MATEMATIKA TEKNIK

APLIKASI TURUNAN

Di susun oleh

Kelompok 3

Sandy Surapati D51110287

Sunaryadi D51110288

Andi Arfan D51110289

Hardyanti Muchtar D51110290

Anugrah Sakti A D51110291

Syandi Ardin D51110292

Syahrir Ramadhana D51110293

Afrianto Saptahadi D51110294

I. Maksimum dan Minimum

Dalam hidup ini, kita sering mengahadapi masalah untuk mendapatkan cara terbaik untuk

melakukan sesuatu.Sebagai contoh, seorang petani ingn memilih kombinasi tanaman yang

dapat menghasilkan kuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terecil suatu

obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu.Seorang kepala pabrik akan menekan

sekscil mungin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah diatas dapat

dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimumam suatu fungsi pada

suatu himpunan yang dirinci. Bila demikian, metode-metode kalkulus menyediakan sarana

amph untuk memecahan masalah tersebut.

Definisi

Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c.Kita katakana bahwa:

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f(x) untuk semua x di S;

(ii) f(c) adalh nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai

minimum.

(iv) Fungsi yang ingin kita nakimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.

TEOREMA KEBERADAAN MAKS-MN

Jika f kontinu pada selag tutup [a,b] maka f mencapai nilai maksmimum dan minimum

disana.

Contoh:

Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada [-½,2]

Penyelesaian Titik-titik ujug adalah -½ dan 2. Untuk mencari titik stationer kita selesaikan

f’(x) =-6x2 + 6x =0 untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak aa titik-titik singular. Jadi titik-titik

kritis adalah -½, 0, 1, 2.

TEOREMA TITIK KRITIS

Andaikan f terdefenisikan pada selang l yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim

maka c haruslah berupa suatu titik kritis yakni c berupa salah satu:

(i) Titik ujung dari I;

(ii) Titik stationer dari f(f’(c) = 0); atau

(iii) Titik singular dari f(f’(c) tidak ada)

Contoh:

Seorang petani mempunyai 100 meter kawat duri yang akan dipergunakan untuk membuat

dua kandan identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan dalam Gambar. Berapa ukuran

seluruh keliling agar luas maksimum ?

Penyelesaian:

Misalkan : x = panjang

y = Lebar

Maka 3x+2y = 100 menjadi y = 50-3/2x

Luas total A diberikan oleh A=xy= 50x-3/2x2

Karena harus terdapat tiga sisi dengan panjang x, kita lihat bahwa 0≤ x ≥ 100/3, jadi yang

menjadi masalah adalah memaksimumkan A, Pada [0,100/3] sekarang

Ditetapkan 50-3x=0 maka x=50/3 pada titik stationer.

Jadi sekarang kita telah mendapatkan tiga titik kritis 0,50/3,dan 100/3, kedua titik ujung 0 dan

100/3 memberikan A=0 sedangkan x=50/3 menghasilkan A=416,67. Ukuran yang diinginkan

adalah x= 50/3=16,67 meter dan y= 50-3/2(50/3) = 25 meter.

II. Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( buka, tutup, atau tak satupun ). Kita katakan bahwa :

(i) f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I.

x1 < x2 → f (x1) < f(x2)

(ii) f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 daalm I.

x1 > x2 → f (x1) > f(x2)

(iii) f monoton murni pada I jika f pada I atau turun pada I.

Teorema A. Teorema kemonotonan

Andaikan f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik-dalam dari I.

(i) jika f’ (x) > 0 untuk semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.

(ii) jika f’ (x) < 0 untuk semua x titik-dalam, maka f turun pada I.

Teorema ini biasanya memperbolehkan kita untuk menentukrn secara persis

dimana suatu fungsi yang terdiferensiasikan naik dan dimana fungsi tersebut

turun. Ini merupakan masalah penyelesaian dua ketaksamaan.

Teorema B. Teorema kecekungan

Nadaikan f terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I.

(i) jika f’’ (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.

(ii) jika f”’ (x) < 0 untuk semua x dalam I, f cekung ke bawah pada I.

Untuk kebanyakan fungsi , teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan

menjadi masalah penyelesaian ketaksamaan

Contoh soal

Anggaplah air dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut, seperti yang diperlihatkan

dalam gambar 12, dengn laju konstan inci kubik perdetik. Tentukanlah ketinggian h sebagai

fungsi waktu t dan gambarlah plot h(t) dari waktu t = 0 sampai

waktu wadah tersebut terisi penuh dengan air.

2 in

4 in

Penyelesaian

Sebelum kita menyelesaikan masalah ini, pikirkanlah seperti apa grafik tersebut nantinya.

Pertama-tama, ketinggian akan meningkat dengan cepat, karena hanya diperlukan sedikit air

untuk mengisi dasarnya. Seiring wadah kerucut tersebut mulai terisi dengan air, ketinggian

meningkat agak lambat. Apakah yang dikatakan pernyataan-pernyataan ini mengenai fungsi

h(t), turunannya h’(t), dan turunannay keduanya h’’(t) ? sementara air dituangkan kedalam

kerucut, ketinggiannya akan bertambah barati h’(t) akan positif. Ketinggiannya akan

meningkat lebih lambat seiring ketinggian air yang bertambah. Jadi, fungsi h’(t) menurun,

sehingga h’’(t) negatif. Grafik h(t) kemudian bertambah (karena h’(t) positif) dan cekung ke

bawah (karena h’’(t) negatif).

Sekarang sekali kita telah memiliki ide intuitif mengenai apa jadinya grafik itu

( meningkat dan cekung ke bawah), kitaselesaikan masaalh ini secara analitis. Volume

kerucut yang tegak melingakar adalah V = , dengan V, r, dan h adalah fungsi-fungsi

waktu. Karena alian air ke dalam kerucut laju sebesar inci kubik per detik, fungsi V adalah

V = , di mana t diukur dalam detik. Fungsi-fungsi h dan r berhubungan ; perhatikanlah

segitiga-segitiga yang sama pada gambar.

2 in

4 in

h

Dengan menggunakan sifat-sifat dari segitiga yang sama, kita memperoleh jadi, r =

h/4.

Volume air di dalam kerucut , sebesar V =

Di sisi lain volumenya adalah V = t . dengan menyamakn kedua persamaan tersebut untuk V

maka

Pada saat h = 4, kita mempunyai t = = = 8,4

Jadi,diperlukan waktu sekitar 8,4 detik untuk mengisi wadah tersebut. Sekarang kita

selesaikan untuk h daalm persamaan di atas yang menyatakan relasi h dan t, menjadi h =

Turunan pertama dan kedua dari h adalah h’(t)= Dt =

Yang bernilai positif,dan

h’’(t) = D = - yang bernilia negative. Grafik h(t) ditunjukkan dalam

gambar di bawah. Seperti yang diharapkan grafik h meningkat dan cekung ke bawah.

200 v

150

100

50

0

1 2 3 4 t

III. Maksimum dan Minimum Lokal

Defenisi

i) f(a) dinamakan nilai maksimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbuka I

yang memuat a, sehingga ; f(a) ³f(x) , " x € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik maksimum

lokal dari fungsi f.

(ii) f(a) dinamakan nilai minimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbuka I

yang memuat a, sehingga ; f(a)£f(x) , " x € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik minimum

lokal dari fungsi f.

(iii) f(a) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau

minimum lokal.

Dimana nilai-nilai ektrim terjadi ?

Teorema titik krisis berlaku sebaimana dinyataan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh

nilai ektrim lokal. Jadi titik-titik krisis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular ) adalah calon

untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ektrim lokal. Kita katakan bahwa setiap titik kritis

harus merupakan ekstrim lokal.

Teorema 1

( Uji turunan pertama untuk ektrim lokal ). Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka ( a,

b) yang memuat titik kritis c.

(i) Jika f’(x)>0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)<0 untuk semua x dalam (c,b)

maka f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f.

( ii) Jika f’(x)<0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)>0 untuk semua x dalam (c,b)

maka f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f.

(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ektrim lokal

fungsi f.

Contoh

Carilah nilai ektrim lokal dari f(x)= x2-6x+5 pada (-¥, ¥)

Penyelesaian ;

Perhatikan fungsi di atas adalah polinom, jadi fungsi tersebut kontinu dimana-mana.

Kemudian f’(x)=2x-6 ada untuk semua x. Jadi satu-satunya titik kritis untuk fungsi f adalah

penyelesaian tunggal dari f’(x)=0, yakni x=3.

Karena f’(x)=2(x-3)<0 untuk semua x<3, maka fungsi f turun pada (-¥,3] dan karena 2(x-

3)>0 untuk x>3, maka fungsi f naik pada [3,¥). Karena itu, menurut uji turunan pertama,

maka f(3)=-4 adalah nilai minimum lokal. Karena 3 adalah satu-satunya titik krisis, maka

tidak terdapat nilai ektrim lain.

Terdapat uji lain untuk maksimum lokal dan minimum lokal yang terkadang lebih

mudah diterapkan daripada uji pertama. Uji tersebut menyangkut perhitungan

turunan kedua pada titik stasioner, tidak berlaku pada titik singular.

Teorema 1

Misalkan f’ dan f” ada pada tiap titik dalam selang buka (a,b) yang memuat c sedemikian

sehingga f’(x)=0.

(i) jika f’(c)<0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.

(ii) jika f’(c)>0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal.

Contoh

Diketahui f(x)= x2-6x+5 definisi dari fungsi f. Gunakan uji coba turunan kedua untuk

menentukan nilai ektrim lokal.

Turunan pertama f’(x)=2x-6, maka titik krisisnya adalah x=3, selanjutnya dengan turunan

kedua f”(x)=2. Ini berarti nilai f di titik x=3, f(3)=-5 merupakan nilai minimum f.

IV. Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Ekstrim pada Selang Terbuka

Contoh :

Carilah (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x)=x4-4x pada (-∞,∞).

Penyelesaian

F’(x) = 4x3-4 = 4(x3-1) = 4(x-1)(x2+x+1)

Karena x2+x+1=0 tidak mempunyai penyelesaian,bilangan real (rumus abc), maka hanya

terdapat satu titik kritis, yaitu x=1. Untuk x < 1, f ’(x)<0, sedang untuk x > 1, f ’(x)>0.

Kita menyimpulkan bahwa f(1)=-3 adalah nilai minimum lokal untuk f, dan karena f turun di

sebelah kiri 1 dan naik di sebelah kanan 1, memang benar merupakan nilai minimum dari f.

Fakta-fakta yang dinyatakan di atas menunjukkan bahwa f tidak mempunyai nilai maksimum.

Masalah-Masalah Praktis.

Contoh :

Sebuah surat edaran memuat 50cm2 bahan cetakan. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah

selebar 4 cm dan di smaping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapakah ukuran surat edaran

tersebut yang memerlukan kertas sedikit mungkin?

Penyelesaian

Andaikan x adalah lebar dan y adalah tinggi surat edaran tersebut

Kita bermaksud meminimumkan A.

Seperti terlihat, A diungkapkan dalam bentuk dua peubah, situasi yang tidak kita ketahui

bagaimana menanganinya. Tetapi, kita akan mencari sebuah persamaan yang mengaitkan x

dan y sehingga satu dari peubah-peubah ini dapat dihilangkan dari ungkapan untuk A.

Ukuran bahan cetakan adalah x-4 dan y-8 dan luasnya adalah 50 cm2 , sehingga

(x-4)(y-8)=50. Bilamana kita selesaikan ini untuk y, kita peroleh

Dengan penggantian ungkapan ini untuk y dalam A = xy

yang memberikan A dalam x

Nilai-nilai x yang diperbolehkan adalah 4<x<∞ ; kita ingin

meminimumkan A pada selang buka (4,∞)

Sekarang

Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan ; ini menghasilkan x = 9

4cm

2 cm

4 cm

Dan x= -1, kita menolak x=-1 karena titik itu tidak berada dalam selang (4,∞) karena

dA/dx<0 untuk x dalam (4,9) dan dA/dx<0 untuk x dalam (9,∞), kita menyimpulkan A

mencapai nilai minimumnya pada x = 9, nilai x membuat y=18 (diperoleh dengan

mensubstitusikan ke dalam persamaan yang mengaitkan x dan y). Sehingga ukuran surat

edaran yang menggunakan kertas paling sedikit adalah 9 cm x 18 cm.

V. Penerapan Ekonomi

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untu bidang

ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembagkan secara sangat khusus. Sekali kita

mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya

merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru.

Tinjaulah sebuah perusahaan pada umumnya, PT ABC. Untuk memudahkan, anggap bahwa

ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang . Jika ABC menjual x satuan barang

tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan

bahwa p bergantung pada x karena bilamana ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan

agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC

diberikan oleh R(x) = xp(x) jumlah satuan kali harga tiap satuan.

Untuk memasarkan x satuan ABC akan mempunyai biay total, C(x) ini biasanya beruapa

jumlah dari biaya tetap ditambah biaya tidak tetap, yang secara langsung bergantung pada

banyanya satuan yang diproduksi.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba. P(x) Laba adalah selisih antara

pendapatan dan biaya yakni:

P(x) = R(x)- C(x) = xp(x) – C(x)

PENGUNAAN KATA MARJINAL

Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan untuk sementra merencanakan

memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktut utama Toko Buku Karisma ingin menetapkan

biaya tambahan tiap satuan jika ABC memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah itu

akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian akan merupakan

pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.

Jika fungsi biaya adalah seperti diperlihatkan dalam gambar. Direktur utama took buku

menanyakan nilai ∆C/∆x pada saat ∆x = 1. Tetaoi kita mengharapkan bahwa ini sangat dekat

terhadap nilai

Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Para matematikawan mengenalnya sebagai

dC/dx, turunan C terhadap x.

Dengan cara yang serupa kita definisikan Harga marjinal sebagai dp/dx,

pendapatan merjinal sebagai dR/dx, dan laba marjinal sebagai dP/dx.

Contoh

Sebuah perusahaan memperkirakan akan dapat menjual 1000 satuan tiap minggu jika

menetapkan harga satuan sebesar $ 3,00 tetapi penjualan mingguannya akan meningkat 100

satuan dengan tiap penurunan harga sebesar $ 0,10. Jika x banyaknya satuan yang terjual tiap

minggu (≥ 1000), cari:

(a) Fungsi harga ,p(x);

(b) Banyaknya satuan dan harga yang berpadanan yang akan memaksimumkan

pendapatan mingguan;

(c) Pendapatan mingguan dan maksimum.

Penyelesaian

a. Kita mengenal bahwa =

x= 1000+ (100)

atau

p(x) = 3,00 – (0,10) = 4 – 0,001x

b. R(x) = xp(x) = 4x – 0,001x+2

= 4 – 0,002x

Titik-titik kritis hanyalah titik ujung 100 dan titik stationer 2000, yang diperoleh dengan menetapkan dR/dx= 0. Uji turunan pertama (R’(x) >0 untuk 1000 ≤ 2000 dan R’(x) < 0 untuk x > 2000 memperlihatkan bahwa x = 2000 memberikan pendapatan maksimum. Ini berpadanan terhadap harga satuan p(2000) =$ 2,00

c. Pendapatan mingguan maksimum adalah R(2000) = $ 4000,00