KONSEP DAN PENGUJIAN UNIT ROOT

Pertemuan 3 - Time Series

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

OLEH: FITRI KARTIASIH, S.ST, S.E, M.Si

Proses stokastik dan kestasioneran data time series

Jika adalah pengamatan pada waktu t dan adalah peubah acak (random variable), maka rangkaian peubah acak adalah yang disebut proses stokastik.

Proses stokastik didefinisikan sebagai suatu proses yang menghasilkan rangkaian nilai-nilai peubah acak yang menggambarkan perilaku data pada berbagai kondisi.

Proses stokastik dapat bersifat stasioner dan akan menghasilkan time series yang bersifat stationer, begitu juga sebaliknya.

Stasioner

Data time series dikatakan stasioner jika rata–rata, varian dan covarian dari variabel–variabel tersebut seluruhnya tidak dipengaruhi oleh waktu atau dengan kata lain konstan.

1. Rata-rata series konstan untuk setiap periode pengamatan, dapat dituliskan sbb:

E(Yt) = untuk setiap t

2. Varians atau ragam series konstan untuk setiap periode pengamatan, dapat dituliskan sbb:

Var (Yt) = E(Yt - )2 = 2 untuk setiap t

3. Covarians dua series konstan untuk setiap periode pengamatan, dapat dituliskan sbb:

Cov (Yt , Yt-k) = E[(Yt - )(Yt-k - )] = k untuk setiap t

Data stationer dapat juga dikatakan sebagai data yang tidak mengandung unsur trend.

Mengapa stationary time series penting

Jika data time series tidak stasioner, maka hanya dapat mempelajari perilaku data untuk periode waktu under consideration, tidak bisa untuk forecasting (peramalan)

Data time series yang tidak stasioner juga bisa menimbulkan spurious regression (regresi semu atau palsu), ditandai dengan nilai R2 yang tinggi dan t-stat, F-stat yang signifikan tetapi dw relatif kecil < 0.5

Non Stationary Stochastic Processes (Random Walk)

Random Walk merupakan model time series stokastik yang paling sederhana, dan merupakan contoh klasik dari model yang tidak stasioner.

Ada dua bentuk random walk, yaitu:

Random walk tanpa intersep

Random walk dengan intersep

1. Random Walk Tanpa Intersep (Random walk without drift)

Asumsi pada model ini adalah perubahan nilai Yt yang berurutan

berdasarkan suatu distribusi probabilitas dengan mean 0. Dengan demikian, modelnya dapat dinyatakan dalam bentuk:

Yt = Yt-1 + ut; atau Yt - Yt-1 = ut; E(ut) = 0; E (utus) = 0; t s

Dimana: ut adalah error yang “white noise” atau “purely random”, dengan

mean = 0 dan varian = σ2.

Model diatas juga dapat diartikan bahwa nilai Y pada waktu ke-t sama dengan nilai Y pada waktu ke-t-1 ditambah random.

Bukti random walk tidak stasioner:

Model random walk diatas dapat ditulis dengan:

Y1 = Y0 + u1.

Y2 = Y1 + u2 = Y0 + u1 + u2.

Y3 = Y2 + u3 = Y0 + u1 + u2 + u3.

Dengan demikian:

Yt = Y0 + Σut.

Sehingga:

E(Yt ) = E(Y0 + Σut) = E(Y0 ) + E(Σut)

Y0 adalah konstanta, sehingga nilai harapannya konstan, yaitu: Y0.

ut adalah “white noise”, sehingga nilai harapannya = 0.

Jadi: E(Yt ) = E(Y0 + Σut) = E(Y0 ) + E(Σut) = Y0 + 0 = Y0.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa rata-rata random walk tanpa intersep adalah konstan.

Sekarang kita lihat varian-nya, yaitu:

V(Yt ) = V(Y0 + Σut) = V(Y0 ) + V(Σut)

Y0 adalah konstanta, sehingga varian-nya = 0.

ut adalah “white noise”, sehingga variannya = σ2.

Jadi: V(Yt ) = V(Y0 + Σut) = V(Y0 ) + V(Σut) = 0 + Σ σ2 = t σ2.

2. Random Walk dengan Intersep (Random walk with drift)

Model: Yt = Yt-1 + d + ut

Pembuktian:

Y1 = Y0 + d + u1

Y2 = Y1 + d + u2 = Y0 + d + d + u1 + u2

Yt = Y0 + t d + Σut

Dengan demikian:

E(Yt = Y0 + t d + Σut) = Y0 + t d V(Yt = Y0 + t d + Σut) = t σ2.

Pemeriksaan Kestasioneran Data Time Series

Terdapat 3 cara yang umum digunakan dalam melakukan pendugaan terhadap kestasioneran data, yaitu:

1. Melihat trend data dalam grafik

2. Menggunakan autokorelasi dan correlogram

3. Uji akar-akar unit (unit roots test)

a. Uji Dickey- Fuller (DF Test)

b. Uji Augmented Dickey- Fuller (ADF Test)

c. Uji Philips-Perron (PP Test)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819205

6

7

8

Waktu (t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Waktu (t)

1. Pemeriksaan Kestasioneran dengan Trend Data

Plot data yang stasioner pada nilai tengah dan varians

Plot data yang tidak stasioner pada nilai tengah, tapi stasioner pada

varians

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819200

5

10

15

20

25

30

35

Waktu (t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819200

10

20

30

40

50

60

70

80

Waktu (t)

Plot data yang stasioner pada nilai tengah, tapi tidak stasioner pada

varians

Plot data yang tidak stasioner pada nilai tengah maupun varians

Dari Plot data time series di atas dapat dilihat GDP menunjukkan tren meningkat. Ini merupakan indikasi bahwa data GDP tidak stasioner

2a. Pemeriksaaan Kestasioneran: Correlogram

Correlogram of white noise error term u. AC = autocorrelation, PAC = partial autocorrelation, Q-Stat = Q statistic, Prob = probability.

Correlogram of a random walk time series.

Correlogram of a random walk time series

Pada correlogram uji ini digambarkan dengan: garis putus-putus

Kelemahan:

Terkadang timbul keraguan dalam memutuskan stasioner atau tidak.

Perlu uji formal Unit Root Test

2b. Pemeriksaaan Kestasioneran: Uji Signifikansi Autokorelasi (ACF)

Signifikan atau tidaknya nilai autokorelasi melalui pengujian standar error (Se).

Misalnya dengan taraf nyata α= 5% untuk ρk adalah:

H0: ρk = 0 (data stasioner)

H0: ρk 0 (data tidak stasioner)

k= lag

)(96,1)(96.1 SeSe k

)/1(96,1)/1(96.1 nn k

Uji Unit Root 1. Dickey-Fuller test

Dikenalkan oleh David Dickey dan Wayne Fuller.

Perhatikan model berikut:

Yt = ρ Yt-1 + ut

Jika ρ = 1, maka model menjadi random walk tanpa intersep. Disini kita akan menghadapi masalah dimana varian Yt tidak

stasioner. Dengan demikian Yt dapat disebut mengandung “unit

root” atau data tidak stasioner.

Bila persamaan diatas dikurangi pada Yt-1 sisi kanan dan kiri,

maka persamaannya menjadi:

Yt - Yt-1= ρ Yt-1 - Yt-1+ ut

∆ Yt = (ρ-1) Yt-1 + ut

Atau dapat ditulis dengan: (model tanpa intersep dan trend)

∆ Yt = δ Yt-1 + ut

Dari persamaan tersebut dapat dibuat hipotesis:

Jika kita tidak menolak hipotesis δ = 0, maka ρ = 1. Artinya kita memiliki unit root, dimana data time series Yt tidak stasioner.

Uji signifikansi terhadap koefisien regresi dapat dilakukan dengan Uji-t. Sayangnya dengan hipotesis tersebut, nilai Uji-t tidak mengikuti distribusi t sekalipun dalam sampel besar. Tetapi Dickey-Fuller telah membuktikan bahwa Uji-t terhadap hipotesis diatas mengikuti statistik (tau). Statistik ini selanjutnya dikembangkan oleh Mc. Kinnon.

Selain model diatas, pengujian ini juga dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa model berikut:

1. Model dengan intersep:

∆ Yt = β1 + δ Yt-1 + ut

2. Model dengan intersep dan trend (slope)

∆ Yt = β1 + β2 t + δ Yt-1 + ut

H0: δ = 0 ; ada akar-akar unit (tidak stasioner)H1: δ < 0 ; tidak ada akar-akar unit (stasioner)

t adalah trend deterministikβ1 adalah intersep / konstanta

Jadi, DF diestimasi untuk 3 bentuk random walk yang berbeda, yaitu

1. Yt random walk

Yt = Yt-1 + t

2. Yt random walk with drift

Yt = 1+ Yt-1 + t

3. Yt random walk with drift around a stochastic trend Yt = 1+ 2t + Yt-1 + t

2. Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test.

Model-model sebelumnya mengasumsikan ut tidak berkorelasi Hampir tidak mungkin. Untuk mengantisipasi adanya korelasi tersebut, Dickey-Fuller mengembangkan pengujian diatas dengan sebutan: Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test.

Formulasinya adalah sebagai berikut:

∆ Yt = β1 + β2 t + δ Yt-1 + 1 ∆ Yt-1 + 2 ∆ Yt-2 +...........+ m ∆ Yt-m + ut

Atau dapat ditulis dengan:

m

itititt uYYtY

1121

Dimana m adalah panjangnya lag yang digunakan.

Berdasarkan model tersebut kita dapat memilih tiga model yang akan digunakan untuk melakukan Uji ADF, yaitu:

Model dengan intersep (β1) dan trend (β2), sebagaimana model diatas.

1. Model yang hanya intersep saja (β1), yaitu:

3. Model tanpa intersep dan trend (slope), yaitu:

m

itititt uYYY

111

m

itititt uYYY

11

Penghitungan manual cukup sulit EViews

Yt = Yt-1 + 1Yt-1 + 2Yt-2 + .....+ mYt-m + ut

Yt = +Yt-1 + 1Yt-1 + 2Yt-2 + .....+ m Yt-m + ut

How…

Jika t-statistics dari koefisien (disebut t-ADF)

lebih kecil secara absolut dari Critical Value McKinnon (1%, 5%, 10%), artinya tidak signifikan sehingga terima H0: ada akar-akar unit. Variabel tersebut tidak stasioner.

Jika t-statistics dari koefisien (disebut t-ADF)

lebih besar secara absolut dari Critical Value McKinnon (1%, 5%, 10%), artinya signifikan sehingga tolak H0:tidak ada akar-akar unit. Variabel tersebut stasioner.

ADF Test Statistic -2.117191 1% Critical Value* -4.0172

5% Critical Value -3.4382

10% Critical Value -3.1431

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(ISAT)

Method: Least Squares

Sample(adjusted): 1/03/2002 8/16/2002

Included observations: 162 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

ISAT(-1) -0.055272 0.026106 -2.117191 0.0358

D(ISAT(-1)) -0.108966 0.078593 -1.386457 0.1676

C 528.1364 276.8523 1.907647 0.0583

@TREND(1/01/2002) -0.785355 0.662001 -1.186336 0.2373

R-squared 0.046638 Mean dependent var -25.30864

Adjusted R-squared 0.028536 S.D. dependent var 260.6875

S.E. of regression 256.9410 Akaike info criterion 13.95995

Sum squared resid 10430954 Schwarz criterion 14.03619

Log likelihood -1126.756 F-statistic 2.576442

Durbin-Watson stat 1.966303 Prob(F-statistic) 0.055788

Transformasi Data Tidak Stasioner Menjadi Stasioner

Metode: pembedaan (difference).

Perhatikan model berikut:

Yt = β1 + β2 t + β3 Yt-1 + ut

Jika: β1 = 0, β2 = 0, dan β3 = 1, maka modelnya menjadi:

Yt = Yt-1 + ut

Telah kita ketahui bahwa model tersebut adalah Random Walk tanpa intersep, yang tidak stasioner. Akan tetapi, bila model ditulis dengan:

Yt - Yt-1 = ut

Atau

∆ Yt = ut

Sehingga, E(∆ Yt) = 0, dan Var(∆ Yt) = σ2, maka model tersebut

menjadi stasioner. Proses inilah yang disebut dengan proses pembedaan stasioner (differencing)

Jika β1 ≠ 0, β2 = 0, dan β3 = 0, maka modelnya menjadi:

Yt = β1 + Yt-1 + ut

Model tersebut adalah Random Walk dengan intersep, yang tidak stasioner.

Bila model ditulis dengan:

Yt - Yt-1 = β1 + ut

Atau

∆ Yt = β1 + ut

Maka:

E(∆ Yt) = E (β1 + ut) = β1

Dan

Var(∆ Yt) = Var (β1 + ut) = σ2.

Kita lihat bahwa baik rata-rata maupun varian telah konstan, yang berarti ∆

Yt telah stasioner. Berarti persamaan ini juga merupakan proses

pembedaan stasioner, karena ketidakstasioneran Yt dapat dieliminasi pada

pembedaan pertama (first difference)

ADF Test Statistic -9.007837 1% Critical Value* -4.0175

5% Critical Value -3.4384

10% Critical Value -3.1432

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(ISAT,2)

Method: Least Squares

Date: 09/10/04 Time: 14:25

Sample(adjusted): 1/04/2002 8/16/2002

Included observations: 161 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D(ISAT(-1)) -1.075407 0.119386 -9.007837 0.0000

D(ISAT(-1),2) -0.048352 0.079296 -0.609768 0.5429

C -57.17045 42.27631 -1.352305 0.1782

@TREND(1/01/2002) 0.337685 0.441542 0.764785 0.4455

R-squared 0.568730 Mean dependent var -2.484472

Adjusted R-squared 0.560489 S.D. dependent var 391.7429

S.E. of regression 259.7085 Akaike info criterion 13.98153

Sum squared resid 10589415 Schwarz criterion 14.05808

Log likelihood -1121.513 F-statistic 69.01359

Durbin-Watson stat 1.984291 Prob(F-statistic) 0.000000

Pemeriksaaan Kestasioneran: Uji Akar Unit (PP-Test)

Philip-Perron mengikuti prosedur DF secara umum dengan memerhatikan asumsi distribusi sisaan e (bebas stokastik dan varians konstan)

Nilai -statistik dari uji PP (Philip-Perron) dapat dihitung sbb:

Dimana:

adalah spektrum dari ΔYt pada frekuensi nol, rj adalah fungsi

autokorelasi pada lag j, t0 adalah -statistik pada θ, adalah

standar error dari θ , dan σ adalah standar error uji regresi.

Prosedur uji PP dapat diaplikasikan melalui cara yg sama dengan uji DF.

0

000

0

0

2h

rht

h

r

j

M

r

rT

jrh

100 12