TENTANG

DISUSUN OLEH :

NAMA : Esir Runggang

NO. STAMBUK : 201 113 050

KELAS : C1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, karena dengan

rahmat dan karunia-Nya saya masih diberi kesempatan untuk bekerja bersama untuk

menyelesaikan makalah ini. dimana makalah ini dengan judul “IRISAN KERUCUT”. Tidak lupa

saya ucapkan terimakasih kepada Dosen Mata Kuliah dan teman-teman yang telah memberikan

dukungan dalam menyelesaikan makalah ini. saya menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini

masih banyak kekurangan, oleh sebab itu saya sangat mengharapkan kritik dan saran yang

sifatnya membangun demi kesempurnaan makalah ini. Dan semoga dengan selesainya makalah ini

dapat bermanfaat bagi pembaca dan teman-teman. Amin...

Penuslis

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATARBELAKANG

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva

dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva

yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah

matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal

abad ke-2 SM.

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka

irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan

memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris

tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk

jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-

irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik

terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun.

Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan

hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang

terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut

dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

BAB II

IRISAN KERUCUT

A. Pengertian Irisan kerucut

1. Definisi Irisan KerucutIrisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut

lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.

2. Macam – Macam Irisan KerucutBerdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik,

garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola. Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa

titik. Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang

terbentuk berupa sebuah garis. Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas,

maka irisan terbentuk berupa segitiga. Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui

puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran. Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk

berupa parabla. Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak

sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips.

Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.

B. LINGKARAN

a. Pengertian lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.

b. Menentukan Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari rPerhatikan gambar di bawah ini !

Y Persamaan dalam x dan y yang memenuhi pada Gambar di samping adalah :

P(x,y)x2 + y2 = r2

X

Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran.a. Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x2 + y2 = r2.b. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x2 + y2 < r2.c. Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x2 + y2 > r2.

Contoh:

r O

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !

Jawab:x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y2 = 5 !Jawab:

Pusat lingkaran x2 + y2 = 5 adalah (0,0). Jari-jari r2 = 5 berarti r = √5 .

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r

Y P(x,y)

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

b

X O a

Contoh:1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 !

Jawab:(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 3)2 + (y – 6)2 = 72

(x – a)2 + (y – b)2 = 49

2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya !Jawab:Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka :(4 + 2)2 + (9 – 1)2 = r2

62 + 82 = r2

r2 = 100Persamaan lingkarannya :(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 100

3. Bentuk Umum Persamaan LingkaranJika bentuk persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 kita jabarkan menjadi suku-suku

yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut :(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r2

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0atau ditulis :

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0Dengan :

1) Pusat lingkaran P(-

12 A, -

12 B)

r

(a,b)

2) Jari-jari lingkaran r = √( 12

A )2+( 12

B )2−C

Contoh:1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 !

Jawab:

Pusat lingkaran = P(-

12 A, -

12 B) = P(-3, -2)

Jari-jari lingkaran :

r = √32+22+3=√9+4+3=√16=4Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4.

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x 2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0 !Jawab:3x 2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0

x 2 + y 2 -

43 x +

83 y –

13 = 0

Pusat P(-

12 A, -

12 B) = P(

46

,−86 ) = P(

23

,−43 )

Jari-jari r = √( 12

A )2+( 12

B )2−C

r = √( 23)2+( 4

3)2+ 1

3

r = √239

=13

√23

c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0)Jika diketahui titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka persamaaan garis

singgung di titik P(x1,y1) adalah :

x1. x + y1. y = r2

Y

P(x,y)

X

g

Contoh:Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) !Jawab:x1. x + y1. y = r2

3x + 4y = 25

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah :

r O

y = mx r√m2+1

P(a, b)Y

g2

X

g1

Contoh:Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 !Jawab:Untuk x2 + y2 = 25, maka r = 5

Untuk 4x – 3y – 5 = 0, maka gradien m1 =

43

Gradien garis singgung m2 = -

34

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :

y = m2x r√m2+1

y = -

34 x 5√ 9

16+1

y = -

34 x 5.

54

y = -

34 x +

254 atau y = -

34 x -

254

3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien mPersamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut :

y - b = m(x – a) r√m2+1

Contoh:Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x2 + y2 +2x –4y –5 = 0!Jawab:

Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari √10 , maka persamaan garis singgungnya :(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

(2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10 3(x + 1) – 1(y – 2) = 10 3x + 3 – y + 2 = 10

O

3x – y = 5

d. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

1. Garis Singgung Persekutuan Luar (Sl) A

Sl B

d

L2

L1

Panjang garis singgung persekutuan luar (Sl) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu :

Sl = √d2−( R−r )2

Contoh:Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm.Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya !

Jawab: S

R

Buat QT sejajar dengan SR

Sl = √d2−( R−r )2

QT = √ PQ2−( PS−QR )2

= √102−( 4−2)2

= √96

= 4√6 cm.

2. Garis Singgung Persekutuan Dalam (Sd)

Q M

Sd

d

N L2

L1

Q R O r

P

T P

Q

R O P r

Panjang garis singgung persekutuan dalam (Sd) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu :

Sl = √d2−( R+r )2

Contoh:Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan jari-jari 1 cm, OP = 5 cm.Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya !

Jawab: S

R

Q

Buat PS sejajar QR

Sd = √d2−( R+r )2

PS = √OP2−(OR+RS )2

= √52−(2+1 )2

= √16= 4 cm

C. PARABOLA

a. Pengertian ParabolaParabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama

dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).

b. Persamaan Parabola1. Persamaan Parabola dengan Puncak O(0,0)

Perhatikan gambar berikut ini !

d Y

A L2 P(x,y) Q

B

O F(p,0) X

L1

x = -p

O

P

Persamaan parabola dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p,0) adalah :y2 = 4px

Keterangan:- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola- Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola- Garis x = -p adalah garis direktriks- Sumbu X adalah sumbu simetri- L1L2 adalah lactus rectum = 4p

Parabola terbuka ke kanan

Contoh:Diketahui peramaan parabola y2 = 16x. Tentukan koordinat puncak, koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya !Jawab:a. koordinat puncak O(0,0)b. koordinat focus (4,0)c. sumbu simetri pada sumbu X, dengan persamaan y = 0d. Persamaan garis direktriksnya x = -4 atau x + 4 = 0

d Y

A L2 P(x,y) Q

B

O F(4,0) X

L1

x = -4

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :y2 = -4px

Keterangan:- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola- Titik F(-p, 0) adalah titik fokus parabola- Garis x = p adalah garis direktriks- Sumbu X adalah sumbu simetri

Parabola terbuka ke kiri.

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(0,p) persamaannya adalah :

x2 = 4py

Keterangan:

- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola

- Titik F(0, p) adalah titik fokus parabola

- Garis y = -p adalah garis direktriks

- Sumbu Y adalah sumbu simetri

Parabola terbuka ke atas.

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :

x2 = -4py

Keterangan:

- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola

- Titik F(0, -p) adalah titik fokus parabola

- Garis y = p adalah garis direktriks

- Sumbu Y adalah sumbu simetri

Parabola terbuka ke bawah.

2. Persamaan Parabola dengan Puncak P(,)Perhatikan gambar berikut ini !

Y d

A P(x,y)

y = (,) F( + p, )

O X

Persamaan parabola yang berpuncak di titik (, ) adalah : (y - )2 = 4p(x - )

Keterangan :- titik puncak P(, )- titik fokus F( + p, )- persamaan direktriks : x = - p- persamaan sumbu simetri : y =

Parabola terbuka ke kanan.

Contoh:Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2, 3) dan titik fokusnya (6, 3) !

Jawab:Puncak (2, 3) dan focus (6, 3), maka : p = 6 – 2 = 4Persamaan parbolanya :(y - )2 = 4p(x - ) (y - 3)2 = 4.4(x - 2) y2 – 6y + 9 = 16(x – 2) y2 – 6y + 9 = 16x – 32 y2 – 6y – 16x + 41 = 0

Contoh:Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y2 + 4y – 4x + 8 = 0.Tentukan koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya !

Jawab:

y2 + 4y – 4x + 8 = 0 y2 + 4y = 4x - 8 (y + 2)2 – 4 = 4x - 8 (y + 2)2 = 4x - 4 (y + 2)2 = 4(x – 1) (y - )2 = 4p(x - )Berarti : = -2; = 1; p = 1Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya ( + p, ) = (2, -2), persamaan sumbu simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x = - p x = 1 – 1 x = 0Grafiknya :

Y

1 2 X O -1

y = -2 -2 F

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke kiri persamaannya adalah : (y - )2 = -4p(x - )

Keterangan :- titik puncak P(, )- titik fokus F( - p, )- direktriks x = + p- persamaan sumbu simetri : y =

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke atas persamaannya adalah : (x - ) 2 = 4p(y - )

Keterangan :- titik puncak P(, )- titik fokus F(, + p)- direktriks y = - p- persamaan sumbu simetri : x =

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke bawah persamaannya adalah : (x - ) 2 = -4p(y - )

Keterangan :- titik puncak P(, )- titik fokus F(, - p)- direktriks x = + p- persamaan sumbu simetri : x =

D.ELIPS

a. Pengertian ElipsElips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu

mempunyai nilai yang tetap.Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.

b. Persamaan Elips

1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)Perhatikan gambar di bawah ini !

Y

P(x,y)

X fF

d2 d1

Persamaan Elips dengan Pusat di O(0,0) adalah :

x2

a2+ y2

b2=1

atau b2x2 + a2y2 = a2b2

Keterangan :- Pusat O(0,0)- Puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0)- Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan a2 = b2 + c2

- Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y- Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2 disebut sumbu utama / sumbu

transversal.- Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan.- Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan = 2b

- Direktriks : x = ±a2

c

- Eksentrisitas : e =

ca

x2

b2+ y2

a2=1

merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

2. Persamaan Elips dengan Pusat (,)

( x−α )2

a2+( y−β )2

b2=1

Keterangan:- Pusat (, )- Puncak A1( + a, ) dan A2( - a, )- Fokus F1( + c, ) dan F2( - c, )- Sumbu simetri x = dan y = - Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b

- Direktriks : x =

a2

c+α

F2 O F1

- Eksentrisitas : e =

ca

( x−α )2

b2+( y−β )2

a2=1

merupakan persamaan elips dengan pusat (, ) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

Contoh:Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :

a) 9x2 + 25y2 = 900b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0

Jawab:a) 9x2 + 25y2 = 900

x2

100+ y2

36=1

a = 10, b = 6, c = 8pusat O(0,0)Fokus (8, 0) dan (-8, 0)Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu YSumbu panjang = 2a = 20Sumbu pendek = 2b = 12

Direktriks : x = ±a2

c = ±100

8 = ±12

12

Eksentrisitas : e =

ca= 8

10=4

5

b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0(x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4(x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36( x−2 )2

36+

( y+3)2

9=1

pusat (2, -3)

a = 6, b = 3, c = √a2−b2=√39−9=√27=3√3

Fokus (3√3 2, -3)Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3Sumbu panjang = 2a = 12Sumbu pendek = 2b = 6

Direktriks : x =

a2

c+α

= ±36

3√3+2=±4 √3+2

Eksentrisitas : e =

ca=3√3

6=1

2√3

E.HIPERBOLA

a. Pengertian HiperbolaHiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak titik itu terhadap dua

buah titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tertentu itu disebut fokus dari hiperbola.

b. Persamaan Hiperbola1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar berikut ini !

g2 Y g1

P

XF2(-c, 0) A2 O A1 F1(c, 0)

Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O(0,0) adalah :

x2

a2− y2

b2=1

atau b2x2 - a2y2 = a2b2

Keterangan :- Pusat O(0,0)- Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan c2 = a2 + b2

- Titik puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a

- Persamaan direktriks : x = ±a2

c

- Persamaan asymtot ; y = ±b

a x

y2

a2− x2

b2=1

merupakan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) yang sumbu utama pada sumbu Y.

Contoh:Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P1(-5, 0) dan P2(5, 0) serta fokusnya F1(-8, 0) dan F2(8, 0) !

Jawab:Puncak (5, 0), maka a = 5Fokus (8, 0), maka c = 8b2 = c2 – a2 = 64 -25 = 39

Persamaan hiperbola :

x2

25− y2

39=1

Contoh:

Diketahui hiperbola dengan persamaan

x2

64− y2

36=1

.Tentukan :a) Koordinat puncak d) persamaan garis asymtotb) Koordinat fokus e) Sketsa grafiknyac) Persamaan garis direktriks

Jawab:

Hiperbola

x2

64− y2

36=1

, berarti :

a2 = 64 a =8b2 = 36 b =6

c = √a2+b2=√64+36=10a) Koordinat puncaknya (8, 0) dan (-8, 0)b) Titik fokusnya (10, 0) dan (-10, 0)

c) Persamaan garis direktriknya: x = ±a2

c x = ±64

10

d) Persamaan garis asymtot : y = ±b

a x y = ±6

8 xe) Grafiknya :

Y

6

X F2(-10, 0) A2 (-8,0) O A1(8,0) F1(10, 0)

-6

F.Persamaan Hiperbola dengan Pusat (,)

( x−α )2

a2−

( y−β )2

b2=1

Keterangan:- Pusat (, )- Titik puncak A1( + a, ) dan A2( - a, )- Fokus F1( + c, ) dan F2( - c, )- Sumbu utama y = dan sumbu sekawan x =

- Direktriks : x =

a2

c+α

- Eksentrisitas : e =

ca

- Asymtot : (y - ) = ±b

a (x - )

( y−β )2

a2−

( x−α )2

b2=1

merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (, ) dan sumbu utama sejajar sumbu Y.

Contoh:Diketahui hiperbola dengan persamaan dalam bentuk umum sebagai berikut : 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0.Tentukan :a) Koordinat titik pusat d) persamaan garis asymtotb) Koordinat titik focus e) Sketsa grafiknyac) Koordinat titik puncak

Jawab:Bentuk persamaan diubah ke dalam bentuk umum :9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0 9x2 – 18x – 16y2 – 64y = 199 9(x2 – 2x) – 16(y2 + 4y) = 199

9(x – 1)2 – 9 – 16(y + 2)2 + 64 = 199 9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 199 + 9 - 64 9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 144

( x−1 )2

16−

( y+2)2

9=1

Bandingkan dengan

( x−α )2

a2−

( y−β )2

b2=1

Diperoleh: = 1 dan = -2a2 = 16 a = 4b2 = 9 b = 3

c = √a2+b2=√16+9=5a) Koordinat titik pusat (1, -2)b) Koordinat puncak ( a, ) = (5, -2) dan (-3, -2)c) Koordinat fokus ( c, ) = (6, -2) dan (-4, -2)d) Persamaan asymtot :

(y - ) = ±b

a (x - ) (y + 2) = ±4

3 (x - 1)

e) Grafiknya:

Y

O X

F2(-4,-2) A2 (-3,-2) A1(5,-2) F1(6,-2)

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva duadimensi, yang terbentuk

oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Empat jenis yang dapat terjadi adalah

Lingkaran, Parabola, Elips, dan Hiperbola. Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan

satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan

dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola.

Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran

adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator

dan tegak lurus sumbu kerucut. Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus

titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah

sama. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya

terhadap dua titik tertentu adalah tetap, kedua titik tertentu itu disebut titik focus. Parabola adalah

tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan garis tertentu.

Titik –tertentu itu disebut titik api ( fokus ) dan garis tertentu itu disebut direktriks. Hiperbola

adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap,

kedua titik tertentu

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, dkk. 2004. Kalkulus jilid 2. Jakarta : Erlangga.

Maman Suherman. 1986. Geometri Analitik Datar. Jakarta : Karunika.

Leithold, dkk. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta : Erlangga.

http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en|

id&u=http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx%3Ffile

%3DAlgebra_conics_circle.xml

http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en|

id&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola

http://id.wikipedia.org/wiki/Irisan_kerucut

http://id.wikipedia.org/wiki/Elips

http://id.wikipedia.org/wiki/Parabola

http://dartono.multiply.com/journal/item/10