KALKULUS DIFERENSIALIndikator: Siswa dapat:1. menghitung turunan fungsi yang ssederhana dengan menggunakan definisi turunan.2. menjelaskan arti fisis dan arti geometris turunan di satu titik3. menentukan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya.4. menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar dan trigonometri5. menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai.6. menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva.

A. Turunan dan aturan menentukannya1. Turunan fungsisecara umum, besaran lim (f(x) – f(c))/(x - c) atau lim (f(c + h) – f(c))/h akan didefinisikan sebagai turunan y = f(x) di titik x = cturunan pertama, dari fungsi y = f(x) di x = c, ditulis f’(c), didefinisikan sebagai f’(c) = lim (f(x) – f(c))/(x - c)dengan melakukan penggantian x – c = h diperoleh x c h 0 dan x = c + h. akibatnya definisi fungsi turunan pertama dapat dinyatakan sebagai berikutf’(c)= lim (f(c + h) – f(c))/h

fungsi turunan, turunan pertama dari fungsi y = f(x) di sebarang titik x dinamakan fungsi turunan pertama, yang didefinisikan sebagai berikut:

xc

h0

xc

h0

Fungsi turunan pertama dari y = f(x), ditulis y’, f’(x), atau dy/dx, didefinisikan sebagai

f’(x) = lim (f(x + h) – f(x))/h. lambang dy/dx dikenal sebagai natasi Leibniz. Dengan melakukan penggantian x + h = t diperoleh h 0 tx dan h = t – x. Akibatnya definisi fungsi turunan pertama dapat dinyatakan sebagai berikut:fungsi turunan pertama dari y = f(x), ditulis y’, f’(x), atau dy/dx, didefinisikan sebagai

f’(x)= lim (f(t) – f(x))/(t - x)

h

tx

contoh:tentukan turunan pertama dari fungsi f(x)= x2 di titik x = 1 dan fungsi turunan pertama dari f!jawab:turunan pertama dari fungsi f(x) = x2 di titik x = 1 dan x = 2 adalah▪ f’(1) = lim (f(x) – f(1))/(x - 1)= lim (x2 - 1)/(x - 1)

= lim ((x +1)(x-1))/(x - 1)= 2

▪ fungsi turunan pertama dari f(x) = x2 adalah f’(x) = lim (f(x + h) – f(x))/h = lim ((x + h)2

– x2)/h= lim (2xh + h2)/h = lim ( 2x + h) =

2x

x1 x1

x1

h0 h0

h0h0

Turunan sinus dan kosinus

2. aturan menentukan turunan

turunan dari operasi aljabar pada dua fungsijika y = f(x) dan y = g(x), maka1. (f g)‘ (x) = f’(x)g’(x)2. (cf)’(x) = cf’(x), c konstanta3. (fg)’(x) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x)4. (f/g)’(x) = (g(x)f’(x) – f(x)g’(x))/(g(x))2

(d/d(x))(sin x) = cos x dan (d/d(x))(cos x) = - sin x

Dapat juga ditulis dengan:

Tampilan lain Notasi Leibniz

1. (u v)’ = u’ v’ 1. d(uv)/dx = du/dxdv/dx

2. (cu)’ = cu’, c konstanta 2. d(cu)/dx = c(du/dx), c konstanta

3. (uv)’ = uv’ + vu’ 3. d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)

4. (u/v)’ = (vu’ – uv’)/v2 4. (d/dx)(u/v)=(v du/dx – u dv/dx)/v2

Turunan fungsi komposisi (aturan rantai)jika fungsi komposisi f ° g dapat dirancang dengan aturan y = f(g(x)), maka turunannya adalah (f°g)’(x) = f’(g(x))g’(x)Dalam bentuk notasi Leibniz, jika y = y(u) dan u = u(x), maka y = y(u(x)) dan turunan y terhadap x adalah dy/dx= (dy/du). (du/dx)

Turunan fungsi inversjika fungsi f: Df Rf satu ke satu dengan y = f(x)x = f-1(y), maka

(f-1(y))’ = 1/f’(x) atau dy/dx = 1/(dy/dx)

Turunan fungsi y = x’, r bilangan rasionaljika f(x) = xr, r bilangan rasional, maka f’(x) = rxr-1. ditulis dalam notasi Leibniz d/dx(xr)= rxr-1, r bilangan rasional

Turunan sukubanyak, fungsi rasional dan bentuk akar

▪ jika p(x) = a0xn + a1xn-1 + an-1x + an, makap’(x) = a0nxn-1 + a1(n - 1)xn-2 + … + an-1

▪ jika f(x)=p(x)/q(x), p dan q sukubanyak dan q(x)≠ 0, maka

f’(x)=(q(x)p’(x)-p(x)q’(x))/(q(x))2

▪ jika f(x) = n√p(x)m = (p(x))m/n, m bilangan real, n bilangan asli, n ≥ 2 dan p sukubanyak, maka

f’(x) = (m/n)(p(x))(m/n)-1

= (m/n)n√p(x)m-n

Turunan fungsi trigonometri▪ jika f(x) = sin x, maka f’(x) = d/dx(sin x)= cos x▪ jika f(x) = cos x, maka f’(x) = d/dx(cos x)= - sin x▪ jika f(x) = tan x, maka f’(x) = d/dx(tan x)=sec2 x = 1 + tan2 x▪ jika f(x) = cot x, maka f’(x) = d/dx(cot x)-csc2 x = -(1 + cot2 x)▪ jika f(x) = sec x, maka f’(x) = d/dx(sec x)=sec x tan x▪ jika f(x) = csc x, maka f’(x) = d/dx(csc x)=-csc x cot x

contoh:1. tentukan fungsi turunan pertaa dari f(x)=x5 – 2x4 + 3x2 – 6xjawab:f’(x) = d/dx(x5 – 2x4 + 3x2 – 6x)

= d/dx(x5) – 2d/dx(x4) + 3d/dx(x2) – 6d/dx(x)= 5x4 – 2.4x3 + 3. 2x – 6.1= 5x4 – 8x3 + 6x - 6

2. Buktikan d/dx(tan x) = sec2 x

jawab:dengan menggunakan turunan hasilbagi dua fungsi diperoleh

d/dx(tan x) = d/dx(sin x/cos x) = ((cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos

x))/cos2 x = ((cos x)(cos x) – (sin x)(-sin

x))/cos2 x = (cos2 x+sin2 x)/cos2 x = 1/cos2 x = sec2 x

3. Turunan tingkat tinggiturunan pertama dari fungsi y = f(x) adalah y’ = f’(x)turunan kedua y’’ = f’’(x), demikian seterusnya sampai turunan ke-n atau turunan tingkat tinggi fungsi f.contoh:Tentukan fungsi turunan kedua dari f(x) = x2 sin xjawab:f’(x)= d/dx(x2 sin x) = x2 d/dx(sin x) + (sin x)d/dx(x2)

= x2 cos x + 2 x sin x

f’’(x) = d/dx(x2 cos x + 2 x sin x) = d/dx(x2 cos x)+2(x cos x+sin x)

= x2 (-sin x) + 2x cos x + 2(x cos x + sin x)= - x2 sin x + 4 x cos x + 2 sin x