Konduksi 1 D, Steady State arah radial

Pertemuan ke-3

Dipersiapkan oleh :NK. Caturwati

System Radial :

r

t

Tcq

z

Tk

z

Tk

rr

Tkr

rr p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ •

..112

ρφφ

Kasus perpindahan panas, 1 D arah radial, steady state, tanpa sumber panas :

01 =

dr

dTkr

dr

d

r………….(1)

Perpindahan kalor arah radial dapat diintegrasi 2x dari persamaan tersebut hingga diperoleh solusi umum sebagai :

21 ln)( crCrT +=

2,221

2,1, )ln()/ln(

)()( s

ss Tr

r

rr

TTrT +

−=

Dengan syarat batas Ts,1 = temperatur pada r1 dan Ts,2 temperatur pada r2 diperoleh distribusi temperatur sebagai :

………..(2)

Panas yang berpindah dinyatakan sebagai :

dr

dTrLkq )2( π−=

( )2,1,

1

2ln

.2ssr TT

rrLk

q −

= π

( )kL

rrRk ...2

/ln 12

π=

Perpindahan kalor dalam arah radial dinyatakan sebagai :

Dengan distribusi temperatur seperti pers.(2) besarnya perpindahan kalor :

Hambatan panas pada pipa silinder arah radial adalah :

Contoh pipa dengan bahan komposit :

Uap air bertemperatur 500 K mengalir dalam pipa r = 25 mm dengan dinding komposit yang terdiri dari material A setebal 50 mm dan material B setebal 25 mm (kA = 2 W/m.K , kB = 0.25 W/m.K) . Jika udara sekitar pipa memiliki temperatur 300 K dan h= 25 W/m2K.

a. Tentukan besarnya rugi-rugi panas persatuan panjang pipa.

b. Berapa temperatur dinding terluar pipa.

6

R1 = 25 mm

R2 = 75 mm

R3 = 100 mm

7

KONSERVASI ENERGI DALAM SUATU KONTROL VOLUM

stoutgin EEEE••••

=−+Ein Eout

Eg

Eg = Energi yang dibangkitkan dalam kontrol Volume

Est = Perubahan kandungan energi dalam kontrol volume

8

Persamaan Difusi Panas

dxxq +

xq

yq

dyyq +

dzzq +

zq

9

Energi yang dibangkitkan dalam CV :

dzdydxqEg ...••

=

dzdydxcE dtdT

pst .....ρ=•

Energi yang tersimpan dalam CV. :

Deret Taylor :

dxqq dxdq

xdxx .+=+

10

Persamaan konservasi Energi dalam CV. Menjadi :

dzdydxdt

dTcq

qqdzdydxqqqq

pdzz

dyydxxzyx

.....

...

ρ=−

−−+++

+

++

•

Dengan menggunakan deret Taylor :

dzdydxdt

dTc

dzdydxqdzdz

dqdy

dy

dqdx

dx

dq

p

zyx

.....

......

ρ

=+−−−•

11

Laju Perpindahan Panas Konduksi menurut Fourier’s Law :

dx

dTdzdykqx ...−=

dy

dTdzdxkqy ...−=

dz

dTdydxkqz ...−=

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ •

..ρ

Persamaan Diffusi Panas dalam koordinat Cartesian dinyatakan sebagai :

12

Total flux panas dalam arah x yang masuk

dalam kontrol volum dinyatakan sebagai :

""dxxx qqdx

x

Tk

x +−=

∂∂

∂∂

Jika koefisien konduktivitas panas dianggap konstan :

t

Tcq

z

T

y

T

x

Tk p ∂

∂=+

∂∂+

∂∂+

∂∂ •

..2

2

2

2

2

2

ρ

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T

∂∂=+

∂∂+

∂∂+

∂∂

•

α1

2

2

2

2

2

2

α = k/(ρ.cp) = difusivitas panas

13

Distribusi temperatur pada dinding tebal 1 m dinyatakan dalam persamaan :

T(x) = 900 – 300 x -50 x2

T dalam 0C dan x dalam meter. Jika panas dihasilkan dalam dinding sebesar 1000 W/m3. Luas permukaan dinding 10 m2. dengan sifat bahan ρ = 1600 kg/m3.

k=40 W/m.K dan cp = 4 kJ/kg.K

Tentukan :

1. Laju Panas yang masuk dan keluar dinding.

2. Laju peningkatan kandungan panas dalam dinding.

3. Laju perubahan temperatur pada x = 0.25 m

Contoh soal

14

Koordinat Silinder :

Persamaan umum untuk fluks - panas :

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

z

TT

rr

TkTk kji

φ1

.

k

r

Tkqr ∂

∂−="

φφ ∂∂−= T

r

kq"

z

Tkqz ∂

∂−="

15

Konservasi Energi dalam control volume untuk koordinat silinder :

t

Tcq

z

Tk

z

Tk

rr

Tkr

rr p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ •

..112

ρφφ

16

Koordinat Bola (Spherical Coordinat) :

∂∂+

∂∂+

∂∂−=∇−=

φθθT

rk

T

rj

r

TikTkq

sin

11"

r

Tkqr ∂

∂−="

θθ ∂∂−= T

r

kq"

φθφ ∂∂−= T

r

kq

sin"

17

Persamaan konservasi energi untuk Spherical Coordinat :

t

Tcq

Tk

r

Tk

rr

Tkr

rr

p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

•..sin

sin

1

sin.

11

2

222

2

ρθ

θθθ

φφθ

Θ

Ф

Contoh soal :

1. Suatu pipa panjang 0.1 m dengan Φ=25 mm diisolasi pada dindingnya. Ujung pipa dikenakan pada temperatur 100 0C dan 0 0C. Tentukan besarnya panas yang berpindah dalam pipa , jika pipa terbuat dari Stainless steel AISI 302. (k = 15.1 W/m.K )

2. Suatu dinding yang terbuat dari bahan dengan konduktivitas bahan 50 W/m.K tebal 50 mm . Dalam kondisi steady memiliki persamaan temperatur : T=200 – 2000 x2, (x dalam meter dan T dalam 0C)

a. Tentukan laju panas yang dihasilkan dalam dinding.

b. Tentukan fluks panas yang melewati permukaan dinding.

x

3. Suatu dinding setebal 10 mm terbuat dari stainless steel (k=15 W/m.K) Jika permukaan dinding dalam dikenakan temperatur 100 0C sedangkan permukaan dinding luar bersentuhan dengan udara bertemperatur 20 0C dengan koefisien konveksi 25 W/m2.K. Tentukan temperatur permukaan dinding luar.

100 0C T∞ = 20 0C

h = 25 W/m2.K

X = 10 mm