MAKALAH FISIKA STATISTIK

APLIKASI STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN UNTUK

MENGANALISIS KECEPATAN MOLEKULAR PADA CAMPURAN

GAS BERBEDA

OLEH

1. SISKA NOVTRIANA PUTRI ( 1301610 )

2. YELITA ( 1301572 )

PENDIDIKAN FISIKA RB

DOSEN PEMBIMBING :

1. Drs. AHMAD FAUZI , M.Si

2. RENOL AFRIZON, S.Pd

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2015

Kata Pengantar

Fisika statistik yang juga disebut sebagai mekanika statistik adalah kajian teoretik

untuk fenomena Termodinamika. Dengan menggunakan hukum-hukum mekanika,

persamaan-persamaan termodinamik yang dirumuskan melalui eksperimen. Makalah ini

dimaksudkan sebagai tugas dari mata kuliah fisika statistik , pada Jurusan fisika Fmipa

UNP. Makalah ini berjudul aplikasi statistik maxwell-boltzmann untuk menganalisis

kecepatan molekular pada campuran gas berbeda

Makalah ini masih jauh dari sempurna sehingga memerlukan perbaikan secara

berkesinambungan.Umpan balik berupa kritik atau saran dari para pembaca sangat

diharapkan. Semoga makalah ini bermanfaat dan secara umum memberi sumbangsih bagi

peningkatan kualitas pembelajaran.

Padang, 11 desember 2015

Penulis

APLIKASI STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN UNTUK MENGANALISIS

KECEPATAN MOLEKULAR PADA CAMPURAN GAS BERBEDA

Abstrak

Dari distribusi kecepatan Maxwell dapat dihitung beberapa karakteristik kecepatan

molekul vp kecepatan, kecepatan rata-rata < v >, danvrmslebih jauh lagi memenuhi kondisi

kecepatan untuk persentase campuran gas yang berbeda pada 3000K. Hasil yang diperoleh

telah ditarik sebagai fungsi untuk variabel dan muncul di kesepakatan yang baik dengan

literatur.

Kata kunci: Maxwell-Boltzmann Distribusi, Campuran Gas, Karakteristik Molekuler

Kecepatan, Probabilitas.

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Fisika statistik adalah salah satu cabang ilmu fisika yang mengkaji sistem yang terdiri atas

banyak partikel dengan menggunakan pendekatan statistik. Konsep pada fisika statistik dapat

dipakai untuk menganalisis masalah interaksi antarsub-unit dengan jumlah sangat besar,

sementara interaksi individual antarsub-unit itu sendiri sangat sulit untuk dijelaskan. Konsep

dari fisika statistik pada statistik maxwell-boltzman dapat menganalisis kecepatan molekuler

Alasan pengembangan mekanika statistik adalah untuk memberi landasan yang kokoh

bagi fenomena termodinamik. Selanjutnya Statistika Maxwell-Boltzmann sering

digambarkan sebagai statistika bagi zarah klasik “terbedakan”. Sistem zarah klasik terbedakan

merupakan sistem zarah yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih zarah

dipertukarkan. Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi

(Boltzmann) biasa bagi zarah dalam berbagai tingkat energi.Dua fisikawan mashur disebut

sebagai pelopornya, yaitu Boltzmann di Jerman dan Gibbs di Amerika Serikat. Makalah ini

akan membahas konsep statistik Maxwell-Boltzman dan aplikasinya dalam penurunan

persamaan gas ideal (PV = NkT). Perhatikan bahwa persamaan gas ideal dituliskan bukan

dalam bentuk PV = nRT sebab melalui pendekatan mekanika statistik kita mulai

mempersoalkan gerak molekul-molekul gas. Sebagaimana dipahami, k adalah tetapan umum

gas untuk setiap molekul, sedangkan n adalah untuk setiap mol.

B. Tujuan Makalah

Melalui makalah ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana statististik maxwell-boltzman

itu sendiri dan untuk mengetahui bagaimana distribusi kecepatan molekul itu dan aplikasi

statistik maxwell- boltzman dalam menganalisis distribusi kecepatan molekul.

C. Manfaat Makalah

Manfaat dari penulisan makalah ini adalah untuk memperoleh informasi lebih lanjut

mengenai aplikasi fisika statistik maxwell-botzman, dalam menganalisis tentang

distribusi kecepatan molekuler , selain itu juga dalam rangka untuk memenuhi tugas

dalam mata kuliah Fisika Statistik.

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Riwayat Hidup Boltzmann

Ludwig Eduard Boltzmann (20 Februari 1844 - September 5, 1906) adalah seorang

Austria fisikawan terkenal atas kontribusi pendirian dalam bidang mekanika statistik dan

termodinamika statistik . Dia adalah salah satu yang penting pendukung paling untuk teori

atom pada saat yang model ilmiah masih sangat kontroversial.

Boltzmann lahir di Wina , ibukota Kekaisaran Austria . Ayahnya, Georg Ludwig

Boltzmann, adalah seorang pejabat pajak. Kakeknya, yang telah pindah ke Wina dari Berlin ,

adalah produsen jam, dan ibu Boltzmann, Katharina Pauernfeind, pada awalnya dari Salzburg.

Dia menerima pendidikan dasar dari seorang tutor pribadi di rumah orang tuanya. Boltzmann

bersekolah menengah di Linz , Upper Austria . Pada usia 15, Boltzmann kehilanganayahnya.

Boltzmann belajar fisika di Universitas Wina , mulai tahun 1863. Di antara guru-gurunya

adalah Josef Loschmidt , Joseph Stefan , Andreas von Ettingshausen dan Jozef Petzval .

Boltzmann menerima gelar PhD pada tahun 1866 bekerja di bawah supervisi dari Stefan;

disertasinya adalah pada teori kinetik gas. Pada tahun 1867 ia menjadi Privatdozent (dosen).

Setelah memperoleh gelar doktor, Boltzmann bekerja dua tahun lagi sebagai asisten Stefan's.

Itu yang memperkenalkan Stefan Boltzman pada Maxwell bekerja.

Pada tahun 1869 pada usia 25, ia diangkat sebagai Profesor penuh Matematika Fisika di

Universitas Graz di Provinsi Styria . Pada tahun 1869 ia menghabiskan beberapa bulan di

Heidelberg bekerja dengan Robert Bunsen dan Leo Königsberger dan kemudian pada tahun

1871 ia bersama Gustav Kirchhoff dan Hermann von Helmholtz di Berlin. Pada tahun 1873

Boltzmann bergabung dengan Universitas Wina sebagai Profesor Matematika dan di sana ia

tinggalhingga1876.

Ludwig Boltzmann dan rekan kerja di Graz, 1887. (Berdiri, dari kiri) Nernst , Streintz ,

Arrhenius , Hiecke, (duduk, dari kiri) Aulinger, Ettingshausen , Boltzmann, Klemenčič ,

Hausmanninger. Pada tahun 1872, jauh sebelum perempuan masuk ke universitas Austria, ia

bertemu dengan Henriette von Aigentler, calon guru matematika dan fisika di Graz.

Dia menolak izin untuk tidak resmi audit kuliah. Boltzmann menyarankan dia untuk

mengajukan banding, yang dia lakukan, berhasil. Pada 17 Juli 1876 Ludwig Boltzmann

Henriette menikah, mereka memiliki tiga anak perempuan dan dua anak. Boltzmann kembali

ke Graz untuk mengambil kursi of Experimental Fisika. Di antara murid-muridnya di Graz

adalah Svante Arrhenius dan Walther Nernst. Dia menghabiskan 14 tahun bahagia di Graz

dan di sanalah ia mengembangkan konsep statistik tentang alam. Pada tahun 1885 ia menjadi

anggota Kekaisaran Austria Akademi Ilmu Pengetahuan dan pada tahun 1887 ia menjadi

Presiden Universitas Graz. Ia terpilih menjadi anggota Royal Swedish Academy of

Sciencespadatahun1888.

Boltzmann diangkat Ketua Teoritis Fisika di University of Munich di Bavaria , Jerman

pada tahun 1890. Pada tahun 1893, Boltzmann berhasil gurunya Joseph Stefan sebagai

Profesor Fisika Teoretis di Universitas Wina .

B. Stastistik Maxwell – Boltzman

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik

yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang

konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih partikel dipertukarkan. Dengan kata lain,

konfigurasi partikel A di dalam keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2 berbeda dengan

konfigurasi ketika partikel B berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A dalam keadaan 2.

Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi

partikel dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang

fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”. Namun, masalah itu

tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua partikel dianggap tak terbedakan.

Untuk sistem klasik, seperti atom gas, perbedaan energi dua tingkat berdekatan mendekati

nol, atau ε i+1−εi→ 0.Perbedaan energi yang yang mendekati nol memiliki makna bahwa

tingkat energi sistem klasik bersifat kontinu. Dalam sistem klasik juga tidak ada batasan

jumlah sistem yang dapat menempati satu keadaan energi. Satu keadaan energi dapat saja

kosong, atau ditempati oleh suatu sistem, oleh dua sistem dan seterusnya. Bahkan semua

sistem berada pada satu keadaan energipun tidak dilarang. Konsep statistik Maxwell-

Boltzman dan aplikasinya dalam penurunan persamaan gas ideal (PV = NkT). Perhatikan

bahwa persamaan gas ideal dituliskan bukan dalam bentuk PV = nRT sebab melalui

pendekatan mekanika statistik kita mulai mempersoalkan gerak molekul-molekul gas.

Sebagaimana dipahami, k adalah tetapan umum gas untuk setiap molekul, sedangkan n adalah

untuk setiap mol.

1. Ruang fase

Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan

molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi

seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi

ke dalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel. Molekul terbagi ke dalam sel ini dan

terjadilah distribusi molekul menurut sel.

Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan setiap

molekul. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada

pusat koordinat, maka vektor-vektor ini akan menembus permukaan radial khayal tertentu.

Untuk setiap vektor kecepatan berlaku :

v=√v x2+v y

2+vz2

dimana index x menandakan komponen dalam arah Sumbu-x. Setiap vektor yang

bersesuaian dengan satu molekul dan direpresentasikan oleh anak panah dapat diwakili oleh

ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini berada dalam ruang yang kita sebut sebagai ruang

kecepatan (velocity space).

Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan sumbu

vx , v y , vz. Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini

bersesuaian dengan keadaan bahwa dua molekul memiliki kecepatan yang persis sama,

kendati posisinya berbeda.

Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi

setiap molekul unik. Suatu elemen volume dV dalam ruang fase diasumsikan mengandung

banyak sekali titik representasi. Elemen-elemen volume selanjutnya dipandang sebagai bilik

kemudian diberi nomor. Kita dapat mendefinisikan densitas pada masing-masing elemen

volume ini :

ρ=N i

H; H =dxdydz dvx dv y dvz

Densitas ini akan merupakan fungsi dari 3 peubah ruang dan 3 peubah kecepatan; dan

perlu dirumuskan bentuk eksplisitnya.

2. Keadaan Mikro dan Keadaan Makro

Distribusi jumlah molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebut

status makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam tiap

status makro disebut status mikro dari sistem. Kemudianjumlah status mikro terhadap status

makro tertentu dinamakan probabilitas termodinamik. Dalam metoda statistik ini dilakukan

penentuan probabilitas termodinamik dan selanjutnya ditentukan pula hubungan dari

probabilitas termodinamik dengan masalah tenaga-dalam untuk selanjutnya memperoleh

jumlah molekul dalam sel.

Keadaan mikro adalah konfigurasi sesaat yang memuat data lengkap posisi dan kecepatan

(momentum) setiap molekul. Konfigurasi dapat dipandang sebagai hasil pemotretan pada satu

titik waktu. Potret nyata dari suatu sistem hanya memuat informasi posisi masing-masing

molekul dan tidak ada informasi tentang kecepatan. Kenyataan bahwa pemotretan benda

bergerak akan menghasilkan gambar yang kualitasnya tidak sebaik dengan pemotretan benda

diam. Sebab itudikonsepkan bahwa potret untuk keperluan keadaan mikro memuat informasi

bukan hanya posisi, tetapi juga kecepatan yang dinyatakan oleh warna. Pemotretan dapat

dilakukan pada berbagai titik waktu, sedangkan hasil dari masing-masing pemotretan adalah

satu keadaan mikro.

Ω= N !N1 ! N2! …N n!

= N !

∏i=1

n

N i!

dimana biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari

bilangan yang ordenya hingga 1023 akan sangat besar sehingga perlu teknik khusus untuk

menghitungnya. Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu:

abc de e f gh

i jkl m n

ln x! = x ln x – x

Rumus Stirling dalam Persamaan di atas sebenarnya merupakan pengintegralan

sederhana sbb:

ln x != ln x+ ln ( x−1 )+ ln ( x−2 )+…+ln 1

ln x !=∑ ln x ≈∫1

x

ln x dx

ln x ! ≈ x ln x−x

Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik

didefinisikan sebagai :

S=k ln Ω

dengan menggunakan rumus stirling, diperoleh :

ln Ω=N ln N−∑ N i ln N i;

∑ N i=N

Jumlah molekul yang berada pada bilik ke i tentu saja berubah setiap saat. Akan tetapi

pada saat entropi maksimum, maka perubahan bobot statistik maksimum Ωmaks akibat

perubahan dari N i adalah nol. Jika bobot statistik Ω maximum, logaritmanya juga maximum,

sehingga :

δ ln Ωmax=−∑ N i δ ln N i−∑ ln N iδ N i=0

Suku pertama dari sini hasilnya lenyap sebab :

∑ N iδ ln N i=∑ N i

δ N i

N i=∑ δ N i=0

Alasan kenapa ∑ δ N i=0 terkait dengan kenyataan bahwa jumlah molekul tetap,

pertambahan jumlah dalam suatu bilik adalah akibat pengurangan pada bilik yang

lain. Implikasinya menjadi :

∑ ln N iδ N i=0

3. Perhitungan Entropi Gas Ideal

Dalam bagian ini akan digunakan konsep statistik Maxwell-Boltzmann untuk perhitungan

entropi gas ideal. Hamiltonian sistem dinyatakan oleh :

H ( q , p )=∑i

N P i−2

2m=∑

i

3 N pi2

2m

suku energi potensial tidak ada karena molekul-molekul gas ideal saling bebas.

Perhatikan bahwa batas penjumlahan berubah dari N menjadi 3N, yaitu karena

P−2=P x2+P y

2+P z2 Jumlah mikrostate sistem dinyatakan oleh integrasi.

Ω ( E , N )= ∫H ( q , p )

❑

d3 N d3 N p

Oleh karena Hamiltonian tidak bergantung pada posisi q, integrasi terhadap d3 Nq

menghasilkan V N sehingga :

Ω ( E ,N )=V N ∫H (q , p )

❑

d3 N q d3 N p

Perhitungan sisa integral dilakukan dengan memperhitungkan keadaan bahwa semua

titik dalam ruang fase memenuhi :

∑i

3 N

Pi2≤ 2mE

4. Paradoks Gibbs

Dalam termodinamika statistik, dikenal ststistik maxwell-boltzman yaitu :

W =N !∏j

g jN j

N j !

Dengan menggunakan perumusan entropi S dan energi bebas Helmholtz F,maka :

S=−( ∂ F∂T )

V

Dan fungsi partisi Boltzman yaitu :

Z=V (2πmkT )

32

h3

Sehingga kaitan antara energi bebas Helmholtz dengan fungsi partsisi Z yaitu :

F=−N k T ln Z

Jika kita menurunkan persamaan entropi diatas, kita dapatkan entropi sistem

tertutup yaitu :

S=Nk {ln [ V (2πmkT )32

h3 ]+ 32 }

Dari distribusi maxwell diatas yang disebut juga distribusi semi – klasik. Lalu kita

turunkan untuk mencari persamaan entropinya. Menggunakan aprokmasi stirling

dimana ln ( x! )=x ln x−x, didapatkan :

ln W =N j ln g j−N j ln N j+N j

ln W =N j ln( g j

N j)+N j

Substitusi nilai g j=N j e−( α+βε ) , ε j N j=U , dan pengali Lagrange A=eα dan β=−1

kT ,

sehingga :

ln W =N j ln e−( α+βε )+N j

ln W =¿−α N j−β ε j N j+N j¿

ln W =¿−N ln A+ UkT

+N j ¿

Karena Z=NA

ln W =¿ N ln ZN

+ UkT

+N j¿

Entropi , S yaitu :

S=k ln W maks

S=UT

+Nk (ln ZN

+1)

C. Distribusi Kecepatan Molekul

Ruang Kecepatan

Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan

kecepatan semua molekul gas. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai

vektor dengan titik tangkap pada pusatkoordinat maka vektor-vektor ini akan

tampak sebagai kumpulan anak panah yang menembus permukaan khayal tertentu,

misalnya permukaan bola dengan jejari kecil. Arah masing-masing anakpanah

ditentukan oleh komponen kecepatannya, yaitu vx , v y , vzdimana vx adalah

komponenkecepatan pada sumbu-x.

Untuk setiap vektor kecepatan berlaku :

v=√v x2+v y

2+vz2

Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan sumbu

vx , v y , vz. Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit.

Keadaan ini bersesuaian dengankeadaan bahwa dua molekul memiliki kecapatan

yang persis sama, kendati posisinya berbeda.Dalam ruang fase, tidak mungkin ada

dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekulunik.

Gambar Ruang Kecepatan

Elemen volume dv x , dv y , dvz pada ruang kecepatan menyatakan jumlah

molekul yang memiliki kecepatan antara vx , v y , vzdan vx+dvx , v y+dv y , v z+dvz.

Secara konsep, elemen volume initidak dapat diambil sangat kecil (menuju nol)

sebab harus memperhitungkan orde perbedaan kecepatan. Jika diambil terlalu

kecil, jumlah titik dalam elemen tersebut menjadi tidak sesuai dengankenyataan

fisis. Dengan kata lain, sebenarnya kita menghendaki ditribusi kecepatan yang

kontinu,akan tetapi jumlah titik representasi berhingga, yaitu dalam orde bilangan

Avogadro. Banyakruang kosong dalam ruang kecepatan sehingga akan

mempengaruhi tingkat akurasi pendekatanyang digunakan.

Jumlah molekul dengan komponen kecepatan arah-x antara vxdan vx+dvx

dinyatakan oleh lempeng dN vx, sehingga fraksi molekul dengan kecepatan ini

adalah :

dN vx

N

Fraksi ini akan bergantung pada dua faktor, yaitu ketebalan lempeng (dv x) dan

letak lempeng, dalam hal ini vx :

dN vx

N= f (v x ) dvx → dN vx=Nf ( vx ) dv x

Fraksi untuk komponen lain dapat diasumsikan memiliki bentuk serupa. Tentu

saja, akibat gravitasi bentuk untuk komponen vy sedikit berbeda, tetapi dapat

diabaikan, sehinga tetap dapat tuliskan :

dN vy=Nf ( v y ) dv y

dN vz=Nf ( vz ) dv z

Sejumlah molekul dalam fraksi tetap memiliki komponen v y dan vz. Sebab itu,

kita dapat menyatakan fraksi molekul yang kecepatannya berada antara v y dan

v y+dv ybaik terhadap total molekul N maupun subtotal dN vx . Nilai kedua fraksi ini

sama sebab fraksi dapat dipandang sebagai besaran homogen (Bandingkan dengan

massa jenis, massa jenisbahan sama dengan massa jenis potongannya). Dengan

demikian kita dapat menuliskan :

d2 N vxvy

dN vx=

dNvy

N→d2 N vxvy=

dN vy

NdN vx

Sehingga diperoleh bahwa :

d2 N vxvy=dN vy

NNf (v x ) dvx=dN vy f ( vx ) dvx=Nf (v x) f (v y ) dv x dv y

Sajian ini menyatakan jumlah titik representasi pada balok yang merupakan

interseksi antara lempengan dv x dan dv y.

Melalui argumentasi yang analog, fraksi molekul yang memiliki kecepatan antara

vz dan vz+dv z. dalam d2 N vxvydapat dinyatakan sebagai :

d3 N vxvyvz

d2 N vxvy

=dN vz

N

Sehingga diperoleh :

d3 Nvxvyvz=Nf ( vx ) f ( v y ) f (v z ) dvx dv y dvz

yang menyatakan jumlah titik representasi kecepatan dalam elemen volume

dv x dv y dv z. Dari persamaan diatas diperoleh densitas titik representasi kecepatan

ρ=d3 N vxvyvz

dv x dv y dv z=Nf ( vx ) f ( v y ) f (v z )

Sesuai asumsi sebelumnya, kecepatan bersifat isotropik sehingga nilai ρ(vx , v y , vz)

homogen secara radial. Ada perubahan nilai ρ dari titik v ke v + dv sebesar dρ

yaitu :

dρ= ∂ ρ∂ vx

dv x+∂ ρ∂ v y

dv y+∂ ρ∂ vz

dvz

Oleh karena ρ terpisahkan atas f ( vx ) f ( v y ) f ( vz )maka persamaan ini dapat dituliskan

sebagai :

dρ=N ([df ( vx )∂vx ] f (v y ) f ( v z ) dvx+f ( vx )[ df (v y )

∂ v y ]f ( vz ) dv y+ f (v x ) f (v y ) [ df ( vz )∂ vz ]dvz)

Kasus khusus bisa ditinjau, yaitu elemen volume yang berada pada jarak yang

sama dari pusat, yaitu v, sehingga dρ = 0, akibatnya :

f , ( v x)f ( vx )

dvx+f , (v y )f ( v y )

dv y+f , ( vz )f ( vz )

dvz=0

Sesuai syarat dρ = 0, dua element volume yang ditinjau berada pada lempeng

permukaan konsentrik yang sama, sehingga :

v2=v x2+v y

2+v z2=konstan

Yang berarti :

vx dvx+v y dv y+v z dvz=0

Dengan menggunakan tetapan pengali Lagrange sehingga menjadi :

( f , (v x )f ( v x)

+λ vx )dvx+( f , (v y)f (v y )

+λ v y)dv y+( f , ( vz )f ( vz )

+λ vz)dvz=0

Dengan integrasi, solusinya dapat dituliskan sebagai :

f ( vx )=α e− β2 v x2

Dimana β2= λ2 , sehingga jumlah titik representasi dalam elemen volume dV adalah

d3 N=N α 3e−β2 (v x2+ vy

2+ v z2 ) dvx dv y dvz

Rapat titik representasi dapat dituliskan sebagai :

ρ= d3 Ndv x dv y dv z

=N α3 e− β2 v2

Sajian ini hanya bergantung pada laju v sebagai konsekuensi dari asumsi bahwa

laju molekul gas isotropik. Fungsi ini dinamakan fungsi distribusi kecepatan

Maxwell.

BAB III

PEMBAHASAN

Distribusi Maxwell-Boltzmann ini merupakan suatu rumusan fungsi statistik untuk

menentukan kemungkinan ditemukannya molekul dengan kecepatan dan pada jarak tertentu.

Seperti yang diketahui bahwa gas tersusun dari atom atau molekul. Atom atau molekul gas

sebenarnya tidak berinteraksi dengan yang lainnya kecuali melalui tumbukan. Kita mungkin

membayangkan bahwa gas merupakan gabungan bola-bola sangat kecil di udara, yang

bertumbukan antarasatu dengan lainnya. Kalaupun atom atau molekul gas bergerak dengan

kecepatan yang awalnya sama (padahal sebenarnya tidak sama), tumbukan yang dialamioleh

masing-masing gas akan menyebabkan perbedaan kecepatan gas. Beberapagas bergerak

sangat cepat, dan yang lainnya bergerak lambat. Dengan demikian, ada sebaran jumlah

molekul mulai dari kecepatan nol hingga kecepatan yangsangat besar. Sebaran tersebut

digambarkan dengan suatu fungsi distribusikecepatan molekul f ( v ) , yang disebut

distribusi Maxwell. Berdasarkan fungsiini, pengaruh masa molekul dan suhu terhadap

distribusi dinyatakan dalam persamaan

f ( v )=4 π ( m2 π kB T )

32 v2 e

−mv32

2 kBT

Grafik alur fungsi f(v) terhadap kecepatan v disajikan pada Gambar di bawah ini. Pada

suhu tinggi atau masa molekul kecil, distribusi molekul dengankecepatan tinggi lebih besar

jumlahnya dibandingkan dengan pada suhu rendahatau masa molekul lebih besar. Semakin

kecil masa molekul atau semakin tinggisuhu, puncak kurva bergeser ke v yang lebih tinggi,

dan kurva melebar sepanjangaksis kecepatan v tersebut.

Persamaan Maxwell f(v) di atas selanjutnya diteliti secara cermat oleh

Boltzmann. Penurunan persamaan Maxwell dimulai dari pendapat Boltzmann yang

menyatakan bahwa fraksi molekul yang bergerak dengan kecepatan tertentu

berbanding lurus dengan pangkat ¿). Berdasarkan pendapat ini, distribusi

kecepatan gas dalam arah satu dimensi di sumbu X dirumuskan dengan

persamaan berikut :

dNN

=A . e−mv x

2

2 kBT .d v x

Dengan dN/N adalah fraksi molekul, dan A suatu tetapan perbandingan.

Peluang maksimal ditemukannya molekul dengan kecepatan tersebut adalah

seratus persen atau satu. Sehingga, persamaan diatas dituliskan menjadi :

∫−∞

+∞

A . e−mv x

2

2 kB T . d vx=1

Tetapan A dapat ditentukan sebagai berikut :

A= 1

∫−∞

+∞

e−mv2

2 kBT . d v x

Untuk menyelesaikan persamaan ini, maka perlu diperhatikan penyelesaian

matematik sebagaimana tertera dalam Tabel 1 berikut.

Tabel 1. Penyelesain matematik untuk integral terhadap fungsi Gauss

Dengan a= m2kT

,maka harga ∫−∞

+∞

A . e−mv x

2

2 kB T . d vx=√ 2 π k BTm

Oleh karena itu, nilai tetapan A adalah :

A= 1

∫−∞

+∞

e−mv2

2 kBT . d v x

=√ m2 π k BT

Sehingga distribusi fungsi f(v) dv menjadi :

dNN

=f ( v x) d v x=√ m2 π kB T

. e−mv x

2

2k BT . d v x

Persamaan ini dikenal dengan persamaan Maxwell-Boltzmann, yang pertama

kalidisampaikan oleh Maxwell, dan selanjutanya dibuktikan secara teliti oleh

Boltzmann.

Pembahasan yang telah dilakukan diasumsikan pada kecepatan gas yang

bergerak di sumbu X. Namun gas selalu bergerak acak dengan arah di tiga dimensi

X, Y, dan Z. Oleh karena itu, secara terpisah dapat dituliskan sesuai dengan

arahnya:

f ( vx ) d v x=√ m2π kB T

.e−mvx

2

2 kB T . d v x

f ( v y ) d v y=√ m2π k BT

. e−m v y

2

2 kB T . d v y

f ( vz ) d vz=√ m2 π k B T

.e−m vz

2

2kB T . d vz

Distribusi molekul yang memiliki kecepatan dalam rentang kecepatan v sampai

(v+dv) direpresentasikan oleh suatu persamaan koordinat kartesian berikut.

f ( v ) dv=f ( vx , v y , vz ) d vx d v y d v z(√ m2π k BT )

3

. e−mv2

2 kB T . d vx d v y d vz

Distribusi akhir ditemukannya molekul yang bergerak dengan

rentangankecepatan v sampai dv merupakan jumlah peluang teletaknya molekul

dalamsegala arah di tiga dimensi dengan rentang kecepatan v sampai v + dv atau

berbentuk bola. Untuk itu, perhitungan peluang harus dikalikan dengan volumbola

yang berjejari v dengan kulit dv, sehingga volum bola adalah43

π v3

f ( v ) dv=(√ m2 π k B T )

32 . e

−mv32

2kB T . 43

π v3 . dv

f ( v )=43

π (√ m2π kB T )

32 .∫ v3 . e

−mv32

2 kB T . dv

f ( v )=4 π (√ m2 π kB T )

32 v2. e

−mv32

2 kB T

Mengingat hubungan antara massa m dan massa molekul M, serta antara

tetapan Boltzmann k B dan tetapan gas R,maka persamaan distribusi tersebut dapat

dituliskan sebagai berikut.

f ( v )=4 π ( M2πRT )

32 v2 . e

−Mv32

2 RT

1. Menghitung distribusi kecepatan

Fungsi distribusi Maxwell dipelajari untuk menentukan besarnya peluang

ditemukannya molekul yang mempunyai kecepatan dalam rentang v sampai

(v+dv). Fungsi ini dapat digunakan menghitung kecepatan akar kwadrat rata-

rata ( vrms) , dan kecepatan rata-rata v. Penulisan produksi fraksi dengan

kecepatan v2 adalah v2f ( v ) dv. Dengan demikian kecepatan akar kuadrat rata-

rata ( vrms) dapat dievaluasi dari integral v2f ( v ) dv yang kemudian diakar

⟨ v2 ⟩=∫ v2 f ( v ) dv=4 π ( M2 πRT )

32∫

0

∞

v4 . e−Mv2

2RT . dv

Integral v2f ( v ) dv ini memerlukan penyelesaian matematik sebagai berikut :

Dengan a= M2RT , maka evaluasi untuk perhitungan vrms dengan harga n = 4 adalah

sebagai berikut :

⟨ v2 ⟩=4 π ( M2 πRT )

32 x 3

8 [π (2 RTM )

5 ]12

⟨ v4 ⟩=π 2( M2 πRT )

3

x 94 [π ( 2RT

M )5]

⟨ v2 ⟩=(3 RTM )

Sehingga :

vrms=√ 3 RTM

Evaluasi kecepatan rata-rata v. juga dapat dilakukan dengan cara serupa menggunakan

fungsi distribusi Maxwell dan cara integral terhadap v f(v)dv sebagai berikut :

v=∫0

∞

v . f (v ) . dv=4 π ( M2 πRT )

3/2

∫0

∞

v3e− M v2/2 RT . dv

v=4 π ( M2 πRT )

3 /2

. 12 ( 2 RT

M )2

v=√ 8 RTπM

Selain kedua kecepatan yang dihitung dengan distribusi Maxwell tersebut, dikenal

pula satu kecepatan gas lainya yang dikenal sebagai kecepatan dengan kebolehjadian terbesar

v*, atau kecepatan yang paling mungkin. Kecepatan paling mungkin ini ditunjukkan oleh titik

puncak distribusi, dimana turunan pertama fungsi Maxwell bernilai = 0. Dengan

bertambahnya suhu atau berkurangnya massa molekul gas, kecepatan ini berubah ke arah

kecepatan yang lebih besar. Ini dikarenakan distribusi kecepatan molekul juga semakin besar.

Harga kecepatan paling mungkin ini ditentukan oleh persamaan :

v¿=√ 2RTM

Distribusi ini dapat pula digunakan untuk menerangkan kecepatan pergerakan gas

hydrogen dan helium di atmosfir bumi yang lebih besar dari pada nitrogen dan oksigen.

Barangkali kita tidak dapat merasakan keberadaan gas hydrogen dan helium secara bebas di

atmosfir seperti gas nitrogen dan oksigen.

Ini dapat diterangkan dengan vrmsyang mengukur seberapa cepat suatu atom atau

molekul berkelana di atmosfir. vrmshydrogen141/2 kali lebih besar dari pada nitrogen karena

masa molekul nitrogen 14 kali masa hitrogen, sedangkan vrms helium 71 /2 kali lebih besar dari

pada nitrogen karena massa nitrogen 7 kali masa atom helium.

Kecepatan suatu objek untuk dapat lepas dari gravitasi bumi dan meninggalkan bumi

adalah 11,2 km/det. Maka dari itu, roket yang akan meluncur ke Mars harus memiliki

kecepatan melebihi 11,2 km/det untuk dapat meninggalkan bumi. Demikian pula yang berlaku

pada molekul gas. Jika molekul gas memiliki kecepatan rata-rata lebih dari 11,2 km/det, gas

tersebut tidak akan pernah tinggal di bumi. Gas hidrogen dan helium memiliki kecepatan rata-

rata yang sangat besar, sehigga hampir tidak ditemukan di atmosfir bumi.

BAB IV

KESIMPULAN

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel

klasik yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang

konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih partikel dipertukarkan. Dengan kata lain,

konfigurasi partikel A di dalam keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2 berbeda dengan

konfigurasi ketika partikel B berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A dalam keadaan 2.

Statistika Maxwell-Boltzmann juga berguna untuk mempelajari berbagai kecepatan

molekul dalam gas yang berbeda. Secara matematis distribusi Boltzmann lebih umum dikenal

sebagai Pengukuran Gibbs. Distribusi Boltzmann sering menggunakan lambang β = 1/kT

dimana β adalah sebagai Beta termodinamika. Lambang atau ,yang memberikan kemungkinan

relatifdarisuatu keadaan. Pada saat energi partikel hanya berupa energi kinetic.

Dapat disimpulkan bahwa distribusi yang diberikan adalah Distribusi Maxwell–

Boltzmann yang menyatakan kecepatan molekul gas, sesuai dengan yang telah diramalkan

oleh Maxwell pada tahun 1859. Gas ideal klasik adalah suatu assembly yang terdiri dari

sejumlah system dimana molekul-molekulnya tidak saling berinteraksi, dapat dibedakan

antara yang satu dengan lainnya. Dapat disimpulkan bahwa untuk kecepatan molekul pada gas

ideal klasik berlaku statistic Maxwell Boltzmann.

Pada makalah ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihk-pihak yang telah

membantu dalam menyelesaikan masalah ini, terutama kepada bapak Ahmad Fauzi dan pak

Renol yang telah membimbing dalam penyelesaian makalh ini. Dan tidak lupa ucapan terima

kasih kepada teman-teman yang telah membantu. Terutama kepada jurnal-jurnal yang saya

ambil.

DAFTAR PUSTAKA

F. W. Sears. 1963. Thermodynamics the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics,

Addison Wesley

Greiner,W., L. Neise. 1995. Thermodynamics and Statistical Mechanics. Springer Verlag,

New York

Ibrahim Kaittan Fayyadh,Harith Abd-Al razak Hassan,Muhammad Asmail Eleiwi, Farhan

Lafta Rashid. 2014. Determination of the Maxwell-Boltzmann DistributionProbability for

Different Gas Mixtures. Eng. &Tech. Journal, Vol. 32,Part (A), No.6, 2014

L. E. Reichl, A Modern Course. 1998. Statistical Physics, John Wiley & Sons

R. C. Tolma. 1979.The Principles of Statistical Mechanics, Dover Pub., New York,

Serway, Raymond A., Jewett, John W., (2004),” Physics for Scientists and Engineers”, 6th

Ed, Brooks/Cde, PP. 7.

W. R. Gibbs.1999.Computation in Modern Physics, World Scientific,