6

BAB II

DASAR TEORI

Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan

konsep dasar untuk mempelajari Fungsi Bervariasi Terbatas. Pada BAB II ini

dibahas mengenai sifat-sifat bilangan real, topologi bilangan real, barisan, limit

dan kekontinuan fungsi.

2.1 Sifat-sifat dan Topologi Bilangan Real

Sifat-sifat bilangan real yang akan dibahas meliputi pengertian dan sifat-

sifat nilai mutlak. Selain sifat-sifat bilangan real, juga akan dibahas topologi

bilangan real.

Definisi 2.1.1 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Untuk sebarang a∈ℝ , nilai mutlak � , dituliskan dengan a , didefinisikan

dengan

, jika 0,

0, jika 0,

, jika 0.

a a

a a

a a

>= =− <

Sebagai contoh |3| = 3, |-7| = - (-7) = 7, dan |0| = 0.

7

Teorema 2.1.2 (Darmawijaya, S., 2006).

Untuk setiap ,x ,y dan z bilangan real, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

i. | | 0x ≥

0x = jika dan hanya jika 0x = .

ii. x x− = .

iii. xy x y= .

iv. Jika 0y ≥ , maka x y≤ jika dan hanya jika y x y− ≤ ≤ .

v. x x x− ≤ ≤ .

Bukti : (i) Dari Definisi 2.1.1,|�| � 0 untuk setiap � . Jika � � 0 , menurut

Definisi 2.1.1 diperoleh |�| � 0 . Sebaliknya, jika � � 0 , maka |�| � 0 atau

equivalen dengan |�| � 0 berakibat � � 0.

(ii) Jika� � 0,|0| � 0 � |0|. Jika � 0, maka – � � 0 sehingga |�| � � �

|�|. Jika � � 0 maka |�| � � � |�|.

(iii) Jika salah satu � � 0 atau � 0 maka mudah dipahami bahwa |� | � |�|| |.

Jika � � 0 dan 0 , atau � 0 dan � 0 , maka � 0 sehingga |� | �

�� � � �� � � |�|. | |. Jika � � 0 dan � 0 , maka � � 0 sehingga

|� | � � � |�|| |.

(iv) Dari |�| � diperoleh � � dan � � yang berakibat � � dan � �

yang ekuivalen dengan � � � .

(v) Jelas bahwa |�| � 0 sehingga menurut (iv), diperoleh |�| � � � |�|.□

8

Teorema 2.1.3 (Pertidaksamaan Segitiga) (Bartle dan Sherbert, 2000).

Untuk setiap x , y∈ℝ , berlaku.|� � | � |�| � | |.

Bukti : 0 � |� � |� � �� � ��

2 2

2 2

2 2

2

2

| | 2 | |

| | 2 | | . | | | |

(| | | |)

x xy y

x xy y

x x y y

x y

= + +≤ + += + += +

Jadi terbukti |� � | � |�| � | |.□

Teorema 2.1.4 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Untuk setiap a dan b∈ℝ berlaku

i. x y x y− ≤ + .

ii. x y x y− ≤ − .

Bukti:

(i) Menurut hukum pertidaksamaan segitiga diketahui bahwa x y x y+ ≤ + ,

subtitusikan y dengan y− , sehingga diperoleh

( ) ( )

, karena | | | | .

x y x y

x y x y

x y x y y y

+ − ≤ + −

⇔ − ≤ + −

⇔ − ≤ + = −

(ii) Karena x x y y= − + , maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga,

diperoleh | | | ( ) | | | | |x x y y x y y= − + ≤ − + yang berarti | | | | | |x y x y− ≤ − .

9

Karena y y x x= − + , maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga, diperoleh

| | ( ) | |y y x x y x x= − + ≤ − + yang berarti | | | | | |x y x y− ≥ − − . Karena

| |x y x y− ≤ − dan | | | | | |x y x y− ≥ − − sehingga diperoleh

| | | | .x y x y− ≤ − □

Selanjutnya akan dibahas tentang batas bawah dan batas atas dari suatu

himpunan bilangan real.

Definisi 2.1.5 (Darmawijaya, S., 2006).

Diketahui himpunan A⊆ ℝ dan .A φ≠

i. Bilangan u∈ℝ disebut batas atas A , jika a u≤ untuk semua a A∈ .

ii. Bilangan v∈ℝ disebut batas bawah A , jika v a≤ untuk semua a A∈ .

iii. Himpunan A yang mempunyai batas atas dikatakan terbatas ke atas.

iv. Himpunan A yang mempunyai batas bawah dikatakan terbatas ke bawah.

v. Himpunan A dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke atas dan

terbatas ke bawah.

Contoh 2.1.5

Diberikan himpunan A = { a ∈ �| a < 5}, himpunan A terbatas ke atas, karena

terdapat x ∈ � ,yaitu x � a untuk setiap a ∈ A ( x merupakan batas atas dari

himpunan A ). Diperoleh x � 5, yaitu x = 5, 6, …, atau dengan kata lain contoh

batas atas dari himpunan A adalah x1 = 5, x2 = 6, x3 =7,999, x4 = 100, … .

10

Sehingga dapat dibentuk himpunan semua batas atas dari himpunan A, misalkan

X, dengan X = { x ∈ � | x � 5}.

Berikut ini diberikan pengertian tentang supremum dan infimum.

Definisi 2.1.6 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Diberikan A ⊆ � dan A � ∅.

i. Jika A terbatas ke atas, maka ada bilangan u yang disebut supremum (batas

atas terkecil) dari himpunan A, ditulis sup A, jika memenuhi:

a. u batas atas dari himpunan A.

b. Jika k sebarang batas atas A, maka u � k.

ii. Jika A terbatas ke bawah, maka ada bilangan v yang disebut Infimum (batas

bawah terbesar) dari A, ditulis inf A, jika memenuhi:

a. v batas bawah himpunan A.

b. Jika l sebarang batas bawah A, maka v � l.

Contoh 2.1.6

Diberikan himpunan A = [1, 2) ⋃ {3, 4}, himpunan A merupakan himpunan yang

terbatas dengan infimum 1 dan supremum 4.

Teorema 2.1.7 (Supremum dan infimum) (Darmawijaya, S., 2006).

i. u supremum himpunan A jika dan hanya jika

a. u batas atas A, yaitu untuk setiap a ∈ A berakibat a � u, dan

b. untuk setiap bilangan � > 0 terdapat a’ ∈ A sehingga u – � < a’ � u.

11

ii. v infimum himpunan A jika dan hanya jika

a. v batas bawah A, yaitu untuk setiap a ∈ A berakibat a � v, dan

b. untuk setiap bilangan � > 0 terdapat a’’ ∈ A sehingga v � a’’ < v + �.

Bukti:

i. (⟹) Karena u supremum (batas atas terkecil) himpunan A, maka u – � bukan

batas atas himpunan A. Hal ini berarti ada a’ ∈ A sehingga u – � < a’ .

Selanjutnya karena u batas atas terkecil himpunan A, maka setiap a ∈ A

berlaku a � u, khususnya a’ � u. Dengan demikian terbukti ada a’ ∈ A

sehingga u – � < a’ � u.

(⟸ ) Karena diketahui bahwa a � u untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap

bilangan real � > 0 ada a’ ∈ A sehingga u – � < a’ diperoleh u batas atas dan

tak ada batas atas u1 (yang lain) dengan u1 < u. Sebab jika ada maka dengan

mengambil �� = u – u1 diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a’’ ∈ A sehingga

u - �� < a’’ atau u1 = u – (u – u1) < a’’ . Dengan kata lain terbukti bahwa u

merupakan supremum.

ii. (⟹) Karena v infimum (batas bawah terbesar) himpunan A, maka v + �

bukan batas bawah himpunan A, hal ini berarti ada a’’ ∈ A sehingga a’’ < v +

�. Selanjutnya karena v batas bawah terbesar himpunan A, maka setiap a ∈ A

berlaku a � v, khususnya v � a’’. Dengan demikian terbukti ada a’’ ∈ A

sehingga v � a’’ < v + �.

(⟸ ) Karena diketahui bahwa a � v untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap

bilangan real � > 0 ada a’’ ∈ A sehingga a’’ < v + � diperoleh v batas bawah

12

dan tak ada batas bawah v1 (yang lain) dengan v1 > v. Sebab jika ada maka

dengan mengambil �� = v1 - v diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a’’’ ∈ A

sehingga a’’’ < v + �1 atau a’’’ < v + (v1 – v) = v1. Dengan kata lain terbukti

bahwa v merupakan infimum.

Teorema 2.1.8 (Aksioma Supremum pada ℝ )(Bartle dan Sherbert, 2000).

Setiap himpunan bagian tak kosong yang terbatas ke atas di dalam ℝmempunyai

supremum.

Bukti:

Misalkan himpunan A ⊂ �, A � ∅, dan A terbatas ke atas, serta u = batas atas A,

sehingga a � u untuk setiap a ∈ A, dan untuk setiap bilangan real � > 0 ada a’ ∈ A

sehingga u – � < a’. Andaikan terdapat batas atas lain yang lebih kecil, misalnya

u1 dengan u1 < u, maka dengan mengambil �1 = u – u1 sehingga ada a” ∈ A.

Sehingga u - �� < a’’ atau u1 = u – (u – u1) < a’’, sedangkan untuk u1 batas atas

terkecil seharusnya u1 � a, sehingga pengandaian salah, yaitu tidak terdapat batas

atas yang lebih kecil dari pada batas atas u. Dengan kata lain terbukti bahwa u

merupakan supremum A.

Teorema 2.1.9 (Akibat Aksioma Supremum) (Bartle dan Sherbert, 2000).

Setiap himpunan bagian tak kosong dan terbatas ke bawah di dalam ℝ

mempunyai infimum.

13

Bukti:

Sifat infimum dapat diturunkan dari sifat supremum. Misalkan himpunan A ⊂ �,

A � ∅, dan A mempunyai batas bawah. Didefinisikan himpunan A1 = { -a : a ∈ A}.

Akan dibuktikan jika A terbatas bawah maka A1 terbatas atas. Ambil sebarang

batas bawah A, misalkan w, maka w � a untuk setiap a ∈ A. Sehingga –w � -a

(untuk setiap -a ∈ A1), jadi –w batas atas A1.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa –u = infimum A.

Karena u = sup A1, maka u � -a untuk setiap -a ∈ A1. Sehingga (-u) � a untuk

setiap a ∈ A. Jadi – u merupakan batas bawah A sehingga

–u � inf A. (2.1)

Misalkan w = inf A maka w � a untuk setiap a ∈ A, sehingga –w � -a untuk setiap

-a ∈ A1. Jadi –w batas atas A1 sehingga

-w � sup A1 = u.

Oleh karena itu

inf A = w � - u (2.2)

dari pertidaksamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh

inf A = -u.

Jadi didapatkan akibat aksioma supremum sebagai berikut; Setiap himpunan

bilangan nyata tak kosong dan terbatas ke bawah mempunyai infimum.

14

Sifat himpunan bilangan real yang lain adalah sifat Archimedes. Berikut

diberikan sifat Archimedes pada himpunan bilangan real.

Teorema 2.1.10 (Sifat Archimedes) (Bartle dan Sherbert, 2000).

Jika x ∈ ℝ , maka terdapat bilangan n ∈ ℕ sehingga x n< .

Bukti: Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Diambil sebarang x ∈ ℝ .

Andaikan tidak terdapat bilangan n ∈ ℕ sehingga x n< . Berarti untuk setiap

n ∈ ℕ berlaku x n≥ , akibatnya x merupakan batas atas ℕ . Dengan aksioma

supremum, karena φ≠ℕ , ⊂ℕ ℝ dan ℕ terbatas ke atas, maka ℕ mempunyai

supremum katakan u =sup ℕ . Jika diambil bilangan 1ε = , maka menurut

Lemma 2.1.6 terdapat m∈ℕ sehingga 1u m u− < ≤ yang mengakibatkan

1 1u m u< + ≤ + . Karena 1m + ∈ ℕ , terjadi kontradiksi. Pengandaian salah dan

harus diingkar. Jadi, yang benar untuk setiap x∈ℝ , terdapat n∈ℕ , x n< . □

Selanjutnya akan dibahas mengenai pengertian dan sifat interval di dalam

ℝ . Untuk sebarang ,a b∈ℝ , didefinisikan interval dengan titik ujung kiri a dan

ujung kanan b sebagai berikut (Pfeffer W.F, 1993):

[ ] { }, : ,a b x a x b= ∈ ≤ ≤ℝ

( ) { }, : ,a b x a x b= ∈ < <ℝ

[ ) { }, : ,a b x a x b= ∈ ≤ <ℝ dan

( ] { }, :a b x a x b= ∈ < ≤ℝ

15

berturut-turut disebut interval tertutup, terbuka, dan setengah terbuka di

dalam ℝ . Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam ℝ

dikatakan non degenerate jika a b< , selanjutnya interval tertutup non

degenerate disebut sel (cell).

Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam ℝ

mempunyai panjang interval yang dituliskan dengan [ ]( ),a bℓ , [ )( ),a bℓ , ( ]( ),a bℓ ,

atau ( )( ),a bℓ yang didefinisikan

[ ]( ) [ )( ) ( ]( ) ( )( ), , , ,a b a b a b a b b a= = = = −ℓ ℓ ℓ ℓ .

Selanjutnya akan dikenalkan topologi pada ℝ , seperti kedudukan titik-

titik di dalam himpunan, sifat-sifat himpunan, dan lainnya.

Definisi 2.1.11 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Diketahui a∈ℝ , 0r > . Persekitaran a dengan radius r , dinotasikan ( )rN a ,

didefinisikan

{ }( ) : .rN a x x a r= ∈ − <ℝ

( | ) � � � � � �

Gambar 2.1. persekitaran a dengan radius r

Dengan demikian, untuk a∈ℝ , 0r > , diperoleh ( )( ) ,rN a a r a r= − + .

16

Contoh 2.1.11

1. Interval terbuka (� , 1

� ) merupakan persekitaran 1 dengan radius r =

� , dapat

ditulis dengan !"#(1).

2. Interval terbuka (a, b) merupakan persekitaran $%&� dengan radius r =

&'$� ,

dapat ditulis dengan !()*+

($%&� ).

Definisi 2.1.12 (Darmawijaya, S., 2006).

Diketahui himpunan A ⊂ ℝ .

i. Titik x A∈ disebut titik-dalam (interior-point) himpunan A jika ada

bilangan 0r > sehingga ( )rN x A⊂ .

ii. Titik x A∈ disebut titik-limit (limit-point) atau titik cluster himpunan A jika

untuk sebarang bilangan 0r > berlaku { }( )rN x A x− ≠ ∅∩ .

iii. Titik x A∈ disebut titik-batas (boundary-point) himpunan A jika untuk

sebarang bilangan 0r > maka ( )rN x A≠ ∅∩ dan ( ) crN x A ≠ ∅∩ .

Contoh 2.1.12

(i) Misal , � �1,20 ∪ 23,45. Setiap 6 ∈ �1,2� merupakan titik-dalam himpunan A,

karena ada bilangan 7 dengan 0 7 8��9 .:;<26 1,2 65 sehingga berlaku

( ) .N x Aδ ⊂ Sedangkan 2,3,4 ∈ , bukan titik-dalam himpunan A.

(ii) Misal , � �1,20 ∪ 23,45. Setiap 6 ∈ =1,20 merupakan titik-limit himpunan A,

sebab untuk setiap � � 0 berlaku { }( )rN x A x− ≠ ∅∩ .

17

(iii) Misal , � �1,20 ∪ 23,45 . Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik

batas himpunan A, sebab untuk setiap bilangan � � 0 diperoleh

( ), ( 1,2,3,4)rN p p= selalu memuat paling sedikit satu anggota A dan satu

anggota cA .

Definisi 2.1.13 (Darmawijaya, S., 2006).

Diketahui himpunan A ⊂ ℝ .

i. Himpunan oA merupakan himpunan semua titik-dalam pada himpunan A .

ii. Himpunan 'A merupakan himpunan semua titik-limit pada himpunan A .

iii. Himpunan ( )A∂ merupakan himpunan semua titik-batas himpunan pada A .

Definisi 2.1.14 (Walter Rudin,1976).

Diketahui himpunan A ⊂ ℝ .

i. Himpunan A dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan

titik-dalam A .

ii. Himpunan A dikatakan tertutup (closed) jika cA terbuka.

Definisi 2.1.15 (Walter Rudin,1976).

Diketahui himpunan ,A B⊆ℝ . Himpunan A dan B dikatakan tidak saling

tumpang-tindih (non-overlapping) jika o oA B = ∅∩ .

18

Definisi 2.1.16 (Darmawijaya, S., 2006).

Diketahui himpunan A ⊂ ℝ . Titik p disebut titik terasing ( isolated point)

himpunan A , jika p A∈ dan p bukan titik-limit himpunan A .

Contoh 2.1.16

Misal , � �1,20 ∪ 23,45. Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik batas

himpunan A, sebab untuk setiap bilangan � � 0 diperoleh ( ), ( 1,2,3,4)rN p p=

selalu memuat paling sedikit satu anggota A dan satu anggota cA . Bilangan 3 dan

4 masing-masing merupakan titik-terasing himpunan A, sebab dengan mengambil

� � 1/2 , diperoleh 1/2 1/2(3) {3}, dan (4) {4}N A N A∩ = ∩ = . Selain itu 3 dan 4

juga bukan titik-limit himpunan A.

2.2 Limit Fungsi

Berikut akan dibahas mengenai konsep limit fungsi yaitu definisi limit

fungsi di suatu titik, sifat-sifat limit fungsi, dan definisi limit kiri dan limit kanan

suatu fungsi.

Definisi 2.2.1 (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000)

Misalkan A ⊆ �, suatu titik c ∈ � disebut titik cluster jika untuk setiap 7 > 0

terdapat paling sedikit satu titik x ∈ A, x � c, sedemikian sehingga | x – c| < 7.

Sebagai contoh, misalkan A = (0, 1], sehingga A’= {x : 0� x �1} merupakan

himpunan titik cluster dari A.

19

Definisi 2.2.2 (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000)

Diberikan fungsi f : A ⊆ � → � dan c titik cluster A . Bilangan L ∈ � disebut

limit fungsi f di c, jika untuk sebarang bilangan 0ε > terdapat 0δ >

sedemikian sehingga untuk setiap x A∈ dengan 0 x c δ< − < , maka

( )f x L ε− < .

Limit fungsi f dengan nilai L pada definisi 2.2.2 diatas dapat ditulis

dengan, limC→D E��� � F

Contoh 2.2.2

Misalkan fungsi f : A ⊆ � → �, c titik cluster A, dan f (x) = b untuk semua x ∈ �.

Akan ditunjukkan bahwa limC→D E��� � G. Jika diambil sebarang � > 0 terdapat 7

> 0, misalkan 7 = 1, maka jika 0 < |x – c| < 1, diperoleh |f(x) – b| = |b – b| = 0 <

�. Karena � diambil sebarang sehingga dari definisi 2.2.2 diperoleh

limC→D E��� � G.

Contoh 2.2.3

Diberikan fungsi E��� � 2� 1 , � ∈ � . Akan ditunjukan bahwa

limC→��2� 1� � 5. Misal diberikan I � 0. Akan ditemukan 7 � 0 sedemikian

hingga jika 0 | 3 |x δ< − < maka ( )f x L ε− < , dimana 2 1 5x− = . Sekarang

didapatkan bahwa ( ) 5 (2 1) 5 2 6 2 3f x x x x− = − − = − = − dan ini akan akan

kurang dari ε jika 32

xε− < . Dengan demikian dapat diambil

2

εδ = sehingga

jika 0 32

xεδ< − < = maka ( ) 5 2 3 2f x x δ ε− = − < = . Sehingga untuk 0ε >

20

dapat dipilih 7 � J� � 0 sedemikian sehingga jika 0 3x δ< − < maka

( ) 5f x ε− =< . Jadi benar bahwa limC→��2� 1� � 5.

Teorema 2.2.4 (Parzynski, W. R. dan Zipse, P. W, 1982)

Jika L = limC→$ E��� dan G = limC→$ K��� maka limC→$�E��� � K���� = L+G.

Bukti:

Misalkan diambil bilangan � > 0. Karena L = limC→$ E��� , terdapat 7 1 > 0

sedemikian sehingga jika 0 < |x – a| < 71 maka |f (x) – L| < L�. Karena G =

limC→$ K���, terdapat 72 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x – a| < 72 maka |g (x)

– G| = | G - g(x) | < L� . Misalkan 7 = min(71, 72), maka jika 0 < |x – a| < 7,

diperoleh

|(f(x) – g(x)) – ( L – G)| = |( f(x) – L )+( G - g(x)) |

� | f(x) – L | + | G - g(x) | = L� +

L� = �.

Sehingga limC→M�E��� � K���) = L + G. □

Selain definisi tentang limit di suatu titik, berikut diberikan definisi

tentang limit kanan dan limit kiri suatu fungsi.

Definisi 2.2.5 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Diberikan fungsi : [ , ]f a b → ℝ .

i. Fungsi f dikatakan mempunyai limit kanan di c, jika terdapat L ∈ ℝ ,

sehingga untuk sebarang bilangan 0ε > terdapat 0δ > dengan sifat untuk

21

setiap [ ),x a b∈ , ,x c x δ< < + berlaku ( )f x L ε− < dan dituliskan

lim ( ) .x c

f x L+→

=

ii. Fungsi f dikatakan mempunyai limit kiri di c, jika terdapat K ∈ℝ ,

sehingga untuk sebarang bilangan 0ε > terdapat 0δ > dengan sifat untuk

setiap ( ],x a b∈ , ,x c xδ− < < berlaku ( )f x K ε− < dan dituliskan

lim ( ) .x c

f x K−→

=

Berdasarkan Definisi 2.2.4, jika fungsi f mempunyai limit kanan untuk

setiap [ ),x a b∈ , dituliskan ( ) lim ( )x c

f c f x+

+

→= dan jika fungsi f mempunyai limit

kiri untuk setiap ( ],x a b∈ , dituliskan ( ) lim ( )x c

f c f x−

−

→= .

Teorema 2.2.5.

Diberikan fungsi , : [ , ]f g a b →ℝ . Jika lim ( )x c

f x K+→

= dan lim ( )x c

g x L+→

= , maka

berlaku

i. ( )lim ( ) .x c

f g x K L+→

+ = +

ii. untuk sebarang α ∈ℝ , ( )lim ( )x c

f x Kα α+→

= .

Teorema 2.2.7.

Diberikan fungsi , : [ , ]f g a b →ℝ . Jika lim ( )x c

f x K−→

= dan lim ( )x c

g x L−→

= , maka

berlaku

22

i. ( )lim ( ) .x c

f g x K L−→

+ = +

ii. untuk sebarang α ∈ℝ , ( )lim ( )x c

f x Kα α−→

= .

2.3 Fungsi Kontinu

Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep kekontinuan fungsi, meliputi

definisi fungsi kontinu di suatu titik dan fungsi kontinu pada himpunan.

Definisi 2.3.1 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Fungsi :f A⊆ →ℝ ℝ dikatakan kontinu di c A∈ jika untuk sebarang bilangan

0ε > terdapat 0δ > sehingga untuk setiap x A∈ dengan x c δ− < berlaku

( ) ( )f x f c ε− < .

Dengan kata lain Fungsi :f A⊆ →ℝ ℝ dikatakan kontinu di N ∈ , jika

diberikan persekitaran ( ( ))N f cε dari E�N� maka terdapat ( )N cδ dari N sehingga

jika � berada di ( )A N cδ∩ , maka E��� berada di ( ( ))N f cε . Jika ,adalah suatu

titik cluster , , maka definisi tersebut sebanding dengan definisi limit yang

menunjukan bahwa E kontinu di N jika dan hanya jika

( ) lim( )x c

f c x→

= ,

Jadi, jika N adalah titik cluster ,, maka tiga kondisi harus dipenuhi: (i) E harus

terdefinisi di N, (ii) limit E di N harus ada di �, dan (iii) nilai E�N� ada dan sama

dengan limC→D E���.

23

Contoh 2.3.1

Diberikan fungsi E��� � �� �

�, maka E kontinu di � � 2 karena

(i) E terdefinisi di � � 2, yaitu E�2� � �� �2�

� � 2.

(ii) limC→� E��� � limC→��� �

� � 2.

(iii) Berdasarkan (i) dan (ii) dapat diketahui bahwa nilai E��� � ���

� sama

dengan limC→� E��� � limC→����

�.

Definisi 2.3.2 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Fungsi :f A⊆ →ℝ ℝ dikatakan kontinu pada A jika untuk setiap x A∈ ,

fungsi f kontinu di x.

Contoh 2.3.2

Fungsi E��� � 3�� adalah fungsi kontinu pada selang ��, G� dimana �, G ∈ � .

Misal ambil sebarang selang ��, G�, yaitu (-3,5) dengan 3 � �′ � 5 untuk � ∈

� . Maka jelas untuk setiap E��′� memenuhi definisi 2.3.1 sedemikian hingga

E��P� � limC→CP E��� untuk setiap �P ∈ �3,5�.

2.4 Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas

Berikut ini diberikan definisi mengenai Fungsi Monoton dan Fungsi

Terbatas. Terlebih dahulu akan dibahas tentang Fungsi Monoton. Kemonotonan

fungsi pada suatu selang dapat dilihat dengan membandingkan nilainya di setiap

titik pada selang itu. Secara intuitif, suatu fungsi yang nilainya semakin besar

24

adalah monoton naik, sedangkan fungsi yang nilainya semakin kecil adalah

monoton turun. Fungsi Monoton pada suatu selang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.4.1 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Diberikan fungsi [ ]: ,f a b →ℝ,

i. Fungsi f dikatakan turun monoton (monotonically decreasing) pada [ , ]a b ,

jika untuk setiap , [ , ]x y a b∈ , dengan x y< , berlaku ( ) ( )f x f y≥ .

ii. Fungsi f dikatakan naik monoton (monotonically increasing) pada [ , ]a b ,

jika untuk setiap , [ , ]x y a b∈ , dengan x y< , berlaku ( ) ( )f x f y≤ .

iii. Fungsi f disebut fungsi monoton (monotonic function) pada [ , ]a b , jika

fungsi f naik monoton atau turun monoton.

Selanjutnya akan dibahas mengenai definisi Fungsi Terbatas pada [ , ]a b

dan contoh untuk memahami definisi yang diberikan.

Definisi 2.4.2 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Fungsi [ ]: ,f a b →ℝ dikatakan terbatas (bounded), jika terdapat 0M > ,

dengan sifat ( )f x M≤ , untuk setiap x ∈ [ , ]a b .

Contoh 2.4.3

Misalkan didefinisikan fungsi f pada interval A = [1, 4] dengan f (x) = x2+3,

fungsi f(x) terbatas di A, karena untuk [1,4]x∈ dapat diambil M = 20 sehingga

|f(x)| < 20 = M.

25

Gambar 2.2. Grafik Fungsi 2( ) 3f x x= +

2.5. Turunan (Derivative) Fungsi

Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep turunan (derivative) fungsi,

meliputi definisi turunan (derivative) fungsi di suatu titik, turunan (derivative)

fungsi pada himpunan, dan beberapa sifatnya.

Definisi 2.5.1 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Diberikan fungsi [ ]: ,f a b →ℝ dan titik c (a,b). Bilangan L � disebut

derivative fungsi f di titk c jika untuk setiap terdapat δ >0 sehingga untuk

setiap x∈ [a,b] dengan 0< < δ berlaku

( ) ( ).

f x f cL

x cε− − <

−

Selanjutnya bilangan L disebut derivative fungsi f di titik c dan ditulis dengan

f’(c)=L. Derivative fungsi f dititik c diberikan dengan

( ) ( )'( ) lim .

x c

f x f cf c

x c→

−=−

26

Fungsi f dikatakan terdeferensial pada [a,b] jika fungsi f mempunyai derivative

disetiap titik c∈ [a,b]. Selanjutnya fungsi f dikatakan terdeferensial kontinu pada

[a,b] jika f mempunyai derivative disetiap titik di c∈ (a,b) dan f’ kontinu pada

[a,b]. Himpunan fungsi-fungsi yang terdeferensial kontinu pada [a,b] ditulis

1[ , ]C a b .

Contoh 2.5.2

Akan ditentukan derivatif E��� � �� untuk � ∈ �. Misalkan N di � maka

2 2( ) ( ) ( )( )'( ) lim lim lim lim( ) 2

x c x c x c x c

f x f c x c x c x cf c x c c

x c x c x c→ → → →

− − − += = = = + =− − −

.

Jadi dalam hal ini fungsi E′ didefinisikan di semua � dan EP��� � 2� untuk

� ∈ �. Misal diambil nilai untuk N � 3, didapat derivative fungsi E di titik N � 3

adalah EP�3� � 2.3 � 6.

Teorema 2.5.3 (Teorema Nilai Tengah) (Bartle dan Sherbert, 2000).

Diketahui fungsi [ ]: ,f a b →ℝ kontinu pada [ ],a b jika [ ], , , x y a b k∈ ∈ℝ

dengan ( ) ( )f x k f y< < maka terdapat [ ],c a b∈ sehingga ( )f c k= .

Teorema 2.5.4 (Teorema Nilai Rata-Rata) (Bartle dan Sherbert, 2000).

Jika diketahui fungsi [ ]: ,f a b →ℝ kontinu pada [ ],a b dan terdeferensial pada

( , )a b maka terdapat ( , )c a b∈ sehingga ( ) ( ) '( )( ).f b f a f c b a− = −

27

Teorema 2.5.5 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Jika E: S → T mempunyai sebuah turunan di N ∈ S, maka E kontinu di N

Bukti: untuk semua � ∈ S, � � N diperoleh

( ) ( )( ) ( ) ( )

f x f cf x f c x c

x c

− − = − −

Karena E′�N� ada, maka

( ) ( )( ) ( )lim ( ) ( ) lim lim( )

lim ( ) ( ) '( ).0

lim ( ) lim ( ) 0

lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( )

x c x c x c

x c

x c x c

x c x c

x c

f x f cf x f c x c

x c

f x f c f c

f x f c

f x f c

f x f c

→ → →

→

→ →

→ →

→

− − = − −

⇔ − =

⇔ − =

⇔ =

⇔ =

Karena lim ( ) ( )x c

f x f c→

= , dengan demikian E kontinu di N.

Teorema 2.5.6 (Bartle dan Sherbert, 2000).

Jika :f I R→ terdeferensial di interval S, maka

a) f naik di S jika dan hanya jika '( ) 0f x ≥ untuk semua � ∈ S

b) f turun di S jika dan hanya jika '( ) 0f x ≤ untuk semua � ∈ S

Bukti:

a) ( )⇒ Akan dibuktikan E fungsi naik. Andaikan '( ) 0f x ≥ untuk semua � ∈ S.

Jika 1 2,x x di S memenuhi 1 2x x< maka akan digunakan teorema nilai rata-

28

rata untuk E di interval tertutup 1 2[ , ]j x x= untuk memperoleh suatu titik N di

1 2( , )x x sedemikian hingga

2 1 2 1( ) ( ) '( )( )f x f x f c x x− = −

Karena '( ) 0f c ≥ dan 2 1 0x x− > sehingga 2 1( ) ( ) 0f x f x− ≥ , dengan kata

lain 2 1( ) ( )f x f x≥ . Karena 1 2( ) ( )f x f x≤ dan 1 2x x< untuk sebarang titik-

titik di S, dengan demikian disimpulkan bahwa E naik di S.

( )⇐ Akan dibuktian E′��� � 0 . Andaikan E terdeferensial dan naik di S .

Untuk sebarang � � N (� N atau � � N) � ∈ S ( untuk � � N ⟺ � N � 0

karena E fungsi naik didapat E��� � E�N� ⟺ E��� E�N� � 0 sehingga

( ) ( )0

f x f c

x c

− ≥−

, dan untuk � � N ⟺ � N � 0 karena E fungsi naik didapat

E��� � E�N� ⟺ E��� E�N� � 0 sehingga ( ) ( )

0f x f c

x c

− ≥−

), maka

( ) ( )0

f x f c

x c

− ≥−

. Selanjutnya, karena

( ) ( )'( ) lim

x c

f x f cf c

x c→

−=−

dan

( ) ( ) ( ) ( )0 lim lim0

( ) ( ) lim 0

x c x c

x c

f x f c f x f c

x c x cf x f c

x c

→ →

→

− −≥ ⇔ ≥− −

−⇔ ≥−

Dapat disimpulkan bahwa EP��� � 0.

b) ( )⇒ Akan dibuktikan E fungsi turun. Andaikan '( ) 0f x ≤ untuk semua � ∈

S. Jika 1 2,x x I∈ memenuhi 1 2x x< , maka akan digunakan teorema nilai rata-

29

rata untuk E di himpunan interval 1, 2[ ]j x x= untuk memperoleh suatu titik N

di 1 2( , )x x sedemikian hingga

2 1 2 1( ) ( ) '( )( )f x f x f c x x− = −

Karena '( ) 0f c ≤ dan 2 1 0x x− > sehingga 2 1( ) ( ) 0f x f x− ≤ , dengan kata

lain 2 1( ) ( )f x f x≤ . Karena 1 2( ) ( )f x f x≥ dan 1 2x x< untuk sebarang titik-

titik di S, dengan demikian disimpulkan bahwa E turun di S.

( )⇐ Akan dibuktikan E′��� � 0. Andaikan E terdeferensial dan naik di S .

Untuk sebarang � � N (� N atau � � N) � ∈ S. Untuk � � N ⟺ � N � 0

karena E fungsi turun didapat E��� � E�N� ⟺ E��� E�N� � 0 sehingga

( ) ( )0

f x f c

x c

− ≤−

, dan untuk � � N ⟺ � N � 0 karena E fungsi turun

didapat E��� � E�N� ⟺ E��� E�N� � 0 sehingga ( ) ( )

0f x f c

x c

− ≤−

), maka

( ) ( )0

f x f c

x c

− ≤−

. Selanjutnya, karena

( ) ( )'( ) lim

x c

f x f cf c

x c→

−=−

dan

( ) ( ) ( ) ( )0 lim lim0

( ) ( ) lim 0

x c x c

x c

f x f c f x f c

x c x cf x f c

x c

→ →

→

− −≤ ⇔ ≤− −

−⇔ ≤−

Dapat disimpulkan bahwa EP��� � 0. □

30

Contoh 2.5.7

Akan ditentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi E��� � ��

6� � 5 , � ∈ � . Selanjutnya dicari E′ , yaitu EP��� � 2�� 3� . Untuk EP��� �

2�� 3� � 0 maka fungsi naik pada � � 3. Untuk EP��� � 2�� 3� 0 maka

fungsi turun pada � 3.