KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala

rahmat dan hidayah-Nya sehingga makalah tentang “Pendahuluan Relasi, Produk Cartesius dan

Relasi, Penyajian untuk Relasi, Relasi Invers’’ dapat tersusun hingga selesai. Dan juga kami

berterima kasih kepada Bapak Budi Halomoan Siregar, S.Pd.,M.Sc atas bimbingan dan

arahan sebagai dosen pembimbing Himpunan dan Logika.

Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah

pengetahuan dan wawasan kita mengenai relasi. Kami menyadari bahwa makalah ini terdapat

kekurangan. Oleh sebab itu kami berharap kritik dan saran demi perbaikan makalah ini di

masa yang akan datang.

Semoga makalah ini dapat dipahami oleh siapapun yang membacanya. Sekiranya

makalah yang disusun ini bermanfaat bagi penulis dan pembacanya. Kami mohon maaf jika

terdapat kata-kata yang salah yang kurang berkenan dan kami butuh kritik dan saran yang

membangun demi perbaikan di masa depan.

Medan, 16 September 2015

Penyusun

1

DAFTAR ISI

Kata Pengantar........................................................................................................... 1

Daftar Isi.................................................................................................................... 2

BAB I : PENDAHULUAN........................................................................................ 3

BAB II : BAHASAN MATERI................................................................................. 4

2.1 Pendahuluan Relasi.............................................................................................. 4

2.2 Produk Caresius dan Relasi................................................................................. 4

2.3 Penyajian Lain untuk Relasi................................................................................ 6

2.4 Relasi Invers......................................................................................................... 10

BAB III : KESIMPULAN......................................................................................... 12

DAFTAR PUSTAKA................................................................................................ 13

2

BAB I

PENDAHULUAN

Relasi merupakan suatu hubungan tertentu antara dua himpunan yang mempunyai

anggota. Relasi dapat digunakan sebagai acuan untuk memahami suatu materi fungsi dan

relasi dalam mengembangkan suatu kajian pembelajaran guna memperbaiki pemahaman serta

kualitas pembelajaran masalah fungsi dan relasi. Belajar relasi dapat memudahkan

mahasiswa dalam memahami serta dapat menyelesikan soal-soal relasi yang terdapat dalam

materi ini. Sehingga siswa akan meningkat dalam pembelajaran fungsi dan relasi.

3

BAB II

BAHASAN MATERI

2.1 Pendahuluan Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan

yang lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah menghubungkan anggota-anggota

himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Misalnya Himpunan A = {Via,Ita,Raffi }

dan himpunan B = {permen,coklat,es krim), kemudian misalnya Via menyukai permen, Ita

menyukai coklat, Raffi menyukai es krim, maka kita dapat menuliskan R = {Via,permen),

(Ita,Coklat), (Raffi,es Krim) }.

R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan berurut. Dimana

pasangan terurut (Via, permen), Via merupakan komponen pertama dan permen sebagai

komponen kedua dari pasagan terurut. Himpunan R diatas merupakan sebuah relasi,yang

dapat kita bentuk anatara himpuan A dan B. Kita juga dapat menuliskan R={(x,y) | x

menyukai y, x ∈ A, y ∈ B}.

Dengan pendefenisian relasi “ x menyukai makanan y” di atas penulisannya tidak

dapat dibalik dari (Via,permen) menjadi (permen, Via) yang kalau dibaca menjadi (permen

menyukai Evi). Itu sebabnya dinamakan terurut (ab≠ba).

Relasi dapat juga terjadi diantara anggota sebuah himpunan A. Sebagai contoh, A

={1,2,4,16}. Kemudian didefenisikan sebuah relasi R antara anggota A sebagai relasi “x

adalah kuadrat dari y” maka R={(1,1),(4,2),(16,4)}.

2.2 Produk Cartesius dan Relasi

Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, kita harus memahami pasangan berurut.

Cara yang paling mudah menyatakan elemen dari dua hipunan adalah dengan himpunan

pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian cartesan antara dua

himpunan. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu y, kita mengetahui

bahwa titik dengan koordinat (2,5) tidaklah sama dengan titik yang berkoordinat (5,2).

Sepasang bilangan x dan y dengan x dalam urutan pertama dan y dalam urutan kedua,

ditulis (x, y) dan dinamakan pasangan terurut. Selain itu, perlu pula untuk kita ketahui

4

tentang perbedaan pasangan terurut (x,y) dengan himpunan {x, y}. Himpunan {x, y} sama

dengan {y, x} karena dalam himpunan urutan tidak dipentingkan.

Himpunan pasangan berurut dari himpunan A dan B adalah (a,b), dimana untuk setiap

a ∈ A, b ∈ B, disebut produk kartesius A dengan B. Produk kartesius dinotasikan sebagai A x B.Jadi A x B = {(x,y) | x ∈ A, y ∈ B}.

Definisi :

Relasi binar (singkatnya Relasi) R dari himpunan A ke himpunan B adalah satu

himpunan bagian A x B. Jadi R= A x B.

Contoh :

1.Misalkan R adalah relasi pada A ={2,3,4,8,9} yang di defenisikan oleh (x,y) ∈ R jika x adalah faktor prima dari y. Maka R={(2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9)}

2.Jika A={1,2,3 } dan B = {a,b,c}. Tentukan penyelesaian A x B!

Jawab: A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b), (1,c), (2,c), (3,c) }

3.. Bila A= {1,2,3},maka A x A = ......

Jawab : A x A = {(1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,2), (3,2), (1,3), (2,3), (3,3) }

4.. Bila A = {1,2,4,16}, maka A x A mengandung 16 anggota yaitu {(1,1), (2,1), (4,1), (16,1),

(1,2), (2,2), (4,2), (16,2), (1,4), (2,4), (4,4), (16,4), (1,16), (2,16), (4,16), (16,16) }

5

5. Misalkan A = {1,2,3} dan B = {a,b}. Tentukan: a.A x B dan b. B x A

Jawab :

a. A xB terdiri dari semua pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari A dan

komponen kedua dari B. Maka:

A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }

b. Dalam hal ini komponen pertama berasal dari B dan kedua dari A:

B x A = { (1,a), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3) }

6. anggap A = {1,2}. Tentukan: a. A2 dan b. A3.

Jawab:

a. A2 = A x A = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }

b. A3 = A x A x A. Bentuk semua triple terurut dari elemen-elemen di A:

A3 = { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2) (2,2,1), (2,2,2) }

( Kita melihat bahwa A3 adalah A x A2 ).

Cara mencari banyak himpunan yang beranggotakan n jika diketahui satu himpunan adalah 2n

himpunan bagian,misalnya A = {p,q} maka banyak anggota A x A adalah 22= 4 anggota

yaitu {(p,q), (q,q), (q,p), (p,p)}. Jika terdiri dari himpunan A dan B maka jumlah anggota A

dikalikan dengan jumlah anggota B.

2.3 Penyajian Lain untuk Relasi

1.Penyajian matriks Relasi

Matriks adalah cara yang tepat mewakili Relasi dari X ke Y.Perwakilan ini bisa digunaan

oleh komputer untuk menganalisis relasi. Di sini baris matriks menyakan anggota himpunan

A sedangkan kolom matriks menyatakan anggota himpunan B. Kita bisa menetapkan

masukan baris x dan kolom y adalah 1 jika xRy dan 0 jika tidak berelasi.

6

Relasi antara A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan

dengan matriks M = [mij],

Yang dalam hal ini

Contoh : A= {1,2,3} dan B= {p,q} . A x B= {(1,p),(2,p), (3,p) ,(1,q),(2,q), (3,q) } dan

misalnya relasi dari keduanya dibuat menjadi R ={(1,p), (3,p) ,(1,q),(2,q) } maka

matriksnya:

2.Penyajian Diagram Panah

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B.Gambarkan dua buah lingkaran, lalu tuliskan elemen-elemen A dan B pada maing-masing lingkaran. Lingkaran sebelah kiri beri anggota himpunan A sedangkan yang kanan berisi anggota himpunan B. Kalau ada kaitan a ∈ A dan b ∈ B artinya (a,b) ∈ R, kita buah panah dari a ke b. Contoh:Ani suka Bakso dan nasi goreng

Irfan suka mie ayam

Arman suka nasi goreng dan coto

7

Ahmad suka ikan bakar

Erwin suka bakso

3. Penyajian Reasi dengan Diagram Kartesius

Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal.

Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B. Kalau relasi R dari A ke B, kita

dapat menyajikan R sebagai himpunan titik pada bidang datar Kita mengambil dua

buah sumbu,mendatar dan tegak. Sumbu mendatar menyajikan Anggota himpunan A

dan sumbu tegak menyajikan anggota himpunan B., contoh :

Ada himpunan A= { (1,2,3) } dan B= { (1,2,3,4) } mempunyai hubungan relasi

faktorisasi dari yang dinyatakan dalam R={ (1,1), (1,2), (1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3) }

maka dapat kita gambarkan dalam sumbu kartesius :

8

4. Penyajian Relasi dengan Tabel                                

Jika kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua

menyatakan daerah hasil. Himpunan A={2,3} dan himpunan B {2,4,8,9,15}. Relasi A

ke B di defenisikan sebagai faktorisasi dari maka R = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15) }

  

5. Penyajian Digraf

Relasi pada sebuah himpunan dapat disajikan secara grafis dengan graf

berarah ( directed graph atau digraph). Graf berarah didefinisikan hanya untuk

mempresentasikan relasi pada suatu himpunan (bukan antara dua himpunan). Tiap

unsur himpunan dinyatakan dengan sbeuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan

tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur.

Jika (a,b) maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. simpul a

disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal

vertex). Pasangan terurut (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a

sendiri. Busur semacam itu disebut loop.

• Contoh:

• jika R ={ (1,4), (2,1),(2,1),(2,2),(2,3),(4,3)} maka digrafnya adalah

9

2.4 Relasi Invers

Bila komponen pada relasi G dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya,

komponen pertama menjadi komponen kedua dan sebaliknya komponen kedua menjadi

komponen pertama, maka terbentuklah sebuah relasi dari B ke A yang merupakan invers dari

relasi G.

R R-1

Jadi jika ada R= ={(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}, maka R-1={(b,a) | b ∈ B, a ∈ A},

contoh:

1. Jika A = {1,2,3} dan B = {x,y}maka tentukan relasi dan Relasi inversnya!

Jawab:

R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B

R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

2. Kalau ada R={(1,1), (4,2), (16,4) }, maka R-1={(1,1), (2,4), (4,16) } sedangkan kalau R=

{(1,p), (1,q) (2,1q),(3,p)}. Kalau R adalah “x adalah istri y”, maka inversnya adalah “x adalah

suami dari y”.

10

3. Kalau relasi R diketahui dalam penyajian koordinat, inversnya diperoleh dengan menukaar

sumbu mendatar menjadi sumbu tegak dan sebaliknya, menggambarkan relasi R= {(1,p),

(1,q), (2,1) } dan relasi inversnya R-1={(p,1), (q,1), (1,2) }

4. kalau relasi R disajikan dalam bentuk matriks M, maka relasi inversnya akan disajikan oleh

matriks MT, yaitu transpose dari matriks M. Mentranspose matriks berarti mengubah

penulisan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

M=[1 10 11 0 ] mempunyai invers atriks M-1 =[1 0 1

1 1 0]

11

BAB III

KESIMPULAN

Relasi matematika berfungsi untuk menyatakan suatu hubungan tertentu antar dua

himpunan. Relasi dapat dibuat dalam berbgai penyajian seperti penyajian grafik, matriks

relasi, diagram panah dan digraf. Relasi juga memiliki invers atau kebalikan, dimana pada

relasi A ke B bila di inverskan menjadi B ke A.

12

DAFTAR PUSTAKA

Munir, Rinalti.2003. Matimatika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung.

Richard Johnsonbaugh.2002. Matematika Diskrit Edisi Ke-4. Jakarta: Prenhallindo

Suryadi.2015. Aljabar Logika dan Himpunan. Medan: Gunadarma.

Lipschutz, Seymon. 2001. Matematika Diskrit 1. Jakarta: Salemba Teknika

13

14