KEDUDUKAN TITIK PADA LINGKARAN

Lingkaran adalah sebuah kurva tertutup, kurva lingkaran ini akan membagi sebuah

bidang menjadi tiga bagian yaitu daerah didalam lingkaran, lingkaran dan daerah

diluar lingkaran. Sebuah titik yang letaknya satu bidang dengan sebuah lingkaran

selalu berada pada salah satu bagian bidang tersebut.

Cara yang mudah

menentukan dimana letak

suatu titik adalah

membadingkan jarak titik

tersebut terhadap pusat

lingkaran dengan panjang

jari-jari lingkaran

1. Jika jaraknya kurang

dari panjang jari-jari

lingkaran, titik

tersebut terletak

Daerah diluar lingkaran

Daerah dalam lingkaran

Lingkaran

K

L

M

dalam lingkaran, contoh titik K

2. Jika jaraknya sama dengan panjang jari-jari lingkaran,titik tersebut terletak

pada lingkaran, contoh titik L

3. Jika jaraknya lebih dari panjang jari-jari lingkaran, titik tersebut terletak

diluar lingkaran, contoh titik M

Letak suatu Titik Terhadap lingkaran (x-a)2+(y-b)2= r2

Jika kita memiliki sebuah titik K (m,n)

dan kita mensubtitusikannya ke nilai

(x-a)2+(y-b)2 nilai tersebut adalah

kuadrat jarak titik tersebut terhadap

pusat lingkaran, sehingga jika kita

membandingkan nilai tersebut

terhadap kuadrat jari-jari (r2 ) maka

kita bisa menentukan letak titik

tersebut.

1. Titik K(m,n) terletak didalam

lingkaran jika (m-a)2+(n-b)2 < r2

2. Titik K(m,n) terletak pada lingkaran jika (m-a)2+(n-b)2 = r2

3. Titik K(m,n) terletak diluar lingkaran jika (m-a)2+(n-b)2 > r2

Contoh

Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran (x-2)2+(y-3)2= 16 dan

gambarlah

a. S(-1,-4)

b. R(3,5) c. T(6,3)

d. V(7,-1)

Jawaban

a. S(-1,-4) (-1-2)2+(-4-3)2= 58, 58 > 16 diluar lingkaran

b. R(3,5) (3-2)2+(5-3)2= 5 , 5 < 16 didalam lingkaran

O(0

(m-a)2+(n-b)2 < r2 .

dalam lingkaran

(m-a)2+(n-b)2 > r2

diluar lingkaran

(m-a)2+(n-b)2 = r2

pada lingkaran

O(0,0)

S(-1,-4)

R(3,5) T(6,3)

V(7,-1)

P(2,3)

c. T(6,3) (6-2)2+(3-3)2= 16 , 16 = 16 pada lingkaran

d. V(7,-1) (7-2)2+(-1-3)2= 41 , 41 > 16 diluar lingkaran

Letak suatu Titik Terhadap lingkaran X2+Y2 +Ax + By +C =0

Jika kita memiliki sebuah titik K (m,n)

dan kita mensubtitusikannya ke nilai

X2+Y2 +Ax + By +C nilai tersebut

disebut kuasa titik terhadap

lingkaran, nilai ini sebenarnya adalah

nilai selisih kuadrat jarak titik tersebut

terhadap pusat lingkaran dikurangi

kuadrat jari-jari lingkaran , sehingga

jika kita telah menentukan nilai kuasa

K = m2+n2 +Am + Bn +C, maka kita

bisa menentukan letak titik tersebut.

1. Titik K(m,n) terletak didalam lingkaran jika K < 0

2. Titik K(m,n) terletak pada lingkaran jika K=< 0

3. Titik K(m,n) terletak diluar lingkaran jika K > 0

Contoh

Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran X2+y2 -8x -10y +16 =0

dan gambarlah

a. H(-3,9)

b. L(7,9) c. M(10,5)

d. N(1,7)

Jawaban

a. H(-3,9) K = (-3)2+92 -8.(-3) -10.9

+16 = 40, K > 0, diluar lingkaran

O(0

K < 0

dalam lingkaran

K > 0

diluar lingkaran

K = 0

pada lingkaran

O(0,0)

H(-3,9)

N(1,7)

M(10,5)

L(7,9)

P(4,5)

b. L(7,9) K = (7)2+92 -8.(7) -10.9 +16 = 0, K = 0, pada lingkaran

c. M(10,5) K = (10)2+52 -8.(10) -10.5 +16 = 11, K > 0, diluar lingkaran

d. N(1,7) K = 12+72 -8.(1) -10.7 +16 = -12, K < 0, didalam lingkaran

Contoh

Diketahui sebuah lingkaran X2+y2 -2x +6y -15 =0 dan sebuah titik S(m,1),

tentukan batas nilai m agar

a. titik S didalam lingkaran

b. titik S didalam lingkaran

Jawaban

S(m,1) K=kuasa

= m2+12 -2m +6.1 -15

= m2 -2m -8

a. didalam lingkran, K<0

m2 -2m -8 <0

(m-4)(m+2)=0

m=-2 atau m=4

didalam lingkaran jika -2 < m <4

b. diluar lingkran, K>0, daerah ++

m<-2 atau m >4

- - -

X= -2 X=4

++ ++

O(0,0)

P(1,-3)

-2 < m <4 m>4 m<-2