linierisasi(1)

LINIERISASI

Saya sudah paham 100% tentang penentuan solusi suatu sistem persamaan linier.

Hmm… kalau persamaannyatak-linier bagaimana ya ?

L I N I E R I S A S I

• Telah dibahas penentuan solusi sistem persamaan linier.

• Bagaimana dengan solusi sistem persamaan tak-linier ?

atau

• Solusi sistem persamaan tak-linier dapat diselesaikanmelalui pendekatan model linier (sistem persamaan linier).Dalam hal ini, persamaan-persamaan tak-linier tersebut terlebih dahulu dilinierkan.

C O N T O H

1. Tentukan solusi dari sistem persamaan :

Bentuk linier :

Solusi :


Bentuk linier :

Solusi :

L A T I H A N



DERET TAYLOR derajat ke−n (1−variabel)

Sebuah fungsi dapat didekati dengan :(lihat Kalkulus)

harga pendekatan dari

LINIERISASI dengan DERET TAYLOR

Persamaan dengan 1 variabel :

atau :

Persamaan dengan 2 variabel :

atau :

ARTI GEOMETRIK LINIERISASI

Garis lengkung didekati dengan sebuahgaris lurus dengan gradien :

garislurus

Agarproses pendekatan dapatdilakukan secara iteratif= penyimpangan

LINIERISASI JARAK DATAR

Bentuk linier :

Superskrip “o ” menyatakan nilai pendekatan

LINIERISASI SUDUT JURUSAN

Bentuk linier :

Dari Kalkulus : dan

LINIERISASI SUDUT HORISONTAL

sudut horisontal = selisih dua sudut jurusan

Bentuk linier :

MATRIKS JACOBI atau MATRIKS KOEFISIEN

Sebuah sistem persamaan linier sebagai berikut :

dengan

Dapat ditulis dalam notasi matriks dan vektor sebagai :

Matriks Jacobi

BEBERAPA APLIKASIALJABAR LINIER

Untuk apa sih saya belajar aljabar linier ?

CONTOH 1: Penentuan Posisi 3−D

• Linierkan keempat persamaan tersebut !• Tulis dalam notasi matriks dan vektor !

Pada penentuan posisi dengan GPS,diukur jarak-jarak dari empat satelit ketitik P di permukaan bumi. Adapunkeempat persamaan jarak tersebut dapatditulis sebagai :

TUGAS (gunakan Matlab)

• Topik :Penentuan posisi dengan GPS(Teknik Point Positioning)

• Data :Koordinat satelit dan data ukuranjarak akan diberikan oleh Asisten.

Contoh 2 : Penentuan Posisi 2−D

• Diberikan : koordinat titik 1 dan 2• Diukur : sudut jurusan

jarak datar• Tentukan koordinat titik P !

Jawab :

• Akan kita tuliskan :

• Dalam hal ini :

• Sekarang, terdapat dua persamaan dengan dua variabel. Keduapersamaan tersebut adalah tak-linier

Contoh 2: Penentuan Posisi 2−D (cont.)

• Bentuk linier :

• Dalam notasi matriks dan vektor, sistem persamaan linier di atas dapatditulis sebagai :

• Atau :

• Dalam hal ini akan ditentukan solusi

Contoh 2: Penentuan Posisi 2−D (cont.)

• Bila matriks Jacobi (matriks bujur sangkar) tak-singular, maka solusisistem persamaan linier tersebut dapat ditentukan melalui :

• Adapun koordinat titik P diperoleh melalui :

• Meskipun demikian, , untuk ituprosedur hitungan dilakukan secara iteratif sehingga :

Langkah Hitungan Praktis Iteratif

Langkah pertama adalah menentukan nilai koordinat pendekatan titik P :1

Hitung jarak dan sudut jurusan pendekatan :2

(satuan radian)

Hitung elemen-elemen matriks Jacobi (koefisien) :3

Langkah Hitungan Praktis Iteratif (cont.)

4 Hitung vektor yang elemen-elemennya merupakan selisih antara nilai ukuran dengan harga pendekatannya :

Dalam hal ini, satuan dalam radian

Konversi :

5 Hitung solusi pada sistem persamaan linier berikut :

atau

Sistem persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan cara :

• Eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan•• Dekomposisi LU, dan lain-lain.• Apakah cara Dekomposisi Cholesky dapat digunakan ?

Langkah Hitungan Praktis Iteratif (cont.)

Tentukan koordinat titik P melalui :6

7 Koordinat titik P yang diperoleh dari langkah 6 , selanjutnyadigunakan sebagai nilai pendekatan koordinat titik P yang baru :

2 sampai denganLakukan kembali prosedur hitungan dari langkah8langkah secara berulang (iteratif) sehingga diperoleh :7

• Apakah sistem persamaan linier tersebut well-condition ?• Kapankah sistem persamaan linier tersebut ill-condition ?• Bila ill-condition, bagaimana cara mengatasinya ?• Pada contoh ini, kapan matriks Jacobi berupa matriks yang singular ?

LATIHAN (gunakan kalkulator)

• Diberikan :Koordinat titik 1 :Koordinat titik 2 :

• Diukur :Sudut jurusan :Jarak datar :

• Tentukan :Koordinat titik P !

Contoh 3: Transformasi KoordinatKoordinat titik A dapat dinyatakansebagai :• sistem koordinat kartesia pq :

• sistem koordinat kartesia xy :

Bila diberikan koordinat titik A padasistem xy, maka koordinat titik Apada sistem pq dapat ditentukanmelalui (lihat textbook) :

Transformasi konform 2-D

Contoh 3: Transformasi Koordinat (cont.)

• Untuk dapat mentransformasikan koordinat satu titik dari satu sistemkoordinat ke satu sistem lainnya, terlebih dahulu harus diketahui empatbuah parameter, yaitu :

• Dengan demikian, sebelum transformasi koordinat dilakukan, terlebihdahulu harus ditentukan keempat parameter transformasi tersebut.

• Keempat parameter transformasi dapat ditentukan berdasarkan datatitik sekutu (common point).

Titik sekutu adalah titik yang koordinatnya diketahui pada keduasistem koordinat.

• Dalam hal ini, paling sedikit diperlukan dua buah titik sekutu.Dari (minimal) dua titik tersebut dapat dibentuk empat buah persamaanyang dapat digunakan untuk menentukan 4 parameter transformasi.


• Dari dua buah titik sekutu, dapat ditulis empat buah persamaan :

Koordinat titik sekutu :Titik 1 :Titik 2 :

• Dapat ditulis pula sebagai :

dengan :

• Sistem persamaan di atas telah linier dengan variabel atau parameter :

Tidak perlu dilakukan linierisasi !


• Dalam notasi matriks dan vektor :

• Keempat parameter dapat ditentukan sebagaisolusi dari sistem persamaan linier di atas.

• Adapun parameter rotasi dan faktor skala ditentukan dari :

dan

• Selanjutnya, titik-titik ke-n dapat ditransformasikan dari sistem xy kesistem pq melalui :

LATIHAN (gunakan kalkulator)

• Koordinat titik-titik berikut ini terdefinisi pada sistem xy akandinyatakan dalam sistem pq :

• Adapun koordinat titik-titiksekutu adalah :

• Hitung koordinat titik-titik tersebut sehingga terdefinisi padasistem pq !

Contoh 4: Penentuan Tinggi

• Bila tinggi titik A adalah , pada pengukuran sipat datar berikut ini akan ditentukan tinggi titik-titik 1, 2, 3, dan 4 :

• Dari hasil pengukuran beda tinggi dapat ditulis empat buahpersamaan sebagai berikut :

Variabel-variabel dari sistem persamaan di atas adalah :

Contoh 4: Penentuan Tinggi (cont.)• Karena tinggi titik A telah diketahui, sistem persamaan tersebut dapat

ditulis kembali sebagai :

• Sistem persamaan di atas telah linier. Dalam notasi matriks dan vektor :

• Tinggi titik-titik 1,2,3, dan 4 adalah solusi dari sistem persamaan linierdi atas.• Apakah sistem persamaan linier tersebut mempunyai solusi tunggal ?• Kapan sistem persamaan linier tersebut akan ill-condition ?• Bagaimana apabila tinggi titik A tidak diketahui ?

LATIHAN (kalkulator tidak diperlukan)

Diberikan :

Hasil pengukuran beda tinggi :

Hitung :

Tinggi titik-titik 1,2,3,4, dan 5 !

linierisasi(1)

Documents