root of equation

Kuliah-02 Metode Numerik 1

ROOT OF EQUATION (Akar Dari Suatu Persamaan)

A. BRACKETING METHOD

Persamaan (1) berikut adalah persamaan gerak jatuh dari parasut, di mana v merupakan variable tergantung/terikat; t variable bebas, g konstanta gravitasi, c dan m adalah parameter koefisien gesek dan massa. Bila parameter ini diketahui besarannya, maka v dapat pisahkan pada sisi yang lain sementara constanta g, parameter m dan c serta variable bebas t pada sisi yang lainnya (seperti yang terlihat pada persamaan tersebut). Dengan demikian nilai v pada setiap perubahan waktu t dapat dihitung, atau masalah pada persamaan tersebut terpecahkan.

[ ( ⁄ ) ]---------------------------------------(1)

Namun jika yang dicari adalah koefisien gesek (c), maka walaupun v, m ,t diketahui, persamaan tersebut tetap tidak dapat dipecahkan secara langsung dengan menggunakan cara matematis biasa. Disinilah cara atau metode numerik bermanfaat. Caranya adalah dengan menyusun kembali persamaan seperti yang diperlihatkan pada persamaan (2) beriku:

( )

[ ( ⁄ ) ] --------------------------------------(2)

Selanjutnya dilaukan dengan coba-coba, yakni dengan memasukan sembarang nilai c sampai mendapatkan ( ) mendekati nol. Metoda menentukan nilai c dengan cara demikian disebut metode pencarian akar (root of equation) dengan cara numerik Bracketing Method merupakan salah satu cabang besar dari metode penentuan nilai akar dari suatu persamaan. Pada metode ini nilai akar ditentukan dengan cara pengurungan, di mana dengan mengetahui dua nilai, yakni nilai lower (xl) dan upper (xu), posisi akat dapat ditentukan.

Kelompok dari metode ini antara lain : Graphical Method (Cara Grafis), Bisection Method, dan The False-Position Method


1. Graphical Method (Cara Grafis)

CONTOH Persamaan gerak dari parasut jatuh sebagai beriku:

( )

( ( ⁄ ) )

Di mana:

( )

( )

Tentukan koefisien geser parasut ( c ) bila diketahui:

g = 9.8 m/det2

m = 68.1 kg

V = 40 m/det

Jawab

t = 10 det Soal diatas dapat diselesaikan dengan memanipulasi persamaan gerak jatus parasut sebagai

beriku:

( ( ⁄ ) ) ( )

Jadi cara menyelesaikannya adalah dengan coba-coba sembarang nilai c, sampai mendapatkan ruas kiri sama dengan ataumendekati nol.

Pias nilai c ( ) = 2

Nilai c

(coba-coba) f(c )

2 44.9205256

4 34.1148442

6 25.1424494

8 17.6534275

10 11.369104

12 6.066936

14 1.56869931

16 -2.268762

18 -5.5607925

20 -8.4006287

Selanjutnya diplot hubungan antara c dan f(c). Hasilnya seperti yang diperlihatkan pada gambar beriku.


nilai akar berada

antara 14 dan 15

Nilai akar adalah nilai c dimana f(c ) = 0. Dari table dan grafik terlihat bahwa nilai f(c ) berubah tanda pada saat nilai c =14 dan 16. Nilai 14 disebut lower valus (xl) dan 16 sebagai upper valus (xu). Dengan demikian kita mengetahui bahwa nilai f(c ) = 0.0 berada antara c = 14 dan c = 16. Berapa nilai c yang meberikan kecepatan jatuh parasut 40 m/det pada waktu 10 detik?. Jawabnya (bila dilihat dari grafik) adalah ± 14.7. Ini adalah nilai perkiraan dari pola grafik yang ada. Estimasi ini semakin baik bila grafiknya digambar dengan skala yang benar dan atau diambil semakin kecil.

2. Bisection Method Kelemahan metodegrafis adalah ketergantungannya yang besar pada ketelitihan gambar serta besar pias nilai c ( ). Kelemahan metode ini dapat diatasi dengan Metode Bisection yang akan melakukan pencarian nilai akar dengan coba-coba antara nilai batas bawah (lower) nilai batas atas (upper) seperti yang diperlihatkan dalam sketsa berikut ini.


XL XU

DX

DX/2 DX/2

Xr

DX

DX/2 DX/2

Xr

DX

DX/2 DX/2

lokasi

akar

Metode Bisection membutuhkan nilai awal Xl dan Xu sebagai batas bawah dan batas atas untuk melakukan proses pengurungan. Lokasi akar didefenisikan sebagai Xr yakni yang diperoleh dengan

membagi dua selang antara batas bawah dan batas atas ( Dx/2) sehingga

⁄ , selanjutnya

nilai Xr dimasukan kembali kedalam persamaan untuk mengetahui apakah f(c) 0. Jika tidak tentukan

kembali batas bawah Xl dan batas atas Xr dan melaukan proses yang sama sampai nilai f(c) 0.

Prosedur Perhitungan a) Tentukan nilai Xl dan Xu sebelum memulai proses pengurungan. Xl dan Xu diketahui ketika nilai

fungsi f(x) hasilnya berbeda tanda. Hal ini dapat diketahui dengan melakukan pengecekan dengan cara:

( ) ( )

b) Estimasi nilai akar dengan cara:

c) Masukan pada fungsi selanjutnya lakukan evaluasi berikut ini:

i. Jika ( ) ( ) akar berada pada subinterval bawah dan selanjutnya

melakukan re-posisi batas atas sedangkan tetap. Selanjunya kembali ke (b) ii. Jika ( ) ( ) akar berada pada subinterval atas dan selanjutnya melakukan

re-posisi batas atas sedangkan tepat. Selanjunya kembali ke (b)


iii. Jika ( ) ( ) , adalah akar yang dicari d) Evaluasi Error dengan menggunakan formula berikut ini:

| | |

|

Metode BISECTION Data

Xl = 14

Xu = 16

g = 9.8 m/det2

m = 68.1 kg

t = 10 det

V = 40 m/det

Soal

Tentukan nilai c (akar) dengan cara bisection

Iterasi Xl Xu Xr f(Xl) f(Xr) f(Xl)xf(Xr) Error 1 14.000 16.000 15.000 1.569 -0.425 -0.666

2 14.000 15.000 14.500 1.569 0.552 0.866 3.448

3 14.500 15.000 14.750 0.552 0.059 0.033 1.695

4 14.750 15.000 14.875 0.059 -0.184 -0.011 0.840

5 14.750 14.875 14.813 0.059 -0.063 -0.004 0.422

6 14.750 14.813 14.781 0.059 -0.002 0.000 0.211

7 14.781 14.813 14.797 -0.002 -0.032 0.000 0.106

3. The False-Position Method

Walaupun cara bisection sangat baik dan falid dalam menentukan nilai akar, namun cara ini dianggap tidak efisien. Dalam beberapa kasus membutukan jumlah iterasi yang panjang. Untuk mengatasi masalah ini maka dikembangkan cara false-position method. Cara ini menggunakan pendekatan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut:


XL XU

Xr

Xr

lokasi

akar

f(Xl)

f(Xu)

Dalam cara ini, Xr ditentukan dengan menggunakan perbandingan seharga dari 2 setiga yakni Xl-Xr-f(Xl) dan Xr-Xu-f(Xu), hasil perbandingan ditunjkan dalam formula berikut ini:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Prosedure Perhitungan:

a) Tentukan nilai Xl dan Xu sebelum memulai proses pengurungan. Xl dan Xu diketahui ketika nilai fungsi f(x) hasilnya berbeda tanda. Hal ini dapat diketahui dengan melakukan pengecekan dengan cara:

( ) ( )

b) Estimasi nilai akar dengan cara:

( ) ( )

( ) ( )

c) Masukan pada fungsi selanjutnya lakukan evaluasi berikut ini:


i. Jika ( ) ( ) akar berada pada subinterval bawah dan selanjutnya melakukan re-posisi batas atas sedangkan tepat. Selanjunya kembali ke b)

ii. Jika ( ) ( ) akar berada pada subinterval atas dan selanjutnya melakukan re-posisi batas atas sedangkan tepat. Selanjunya kembali ke b)

iii. Jika ( ) ( ) , adalah akar yang dicari d) Evaluasi Error dengan menggunakan formula berikut ini:

| | |

|

Metode The False-Position Method

Data

Xl = 14

Xu = 16

g = 9.8 m/det2

m = 68.1 kg

t = 10 det

V = 40 m/det2

Soal

Tentukan nilai c (akar) dengan cara false posistion method

Iterasi Xl Xu Xr f(Xl) f(Xu) f(Xr) f(Xl)xf(Xr) Error

1 14.000 16.000 14.818 1.569 -2.269 -0.0727 -0.1141

2 14.000 14.818 14.781 1.569 -0.073 -0.0022 -0.0035 0.245

3 14.000 14.781 14.780 1.569 -0.002 -0.0001 -0.0001 0.007

B. OPEN METHOD Berbeda dengan Bracketing Method yang membutuhkan nilai batas bawah dan batas atas (Xl dan Xu), dalam metode ini tidak diperlukan.

1. Simple One-Point Iteration Dalam metode ini suatu fungsi ( ) disusun kembali dalam bentuk yang lain seperti:


( ) Contoh persamaan:

[ ( ⁄ ) ]

Dapat disusun kembali menjadi:

[ ( ⁄ ) ]

Metode Simple One-Point Iteration

Data

Xl =

Xu =

g = 9.8 m/det2

m = 68.1 kg

t = 10 det

V = 40 m/det2

Soal


Iterasi ci f(ci) Error

1 2.000 4.246 -

2 4.246 7.741 52.897

3 7.741 11.331 45.145

4 11.331 13.524 31.684

5 13.524 14.395 16.220

6 14.395 14.669 6.046

7 14.669 14.749 1.873

8 14.749 14.771 0.540

9 14.771 14.778 0.152

10 14.778 14.780 0.043


2. The Newton-Raphson Method Metode ini menentun nilai berdasarkan prinsip seperti yang tertera pada gambar berkut ini:

Xi

f(Xi)

Xi – Xi+1f(

Xi )

– 0

f(X)

X

slope = f’(xi)

Xi+1

lokasi

akar

Lokasi akar ditentukan dengan menarik garis singgung di titik ( ( )). Perpotongan antara garis

singgung dengan Sb-x, adalah titik , yakni lokasi perkiraan posisi akar. Sudut yang terbentuk antara garis singgung dengan Sb-x merupakan turunan, ( ) dari fungsi ( ) di titik . Nilai turunan ( ) dapat ditulis sebagai berikut:

( ) ( )

Di mana bila disusun kembali akan diperoleh peresamaan:

( )

( )

Persamaan ini dkenal dengan Newton-Raphson formula Mari kita kembali ke persamaan penetuan akar atau nilai koefisien drag dari gerak jatuh parasut:


( )

[ ( ⁄ ) ]

turunannya adalah:

( )

[ ( ⁄ ) (

)]

Metode Newton-Raphson menentuk nilai pendekatan dengan menggunakan persamaan beriku:

[ ( ⁄ ) ]

* ( ⁄ ) (

)+

Berikut ini contoh penyelesaiannya:

Metode Newton- Raphson

Data

Xl =

Xu =

g = 9.8 m/det2

m = 68.1 kg

t = 10 det

V = 40 m/det2

Soal


Iterasi Ci f(ci ) f'(ci ) Ci+1 Error

1 1.000 51.144 -6.528 8.834

2 8.834 14.899 -3.183 13.516 88.681

3 13.516 2.593 -2.155 14.719 34.636

4 14.719 0.120 -1.959 14.780 8.175

5 14.780 0.000 -1.950 14.780 0.415

6 14.780 0.000 -1.950 14.780 0.001

Kelemahan metode ini adalah harus diketahui terlebihdahulu fungsi dari turunannya. Dalam banyak kasus engineering tidak mudah menentuka fungsi turunan pertama tersebut.

3. The Secant Method Metode ini dikembangkan untuk mengatasi kelemahan dari metode Newton-Raphson. Secara skematik metode tersebut digambarkan sebagai berikut:


Xi

f(Xi)

Xi-1 – Xi

f(Xi-1) – f(Xi)

f(X)

X

Xi-1

lokasi

akarf(Xi-1)

ii

iii

xx

xfxfxf

1

1'

slope = f’(xi)

Pada metode ini fungsi turunan didekati dengan menggunakan”finite divide difference” sperti pada gambar di atas. Dengan pendekatan ini turunan dapat dinyakan sebagai beriku:

( ) ( ) ( )

Formula di atas dimasukan kedalam formula penentuan pada Metode Neton-Raphson, seperti berikut:

( )

( )

Dengan mengganti fungsi turunan dengan fungsi turunan pendekatan (finite divide difference) diperoleh persamaan sebagai berikut:

( )[ ]

( ) ( )

Metode ini membutuhkan 2 titik bantu awal yakni: ( ) ( ) dan ( ) ( ). Selanjutnya titik berikutnya ( ) ditentukan dengan formula di atas.


Untuk mempelajari contoh kasus kita kembali ke contoh penentuan koef gesek gerak jatuh parasut. Dengan demikian persamaan di atas berubah menjadi:

( )[ ]

( ) ( )

Contoh ini diselesaikan dalam bentuk table sebagai berikut:

The Secant Method

Data

Xl =

Xu =

g = 9.8 m/det2

m = 68.1 kg

t = 10 det

V = 40 m/det2

Soal


Iterasi Ci f(Ci) Error

1 1.000 51.144 -

2 2.000 44.921 -

3 9.218 13.700 -

4 12.385 5.144 25.572

5 14.289 0.976 13.328

6 14.735 0.088 3.028

7 14.779 0.002 0.299

8 14.780 0.000 0.006

9 14.780 0.000 0.000

C. MULTIPLE ROOTS Multiple roots merupakan kasus dimana sejumlah akar berada pada nilai yang sama. Misalnya pada persmaan: ( )( )( ) atau jika di tulis dalam cara yang lain: , akan memiliki tiga akar dengan nilai = 1.0. Contoh berikut meperlihatkan kuva dari persamaan


Pada kasus ini hanya dengan cara grafis yang memperlihatkan kemungkinan ada nilai akar di , cara bisection, false-position method sulit mendapatkan hasil akar karena hasil evaluasi ( ) ( ) . Sedangkan dengan cara open method khususnya pada metode Newton-Raphson, dilokasi akar nilai ( ) , dan ini bisa berpeluang munculnya kasus (lihat kembali formula metode Newton-Raphson). Untuk mengatasi masalah ini maka dikembangkan Modified Newton-Raphson Method. Metode ii diusulkan oleh Ralston dan Rabinowiz. Prinsip modifikasi yang dijukannya adalah sebagai berikut: Defenisikan suatu fungsi baru:

( ) ( )

( )

Dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ( )]

Fungsi yang baru ini ( ( ) ( )

( )) memiliki akar yang sama dengan fungsi aslinya ( ( )), karena itu

persamaan dasar Newton-Raphson dapat dinyatakan sebagai berikut:

( )

( )

Dengan memperhatikan persamaan ( ) ( ) maka persamaan di atas dapat dirubah menjadi:

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

f(x)

nilai akar

DOUBLE ROOTS

f(x) = x^2 - 2x + 1


( ) ( )

[ ( )] ( ) ( )

Modified Newton- Raphson Method Data

Soal: Tentukan akar dari persamaan di atas

Jawab: Dari cara grafis diketahui bahwa nilai akar terdapat pada x=1 dan x=3, dan nilai

akar ganda terjadi pada x = 1

Sekarang penyelesaiannya dikerjakan dengan metode Newton-Raphson yang telah

dimodifikasi. Dan solusi penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

berarti untuk menyesaikan akar dari persamaan di atas diperkulan, f'(x) dan f''(x)

dan

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

f(x)

nilai x

Cara Grafis

f(x)=x^2-5x^2+7x-3


Sehingga:

Jika diselesaikan dalam bentuk tabel maka diperoleh hasil sebagai berikut:

Pencarian nilai akar pertama, yakni x = 1.0

iterasi xi f(x) f'(x) f''(xi) xi+1 Error

1 0 -3 7 -10 1.105263

2 1.105263 -0.02099 -0.38781 -3.36842 1.003082 100

3 1.003082 -1.9E-05 -0.0123 -3.98151 1.000002 10.1867572

4 1.000002 -1.1E-11 -9.5E-06 -3.99999 1 0.30792753

4 1 0 -1.5E-10 -4 1 0.00023815

misalkan nilai estimasi awal x = 4.0

Pencarian nilai akarkedua, yakni x = 3.0


1 4 9 15 14 2.636364

2 2.636364 -0.9737 1.487603 5.818182 2.820225 51.7241379

3 2.820225 -0.59563 2.658755 6.921348 2.961728 6.51937704

4 2.961728 -0.14728 3.69822 7.770369 2.998479 4.77773385

4 2.998479 -0.00608 3.987837 7.990872 2.999998 1.22563847

4 2.999998 -9.3E-06 3.999981 7.999986 3 0.05063214

4 3 -2.1E-11 4 8 3 7.726E-05

Metode ini bisa menghasilkan jawaban yang salah seperti yang diperlikatkan pada

contoh berikut ini:

misalkan x = 5

Pencarian nilai akarkedua, yakni x = 3.0


1 5 32 32 20 2.333333

2 2.333333 -1.18519 0 4 2.333333 114.285714

3 2.333333 -1.18519 0 4 2.333333 0

4 2.333333 -1.18519 0 4 2.333333 0

4 2.333333 -1.18519 0 4 2.333333 0

4 2.333333 -1.18519 0 4 2.333333 0


contoh di atas menghasilkan jawaban x = 2.3333, karena itu jika metode ini digunakan

perlu dikontrol juga nilai dari f(x) apakah sudah mendekati nol atau sama dengan nol

Cara lain adalah dengan memodifikasi Secant Method:

( )

( )

Menjadi:

( )( )

( ) ( )

Dari contoh kasus di atas: ( ) , diperoleh u(x) sebagai berikut

( )

Prosedure perhitungan: - Tentukan sembarang nilai - Hitung ( ) ( )

- Hitung ( )( )

( ) ( )

Modified Secant Method iterasi Xi f(xi) f'(xi) U(xi)

i-1 100 950697 29007 32.77474

i 78 444675 17479 25.44053

1 1.687593 -0.62049 -1.33202 0.465823

2 0.26423 -1.48103 4.567151 -0.32428

3 0.848416 -0.04944 0.67527 -0.07321

4 1.01877 -0.0007 -0.07402 0.00943

5 0.999332 -8.9E-07 0.002672 -0.00033

6 0.999997 -2E-11 1.26E-05 -1.6E-06

root of equation

Documents