Download - linierisasi(1)
![Page 1: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/1.jpg)
LINIERISASI
Saya sudah paham 100% tentang penentuan solusi suatu sistem persamaan linier.
Hmm… kalau persamaannyatak-linier bagaimana ya ?
![Page 2: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/2.jpg)
L I N I E R I S A S I
• Telah dibahas penentuan solusi sistem persamaan linier.
• Bagaimana dengan solusi sistem persamaan tak-linier ?
atau
• Solusi sistem persamaan tak-linier dapat diselesaikanmelalui pendekatan model linier (sistem persamaan linier).Dalam hal ini, persamaan-persamaan tak-linier tersebut terlebih dahulu dilinierkan.
![Page 3: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/3.jpg)
C O N T O H
1. Tentukan solusi dari sistem persamaan :
Bentuk linier :
Solusi :
2. Tentukan solusi dari sistem persamaan :
Bentuk linier :
Solusi :
![Page 4: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/4.jpg)
L A T I H A N
1. Tentukan solusi dari sistem persamaan :
2. Tentukan solusi dari sistem persamaan :
![Page 5: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/5.jpg)
DERET TAYLOR derajat ke−n (1−variabel)
Sebuah fungsi dapat didekati dengan :(lihat Kalkulus)
harga pendekatan dari
![Page 6: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/6.jpg)
LINIERISASI dengan DERET TAYLOR
Persamaan dengan 1 variabel :
atau :
Persamaan dengan 2 variabel :
atau :
![Page 7: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/7.jpg)
ARTI GEOMETRIK LINIERISASI
Garis lengkung didekati dengan sebuahgaris lurus dengan gradien :
garislurus
Agarproses pendekatan dapatdilakukan secara iteratif= penyimpangan
![Page 8: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/8.jpg)
LINIERISASI JARAK DATAR
Bentuk linier :
Superskrip “o ” menyatakan nilai pendekatan
![Page 9: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/9.jpg)
LINIERISASI SUDUT JURUSAN
Bentuk linier :
Dari Kalkulus : dan
![Page 10: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/10.jpg)
LINIERISASI SUDUT HORISONTAL
sudut horisontal = selisih dua sudut jurusan
Bentuk linier :
![Page 11: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/11.jpg)
MATRIKS JACOBI atau MATRIKS KOEFISIEN
Sebuah sistem persamaan linier sebagai berikut :
dengan
Dapat ditulis dalam notasi matriks dan vektor sebagai :
Matriks Jacobi
![Page 12: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/12.jpg)
BEBERAPA APLIKASIALJABAR LINIER
Untuk apa sih saya belajar aljabar linier ?
![Page 13: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/13.jpg)
CONTOH 1: Penentuan Posisi 3−D
• Linierkan keempat persamaan tersebut !• Tulis dalam notasi matriks dan vektor !
Pada penentuan posisi dengan GPS,diukur jarak-jarak dari empat satelit ketitik P di permukaan bumi. Adapunkeempat persamaan jarak tersebut dapatditulis sebagai :
![Page 14: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/14.jpg)
TUGAS (gunakan Matlab)
• Topik :Penentuan posisi dengan GPS(Teknik Point Positioning)
• Data :Koordinat satelit dan data ukuranjarak akan diberikan oleh Asisten.
![Page 15: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh 2 : Penentuan Posisi 2−D
• Diberikan : koordinat titik 1 dan 2• Diukur : sudut jurusan
jarak datar• Tentukan koordinat titik P !
Jawab :
• Akan kita tuliskan :
• Dalam hal ini :
• Sekarang, terdapat dua persamaan dengan dua variabel. Keduapersamaan tersebut adalah tak-linier
![Page 16: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh 2: Penentuan Posisi 2−D (cont.)
• Bentuk linier :
• Dalam notasi matriks dan vektor, sistem persamaan linier di atas dapatditulis sebagai :
• Atau :
• Dalam hal ini akan ditentukan solusi
![Page 17: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh 2: Penentuan Posisi 2−D (cont.)
• Bila matriks Jacobi (matriks bujur sangkar) tak-singular, maka solusisistem persamaan linier tersebut dapat ditentukan melalui :
• Adapun koordinat titik P diperoleh melalui :
• Meskipun demikian, , untuk ituprosedur hitungan dilakukan secara iteratif sehingga :
![Page 18: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/18.jpg)
Langkah Hitungan Praktis Iteratif
Langkah pertama adalah menentukan nilai koordinat pendekatan titik P :1
Hitung jarak dan sudut jurusan pendekatan :2
(satuan radian)
Hitung elemen-elemen matriks Jacobi (koefisien) :3
![Page 19: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/19.jpg)
Langkah Hitungan Praktis Iteratif (cont.)
4 Hitung vektor yang elemen-elemennya merupakan selisih antara nilai ukuran dengan harga pendekatannya :
Dalam hal ini, satuan dalam radian
Konversi :
5 Hitung solusi pada sistem persamaan linier berikut :
atau
Sistem persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan cara :
• Eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan•• Dekomposisi LU, dan lain-lain.• Apakah cara Dekomposisi Cholesky dapat digunakan ?
![Page 20: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/20.jpg)
Langkah Hitungan Praktis Iteratif (cont.)
Tentukan koordinat titik P melalui :6
7 Koordinat titik P yang diperoleh dari langkah 6 , selanjutnyadigunakan sebagai nilai pendekatan koordinat titik P yang baru :
2 sampai denganLakukan kembali prosedur hitungan dari langkah8langkah secara berulang (iteratif) sehingga diperoleh :7
• Apakah sistem persamaan linier tersebut well-condition ?• Kapankah sistem persamaan linier tersebut ill-condition ?• Bila ill-condition, bagaimana cara mengatasinya ?• Pada contoh ini, kapan matriks Jacobi berupa matriks yang singular ?
![Page 21: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/21.jpg)
LATIHAN (gunakan kalkulator)
• Diberikan :Koordinat titik 1 :Koordinat titik 2 :
• Diukur :Sudut jurusan :Jarak datar :
• Tentukan :Koordinat titik P !
![Page 22: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh 3: Transformasi KoordinatKoordinat titik A dapat dinyatakansebagai :• sistem koordinat kartesia pq :
• sistem koordinat kartesia xy :
Bila diberikan koordinat titik A padasistem xy, maka koordinat titik Apada sistem pq dapat ditentukanmelalui (lihat textbook) :
Transformasi konform 2-D
![Page 23: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh 3: Transformasi Koordinat (cont.)
• Untuk dapat mentransformasikan koordinat satu titik dari satu sistemkoordinat ke satu sistem lainnya, terlebih dahulu harus diketahui empatbuah parameter, yaitu :
• Dengan demikian, sebelum transformasi koordinat dilakukan, terlebihdahulu harus ditentukan keempat parameter transformasi tersebut.
• Keempat parameter transformasi dapat ditentukan berdasarkan datatitik sekutu (common point).
Titik sekutu adalah titik yang koordinatnya diketahui pada keduasistem koordinat.
• Dalam hal ini, paling sedikit diperlukan dua buah titik sekutu.Dari (minimal) dua titik tersebut dapat dibentuk empat buah persamaanyang dapat digunakan untuk menentukan 4 parameter transformasi.
![Page 24: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh 3: Transformasi Koordinat (cont.)
• Dari dua buah titik sekutu, dapat ditulis empat buah persamaan :
Koordinat titik sekutu :Titik 1 :Titik 2 :
• Dapat ditulis pula sebagai :
dengan :
• Sistem persamaan di atas telah linier dengan variabel atau parameter :
Tidak perlu dilakukan linierisasi !
![Page 25: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh 3: Transformasi Koordinat (cont.)
• Dalam notasi matriks dan vektor :
• Keempat parameter dapat ditentukan sebagaisolusi dari sistem persamaan linier di atas.
• Adapun parameter rotasi dan faktor skala ditentukan dari :
dan
• Selanjutnya, titik-titik ke-n dapat ditransformasikan dari sistem xy kesistem pq melalui :
![Page 26: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/26.jpg)
LATIHAN (gunakan kalkulator)
• Koordinat titik-titik berikut ini terdefinisi pada sistem xy akandinyatakan dalam sistem pq :
• Adapun koordinat titik-titiksekutu adalah :
• Hitung koordinat titik-titik tersebut sehingga terdefinisi padasistem pq !
![Page 27: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh 4: Penentuan Tinggi
• Bila tinggi titik A adalah , pada pengukuran sipat datar berikut ini akan ditentukan tinggi titik-titik 1, 2, 3, dan 4 :
• Dari hasil pengukuran beda tinggi dapat ditulis empat buahpersamaan sebagai berikut :
Variabel-variabel dari sistem persamaan di atas adalah :
![Page 28: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/28.jpg)
Contoh 4: Penentuan Tinggi (cont.)• Karena tinggi titik A telah diketahui, sistem persamaan tersebut dapat
ditulis kembali sebagai :
• Sistem persamaan di atas telah linier. Dalam notasi matriks dan vektor :
• Tinggi titik-titik 1,2,3, dan 4 adalah solusi dari sistem persamaan linierdi atas.• Apakah sistem persamaan linier tersebut mempunyai solusi tunggal ?• Kapan sistem persamaan linier tersebut akan ill-condition ?• Bagaimana apabila tinggi titik A tidak diketahui ?
![Page 29: linierisasi(1)](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052201/55cf99a0550346d0339e5ab9/html5/thumbnails/29.jpg)
LATIHAN (kalkulator tidak diperlukan)
Diberikan :
Hasil pengukuran beda tinggi :
Hitung :
Tinggi titik-titik 1,2,3,4, dan 5 !