Konsep Algoritma Fuzzy Time Series Forecasting

Perbedaan utama antara fuzzy time series dan konvensional time

series yaitu pada nilai yang digunakan dalam peramalan, yang

merupakan himpunan fuzzy dari bilangan-bilangan real atas

himpunan semesta yang ditentukan. Himpunan fuzzy dapat diartikan

sebagai suatu kelas bilangan dengan batasan yang samar.

Jika U adalah himpunan semesta, U = {u1, uz, ... , un}, maka suatu

himpunan fuzzy A dari U dedefinisikan sebagai A = fA(u1)/u1 +

fA(u2)/u2 + … + fA(un)/un dimana fA adalah fungsi keanggotaan dari

A, fA : U [0,1] and 1 ≤ i ≤ n.

Sedangkan definisi dari fuzzy time series adalah sebagai berikut :

Misalkan Y (t) (t= …,0,1,2, …), adalah himpunan bagian dari R,

yang menjadi himpunan semesta dimana himpunan fuzzy fi(t) (i=1,2,

…) telah didefinisikan sebelumnya dan jadikan F(t) menjadi

kumpulan dari fi(t)(i=1,2,…). Maka, F(t) dinyatakan sebagai fuzzy

time series terhadap Y(t)(t=…,0,1,2,…).

Dari definisi di atas, dapat dilihat bahwa F(t) bisa dianggap sebagai

variabel linguistik dan fi(t)(i=1,2,…) bisa dianggap sebagai

kemungkinan nilai linguistik dari F(t), dimana fi(t)(i=1,2,…)

direpresentasikan oleh suatu himpunan fuzzy. Bisa dilihat juga

bahwa F(t) adalah suatu fungsi waktu dari t misalnya, nilai-nilai dari

F(t) bisa berbeda pada waktu yang yang berbeda bergantung pada

kenyataan bahwa himpunan semesta bisa berbeda pada waktu yang

berbeda. Dan jika F(t) hanya disebabkan oleh F(t-1) maka hubungan

ini digambarkan sebagai F(t-1) F(t).

Defini lain dari fuzzy time series adalah jika F(t) = F(t-1) untuk

setiap waktu t dan F(t) hanya memiliki elemen yang terbatas maka

F(t) dikatakan sebagai time-invariant fuzzy time series. Demikian

juga jika sebaliknya maka dikatakan time-variant fuzzy time series.

Metode Peramalan dengan Fuzzy Time Series

Langkah Pertama : Bagi himpunan semesta U = [Dmin, Dmax] menjadi

sejumlah ganjil interval yang sama u1, u2, …, um,.

Misalkan U = [13000, 20000] bisa kita bagi menjadi tujuh interval u1,

u2, u3, u4, u5, u6, u7 dimana u1 = [13000,14000], u2 = [14000,15000],

u3 = [15000,16000], u4 = [16000,17000], u5 = [17000,18000], u6 =

[18000,19000], u7 = [19000,20000].

Langkah Kedua : Jadikan A1, A2, … , Ak menjadi suatu himpunan-

himpunan fuzzy yang variabel linguistiknya ditentukan sesuai dengan

keadaan semesta. Kemudian definisikan himpunan-himpunan fuzzy

tersebut sebagaimana berikut ini :

A1 = a11 / u1 + a12 / u2 + … + a1m / um

A1 = a21 / u1 + a22 / u2 + … + a2m / um

…

A1 = ak1 / u1 + ak2 / u2 + … + akm / um

Di mana aij [0,1], 1 ≤ i ≤ k, and 1 ≤ j ≤ m. nilai dari aij

menunjukkan derajat keanggotaan dari uj dalam himpunan fuzzy Ai.

Penentuan derajat untuk masing-masing Ai(i= 1,2,…,m) yaitu jika

keanggotaan maximum dari suatu data dibawah Ak maka nilai

fuzzifikasi-nya dikatakan sebagai Ak. Kemudian Fuzzy Logical

Relationship (FLR) ditentukan berdasarkan data histori yang ada.

A1 = 1/ u1 + 0.5/ u2 + 0/ u3 + 0/ u4 + 0/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7 ,

A2 = 0.5/ u1 + 1/ u2 + 0.5/ u3 + 0/ u4 + 0/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7 ,

A3 = 0/ u1 + 0.5/ u2 + 1/ u3 + 0.5/ u4 + 0/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7 ,

A4 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0.5/ u3 + 1/ u4 + 0.5/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7 ,

A5 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0/ u3 + 0.5/ u4 + 1/ u5 + 0.5/ u6 + 0/ u7 ,

A6 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0/ u3 + 0/ u4 + 0.5/ u5 + 1/ u6 + 0.5/ u7 ,

A7 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0/ u3 + 0/ u4 + 0/ u5 + 0.5/ u6 + 1/ u7 ,

Adapun data histori yang digunakan dalam contoh perhitungan ini

adalah sebagai berikut :

Tabel 1. Data Fuzzifikasi Historis Enrollment

Year Actual Enrollment Fuzzified Enrollment

1971 13055 A1

1972 13563 A1

1973 13867 A1

1974 14696 A2

1975 15460 A3

1976 15311 A3

1977 15603 A3

1978 15861 A3

1979 16807 A4

1980 16919 A4

1981 16388 A4

1982 15433 A3

1983 15497 A3

1984 15145 A3

1985 15163 A3

1986 15984 A3

1987 16859 A4

1988 18150 A6

1989 18970 A6

1990 19328 A7

1991 19337 A7

1992 18876 A6

Dari tabel di atas maka bisa diperoleh fuzzy logical relationship,

dimana fuzzy logical relationship Aj Ak berarti jika nilai enrollment

pada tahun i adalah Aj maka pada tahun i+1 adalah Ak. Aj sebagai sisi

kiri relationship disebut sebagai current state dan Ak sebagai sisi

kanan relationship disebut sebagai next state. Dan jika terjadi

perulangan hubungan maka tetap dihitung sekali. Adapun tabel fuzzy

logical relationship adalah sebagai berikut :

Tabel 2. fuzzy logical relationship

A1 A1 A1 A2 A2 A3 A3 A3

A3 A4 A4 A4 A4 A3 A4 A6

A6 A6 A6 A7 A7 A7 A7 A6

Langkah Ketiga : Bagi fuzzy logical relationship yang telah

diperoleh menjadi beberapa bagian berdasarkan sisi kiri (current

state). Sebagaimana tabel di atas maka kita peroleh enam fuzzy

logical relationship group.

Tabel 3. fuzzy logical relationship groups

Group 1 A1 A1 A1 A2

Group 2 A2 A3

Group 3 A3 A3 A3 A4

Group 4 A4 A3 A4 A6

Group 5 A6 A6

Group 6 A7 A7 A7 A6

Langkah Keempat : Hitung hasil keluaran peramalan dengan

menggunakan beberapa prinsip berikut,

(1) jika hasil fuzzifikasi enrollment pada tahun i adalah Aj dan hanya

ada satu fuzzy logical relationship pada fuzzy logical relationship

group yaitu dengan posisi current state adalah Aj sebagaimana

rumusan berikut :

Aj Ak

Di mana Aj dan Ak adalah himpunan fuzzy dan nilai maksimum

keanggotaan fuzzy-nya terdapat pada interval uk, dan midpoint (nilai

tengah) dari uk adalah mk, maka hasil peramalan untuk tahun i+1

adalah mk.

(2) jika hasil fuzzifikasi enrollment pada tahun i adalah Aj dan

terdapat beberapa fuzzy logical relationship dengan current state

adalah Aj yang ditunjukkan juga pada fuzzy logical relationship

group yang telah dibentuk sebelumnya. Sebagaimana rumusan

berikut :

Aj Ak1, Ak2, … , Akp

Di mana Aj , Ak1, Ak2, … , Akp adalah himpunan-himpunan fuzzy dan

nilai keanggotaan maksimum dari Ak1, Ak2, … , Akp terjadi pada

interval u1, u2, …, up dan nilai tengah dari u1, u2, …, up adalah m1, m2,

…, mp maka nilai hasil peramalan untuk tahun i+1 dirumukan (m1 +

m2 + … + mp)/p.

(3) jika hasil fuzzifikasi enrollment pada tahun i adalah Aj dan tidak

ada sama sekali fuzzy logical relationship dengan current state

berupa Aj dimana nilai keanggotaan maksimum dari himpunan fuzzy

Aj terjadi pada interval uj dan nilai tengah uj adalah mj, maka nilai

hasil peramalan untuk tahun i+1 adalah mj.

Berdasarkan tabel 1 dan tabel 2, kita bisa melakukan peramalan

terhadap banyaknya jumlah pendaftar di universitas Alabama dari

tahun 1972 sampai dengan tahun 1992. Selanjutnya akan

diilustrasikan proses peramalan untuk tahun 1972, 1975, dan 1980.

Adapun prosedur yang sama juga bisa digunakan untk meramalkan

tahun-tahun selain yang tercantum.

Untuk tahun 1972, karena hasil fuzzifikasi pendaftaran tahun 1971

pada tabel 1 adalah A1, dan dari tabel 3 bisa dilihat bahwa terdapat

fuzzy logical relationship group dengan A1 sebagai current state

sebagai berikut :

A1 A1 , A2

Di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A1 dan

A2 terjadi pada interval u1 dan u2, dengan u1 = [13000,14000] dan

u2=[14000,15000], serta nilai tengah dari interval u1 dan u2 adalah

13500 dan 14500. Maka untuk meramalkan jumlah pendaftar pada

tahun 1972 adalah (13500+14500)/2 = 14000.

Untuk tahun 1975, karena hasil fuzzifikasi pendaftaran tahun 1974

pada tabel 1 adalah A2, dan dari tabel 3 bisa dilihat bahwa terdapat

fuzzy logical relationship group dengan A2 sebagai currebt state

sebagai berikut :

A2 A3

Di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A3

terjadi pada interval u3, dengan u3 = [15000,16000], serta nilai tengah

dari interval u3 adalah 15500, Maka diramalkan jumlah pendaftar

pada tahun 1974 adalah 15500.

Untuk tahun 1980, karena hasil fuzzifikasi pendaftaran tahun 1979

pada tabel 1 adalah A4, dan dari tabel 3 bisa dilihat bahwa terdapat

fuzzy logical relationship group dengan A4 sebagai current state

sebagai berikut :

A4 A4 , A3, A6

Di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A4, A3

dan A6 terjadi pada interval u4, u3 dan u6, dengan u4 = [16000,17000],

u3 = [15000,16000] dan u6 = [18000,19000], serta nilai tengah dari

interval u4, u3 dan u6 adalah 16500, 15500, dan 18500. Maka untuk

meramalkan jumlah pendaftar pada tahun 1980 adalah

(16500+15500+18500)/3 = 16833.

Setelah dilakukan perhitungan untuk meramalkan jumlah pendaftar

untuk tiap tahun dengan metode yang telah dicontohkn, maka bisa

dirangkum dalam tabel 4 berikut :

Year Actual Enrollment Forecasted Enrollment

1971 13055 -

1972 13563 14000

1973 13867 14000

1974 14696 14000

1975 15460 15500

1976 15311 16000

1977 15603 16000

1978 15861 16000

1979 16807 16000

1980 16919 16833

1981 16388 16833

1982 15433 16833

1983 15497 16000

1984 15145 16000

1985 15163 16000

1986 15984 16000

1987 16859 16000

1988 18150 16833

1989 18970 19000

1990 19328 19000

1991 19337 19000

1992 18876 19000

Translated from : Forecasting enrollments based on fuzzy time series

by Shyi-Ming Chen, Fuzzy Sets and System 81 (1996) 311-319