lenturan n putaran sudut

A BC

P

Mata Kuliah : Analisa Struktur IIIPengajar : R. Windah, ST, MT

Menghitung deformasi dan putaran sudut dengan cara double integration :

Penyelesaian :

1. Rumus :

E Id2 ydx2 =−M

2. Diperoleh Persamaan Bidang Momen Sejauh X

Mx = P2

X−P (X−L2)

3. Persamaan Bidang Momen Dimasukkan Kedalam Persamaan Diferensial

Dengan mensubtitusikan persamaan bidang momen sejauh x ke dalam rumus yang telah ada,

maka akan didapat :

EId2 ydx2 =¿

−P2

X+(X−L2)

Persamaan diatas dapat diintegrasikan untuk mendapatkan kemiringan dan defleksi balok.

Kemiringan balok didapat dari mengintegralkan persamaan diatas, sehingga akan menjadi :

EIdydx

=−P4

X2+ P2 (X− L

2 )2

+C1

Defleksi balok didapat dari mengintegralkan persamaan kemiringan balok, sehingga akan

menjadi :

Yosua Aditya Ratu 090211094

A BC

P

Garis elastis

X = 0

Y = 0X = LY = 0


EIy=−P12

X3+ P6

(X−L2

)3

+C1 X+C2

C1 dan C2 merupakan konstanta integrasi.

4. Syarat Batas

Konstanta integrasi C2 dapat dievaluasi dari kondisi bahwa defleksi balok di tumpuan kiri

sama dengan nol, artinya y = 0 apabila x = 0

Dengan menerapkan kondisi ini dalam persamaan diatas, maka akan menjadi :

EI 0=−P12

X3+ P6 (X− L

2 )3

+C1 X+C2

C2 = 0

Konstanta integrasi C1 dapat dievaluasi dari x = L dan y = 0, maka persamaan diatas akan

menajadi :

EI 0=−P12

L3+ P6 (L− L

2 )3

+C1 L+0

= −P12

L3+ P L3

48+C1 L+0

C1L = P L3

16

C1 = P L2

16


A BC

P

δcθA θB


5. Mencari Putaran Sudut Dan Deformasi

θA = EIdydx

( X = 0 ) =−P

4X2+ P

2 (X− L2 )

2

+C1

= (0+0+ P L2

16)

= P L2

16 EI

θB = EIdydx

( X = L ) = −P

4X2+ P

2 (X− L2 )

2

+C1

= (−P4

L2+ P L2

8+ P L2

16 )= −P L2

16 EI

δC = EIy (x = L2

) = −P12

X3+ P6

(X− L2)

3

+C1 X+C2

= (−P12

L2

3

+0+ P L2

16+0)

= P L3

48 EI


A

q

B C



Penyelesaian :

1. Rumus :

E Id2 ydx2 =−M


Mx = 38

q L2+ q L2

X−12

q (X− L2)

2


Dengan mensubtitusikan persamaan bidang momen ke dalam rumus yang telah ada, maka

akan didapat :


A

q

B C

δC

θC


EId2 ydx2 =¿

−38

q L2+ q L2

X−12

q (X− L2)

2



EIdydx

=−38

q L2 X+ q L4

X 2−16

q (X−L2)

3

+C1


menjadi :

EIy=−316

q L2 X 2+ q L12

X3− 124

q(X− L2 )

4

+C1 X+C2


4. Syarat Batas

Konstanta integrasi C1 dapat diperoleh dari kondisi batas bahwa kemiringan balok nol di

tumpuan.

Dengan menerapkan kondisi ini dalam persamaan kemiringan balok, maka akan

menjadi : EI 0=−38

Q L2 X+ QL4

X2−16

Q(X− L2)

3

+C1

C1 = 0

Konstanta integrasi C2, karena kemiringan di tumpuan adalah 0, maka persamaan

kemiringan balok akan menajadi :


Garis elastis

Y = 0

X = 0

A

q

B C

δC

θC


EI 0=−316

q L2 X2+ q L12

X3− 124

q (X−L2 )

4

+C1 X+C2

C2 = 0


θc = EIdydx

( X = L ) = (−38

q L2 X+ q L4

X2−16

q (X−L2

)3

+C1)

= (−38

q L2 L+ q L4

L2−16

q (L− L2)

3

+0)

= 7 q L3

48

δC = EIy (x = L ) = (−316

q L2 X2+ q L12

X3− 124

q(X− L2 )

4

+C1 X+C2)= (−3

16q L2 L2+ q L

12L3− 1

24q(L−L

2 )4

+C1 L+C2)= (−3

16q L2 L2+ q L

12L3− 1

24q(L−L

2 )4

+0.L+0)= 41 q L4

384 EI


A BC

q



Penyelesaian :

1. Rumus :

E Id2 ydx2 =−M


Mx = 13

qL (X− L

2 )3

+ qL24

X


A BC

q

Garis elastis

Y = 0X = 0

Y = 0

X = 0



Dengan mensubtitusikan persamaan bidang momen sejauh x ke dalam rumus yang telah ada,

maka akan didapat :

EId2 ydx2 =¿

13

qL (X− L

2 )3

+ qL24

X



EIdydx

=−112

qL (X−L

2 )4

+ qL48

X2+C1


menjadi :

EIy=−160

qL (X− L

2 )5

+ qL144

X3+C1 X+C2


4. Syarat Batas

Konstanta integrasi C2 dapat dievaluasi dari kondisi bahwa defleksi balok di tumpuan kiri

sama dengan nol, artinya y = 0 apabila x = 0



Dengan menerapkan kondisi ini dalam persamaan diatas, maka akan menjadi :

EI 0=−160

qL (X−L

2 )5

+ qL144

X3+C1 X+C2

C2 = 0

Konstanta integrasi C1 dapat dievaluasi dari x = L dan y = 0, maka persamaan diatas akan

menajadi :

EI 0=−112

qL (X−L

2 )4

+ qL48

X2+C1

C1 = −( 1144

− 11920 )q L3

= −375760

q L3


θA =EIdydx

( X = 0 ) = −112

qL (X− L

2 )4

+ qL48

X 2+C1

= (0+0− 375760

q L3)

= −375760

q L3

θB = EIdydx

( X = L ) = −112

qL (X− L

2 )4

+ qL48

X 2+C1

= ¿

= 53

5760q L3

δC = EIy (x = L2

) = - 1

60qL (X− L

2 )5

+ 1144

qL X3+C1 X+C2

= ( 1144

qL X3+C1 X )= q L4

EI (

11152

− 3711520

)


A BC

q

θAδC

θB


= −3 q L4

1280 EI

Conjugate Beam

The Conjugate-beam Method, adalah salah satu metode untuk menentukan besarnya

putaran sudut dan lendutan pada balok. Prinsip-prinsip metode ini adalah sebagai berikut.

”bidang momen yang terjadi pada real Beam (balok yang sebenarnya) dibagi dengan

faktor kekakuan dari balok (EI), diperlakukan sebagai beban pada Conjugate

Beam/balok fiktif”.

Untuk mengetahui besarnya deformasi yang terjadi pada Real beam, dapat diikuti ketentuan

sebagai berikut ini.



1. PUTARAN SUDUT yang dibentuk oleh garis singgung pada suatu titik dari Real Beam

yang berdeformasi terhadap sumbu balok semula, besarnya sama dengan GAYA

LINTANG yang terjadi pada titik/penampang yang sama dari Conjugate Beam.

2. LENDUTAN/DISPLACEMENT yang terjadi pada suatu titik dari Real Beam yang

berdeformasi terhadap posisi semula, besarnya sama dengan MOMEN LENTUR yang

terjadi pada titik/penampang yang sama dari Conjugate Beam.

Dengan mengingat ketentuan (1) dan (2) tersebut diatas, maka di dalam perhitungan besar dan

arah deformasi yang terjadi pada Real beam, kita harus merubah macam perletakan atau

sambungan konstruksi Real Beam menjadi konstruksi Conjugate Beam dengan memperhatikan

sifat-sifat dari perletakannya.

Metode Conjugate Beam menggunakan bidan momen sebagai dasar perhitungan untuk

menghitung defor masi atau putaran sudut pada balok.

Lenturan pada struktur indentik dengan menghitung momen dari bidang momen dibagi

dengan EI. Putaran sudut pada struktur identik dengan menghitung gaya geser dari bidang

momen dibagi EI.

Langkah – langkah penyelesaian :

1. Gambar bidang momen akibat struktur

2. Bidang momen dibagi EI adalah beban pada sistem conjugate beam

3. Kondisi perletakkan pada sisi conjugate beam disesuaikan

4. Tentukan letak titik berat

5. Gaya geser pada system conjugate beam sama dengan putaran sudut akibat beban asli

6. Momen pada conjugate beam sama dengan lendutan.



Contoh :


EI

A

P

BC

EI2

Bidang Momen

PL


1. Menggambar bidang momen akibat struktur

2. Bidang momen dibagi EI adalah beban pada sistem conjugate beam

3. Kondisi perletakkan pada sisi conjugate beam disesuaikan

4. Tentukan letak titik berat

5. Gaya geser pada sistem conjugate beam sama dengan putaran sudut akibat beban

asli

Q pada sistem conjugate beam = θ ; maka θ = jumlah luas-luas bidang:

( PL2EI

×L2 )+(1

2×

L2

×PL

2 EI )+(12

×PLEI

×L2 )=2 PL2

3 EI

θc = 2 PL2

3 EI

6. Momen pada conjugate beam sama dengan lendutan

δC = [( P L2 EI )×

L2

×3 L4

+ 12 ( P L

2 EI )× L2

×5 L6

+ 12 ( P L

2EI )×L2

×23

×L2 ]



= 3 P L3

8 EI

Atau dengan cara lain

δC = ¿

Atau

δC =PEI

{[ 2 x3

3 ] +[ x3

3 ]0

L2

LL2

= 3 P L3

8 EI


lenturan n putaran sudut

Documents