Lecture 4 : Queueing Theory and Aplications

Hanna Lestari, M.Eng

Struktur Dasar Model – Model Antrian

• Teori Antrian bertujuan untuk mengetahui/menentukan besaran kinerja sistem antrian. Ukuran kinerja sistem dalam kondisi steady state dapat kita lihat dari :

a. Panjang antrian rata-rata b. Jumlah pelanggan rata – rata dalam sistem

antrian c. Waktu tunggu (waktu antri rata – rata) d. Waktu rata – rata “sekarang” pelanggan dalam

sistem antrian

• Kondisi steady state :

“ Kondisi dimana besaran koefisien beserta parameter yang diukur tetap”

Jenis Sistem Antrian 1. Jumlah server 1 atau lebih paralel

2. Sumber input (sumber pelanggan)

a. Tak terbatas jumlahnya ( λ tidak tergantung atas jumlah pelanggan dalam sistem antrian dan λ jumlahnya tetap)

b. Terbatas

3. Panjang antrian

a. tak terbatas jumlahnya

b. terbatas

4. Pelayanan

a. FCFS

b. Prioritas

- Preemtive : begitu ada prioritas datang dan ada yang sedang dilayani, yg sedang dilayani mundur dulu

- Non Preemtive : Jika ada yang sedang dilayani kemudian prioritas datang maka orang yang sedang dilayani tetap dilayani.

Pelayanan Tunggal

Sistem antrian pelayanan tunggal memiliki karakteristik sebagai berikut :

1. Populasi pelanggan yang tidak terbatas

2. Disiplin antrian “pertama datang, pertama dilayani”

3. Tingkat kedatangan Poisson

4. Waktu pelayanan eksponensial

• Dengan karakteristik di atas ini, dan asumsi bahwa

• λ = tingkat kedatangan

• µ = tingkat pelayanan

• λ < µ

telah ditetapkan suatu formula untuk karakteristik operasi pelayanan tunggal seperti berikut ini

Sistem Pelayanan Tunggal Terminologi Notasi Rumus

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam

suatu sistem antrian (baik sedang dalam

antrian maupun sedang dilayani

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam

suatu sistem antrian

Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu

sistem antrian

Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam

baris antrian

Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan

dalam keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu

menunggu dan dilayani)

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang

pelanggan untuk menunggu dalam

antrian sampai dilayani

µ

- 1 P0

0.µ

PP

n

n

) - (µ

L

) - µ(µ

2

qL

LW

µ

1

)(

qW

Sistem Pelayanan Tunggal

Hubungan L dan W L = λ.W Lq =λ.Wq W = Wq + ρn L = Lq + ρ Asumsi : ρn adalah konstan dan steady state , Jika ada asumsi waktu

pelayanan konstan maka μn = μ

Terminologi Notasi Rumus

Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk

(yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus

menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi

Probabilitas bahwa pelayan menganggur

wP

011 PUI

Con’t

Dalam referensi lain utilisasi faktor disebut dengan traffic intensity dengan notasi R = λ/μ untuk pelayanan tunggal. Dimana R ≤ 1

Terminologi Notasi Rumus

Faktor penggunaan (utilisasi untuk fasilitas pelayanan yaitu ekspetasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan

ρ = λ / s.μ

Jumlah pelayan ( untuk saluran pelayanan

paralel ) pada sistem antrian.

S

Sistem Pelayanan Multiple

• Sistem pelayanan multiple adalah baris antrian tunggal yang dilayani oleh lebih dari satu pelayan.

• Contoh penerapan sistem ini terdapat pada bank yang ada bagian tertentu menangani pertanyaan-pertanyaan atau pengaduan-pengaduan dari customer.

Con’t Berikut ini disajikan formula antrian untuk sistem pelayanan

multiple. Formula ini dikembangkan berdasarkan asumsi :

Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani

Kedatangan Poisson

Waktu pelayanan eksponensial

Populasi yang tidak terbatas

Parameter model pelayanan multiple adalah sebagai berikut

λ = tingkat kedatangan

μ = tingkat pelayanan

c = jumlah pelayan

cμ = rata-rata pelayanan efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkat kedatangan (cμ > λ)

Terminologi Notasi Rumus

Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut

Jumlah rata-rata pelanggan dalam

sistem antrian tersebut

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut

Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian tersebut

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani

Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani

c

c

cn

Pcncn

n!

1

!

1

1

1

0

0

cnuntukPn

PcnuntukPP

nn

cnnn

cc

1;

1,0,0

!

0

2!1

)/(P

cc

cL

LW

LLq

q

q

LWW

1

0

!

1P

c

c

cP

c

w

• Dalam formula di atas jika c=1(yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula

tersebut menjadi formula pelayanan tunggal.

Con’t