MAKALAH MEMAHAMI IRISAN,TABUNG & BOLA

TUGAS MATA KULIA GEOMETRI ANALIKTIK

BIDANG

DI SUSUN OLEH :

JELA AKBAR

RIKO AGUSTIAWAN

SMESTER/PRODY:

4.C/MATEMATIKA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

MUHAMMADIYAH PAGARALAM

TAHUN AJARAN 2015 – 2016

Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT,

atas nikmat dan karunia-Nya semata, akhirnya penulis dapat menyelesaikan

makalah yang berjudul “MEMAHAMI IRISAN,TABUNG & BOLA.”

Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak menemui

kesulitan-kesulitan dan hambatan-hambatan baik pada saat mencari sumber

maupun pada saat penulisannya, namun berkat bimbingan dan dorongan dari

semua pihak akhirnya makalah ini dapat terwujud.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dan kejanggalan

hal itu disebabkan sangat terbatasnya kemampuan dan ilmu yang penulis miliki.

Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang

bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga

Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

Pagar alam, Mei 2016

Penulis

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................

HALAMAN JUDUL .........................................................................................

KATA PENGANTAR .......................................................................................

DAFTAR ISI ......................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................

Latar Belakang.....................................................................................

Rumusan Masalah ...............................................................................

Tujuan Penulisan..................................................................................

Manfaat Penulisan................................................................................

BAB II PEMBAHASAN ...................................................................................

Ruang Vektor Dan Aksioma Yang Terdapat Di Dalam Vektor .......

Macam-macam Ruang Vektor.............................................................

Sifat-sifat Vektor..................................................................................

BAB III PENUTUP ...........................................................................................

Kesimpulan............................................................................................

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar BelakangPada bab ini, kita akan mempelajari tentang irisan,tabung & bola lebih lanjut lagi. materi yang disampaikan antara lain mencari irisan kerucut menggunakan rumus hiperbola,mempelajari dan mengenal bagian - bagian dari tabung & mencari rumus bola

B. Rumusan Masalah1. Apakah yang dimaksud dengan irisan,tabung &bola?2. Apa saja macam - macam dari irisan,tabung & bola ?3. Bagaimana sifat - sifat dari irisan,tabung & bola?

C. Tujuaan Penulisaan1. Untuk mengetahui pengertian dari irisan,tabung & bola2. Untuk mengetahui macam ± macam irisan,tabung & bola3. Untuk mengetahui sifat-sifat irisan,tabung & bola

D. Manfaat penulisan Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui pengertian dari irisan,tabung & bolar,serta mengetahui sifat dan macam - macam dari irisan tabung & bola.

BAB II

PEMBAHASANA. Irisan

Irisan kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang

perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis selalu tetap.

Salah satu jenis irisan kerucut ini adalah hiperbola. Hiperbola terjadi jika kerucut

diiris sejajar dengan sumbu simetri.

Pengertian Hiperbola, Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih

jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut

fokus hiperbola.

Gambar tersebut merupakan hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).

• F1( -c, 0) dan F2(c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c.

Sementara selisih jarak yang tetap itu adalah 2a. 

• Sumbu utama adalah sumbu x, sedangkan sumbu sekawan adalah sumbu y.

• Sumbu mayor adalah A1A2, panjangnya 2a. Sumbu minor adalah B1B2,

panjangnya 2b.

• Titik A1 dan A2 disebut titik puncak hiperbola yang merupakan titik

potong hiperbola dengan sumbu mayor.

• Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak

lurus sumbu mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus

rektum adalah 

2b2a

• Persamaan asimtot hiperbola adalah 

• Eksentrisitas = e = c/a , dengan e > 1.

• Persamaan garis direktriks adalah 

• Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c2 = a2 + b2.

Persamaan Hiperbola a. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya

sumbu x adalah

x2a2 − y2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(c, 0) dan F2(-c, 0).

Titik puncak adalah A1(a, 0) dan A2(-a, 0).

Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jika sumbu utamanya adalah sumbu y?

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya

sumbu y adalah

y2a2 − x2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(0, c) dan F2(0, -c).

Titik puncak adalah A1(0, a) dan A2(0, -a).

Persamaan asimtotnya adalah

Contoh 1:

Tentukan persaman asimtot dari persamaan  x29−y216=1

Penyelesaian:

Coba perhatikan bahwa sumbu utama persamaan hiperbola ini adalah sumbu

x. Akibatnya, a2 = 9 dan b2 = 16, sehingga a = 3 dan b = 4.

Persamaan asimtotnya adalah

b. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utamanya

sejajar dengan sumbu x adalah

(x − p)2a2 − (y − q)2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(p + c, q) dan F2(p – c, q).

Titik puncak adalah A1(p + a, q) dan A2(p – a, q).

Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jika sumbu utama hiperbola sejajar dengan sumbu y?

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utama

sejajar dengan sumbu y adalah

(y − q)2a2 − (x − p)2b2 = 1

Titik fokus adalah F1(p, q + c) dan F2(p, q – c).

Titik puncak adalah A1(p, q + a) dan A2(p, q – a).

Persamaan asimtotnya adalah

Contoh 2:

Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0.

Tentukan titik pusat, titik puncak, dan titik fokus hiperbola tersebut!

Penyelesaian:

ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam bentuk baku.

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68

9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4

9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36

4(y + 1)2 – 9(x – 2)2 = 36

(y + 1)29 − (x − 2)24 = 1

Persamaan hiperbola ini memiliki sumbu utama yang sejajar dengan sumbu

y dengan a2 = 9 dan b2= 4. Akibatnya, c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.

Titik pusat hiperbola adalah (2, -1).

Titik puncaknya adalah (2, -1 + 3) = (2, 2) dan (2, -1 – 3) = (2, -4).

Titik fokusnya adalah

Persamaan Garis Singgung Hiperbola Sebuah garis digambarkan pada

sebuah hiperbola. Salah satu kedudukan yang mungkin antara garis itu dan

hiperbola adalah garis menyinggung hiperbola. Coba perhatikan gambar

berikut.

Pada gambar tersebut garis g menyinggung hiperbola pada titik R(x1, y1).

a. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada hiperbola

• Persamaan garis singgung pada suatu titik R(x1, y1) pada hiperbola

x2a2 − y2b2 = 1

adalah

x1xa2 − y1yb2 = 1

Contoh 3:

tentukan persamaan garis singgung pada titik (9, 2) yang terletak pada hiperbola 

(y + 2)248 − (x − 5)212 = 1

Penyelesaian:

Persamaan garis singgungnya dapat dihitung seperti berikut.

(y 1− q)(y − q)a2 − (x1 − p)(x − p)b2= 1(2+ 2)(y + 2)48 − (9 − 5)(x − 5)12= 

1(y + 2)12 − (x − 5)3= 1

y – 4x + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y – 4x + 10 = 0.

b. Persamaan garis singgung bergradien m pada hiperbola

Misalkan garis g yang menyinggung hiperbola tersebut bergradien m, maka:

x2100−y264=1

Contoh 4:

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbola 

x2100−y264=1

Penyelesaian:

Gradien m = 1

Persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.

y=mx±a2m2−b2−−−−−−−−√y=x±100.1−64−−−−−−−−−√y=x±36−−√y=x±6

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + 6 atau y = x – 6.

B. Tabung

a. Defenisi

Dalam mendefinisikan tabung, kita menggunakan pengertian bidang

tabung. Ada beberapa definisi untuk bidang tabung, yaitu:

Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah

garis s dan mempunyai jarak yang tetap r terhadap s. ( dalam hubungan ini s

disebut sumbu bidang tabung, p disebut garis pelukis dan r adalah jari-jari

bidang tabung. 

Dari definisi bidang tabung maka tabung dapat didefinisikan sebagai berikut:

“Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang tabung dan

dua buah datar yang masing-masing tegak lurus pada sumbu bidang tabung.”

Tabung juga dapat dipikirkan sebagai sebuah prisma beraturan yang

banyaknya sisi digandakan terus menerus sehingga menjadi tak terhingga

banyaknya. 

b. Unsur-unsur Tabung

-          Tabung mempunyai 3 sisi yaitu sisi atas, sisi bawah dan sisi

lengkung/sisi tegak (yang selanjutnya disebut selimut tabung). Sisi alas dan

sisi atas (tutup) berbentuk lingkaran yang kongruen (sama bentuk dan

ukurannya).

-          Tabung mempunyai 2 rusuk yang masing-masing berbentuk lingkaran.

-          Tabung tidak mempunyai titik sudut.

 

Jarak antara bidang atas dan bidang bawah tabung disebut tinggi dari tabung

itu.

c. bidang Singgung Pada Bidang Tabung

 

Pada gambar di atas, A merupakan pusat lingkaran alas dari tabung. Dibuat

garis singgung pada p pada alas tabung itu dengan D sebagai titik singgung.

Dibuat garis pelukis DE, maka bidang yang melalui P dan DE disebut bidang

singgung pada bidang tabung. Jika dalam bidang singgung pada bidang

tabung itu kita lukis garis g yang tidak sejajar dengan garis pelukis, maka

garis g itu akan memotong garis pelukis DE di sebuah titik P yang

merupakan titik persekutuan dari garis g dan bidang tabung. Dalam hal ini

maka garis g dikatakan menyinggung bidang tabung di titik P. Garis g juga

merupakan garis yang menyilang sumbu tabung pada jarak tetap, yaitu r.

Karena bidang singgung L melalui garis pelukis yang letaknya selalu sejajar

dengan sumbu tabung s, maka akibatnya bahwa setiap bidang singgung pada

bidang tabung letaknya pasti sejajar dengan sumbu tabung s.

Dari pernyataan di atas dapatlah disimpulkan bahwa:

1.      Semua garis yang menyilang sebuah garis s dengan jarak tetap (r)

terletak pada sebuah bidang yang menyinggung bidang tabung dengan s

sebagai sumbu dan r sebagai jari-jarinya.

2.      Setiap bidang yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak

tetap (r) terhadap s, menyinggung bidang tabung dengan s sebagai sumbu

dan r sebagai jari-jarinya.

d. Jaring-jaring Tabung

Jika sebuah model peraga dari sebuah tabung yang terbuat dari kertas atau

karton kita potong sepanjang salah satu garis pelukis dan keliling bidang alas

dan bidang atasnya, kemudian kita buka sehingga terletak bersama pada

sebuah bidang datar maka kita akan peroleh jaring-jaring dari tabung yang

terdiri dari sebuah daerah persegi panjang (bidang lengkung tabung tadi) dan

dua daerah lingkaran yang kongruen.

e. Volume Tabung

Untuk menentukan volume tabung, maka tabung kita pandang sebagai

bangun yang terjadi dari sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi tak

terhingga, sehingga keliling dari luas bidang alasnya sangat mendekati

keliling dan luas sebuah lingkaran, sedangkan tinggi prisma itu menjadi

tinggi dari tabung tersebut.

Dengan perkataan lain :

Volume sebuah silinder sama dengan limit volume prisma beraturan  yang

banyaknya sisi bertambah menjadi tak berhingga.

Jika r adalah jari-jari bidang alas tabung (bidang alas berupa lingkaran) dan t

adalah tinggi tabung, maka :

Volume Tabung   =   Volume Prisma

                            =   Luas Alas x Tinggi

                            =   (r2) x (t)

                            =   r 2 t

f. Luas Permukaan Tabung

Luas permukaan tabung dapat kita lihat dari jaring-jaring tabung yang terdiri

dari sebuah daerah persegi panjang dan dua daerah lingkaran yang kongruen.

Daerah persegi panjang itu panjangnya sama dengan keliling lingkaran

alas/atas dari  tabung,  sedang  lebarnya sama dengan tinggi tabung.

Luas persegi panjang ini disebut luas bidang lengkung tabung. Jika r jari-jari

tabung dan t adalah tinggi tabung, maka:

Luas Bidang Lengkung Tabung    =   Luas Persegi Panjang

                                                       =   p x l

                                                       =   Keliling lingkaran x tinggi tabung

                                                       =   (2r) x (t)

                                                       =   2 r t

Luas Seluruh Permukaan Tabung = Luas Seluruh Bidang Sisi Tabung

              =   Luas Bidang Lengkung Tabung + 2 Luas Alas (Lingkaran)

              =   2rt + 2 (r2)

              =   2 r (r + t)

C. Bola

Bidang bola adalah bidang lengkung yang terjadi jika sebuah setengah

linkaran diputar sekeliling garis tengahnya.

Bidang bola juga didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang

mempunyai jarak tetap terhadap sebuah titik. Titik ini disebut titik pusat.

Jarak antara titik pusat dan sebuah titik pada bidang bola disebut jari-jari.

Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang bola.

Ruas garis penhubung antara dua titik pada bidang bola disebut talibusur.

Tali busur yang melalui titik pusat disebut garis tengah atau diameter. Dua

titik pada sebuah bidang bola yang merupakan ujung-ujung sebuah diameter

disebut titik-titik diametral.

Pada sebuah bola terdapat banyak sekali lingkaran besar dan setiap dua

lingkaran besar berpotongan sepanjang garis tengah bola. Lingkaran besar

itu sendiri adalah bidang datar yang melalui pusat bola memotong bola

menurut sebuah lingkaran yang titik pusatnya berimpit dengan titik pusat

bola dan jari-jarinya sama dengan jari-jari bola.

a. Letak Sebuah Bidang Terhadap Bola

Jika jarak antara titik pusat bola (M, r) terhadap sebuah bidang H kurang dari

jari-jari bola, maka bidang H dikatakan memotong bola. Perpotongan sebuah

bidang dan sebuah bola pada umumnya berupa sebuah lingkaran kecil.

Jika jarak (d) antara pusat bola dan bidang H sama dengan jari-jari bola,

maka bidang H dan bola (M, r) bersekutu tepat sebuah titik. Dalam keadaan

demikian dikatakan bahwa bidang H dan bola (M, r) bersinggungan,

misalnya dititik P, dan dikatakan juga bahwa bidang P menyinggung bola

(M, r) dititik P.

Jika jarak dari pusat bola kebidang H lebih besar dari jari-jari bola, maka

dikatakan bahwa bidang H tidak memotong bola dan bidang itu tidak

berpotongan.

b. Letak Garis Terhadap Bola

Untuk menentukan letak sebuah garis g terhadap sebuah bola (M, r), melalui

g dan titik pusat bola, dibuat sebuah bidang yang akan memotong bola itu

menurut sebuah lingkaran besar. Karena dengan demikian garis g dan

lingkaran besar itu bersama-sama terletak pada sebuah bidang, sehingga

dapat diterangkan kemungkinan-kemungkinan sebagai berikut :

1. Garis g memotong didua titik yang berlainan, yang berarti bahwa garis g

menembus bola didua buah titik.

2. Garis g menyinggung lingkaran, yang berarti garis g dengan bola

mempunyai tepat sebuah titik persekutuan. Dalam kedudukan seperti ini g

disebut garis singgung pada bola itu.

3. Garis g tidak memotong lingkaran, yang berarti garis g tidak memotong

bola dan dikatakan garis g ada diluar bola.

c. Letak Dua Buah Bola Satu Sama Lain

Jika diketahui dua buah bola (M, r) dan (M, r2) maka garis penghubung

antara kedua pusat bola disebut garis perpusatan atau central. Jika MN = d

dan r1 < r2, maka kita dapatkan beberapa kemungkinan tentang letak kedua

bola itu :

a) d > r1 + r2 : kedua bola tidak slaing memotong, bola yang satu berada

diluar bola yang lain.

b) d = r1 + r2 : kedua bola saling bersinggungan diluar, dan mempunyai

sebuah titik persekutuan.

c) r1 – r2 < d < r2 + r1 : kedua bola saling memotong menurut sebuah

lingkaran.

d) d = r2 – r1 : kedua bola saling bersinggungan didalam.

e) d < r2 – r1 : bola yang satu terletak didalam bola yang lain.

f) d = 0 : kedua bola sepusat (concentris).

d. Luas Bola dan Bagian-bagiannya. 

Tembereng bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebagian bidang

bola dan sebuah daerah lingkaran. Daerah lingkaran itu disebut alas, bagian

bolanya disebut bidang lengkung, dan anak panahnya disebut tinggi

tembereng. Keratan bola adalah bagian dari bola yang dibatasi oleh dua

bidang sejajar. Bidang-bidang sejajar tadi disebut bidang alas dan bidang

atas, sedang jarak antara kedua bidang itu disebut tinggi dari keratan bola.

Juring bola adalah benda yang dibatasi oleh sebuah tembereng bola dan

kerucut yang mempunyai bidan alas sama dengan tembereng bola dan yang

berpuncak pada pusat bola. Tinggi dari juring bola adalah tinggi dari bagian

dari temberengnya. Kulit bola atau cincin bola adalah benda yang dibatasi

oleh sebagaian bidang bola dan selimut tabung atau selimut kerucut

terpancung yang dibuat oleh bola (lingkaran alas dan atas dari tabung atau

kerucut terpancung itu merupakan lingkaran yang merupakan bagian dari

bidang lengkung bolanya. Jarak antara bidang alas dan bidang atas tabung

atau kerucut terpancungnya disebut tinggi dari bola tersebut. Dalil : Jika

sebuah ruas garis AB diputar dengan sumbu putaran garis s yang terletak

pada sebuah bidang dengan AB tetapi tidak memotong AB, maka luas

bidang lengkung yang terjadi sama dengan hasil kali panjang proyeksi AB

pada garis s dengan keliling lingkaran yang jari-jarinya adalah bagian dari

sumbu ruas garis AB, diukur dari pertengahan AB sampai perpotongan

sumbu itu dengan garis s. Pada gambar, perputaran ruas garis AB

menghasilkan sebuah bidang lengkung kerucut terpancung yang luasnya : 

L (AB) = π AB (AA1 + BB1)

Dengan memperhatikan bahwa Δ BAK Δ DCG kemudian dapat dibuktikan

bahwa :

L (AB) = A’B x 2 π CD

“ L (AB) “ dibaca = Luas ruas garis AB berputar.

Perhatikan bahwa dalil diatas juga tetap berlaku jika AB dan s mempunyai

titik persekutuan atau jika AB dan s sejajar.

Dengan menggunakan dalil diatas kemudian dapat dibuktikan rumus-rumus

luas untuk bagian-bagian bola.

Jika R jari-jari bola dan t tinggi masing-masing benda yang merupakan

bagian bola, maka :

Luas bidang Lengkung tembereng bola = 

Luas bidang Lengkung keretan bila = 

Luas bidang Lengkung kulit bola = 

Luas bidang bola = 

e. Volume Bola dan Bidang-Bidang

Untuk menerangkan volume bola dan bagian-bagiannya, kita memperhatikan

dalil berikut : 

Dalil : Volume benda yang terjadi karena perputaran sebuah segitiga dengan

sumbu perputarab sebauh garis yang melalui sebuah titik sudut dan terletak

sebidang dengan segitiga itu tetapi tidak memotong segitiga ditempat lain,

sama dengan hasil kali luas bidang yang dihasilkan oleh perputaran sisi

segitiga yang terletak dihadapan titik sudut yang dilalui oleh sumbu

perputaran dengan sepertiga panjang garis tinggi pada sisi itu.

Volume bola = 

Dan jika diameter dari bola disebut d, maka dapat dibuktikan bahwa.

Volume bola = 

Jika R jari-jari bidang bola, r jari-jari alas tembereng dan t tinggi tembereng,

maka dapat dibuktikan bahwa.

Volume tembereng bola = 

Atau

Volume tembereng bola = 

Selanjutnya jika r1 dan r2 adalah jari-jari bidang alas dan bidang atas buatan

bola, sedang t adalah tinggi kuatan bola maka :

Volume kuatan Bola = 

Pada sebuah kulit bola atau cincin bola, jika k adalah panjang talibusur pada

irisan meridiannya, dan t tinggi dari kulit bola itu, maka dengan memandang

atau 

memperhitungkan bahwa volume cincin bola adalah selisih dari volume sebuah

kerucut bola dan sebuah kerucut terpancung maka dapat dibuktikan bahwa kulit

bola yang dihasilkan dari perputaran tembereng lingkaran ABC adalah :

Volume kulit bola (ABC) = 

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Irisan kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis selalu tetap.

Salah satu jenis irisan kerucut ini adalah hiperbola. Hiperbola terjadi jika kerucut diiris sejajar dengan sumbu simetri.

Dalam mendefinisikan tabung, kita menggunakan pengertian bidang tabung. Ada beberapa definisi untuk bidang tabung, yaitu:

Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak yang tetap r terhadap s. ( dalam hubungan ini s disebut sumbu bidang tabung, p disebut garis pelukis dan r adalah jari-jari bidang tabung).

Bidang bola adalah bidang lengkung yang terjadi jika sebuah setengah linkaran diputar sekeliling garis tengahnya.

Bidang bola juga didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang mempunyai jarak tetap terhadap sebuah titik. Titik ini disebut titik pusat.

masing - masing defenisi dari irisan,tabung & bola memiliki pengertian dan rumus yang berbeda untuk menentukannya

DAFTAR PUSTAKA

https://rafismpn3.wordpress.com/2012/11/15/rumus-volume-kerucuttabung-dan-bola/

http://kanzas-kanzu.blogspot.co.id/2014/12/irisan-kerucut-hiperbola.html

http://www.berpendidikan.com/2015/05/pengertian-dan-unsur-unsur-tabung-serta-contoh-benda-yang-berbentuk-tabung.html