernilai positif.

karena tanda pertidaksamaan adalah 0, maka nilai x yang memenuhi x2 – 5x – 6

0 adalah yang bertanda negatif, yaitu 1 x 6.

+ +

NILAI MUTLAK

Nilai mutlak dari suatu bilangan real yang dinotasikan dengan |x| didefinisikan sebagai berikut:

|x|={ x untuk : x>00 untuk : x=0

−x untuk : x<0

Ex: |4| = 4, dan |-4| = 4, |0| = 0

a) |x| 0 (artinya nilai mutlak selalu bernilai positif atau 0)

Ex: |5| = 5, |-5| = 5

b) |x| = |-x|

Ex : |4| = 4, dan |-4|= 4, |4| = |-4| = 4

c) |x.y| = |x| . |y|

Ex: |3.2| = |6| =6 dan |3|.|2| = 3.2 = 6. |3.2| = |3|.|2| = 6

|(-2).4| = |-8| = 8,dan |-2|.|4| = 2.4 = 8. |(-2).4| = |-2|.|4| = 8

d)|x

y|=

|x||y|

Ex: |42|=|2|

, dan

|4||2|

=2.

|42|=

|4||2|

=2

e) |x – y| = |y – x|

Ex: |5 – 2| = |3| = 3, dan |2 – 5| = |-3| = 3. |5 – 2| = |2 – 5| = 3

f) |x – y| |x| |y|

Ex: x = 1 dan y = 2, maka |x – y| = |1 – (2)| = |3| = 3.

Sedangkan |x| |y| = |1| |2| = 1 – 2 = 1. dan 3 1.

g) |x + y| |x| + |y|

Ex: x = 1 dan y = 2, maka |x + y| = |1 + (2)| = |1| = 1.

Sedangkan |x| + |y| = |1| + |2| = 1 + 2 = 3. dan 1 3.

h) |x|2 = x2

Ex: |-3|2 = 32 = 9, dan (-3)2 = 9. |-3|2 = (-3)2

i) Jika c 0, maka |x| c jika dan hanya jika –c x c

Ex: |x| 3, maka -3 x 3

x

-3 3

x

-2 6

-2 6

Ex: |x – 2| 4, maka -4 x – 2 4 -4 + 2 x – 2 + 2 4 + 2 -2 x 6 (Jadi nilai

x yang memenuhi pertidaksamaan |x – 2| 4 adalah -2 x 6).

j) Jika c 0, maka |x| c jika dan hanya jika x c atau x c

Ex: |x| 3, maka x 3 atau x 3

Ex: |x – 2| > 4, maka solusinya adalah:

x – 2 > 4 atau x – 2 < 4

x > 4 + 2 atau x < 4 + 2

x > 6 atau x < 2

EXERCISE:

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

1) 3x – 4 > 5 5) x2 – 6x – 16 < 0

2) -4x + 5 -11 6) x2 – 8x – 20 > 0

3)− 2

3x

- 9 < 3 7) |2x – 1| < 5

4) 2x – 3 -3x + 12 8) |2x – 1| > 5