komputasi dan simulasi transport neutron

last edited : august 6th 2007last edited : august 6th 2007

Komputasi dan SimulasiKomputasi dan SimulasiTransport NeutronTransport Neutron

Topan Setiadipura Topan Setiadipura ([email protected])([email protected])

Coaching Neutronik 2008Coaching Neutronik 2008Computational Division PPIN – BATANComputational Division PPIN – BATAN

Pendahuluan Pendahuluan

Masalah utama dalam fisika reaktor Masalah utama dalam fisika reaktor nuklir adalah penentuan distribusi nuklir adalah penentuan distribusi neutron dalam teras reaktor.neutron dalam teras reaktor.

Distribusi neutron menentukan laju Distribusi neutron menentukan laju terjadinya berbagai reaksi nuklir terjadinya berbagai reaksi nuklir dalam teras reaktor. dalam teras reaktor.

Dengan memahami keadaan Dengan memahami keadaan populasi neutron maka stabilitas dari populasi neutron maka stabilitas dari reaksi fisi berantai dapat diprediksi reaksi fisi berantai dapat diprediksi dengan baik.dengan baik.

Proses transport neutron..Proses transport neutron..

Untuk menentukan distribusi neutron Untuk menentukan distribusi neutron dalam teras reaktor kita harus dalam teras reaktor kita harus memahami dengan baik proses memahami dengan baik proses transport neutron. transport neutron.

Yaitu proses yang terjadi selama Yaitu proses yang terjadi selama neutron bergerak dalam teras neutron bergerak dalam teras reaktor, yang melibatkan berbagai reaktor, yang melibatkan berbagai interaksi neutron dengan inti interaksi neutron dengan inti penyusun teras reaktor berupa penyusun teras reaktor berupa tumbukan hingga akhirnya neutron tumbukan hingga akhirnya neutron hilang karena diserap atau keluar hilang karena diserap atau keluar dari teras reaktor.dari teras reaktor.

Proses difusi..Proses difusi..

Kebanyakan studi neutronik teras Kebanyakan studi neutronik teras reaktor memperlakukan gerak reaktor memperlakukan gerak neutron sebagai proses difusi. neutron sebagai proses difusi.

Dimana diasumsikan bahwa neutron Dimana diasumsikan bahwa neutron cendrung untuk berdifusi dari daerah cendrung untuk berdifusi dari daerah dengan densitas neutron tinggi ke dengan densitas neutron tinggi ke daerah dengan densitas neutron daerah dengan densitas neutron lebih rendah, seperti difusi panas lebih rendah, seperti difusi panas dari daerah bertemperatur tinggi ke dari daerah bertemperatur tinggi ke temperatur rendah.temperatur rendah.

Keterbatasan ‘difusi’..Keterbatasan ‘difusi’..

Namun,berbeda dengan Namun,berbeda dengan penanganan difusi pada penanganan difusi pada konduksi panas dan gas yang konduksi panas dan gas yang yang memberikan simulasi yang yang memberikan simulasi yang akurat, pendekatan difusi akurat, pendekatan difusi terhadap transport neutron terhadap transport neutron memiliki validitas yang terbatas.memiliki validitas yang terbatas.

Diffusion’s limitation..(cont’d)Diffusion’s limitation..(cont’d)

The reason for this failure is easily The reason for this failure is easily understood when it is noted that in understood when it is noted that in most diffusion process the diffusing most diffusion process the diffusing particles are particles are characterized by very characterized by very frequent collisionsfrequent collisions that give rise to that give rise to very irregular, almost random, zigzag very irregular, almost random, zigzag trajectories.trajectories.

However, the cross-section for However, the cross-section for neutron-nuclear collisions is quite neutron-nuclear collisions is quite small (about 10small (about 10-24 -24 cmcm22). Hence ). Hence neutron tend to stream relatively neutron tend to stream relatively large distances between interactions.large distances between interactions.

Alasan kegagalan dari teori ini mudah Alasan kegagalan dari teori ini mudah dipahami, bahwa pada sebagian besar dipahami, bahwa pada sebagian besar proses difusi ditandai dengan partikel yang proses difusi ditandai dengan partikel yang berdifusi sangat sering bertabrakan berdifusi sangat sering bertabrakan sehingga menyebabkan gerakan yang sehingga menyebabkan gerakan yang tidak beraturan, acak dan membentuk tidak beraturan, acak dan membentuk lintasan zigzaglintasan zigzag

Namun, penampang lintang untuk Namun, penampang lintang untuk tumbukan neutron dengan inti cukup kecil tumbukan neutron dengan inti cukup kecil ((sekitar 10sekitar 10-24 -24 cmcm22). Sehingga neutron ). Sehingga neutron cenderung mengalir dengan jarak relatif cenderung mengalir dengan jarak relatif jauh diantara interaksi.jauh diantara interaksi.


The mean free path (mfp) The mean free path (mfp) characterizing fast neutrons is characterizing fast neutrons is typically on the order of centimeters.typically on the order of centimeters.

And the dimensions characterizing And the dimensions characterizing changes in reactor core composition changes in reactor core composition are usually comparable to a neutron are usually comparable to a neutron mfp. (noted that a reactor fuel pin is mfp. (noted that a reactor fuel pin is typically about 1 cm in diameter).typically about 1 cm in diameter).

Hence, it is required a more accurate Hence, it is required a more accurate description of neutron transport that description of neutron transport that takes into account the relatively long takes into account the relatively long neutron mfp and neutron streaming.neutron mfp and neutron streaming.


Pada prakteknya, teori difusi Pada prakteknya, teori difusi neutron tidak berlaku di sekitar neutron tidak berlaku di sekitar batas reaktor, atau dekat bahan batas reaktor, atau dekat bahan dengan absorpsi neutron yang dengan absorpsi neutron yang tinggi seperti penyusun batan tinggi seperti penyusun batan pengatur.pengatur.

More accurate ???More accurate ???

Such a description has been Such a description has been borrowed from the kinetic theory of borrowed from the kinetic theory of rarefied gases (which are also rarefied gases (which are also characterized by long mfp).characterized by long mfp).

The fundamental equation describing The fundamental equation describing dilute gases was first proposed more dilute gases was first proposed more than one century ago by Boltzmann, than one century ago by Boltzmann, and even today the Boltzmann and even today the Boltzmann equation remain the principal tool of equation remain the principal tool of the gas dynamicist.the gas dynamicist.

Neutron transport equationNeutron transport equation

Its counter part for the neutron “gas” called ‘Its counter part for the neutron “gas” called ‘neutron neutron transport equationtransport equation’.’.

It is far simpler than Boltzmann equation. Where it It is far simpler than Boltzmann equation. Where it is linear equation while the boltzmann equation is is linear equation while the boltzmann equation is non linear equation.non linear equation.

Neutron transport equation is much simpler to Neutron transport equation is much simpler to derive, requiring only the derive, requiring only the concept of neutron concept of neutron conservation plus a bit of vector calculusconservation plus a bit of vector calculus, and , and easier to understand than the neutron diffusion easier to understand than the neutron diffusion equation.equation.

It is far more fundamental and exact description of It is far more fundamental and exact description of the neutron population in reactor, indeed, the neutron population in reactor, indeed, it is the it is the fundamental cornerstone on which all of the various fundamental cornerstone on which all of the various approximate methods used in nuclear reactor approximate methods used in nuclear reactor analysis are basedanalysis are based..

Transport problem..Transport problem..

But, neutron transport theory has But, neutron transport theory has come to be associated with a come to be associated with a hideous plethora of impenetrable hideous plethora of impenetrable mathematics, unwieldy formulas, and mathematics, unwieldy formulas, and the expenditure of enourmos the expenditure of enourmos amounts of money on computer amounts of money on computer number-crunching.number-crunching.

It is usually very dificult to solve the It is usually very dificult to solve the transport equation for any but transport equation for any but simplest modeled problemssimplest modeled problems

But..But..

However that is quite all right, since it is not However that is quite all right, since it is not the intent to attack the transport equation the intent to attack the transport equation head on (for a while). head on (for a while).

Rather the job of the reactor analyst is to Rather the job of the reactor analyst is to develop suitable (calculationally feasible develop suitable (calculationally feasible and accurate) approximation to it.and accurate) approximation to it.

Usually, only by comparing these various Usually, only by comparing these various approximation theories to the transport approximation theories to the transport equation from which they originated can equation from which they originated can one really assess their range of validity.one really assess their range of validity.

The effort in understanding the neutron The effort in understanding the neutron transport equation will provide one with a transport equation will provide one with a much deeper and more thorough much deeper and more thorough understanding of the approximate methodsunderstanding of the approximate methods

Some Introductory ConceptSome Introductory Concept

Neutron Density and FluxNeutron Density and Flux

Mulai dengan mendefinisikan rapat neutron Mulai dengan mendefinisikan rapat neutron N(r,t) pada sembarang titik dalam teras N(r,t) pada sembarang titik dalam teras reaktor sbbreaktor sbb

N(r,t) dN(r,t) d33rr ≡ ekspektasi jumlah neutron pada ≡ ekspektasi jumlah neutron pada volumvolum d d33r sekitar r pada waktu tr sekitar r pada waktu t..

Perhitungan ini bersifat statistik dimana Perhitungan ini bersifat statistik dimana nilai yang dihitung adalah nilai rerata atau nilai yang dihitung adalah nilai rerata atau ekspektasi. ekspektasi.

The neutron density N(r,t) is of interest The neutron density N(r,t) is of interest because it allows us to calculate the rate at because it allows us to calculate the rate at which nuclear reactions are occuring at any which nuclear reactions are occuring at any point in the reactor.point in the reactor.

Neutron Density and Flux (cont’d)Neutron Density and Flux (cont’d)

Mari kita asumsikan bahwa semua Mari kita asumsikan bahwa semua neutron pada reaktor memiliki neutron pada reaktor memiliki kecepatan yang sama yaitu v. kecepatan yang sama yaitu v.

Frequensi terjadinya reaksi neutron Frequensi terjadinya reaksi neutron dengan nuklida bahan yang memiliki dengan nuklida bahan yang memiliki penampang lintang makroskopik penampang lintang makroskopik ΣΣ untuk reaksi tersebut adalahuntuk reaksi tersebut adalah

vvΣΣ = frequensi interaksi = frequensi interaksi

Hence, the reaction-rate density Hence, the reaction-rate density F(r,t) at any point in the system is F(r,t) at any point in the system is defined by multiplying the neutron defined by multiplying the neutron density N(r,t) by the interaction density N(r,t) by the interaction frequency frequency vvΣΣ : :F(r,t) dF(r,t) d33r r ≡ ≡ vvΣΣ N(r,t) d N(r,t) d33rr

≡ ≡ expected rate at expected rate at which interactions are which interactions are occuring in d occuring in d33r about r r about r

at at a time t. a time t.


Example :Example :

Neutron density of N=10Neutron density of N=108 8 cmcm-3 -3 in a in a graphite medium where its total graphite medium where its total cross section cross section ΣΣtt=0.385 cm=0.385 cm-1-1, neutron , neutron

speed 2.2x10speed 2.2x1055 cm/sec. cm/sec. We would We would find a reaction rate density of find a reaction rate density of 8.47x108.47x1012 12 reactions/cmreactions/cm33/sec./sec. In this In this particular case, most of these particular case, most of these reactions would consist of scattering reactions would consist of scattering collisions.collisions.


These concept can easily be These concept can easily be extended to the case in which the extended to the case in which the neutron density is different for neutron density is different for various neutron energies E by various neutron energies E by defining :defining :

N(r,E,t) dN(r,E,t) d33r dE ≡ expected number of r dE ≡ expected number of neutrons in dneutrons in d33r about r, energies in r about r, energies in dE about E, at time t.dE about E, at time t.

Also the reaction rate densityAlso the reaction rate density

F(r,t) dF(r,t) d33r dE ≡ vr dE ≡ vΣΣ(E) N(r,E,t) d(E) N(r,E,t) d33r dEr dE


The product vN(r,t) occurs very The product vN(r,t) occurs very frequently in reactor theory, and frequently in reactor theory, and therefore it is given a special name therefore it is given a special name

ΦΦ(r,t) ≡ vN(r,t)(r,t) ≡ vN(r,t) ≡ neutron flux≡ neutron flux Its unit isIts unit is [cm [cm-2 -2 secsec-1-1]] Noted that Noted that neutron fux is scalar neutron fux is scalar

quantityquantity not as others definition of not as others definition of flux in electromagnetic or heat flux in electromagnetic or heat conduction.conduction.


Angular Densities and CurrentsAngular Densities and Currents

So far, we already use three variable So far, we already use three variable to characterize the state of individual to characterize the state of individual neutron; the neutron position neutron; the neutron position (r)(r), its , its energy energy (E),(E), and the time and the time (t)(t) at which at which the neutron is observed.the neutron is observed.

Yet, notice that to specify the state of Yet, notice that to specify the state of the neutron, we must also give its the neutron, we must also give its direction of motion characterized by direction of motion characterized by the unit vector the unit vector Ω=v/|v|.Ω=v/|v|.

By introducing this new variable lets By introducing this new variable lets generalize the concept of density by generalize the concept of density by defining the defining the angular neutron densityangular neutron density : :

n(r,E,Ω,t) dn(r,E,Ω,t) d33r dE dΩ = r dE dΩ = expected expected number of neutrons in dnumber of neutrons in d33r about r, r about r,

energy dE about E, moving in energy dE about E, moving in direction Ω in solid angle dΩ at time direction Ω in solid angle dΩ at time

tt.. This is the most general neutron density This is the most general neutron density

function we need to define since it happens function we need to define since it happens that that one can derive an essential exact one can derive an essential exact equationequation, the neutron transport equation, , the neutron transport equation, for the angular neutron density n(e,E,Ω,t).for the angular neutron density n(e,E,Ω,t).

Angular Densities and Currents Angular Densities and Currents (cont’d)(cont’d)

Angular neutron fluxAngular neutron flux

φφ(r,E,Ω,t) ≡ v (r,E,Ω,t) ≡ v n(e,E,Ω,t)n(e,E,Ω,t) Angular current densityAngular current density

j(r,E,Ω,t) ≡ vj(r,E,Ω,t) ≡ vΩn(e,E,Ω,t)Ωn(e,E,Ω,t) ≡ ≡ ΩΩφφ(r,E,Ω,t) (r,E,Ω,t)

Notice that since Notice that since Ω is a unit vector, the Ω is a unit vector, the angular flux is actually nothing more angular flux is actually nothing more than the magnitude of the angular than the magnitude of the angular current density.current density.

|j|=||j|=|Ω|Ω|φφ = = φφ


Angular Densities and Currents Angular Densities and Currents (cont’d)(cont’d) The angular current density has a The angular current density has a

useful physical interpretation.useful physical interpretation. j(r,E,Ω,t) dA dE dΩ ≡ j(r,E,Ω,t) dA dE dΩ ≡ expected expected

number of neutrons passing through number of neutrons passing through an area dA per unit time with eergy E an area dA per unit time with eergy E

in dE, direction Ω in dΩ at time t.in dE, direction Ω in dΩ at time t. We can also define an angular We can also define an angular

interaction rateinteraction rate

f(r,E,Ω,t) = v f(r,E,Ω,t) = v ΣΣ(r,E) (r,E) n(e,E,Ω,t)n(e,E,Ω,t)= = ΣΣ(r,E) (r,E) φφ(r,E,Ω,t)(r,E,Ω,t)

Angular Densities and Currents Angular Densities and Currents (cont’d)(cont’d) All of the angle-dependent quantities All of the angle-dependent quantities

can be related to the earlier definition can be related to the earlier definition by simply integrating over the by simply integrating over the angular variables.angular variables.

For neutron density :For neutron density :

N(r,E,t) N(r,E,t) = = ∫∫44ππdΩ dΩ n(e,E,Ω,t)n(e,E,Ω,t) further further

N(r,t)N(r,t) = = ∫∫00∞∞ dE N(r,E,t) dE N(r,E,t)

= ∫= ∫00∞∞ dEdE ∫∫44ππdΩ dΩ n(e,E,Ω,t)n(e,E,Ω,t)


For neutron flux For neutron flux

ΦΦ(r,E,t) = (r,E,t) = ∫∫44ππdΩ dΩ φφ(e,E,Ω,t)(e,E,Ω,t)

andand

ΦΦ(r,t) (r,t) = = ∫∫00∞∞ dE dE ΦΦ(r,E,t) (r,E,t)

= ∫= ∫00∞∞ dEdE ∫∫44ππdΩ dΩ

φφ(e,E,Ω,t)(e,E,Ω,t)


For neutron current For neutron current

J(r,E,t) = J(r,E,t) = ∫∫44ππdΩ jdΩ j(e,E,Ω,t)(e,E,Ω,t)

J(r,E,t) is called neutron current J(r,E,t) is called neutron current densitydensity. Also,. Also,

J(r,t) J(r,t) = = ∫∫00∞∞ dE dE J(r,E,t) J(r,E,t)

= ∫= ∫00∞∞ dEdE ∫∫44ππdΩ dΩ jj(e,E,Ω,t)(e,E,Ω,t)

More about J(r,t) and More about J(r,t) and ΦΦ(r,t)(r,t)

Notice that J(r,t) is actually what would be Notice that J(r,t) is actually what would be reffered to as the ‘flux’ in other fields of reffered to as the ‘flux’ in other fields of physics, since if we have a small area dA physics, since if we have a small area dA at a position r, thenat a position r, thenJ(r,t)J(r,t)..dAdA = net rate at which neutrons pass = net rate at which neutrons pass

through a surface area dA.through a surface area dA. The unit of both J(r,t) and The unit of both J(r,t) and ΦΦ(r,t)(r,t) are are

identical identical [cm[cm-2-2 ..secsec-1-1].]. However, J is a However, J is a vector quantityvector quantity that that

characterize the net rate at which neutrons characterize the net rate at which neutrons pass through a surface pass through a surface oriented in a given oriented in a given directiondirection, whereas , whereas ΦΦ simply characterize simply characterize the totalrate at which neutron pass through the totalrate at which neutron pass through a unit area, a unit area, regardless of orientationregardless of orientation..

More about J(r,t) and More about J(r,t) and ΦΦ(r,t)(r,t)

Such an interpretation would suggest Such an interpretation would suggest that that JJ is a more convenient quantity is a more convenient quantity for describing for describing neutron leakageneutron leakage or or flowflow , , whilewhile ΦΦ is more suitable for is more suitable for characterizing characterizing neutron reaction ratesneutron reaction rates in which the total number of neutron in which the total number of neutron interactions in a sample is of interest.interactions in a sample is of interest.

Although the angular flux and current Although the angular flux and current density are very simply related, we density are very simply related, we will find that there is will find that there is nono simple simple analogous relationship between J analogous relationship between J and and ΦΦ..

Persamaan Transport NeutronPersamaan Transport Neutron

PendahuluanPendahuluan

Persamaan yang Persamaan yang menggambarkan kerapatan menggambarkan kerapatan neutron angular pada sistem neutron angular pada sistem nuklir akan diturunkan dengan nuklir akan diturunkan dengan melakukan melakukan akuntansi akuntansi terhadap terhadap proses-prosesproses-proses yang dapat yang dapat memunculkanmemunculkan neutron dan neutron dan menghilangkanmenghilangkan neutron dari neutron dari sembarang sembarang volume vvolume v dalam dalam sistem.sistem.

Neutron pada volume vNeutron pada volume v Untuk sembarang volume V, Untuk sembarang volume V, jumlah jumlah

neutronneutron dengan energi E dalam dE, dengan energi E dalam dE, dengan arah dengan arah ΩΩ dalam d dalam dΩΩ dalam V dalam V adalah adalah ˆ),ˆ,,( 3 ddErdtErn

V Laju perubahanLaju perubahannya terhadap waktu nya terhadap waktu

diberikan oleh kesetimbangan berikut diberikan oleh kesetimbangan berikut

Bila volume Bila volume VV diasumsikan diasumsikan tidak tidak bergantung waktubergantung waktu, maka , maka

ˆ),ˆ,,( 3 ddErdtErn

t Vmuncul pada V – hilang dari V

ˆˆ),ˆ,,( 33 ddErdt

nddErdtErn

t VV

u/ simpifikasi notasi variabel dihilangkan

Mekanisme pada volume VMekanisme pada volume V

Mekanisme neutron ‘muncul’ :Mekanisme neutron ‘muncul’ :1. sumber neutron dalam volume V1. sumber neutron dalam volume V2. neutron yang terhambur dengan variabel 2. neutron yang terhambur dengan variabel

akhir akhir E,E,ΩΩ dari sembarang E’, dari sembarang E’, ΩΩ’. ’. ((ruang energi dan arahruang energi dan arah))

3. neutron 3. neutron masuk volume Vmasuk volume V melalui melalui permukaan S.(permukaan S.(ruang spasialruang spasial))

Mekanisme neutron ‘hilang’ :Mekanisme neutron ‘hilang’ :4. 4. neutron bocorneutron bocor melalui permukaan S. melalui permukaan S.

5. neutron dalam V (dengan variabel E, 5. neutron dalam V (dengan variabel E, ΩΩ) ) mengalami mengalami tumbukantumbukan sehingga sehingga

variabelnya menjadi E’, variabelnya menjadi E’, ΩΩ’.’.

Mekanisme Neutron MunculMekanisme Neutron Muncul

1.1.Sumber neutron pada V,Sumber neutron pada V,dengan definisi sumber berikut dengan definisi sumber berikut

ˆ,ˆ,, 3 ddErdtErs

Maka suku sumber dinyatakan sbb:

ˆ,ˆ,, 3 ddErdtErsV

Mekanisme Neutron MunculMekanisme Neutron Muncul

2. 2. Neutron muncul karena tumbukan Neutron muncul karena tumbukan dan terhambur ke ‘ruang’ V.dan terhambur ke ‘ruang’ V.Laju neutron terhambur dari suatu ruang (E,Ω) ke (E’, Ω’) adalah

ˆ,ˆ,,ˆ'ˆ,'' 3 ddErdtErnEEV s

Karena harus diperhitungkan neutron dari semua ‘ruang’ lain maka

ˆ,ˆ,,ˆ'ˆ,''''ˆ

04

3 ddEtErnEEdEdrdV s

Mekanisme Neutron ‘hilang’Mekanisme Neutron ‘hilang’

5. 5. Neutron yang terhambur ke ‘ruang’ Neutron yang terhambur ke ‘ruang’ lain dari V. Laju neutron mengalami lain dari V. Laju neutron mengalami interaksi adalah interaksi adalah

tErnErtErf tt ,ˆ,,,,ˆ,,

Maka neutron yang terhambur ke ‘ruang’ V dinyatakan sebagai berikut

ˆ,ˆ,,, 3 ddErdtErnErV t

Mekanisme ‘hilang’+’muncul’Mekanisme ‘hilang’+’muncul’

(3+4)(3+4) Bocor kedalam dan keluar volume V Bocor kedalam dan keluar volume V digabung.digabung.Dengan konsep rapat arus angular j, maka laju pada E,Ω akan bocor dari permukaan dS adalah

dStErndStErj ,ˆ,,ˆ,ˆ,,

Untuk seluruh permukaan, total bocor keluar dan masuk, tErndS

S,ˆ,,ˆ

Dari pers. Gauss berikut VS

rArdrAdS )()( 3

Didapat,

ˆ,ˆ,,ˆˆ,ˆ,,ˆ 3 ddEtErnrdddEtErndSVS

ˆ,ˆ,,ˆ3 ddEtErnrdV

Atau

Total semua mekanismeTotal semua mekanisme

Dengan mensubstitusi semuanya ke Dengan mensubstitusi semuanya ke pers. pers. Awal diperoleh : diperoleh :

0ˆ)'ˆˆ,'(''ˆ'ˆ0

4

3

ddEsnEEvddEnnt

nrd

V st

Karena volume V sembarang maka integran diatas harus nol.

Maka didapat hubungan kesetimbangan berikut :

),ˆ,,(),ˆ,,()'ˆˆ,'(''ˆ'),ˆ,,(ˆ0

4tErstErnEEvddEtErnn

t

nst

Formulasi Formulasi Persamaan TransporPersamaan Transpor Dengan menggunakan notasi fluks angular Dengan menggunakan notasi fluks angular

maka persamaan transport biasa ditulis maka persamaan transport biasa ditulis sbb:sbb:

),ˆ,,(),ˆ,,()'ˆˆ,'('ˆ'),ˆ,,(),(ˆ1

04

tErstErEEddEtErErt st

Dimana :

-Syarat awal :

- Syarat batas :

),ˆ,,()0,ˆ,,( 0 tErEr

0),ˆ,,( tErs

Bila 0ˆˆ se u/ semua rs pada SMis.Syarat batas

vakum

Persamaan Diffusi Persamaan Diffusi Satu EnergiSatu Energi

Dengan akuntansi yang sama, untuk Dengan akuntansi yang sama, untuk asumsi satu energi diperoleh asumsi satu energi diperoleh persamaan berikutpersamaan berikut

V a JSt

rd 013

SehinggaSJ

t a

1

Dari pers. Diatas, untuk dapat diselesaikan lebih lanjut diperlukan hubungan antara J dan Φ. Ini diberikan oleh Hukum Fick’s berikut

),()(, trrDtrJ Konstanta

diffusi

Persamaan Diffusi Persamaan Diffusi Satu EnergiSatu Energi

Setelah disubstitusikan kembali Setelah disubstitusikan kembali maka diperoleh maka diperoleh

),(),()(),()(1

trStrrtrrDt a

Untuk D yang homogen :Untuk D yang homogen : ),(),()(),(

1 2 trStrrtrDt a

Lebih jauh, untuk masalah statis :Lebih jauh, untuk masalah statis :

)()()()(2 rSrrrD a

Persamaan Helmholtz

Pers.Difusi

Satu Grup

Pers.Difusi : Kasus 1-DPers.Difusi : Kasus 1-D

Untuk satu dimensi (mis.X) Untuk satu dimensi (mis.X) maka maka

)()(2

2

rSxdx

dD a

0)()0( a

Diskritisasi ruang, operator diff. Diskritisasi ruang, operator diff. menjadi :menjadi : ...

2

22

11

iiiii dx

d

dx

dx

...2

22

11

iiiii dx

d

dx

dx

2

112

2 2

iii

idx

d

Pers.Difusi : Kasus 1-DPers.Difusi : Kasus 1-D

Setelah substitusi diperoleh,Setelah substitusi diperoleh,

iiaiii SD

211 2

iiiai SDDD

12212

2

Dengan pengaturan variabel :

iiiiiiiiii Saaa 11,,11, Atau (untuk i=1,2,…,N-1)

SA A matriks (n-1)x(N-1)

Φ,S vektor kolom (N-1)

Bentuk lebih umum u/ 1-DBentuk lebih umum u/ 1-D

Pers.diff umum 1-D pada geometri Pers.diff umum 1-D pada geometri bidang datar :bidang datar :

)()()()( xSxxdx

dxD

dx

da

Cara memecahkan persamaan ini Cara memecahkan persamaan ini terbagi kedalam dua langkah :terbagi kedalam dua langkah :1.1. menurunkan persamaaan beda menurunkan persamaaan beda (diskritisasi).(diskritisasi).2.2. menyelesaikan persamaan beda menyelesaikan persamaan beda dengan algoritma tertentu.dengan algoritma tertentu.

DiskritisasiDiskritisasi

Metoda umum untuk memperoleh Metoda umum untuk memperoleh pers.beda pers.beda (difference eq.)(difference eq.) adalah dengan adalah dengan melakukan melakukan integrasiintegrasi terhadap pers.diff terhadap pers.diff pada sembarang pada sembarang meshmesh interval. interval.

Integrasi dari tiap suku pers.diff dilakukan Integrasi dari tiap suku pers.diff dilakukan terhadap mesh interval berikut :terhadap mesh interval berikut :

21

i

ix

2i

ix

ix

1ix 1ix

Integrasi tiap sukuIntegrasi tiap sukusuku sumber dan penyerapansuku sumber dan penyerapan

Suku sumberSuku sumber

22)( 1

2

2

1

iii

x

x

SxSdx

ii

ii

Suku penyerapanSuku penyerapan

22)()( 1

2

2

1

iiiaa

x

x

i

ii

ii

xxdx

Integrasi tiap sukuIntegrasi tiap sukusuku bocorsuku bocor

Suku bocor :Suku bocor :

2

2

2

2

11

)()(

i

i

ii

ii

ii

x

x

x

xdx

dxD

dx

dxD

dx

ddx

Suku ini memerlukan beberapa langkah detail berikut :

1

1

21

i

ii

x ii

dx

d

i

ii

x ii

dx

d

1

2

21

i

ix

ix

1ix

2i

ix

1ix ix

Integrasi tiap sukuIntegrasi tiap sukusuku bocorsuku bocor

Untuk nilai D,Untuk nilai D,

1,11

2

1

2

iiiii

i DDDxD

1,12

1

2

iiiii

i DDDxD

Sehingga total suku bocor, Sehingga total suku bocor,

11

1,1,

1

1,1

1,2

2

)(

1

ii

iii

i

ii

i

iii

i

ii

x

x

DDDD

dx

dxD

dx

ddx

ii

ii

Hasil integrasiHasil integrasi

Substitusi hasil integrasi terhadap Substitusi hasil integrasi terhadap pers.diffusi awal sbb:pers.diffusi awal sbb:

iiiiiiiiii Saaa 11,,11, Dimana koefisiennya adalah

1

11,

1

iii

iiii

DDa

1

1

1

1,

1

iii

ii

i

iiaii

DDDDa

1

11,

1

iii

iiii

DDa

Diperoleh N -1 pers.beda tiga titik (three-point difference equations) untuk N+1 variabel tak

diketahui yaitu Φ0,Φ1,…, ΦN.

Syarat batasSyarat batas

Syarat batas umum dapat diberikan Syarat batas umum dapat diberikan sbb:sbb:

011,000,0 Saa

NNNNNNN Saa ,11,

Solusi ‘pers.differensial 3-titik’Solusi ‘pers.differensial 3-titik’

Persamaan terakhir yang kita Persamaan terakhir yang kita dapatkan adalahdapatkan adalah

SA Lebih eksplisitnya

1

3

2

1

1

3

2

1

3332

232221

1211

000

00

0

00

NN S

S

S

S

aa

aaa

aa

Matrik tridiagonal dapat langsung Matrik tridiagonal dapat langsung dipecahkan dengan eliminasi Gaussian. dipecahkan dengan eliminasi Gaussian. Sehingga diperoleh matriks berikut :Sehingga diperoleh matriks berikut :

1

3

2

1

1

3

2

1

3

2

1

1000

0

100

010

001

NN

A

A

A

dimana

11,,

1,

nnnnn

nnn Aaa

aA

1,1

2,11 a

aA

11,,

11,

nnnnn

nnnnn Aaa

aS

1,1

11 a

s

Maka, nilai fluks diperoleh dengan Maka, nilai fluks diperoleh dengan substitusi kembali, dan diperoleh :substitusi kembali, dan diperoleh :

11 nN

2122122 NNNNNNN AA

dst,

Dekomposisi LUDekomposisi LU

Secara formal yang telah dilakukan adalah Secara formal yang telah dilakukan adalah dekomposisi LU berikut dekomposisi LU berikut

1000

0

100

010

001

00

0)(0

00)(

000

3

2

1

2323332

1212221

11

A

A

A

Aaaa

Aaaa

a

A

Sehingga penyelesaiannya sebagai berikut

SULA

SLU 1

111 USLUA

Forward elimination

Back substitution

Perhitungan KritikalitasPerhitungan Kritikalitas

Sekarang kita beralih kepada Sekarang kita beralih kepada perhitungan yang sangat perhitungan yang sangat penting, yaitu tingkat kritikalitas penting, yaitu tingkat kritikalitas suatu sistem nuklir dengan suatu sistem nuklir dengan mengetahui mengetahui komposisi bahankomposisi bahan dan dan geometrigeometrinya.nya.

Pers.DifusiPers.Difusi

Persamaan Difusi yang harus Persamaan Difusi yang harus dipecahkan,misalnya (pada kasus sederhana)dipecahkan,misalnya (pada kasus sederhana)

)()()()(2 rSrrrD a

rrrrD fa )()()(2

Pada perhitungan kritikalitas sumber Pada perhitungan kritikalitas sumber hanya diberikan dari reaksi fisihanya diberikan dari reaksi fisi

Mencari KesetimbanganMencari Kesetimbangan

Untuk menentukan komposisi agar Untuk menentukan komposisi agar diperoleh kesetimbangan maka diperoleh kesetimbangan maka diberikanlah koefisien k berikut diberikanlah koefisien k berikut

rk

rrrD fa 1

)()()(2

Cara lainCara lain … dengan menganggap v … dengan menganggap v variabel, dimana keadaan kritis dicapai variabel, dimana keadaan kritis dicapai pada nilai v tertentu yaitu vpada nilai v tertentu yaitu vCC

rrrrD fCa )()()(2

Hubungannya…Hubungannya…

C

k

Perhitungan KritikalitasPerhitungan Kritikalitas

Secara sederhana persamaan yang Secara sederhana persamaan yang akan dipecahkan berbentukakan dipecahkan berbentuk

Fk

M1

)(2 rDM a

)(rF f

dengan

Operator ‘destruksi’

Operator ‘sumber’

Metoda iterasiMetoda iterasi

Solusi dilakukan dengan metoda iterasi Solusi dilakukan dengan metoda iterasi berikut, diawali dengan memberi sumber berikut, diawali dengan memberi sumber awal dan k tebakan.awal dan k tebakan.

)()( )0( rSFrS Lalu tentukan flux Φ(1) sbb :

)0(kk

)0()1(

)1()1(2)1( 1)( S

krDM a

Dengan hasil diatas dapat kita hitung sumber dan k baru sbb

)1()1()1( fFS

Bagan AlgoritmaBagan AlgoritmaInput geometri dan komposisi bahan

Tebak sumber awal (S(0)) dan k(0)

)()(

)1( 1 nn

n Fk

M

)1()1( nn FS

)(

1

)(

)(3)(

)1(3

)1(

rrSdk

rrSdk

nn

n

n

1)(

)1()(

n

nn

k

kk2)(

)1()(

n

nn

S

SS

Keff

No

Yes

Iterasi

luar

Iterasi dalam

Untuk memantapkan Untuk memantapkan pemahaman kita, mari kita pemahaman kita, mari kita simak penjelasan untuk hal simak penjelasan untuk hal yang sama dari pengembang yang sama dari pengembang MCNP F.Brown dari Los Alamos MCNP F.Brown dari Los Alamos National Laboratory.National Laboratory.

komputasi dan simulasi transport neutron

Documents