Bilangan

Bilangan Asli

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli.

Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat

positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan

ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan

asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep

pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian

menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.

Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk

membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk

kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut,

bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu

himpunan.

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap

oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep

himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano

(sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).

Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan

lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan

mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional

bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.

Sejarah bilangan Asli

Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-

benda, dimulai dari bilangan satu.

Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan sistem bilangan untuk

melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh,

orang-orang Babylonia mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang

Mesir kuno memiliki sistem bilangan dengan hieroglif berbeda untuk 1, 10, dan semua

pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari Karnak, tertanggal sekitar 1500

SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan

dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.

1 | P a g e

Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan

dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam notasi posisi sedini 700 SM oleh

orang-orang Babylon, namun mereka mencopotnya bila menjadi lambang terakhir pada

bilangan tersebut. Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan India

Brahmagupta.

Pada abad ke-19 dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan teori himpunan.

Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan

himpunan kosong) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori

himpunan, logika dan ilmu komputer. Matematikawan lain, seperti dalam bidang teori

bilangan, bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.

Bilangan irrasional

Penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM).

Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia dihukum mati oleh Pythagoras

karena dianggap penganut ajaran sesat.

Hippasus berasal dari kota Metapontum. Karena ia merupakan anggota sekolah

aliran Phytagoras, berarti ia juga pernah tinggal di Kroton. Ia hidup dan berkarya pada abad

ke-5 SM, yakni sebelum sekolah aliran Phytagoras ditutup. Selain itu, diketahui juga bahwa

ia hidup sezaman dengan Philolaos sehingga diperkirakan ia berkarya sekitar tahun 470 SM.

Menurut sebuah legenda dari sumber-sumber kuno, Hippasus dihukum mati dengan

ditenggelamkan di laut oleh para pemimpin aliran Phytagoras karena dianggap sebagai

pemberontak. Sebelum penemuan Hippasos, Pythagoras dan pengikutnya menganggap bahwa

semua bilangan bersifat rasional, atau dapat dinyatakan dalam perbandingan bilangan bulat.

Namun, dengan menggunakan reductio ad absurdum (pembuktian melalui kontradiksi)

terbukti bahwa √2 adalah bilangan irasional. Pythagoras tidak dapat membantah pembuktian

Hipassus, namun bilangan irasional bertentangan dengan filosofi yang dianut Pythagoras.

Phytagoras tidak mau mengakui kesalahan filosofinya, dan menuduh Hippasus sebagai

penganut ajaran sesat. Hipassus akhirnya dihukum mati dengan cara ditenggelamkan.

Sejarah Bilangan prima

Sejarah bilangan prima dimulai pada zaman Mesir kuno dengan ditemukannya

sebuah catatan yang menyatakan penggunaan bilangan prima pada zaman tersebut. Namun,

bilangan prima dan bilangan komposit pada zaman ini berbeda dengan bilangan prima dan

bilangan komposit yang dikenal saat ini. Bukti lain permulaan sejarah bilangan prima adalah

2 | P a g e

sebuah catatan penelitian bilangan prima oleh bangsa Yunani kuno. Euclid’s Elements (300

BC) berisi beberapa teorema penting mengenai bilangan prima, termasuk ketakberhinggan

bilangan prima dan teorema fundamental aritmetik. Euclid juga memperlihatkan bagaimana

cara menyusun sebuah bilangan sempurna (perfect number) dari sebuah bilangan prima

Mersenne yang ditemukan kemudian. Bukti lain adalah Sieve of Eratosthenes, yaitu sebuah

cara untuk menghitung seluruh bilangan prima dalam suatu rentang tertentu.

Pada abad XVII, penelitian terhadap bilangan prima dilanjutkan kembali setelah

berabad-abad berhenti. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat memulainya dengan membuat

Teorema Kecil Fermat (Fermat’s Little Theorem) yang nantinya akan dibuktikan oleh

Leibniz dan Euler. Kasus khusus dari teorema ini mungkin telah diketahui oleh bangsa Cina

sebelumnya, namun belum ada bukti yang pasti mengenai hal ini. Lama setelah itu, Euler

menemukan “lubang”pada teorema ini. Sebagai pengganti, seorang Prancis, Marin Mersenne,

membuat suatu bentuk baru dari bilangan prima yang akhirnya namanya diabadikan menjadi

nama bilangan ini, yaitu bilangan prima Mersenne (Mersenne prime). Cara penentuan inipun

belum sempurna karena terdapat beberapa prima semu diantaranya.

Sampai abad XIX, banyak matematikawan masih beranggapan bahwa 1 adalah

bilangan prima, dengan definisi bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi satu dan

bilangan tersebut tanpa membatasi jumlah pembagi. Pada abad XIX, Legendre dan Gauss

membuat sebuah konjektural untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari

atau sama dengan suatu bilangan. Konjektural ini akhirnya dibuktikan pada tahun 1896 dan

berganti nama menjadi Teorema Bilangan Prima (Prime Number Theorem). Sebelumnya,

pada tahun 1859, Riemann mencoba membuktikan konjektural tersebut menggunakan fungsi-

zeta. Pencarian bilangan prima tidak berhenti sampai disitu, khususnya untuk bilangan-

bilangan besar. Banyak matematikawan yang meneliti mengenai tes bilangan prima,

contohnya: Pepin’s test untuk bilangan Fermat (1877), Lucas-Lehmer test untuk bilangan

Mersenne (1856), dan Lucas-Lehmer test yang digeneralisasikan.

Pada abad XX, penggunaan bilangan prima di luar bidang matematika mulai

dikembangkan. Pada era 1970-an, ketika konsep kriptografi kunci-publik ditemukan,

bilangan prima menjadi salah satu dasar pembuatan kunci algoritma enkripsi seperti RSA.

3 | P a g e

menjadi satu atau lebih bilangan prima. Dengan dasar tersebut, Q dapat difaktorkan menjadi

satu atau lebih bilangan prima. Namun, tidak ada satu pun bilangan prima (yang telah

diasumsikan berjumlah berhingga) yang dapat habis membagi Q karena apapun bilangan

primanya, misalkan pj, Q dibagi pj selalu akan menghasilkan sisa minimal 1. Jadi, terdapat

suatu bilangan prima baru yang tidak termasuk dalam bilangan prima p1, p2, p3, ... pn, yaitu

Q sendiri bila prima atau faktor prima dari Q. Kesimpulan ini kontradiktif dengan asumsi

sebelumnya bahwa ada sejumlah berhingga bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima

berjumlah tak berhingga.

Teori grup

Teori Grup merupakan cabang matematika yang khusus membahas tentang grup.

Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori bilangan dan geometri. Euler,

Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup.

Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan teori

medan, dengan teorinya yang sekarang disebut teori Galois.

Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m

yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (m<n). Untuk

sederhananya, persoalan itu dikembalikan pada Hudde(1659). Saunderson(1740) menyatakan

bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu

persamaan sektik, dan Le Soeur (1748) dan Waring (1762-1782) masih menganalisi data

lebih lanjut.

Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari permutasi grup

ditemukan oleh Lagrange(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange

menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional

dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini,

Lagrange mengusulkan suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari Vandermonde

(1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan

kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat

lebih tinggi.

Ruffini (1799) membedakan intransitif dan transitif, dan grup imprimitif dan

primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della

permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari Abbati untuk dirinya sendiri, yang

di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.

4 | P a g e

Galois menemukan bahwa jika r_1, r_2, \Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu

persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang

(1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara

rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl

bersifat invarian dalam proses substitusi grup. Galois juga merumuskan teori persamaan

modular dan fungsi eliptik. Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan

saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian

sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).

Arthur Cayley dan Augustin Louis Cauchy merupakan orang-orang pertama yang

menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-

teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh Serret, yang merelakan bagian VI

dari aljabarnya untuk teori itu; oleh Camille Jordan, yang Traité des Substitutions bersifat

klasik; dan kepada Netto (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh

Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari abad ke-19 adalah Bertrand, Charles Hermite,

Frobenius, Leopold Kronecker, dan Mathieu.

Pada tahun 1882, Walther von Dyck berhasil merumuskan definisi modern dari

suatu grup.

Pembahasan mengenai grup Lie, dan subgrup diskrit, sebagai grup transformasi,

mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh Sophus Lie; diikuti oleh Killing, Study, Schur,

dan Maurer. Teori diskontinu (grup diskrit) dicetuskan oleh Felix Klein, Lie, Poincaré, and

Charles Emile Picard, dihubungkan dengan bentuk modular dan monodromi.

Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah Emil

Artin, Emmy Noether, Sylow dan masih banyak lagi.

Strukutur geometri

Geometri (dari bahasa Yunani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara

harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari

hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat

mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.

Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir

kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui

memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-

5 | P a g e

bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada

perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.Salah satu teori awal mengenai

geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri

dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk

menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma.

Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus (hexahedron),

octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen

api, tanah, udara dan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic

Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk

menggambarkan elemen kelima yaitu ether

Postulat Lima

Euclid adalah matematikawan yunani kuno yang membawa pembaruan dalam

geometri dengan buku berjudul element. dalam bukunya ini ia mengajukan lima buah postlat

yang menjadi dasar semua teorema yang dikemukakannya. Lima postulat adalah,

1. Garis lurus dapat digambar dari sebarang titik ke sebarang titik lain

2. Ujung garis lurus dapat idlanjutkan terus sebagai garis lurus

3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dengan jari- jari berbeda

4. Semua sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya

5. Jika sebuah garis berpotongan dengan dua garis membentuk dua sudut interior

pada sisi yang sama dengan jumlah kurang dari jumlah sisi kanannya, maka kedua garis itu

jika diperpanjang tak hingga, akan berpotongan satu sama lain dengan jumlah (derajat) sudut

lebih kecil dibandingkan jumlah sudut sisi kanannya.

Paradoks Matematika

Paradoks adalah suatu situasi yang timbul dari sejumlah premis (apa yg dianggap

benar sebagai landasan kesimpulan kemudian,dasar pemikiran,alasan,asumsi,kalimat atau

proposisi yang dijadikan dasar penarikan kesimpulan di dalam logika) yang diakui

kebenarannya yang bertolak dari suatu pernyataan dan akan tiba pada suatu konflik atau

kontradiksi.

Paradoks Zeno merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan

juga matematika. Achilles dan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling

6 | P a g e

terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang

terkesan tidak terlalu sulit, tapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat

menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :

Pelari tercepat (A) tidak akan bisa mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini

terjadi karena A harus berada pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan

(berada di depan) titik tersebut.

Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan

seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah

tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan start awal di depan,

katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik

di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih

lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles

berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju. Demikian seterusnya,

setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah

melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan bisa mendahului

kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).

Paradoks yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep

kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas pada

dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena himpunan terbatas

itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan yang tak terbatas tidak dapat

memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika

anggota suatu himpunan tak terhingga dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu

korespondensi dengan satu sama lain, tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan

baik, maka dua himpunan memiliki kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi

berarti bahwa untuk himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai

pada himpunan kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley

Dr mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna

keduanya terbatas dan memiliki hubungan n n2 untuk setiap anggota dari himpunan, yang

berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi. Cantor membuktikan bahwa himpunan

bilangan real memiliki kardinalitas lebih besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti

bahwa himpunan tak terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak

terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan menyatakan bahwa

himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah kekuatannya sendiri himpunan,

dimana himpunan daya adalah himpunan semua subhimpunan dari sebuah himpunan A.

7 | P a g e

Power himpunan selalu lebih besar daripada himpunan yang terkait dengan mereka

(Weisstein, "Power Himpunan" 1). Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B,

kardinalitas himpunan B harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks,

kita harus mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas

himpunan lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan (Weisstein,

"Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B adalah himpunan semua

himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih besar dari B himpunan, namun

kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan B dan subhimpunan dari B yang sama

(Weisstein, Paradoks 1 Cantor).

Paradoks Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan

lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R

adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang

berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen.

Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita

menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi

itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks

tukang cukur. Misalkan di kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai

orang yang mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah

"yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia

tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dengan

definisi yang dia lakukan (Russell Paradox 3).

Paradoks Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena

mereka disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya.

Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang dirancang

oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu murni intuitif dan tidak

didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti. Matematikawan ini dipaksa untuk

merumuskan sebuah cara untuk membuat teori mengatur lebih konsisten dan untuk

memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma

yang memberikan aturan yang jelas untuk teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya,

aksioma pemisahan (atau keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan

melarang diri menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting bagi

8 | P a g e

perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan, seperti dalam

aljabar atau geometri.

Meskipun paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap

menjadi penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam

matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu, paradoks

dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam matematika. Jelas,

paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin tidak berada di tempat seperti

sekarang ini tanpa mereka.

Irisan kerucut

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk

kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga

jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga

adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik

pada awal abad ke-2 SM. Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut

dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah

generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator

saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator,

maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka

irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi

jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus

dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus

sumbu kerucut.

9 | P a g e

kasus degenerasi

Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut.

Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan.

Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong

generator manapun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris

melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis

lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi

jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua

garis lurus yang saling berpotongan.

Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

“ tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik

tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap

jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung

F.”

Koordinat Kartesius

Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu

menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

Ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0

maka:

10 | P a g e

jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.

Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.

Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.

Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.

Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

Lingkaran

Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan

mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu

geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk

menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.

Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan

Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran dan

masalah inscribing dan escribing poligon.

Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi dengan

wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva terkenal dalam

tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan masalah ini. Anaxagoras

di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi masalah ini.

Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk lingkaran

dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π2 dan panjang kurva adalah suatu 2π.

Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan

limacon jika titik pedal bukan pada keliling.

kaustik dari sebuah lingkaran dengan titik bersinar di keliling adalah cardioid,

sedangkan bila sinar sejajar maka kaustik adalah nephroid .

Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r bipolar =

kr merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal persamaan bipolar

mr2 + nr2 = c2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya membagi ruas garis antara dua titik

tetap dari sistem dalam rasio n ke m.

Dalam geometri Euclid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang

dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian

dalam dan bagian luar.

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:

11 | P a g e

n sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak

terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Elemen

lngkiaran yang berupa titik, yaitu :

1. Titik pusat (P)

merupakan jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut

jari-jari.

Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :

1. Jari-jari (R)

merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.

2. Tali busur (TB)

merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik

yang berbeda (TB).

3. Busur (B)

merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan

lingkaran.

4. Keliling lingkaran (K)

merupakan busur terpanjang pada lingkaran.

5. Diameter (D)

merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya.

Diameter ini membagi lingkaran sama luas.

6. Apotema

merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :

1. Juring (J)

merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang

berada pada kedua ujungnya.

2. Tembereng (T)

merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali

busurnya.

3. Cakram (C)

merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari

kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

12 | P a g e

Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.

Persamaan Karakteristik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam

ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dalam koordinat polar, yaitu

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran,

dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin

lingkaran dengan jari-jari dalam dan jari-jari luar .

13 | P a g e

Penjumlahan elemen juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan

θ, yaitu;

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah

juring terluas, atau luas lingkaran.

14 | P a g e