LIMIT FUNGSI

A. LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif

Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang

bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh

berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

x2−x−2x−2

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =

00 (tidak dapat ditemukan)

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7

f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =

x2−x−2x−2 : mendekati 3.

jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di

dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis :

limx→2

x2−x−2x−2

=3

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai

Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita

dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

a. Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→3

( x2−8 )!

Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu

dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)

limx→3

( x2−8 )=32−8=9−8

=1

Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan

ketentuan sebagai berikut:

a) Jika f (a) = c, maka limx→a

f ( x )=a

b) Jika f (a) =

c0 , maka

limx→a

f ( x )=~

c) Jika f (a) =

0c , maka

limx→a

f ( x )=0

b. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga

tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→3

x2−9x−3 !

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =

32−93−3

=00 .

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak

terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilailimx→3

x2−9x−3 , kita harus mencari

fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk

menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x)

sehingga menjadi:

( x−3 ) ( x+3 )(x−3 )

= ( x+3 ) . ( x−3

x−3 )=1

Jadi, limx→3

x2−9x−3 =

limx→3

( x−3 ) (x+3 )( x−3 )

= limx→3

( x+3 )

= 3 + 3 = 6

c. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang

perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→2

x2−3 x+2√ x−2 !

Penyelesaian:

limx→2

x2−3 x+2√ x−2 =

limx→2

x2−3 x+2√ x−2

. √ x−2√ x−2

= limx→2

( x2−3 x+2 ) (√x−2 )(√x−2 )2

= limx→2

( x−1 ) ( x−2 ) (√ x−2 )( x−2 )

= limx→2

( x−1 ) √x−2

= (2−1 ) .√2−2= 1 . 0

= 0

d. Merasionalkan Pembilang

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1 !

Penyelesaian:

limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1

= limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1 .

√3 x−2+√4 x−3√3 x−2+√4 x−3

= limx→1

(√3 x−2 )2−(√4 x−3 )2

( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−x+1( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−( x−1 )( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−1√3 x−2+√4 x−3

=

−1√3 . 1−2+√4 .1−3

=

−1√1+√1 =

−11+1 =

− 12

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak

Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak

berhingga,diantaranya:

limx→~

f ( x )g ( x ) dan

limx→~

[ f (x )±g( x )]

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-

cara sebagai berikut:

a. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilailimx→~

f ( x )g ( x ) . Caranya dengan membagi

f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x )

atau g (x).

Contoh:

Tentukan nilai limit dari:

a. limx→~

4 x−12 x+1 b.

limx→~

4 x+1x2−x

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari limx→~

4 x−12 x+1 perhatikan pangkat tertinggi dari

x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x

adalah satu.

limx→~

4 x−12 x+1 =

limx→~

4 xx

− 1x

2 xx

+ 1x

=

limx→~

4− 1x

2+ 1x

=

4− 1~

2+ 1~

=

4−02+0 =

42 = 2

b. Perhatikan fungsi h (x) =

4 x+1x2−2 ! Fungsi tersebut memiliki x dengan

pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 – 2. jadi, untuk

menentukan nilai limx→~

4 x+1x2−x maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2 harus dibagi

dengan x2 .

limx→~

4 x+1x2−x =

limx→~

4 xx2

+ 1x2

x2

x2 − 2x2

=

limx→~

4x+ 1

x2

1− 2x2

=

4~

+ 1(~ )2

1− 2(~ )2

=

0+01−0

=

01 = 0

b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan limx→~

[ f (x )±g( x )]. Jika kita

dimitai menyelesaikan limx→~

[ f (x )±g( x )] maka kita harus mengalikan [f (x)

+ g (x)] dengan

[ f ( x )− g ( x ) ][ f ( x )− g ( x ) ] sehingga bentuknya menjadi:

limx→~

[ f (x )±g( x )].

[ f ( x )− g ( x ) ][ f ( x )− g ( x ) ]

= limx→~

{[ f ( x )]2−[g ( x ) ]2 }f (x )− g ( x ) ataupun sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari limx→~

√ x2+2 x−√x2+x

Penyelesaian:

limx→~

√ x2+2 x−√x2+x

= limx→~

√ x2+2 x−√x2+x .

√x2+2 x+√ x2−x√x2+2 x+√ x2−x

= limx→~

( x2+2 )−( x2+1 )√x2+2 x+√x2−x

= limx→~

3 x√x2+2 x+√x2−x

=

limx→~

3 xx

√ x2

x2+2 xx2 +√ x2

x2 −xx2

=

3√1+0+√1−0

=

32

B. TEOREMA LIMIT

Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani

hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta

dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:

1.limx→a

k=k

2.limx→a

x=a

3.limx→a

kf (x) = k

limx→a f (x)

4.limx→a [f (x) ± g (x)] =

limx→a f (x) ±

limx→a g (x)

5.limx→a v [f (x) . g (x)] =

limx→a f (x) .

limx→a g (x)

6.limx→a

f ( x )g ( x )

=limx→a

f ( x )

limx→a

g ( x ), dimana

limx→a g(x) ≠ 0

7.limx→a [f (x) ]n = [

limx→a f (x)]n

8.limx→a

n√ f ( x )=n√ limx→a

f ( x ) dimana

limx→a f (x) ¿ 0 untuk n bilangan genap

limx→a f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil

Contoh:

Carilah a. limx→4

(3 x2−x )! b.

limx→3 √ x2+9

2x

Penyelesaian:

a)limx→4

(3 x2−x ) =

limx→4

3 x2−limx→ 4

x (teorema 4)

= 3 limx→4

x2−limx→ 4

x(teorema 3)

= 3 [limx→4x ]2−lim

x→4x

(teorema 7)

= 3. (4)2 – 4 (teorema 2)

= 3. 16 – 4 = 44

b)limx→3 √ x2+9

2 x =

limx→3

√ x2+9

limx→3

2 x(teorema 6)

=

√ limx→ 3

( x2+9 )

2 limx→3

x(teorema 8 dan 3)

=

√ limx→ 3

x2+ limx→3

9

2 limx→3

x(teorema 4)

=

√( limx→3

x )2+ limx→3

9

2 limx→3

x(teorema 7)

=

√32+92 .3 (teorema 1 dan 2)

=

√186 =

36 √2

=

12 √2

C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri:

a. Limit fungsi sinus

1.limx→0

xsin x

=1

2.limx→0

sin xx

=1

3.limx→0

axsin ax

=1→

limx→0

axsin bx

=ab

4.limx→0

sin axax

=1→

limx→0

sin axbx

=ab

b. Limit fungsi tangens

1.limx→0

xtan x

=1

2.limx→0

tan xx

=1

3.limx→0

axtan ax

=1→

limx→0

axtanbx

=ab

4. limx→0

tan axax

=1→

limx→0

tan axbx

=ab

Contoh:

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!

a. limx→0

sin 3 x2 x b.

limx→0

sin 5 xsin 2 x

Penyelesaian:

a. limx→0

sin 3 x2 x =

limx→0

sin 3 x3 x

. 3 x2x

= limx→0

sin 3 x3 x

. limx→0

3 x2 x

= 1 .

32 =

32

b. limx→0

sin 5 xsin 2 x =

limx→0

sin 5 x5 x

. 2 xsin 2 x

. 5 x2 x

= limx→0

sin 5 x5 x

. limx→0

2xsin 2x

. limx→0

5 x2 x

= 1. 1 .

52 =

52

Latihan:

1. Hitunglah nilai limit berikut ini

a. limx→ ∞

x2+x+3x2−5

b. limx→ ∞

√ x2+3 x−x

2. Hitunglah nilai limit berikut ini

a. limx →3

x−3x2+9

b. limx→−1

x2+x−5x2−x+4

3. Hitunglah nilai limit berikut ini

a. limx→ 4

x−4√ x−2

b. limX → 0

x2−X2 X

4. Hitunglah limh→ 0

f (x+h )−f (x)h

untuk f(x) berikut ini

a. f ( x )=3 x

b. f ( x )=2 x2−3

5. Hitunglah nilai limit berikut ini

a. limy → 0

2 tan3 ysin 2 y

b. limx→

12 π

1+cos2 xcos x