Atik Latifah

Jeffa Lianto

Ngadiyono

Enti Pebriani

Isa Muhammad

Yossa Giovani

Paradoks Zeno

Metode Kesetimbangan Archimedes

Wallis dan Barrow

Sejarah Singkat Diferensial

Newton

Leibniz

*

Riwayat

Zeno (490-435 SM) dikenal banyak orang karena namanya

tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan

Plato. Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia.

Yunani dapat menaklukan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak

pernah berhasil menaklukan Zeno. Zeno mengemukakan 6

paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf

terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno

membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun

dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini

terus “mengganggu” pemikiran para matematikawan, dan baru

dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam

paradoksnya, yang paling terkenal adalah paradoks lomba lari

Achilles dan kura-kura darat.

Paradoks Dikotomi

Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah

mencapai tujuan. Pertama dia harus menempuh

perjalanan setengah jarak. Lalu setelah itu dia mesti

menempuh seperempat, seperdelapan,

seperenambelas, sepertigapuluhdua, …, sedemikian

hingga jumlah perjalanannya menjadi takhingga. Oleh

karena mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak

hingga, maka benda tidak akan dapat sampai tujuan.

Paradoks Achilles-Kura-kura

Achilles, ksatria pada perang Troya, berlomba lari

dengan seekor kura-kura darat tetapi Achilles tidak

dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan terlebih

dahulu.

Paradoks Anak Panah

Anak panah bergerak pada waktu tertentu, diam

maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi,

panah tidak akan bergerak. Tetapi waktu juga tersusun

dari setiap (satuan) saat. Jadi, panah tidak dapat

bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat

bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu, anak panah

selalu diam.

Paradoks Stadion

Terdapat tiga buah barisan benda A, B, dan C di lapangan

tengah stadion. Barisan A terletak diam di tengah lapangan,

sementara B dan C masing-masing terletak di ujung kiri dan

kanan A. Kemudian B dan C bergerak saling mendekati dengan

kecepatan yang sama (hendak bersejajar dengan barisan A).

Antara “sebelum” dan “sesudah”, titik C paling kiri melewati

dua buah B, tetapi cuma satu buah A. Berarti waktu C untuk

melewati B adalah setengah waktu untuk melewati A. Padahal A

dan B adalah unit yang identik. Mungkinkah setengah waktu =

satu waktu?

*

Pada 1906, Heiberg menemukan salinan

risalah Method yang ditulis oleh Archimedes

pada abad ke 10 yang ditujukan kepada

Eratosthenes, berisi tentang metode yang

digunakan oleh Archimedes untuk mencari

luas dan volume suatu bangun tertentu.

Volume Bola

𝟐𝒓 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒃𝒐𝒍𝒂 + 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒌𝒆𝒓𝒖𝒄𝒖𝒕

= 𝟒𝒓 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒕𝒂𝒃𝒖𝒏𝒈

𝟐𝒓 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒃𝒐𝒍𝒂 +𝝅(𝟐𝒓)𝟐𝟐𝒓

𝟑= 𝟒𝒙 𝝅𝒓𝟐𝟐𝒓

𝟐𝒓 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒃𝒐𝒍𝒂 +𝟖𝝅𝒓𝟑

𝟑= 𝟖𝝅𝒓𝟒

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒃𝒐𝒍𝒂 +𝟖𝝅𝒓𝟑

𝟑= 𝟒𝝅𝒓𝟑

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒃𝒐𝒍𝒂 =𝟒𝝅𝒓𝟑

𝟑

A

NT

B

S

C

x

2r

Permulaan Integrasi di Eropa Barat

Teori integrasi mulai berkembang di Eropa

Barat sekitar tahun 1450

Pengembangan lebih jauh mengenai gagasan

Archimedes dimulai pada awal abad ke 17

J. Kepler mengadopsi metode Archimedes

dalam menghitung luas lingkaran dan volume

bola

* Sejarah singkat diferensial

Kalkulus dan Integral

Pada tahun 1676 Newton menyelesaikan sebuah

persamaan diferensial dengan menggunakan deret tak

hingga.

Newton tidak mempublikasikan hal tersebut sampai dengan tahun

1693, pada saat Leibniz menghasilkan rumusan persamaan

diferensial yang pertama.

Newton

Leibniz

Perkembangan persamaan diferensial sangat pesat dalam

tahun-tahun berikutnya. Dalam tahun 1694-1697 John

Bernoulli menjelaskan “Metode Pemisahan Variabel”.

John Bernoulli dan saudaranya Jacob Bernoulli

(yang menemukan Persamaan Diferensial Bernoulli)

Cayley dan M.J.M. Hill (1888) merumuskan

diferensial geometri.

Metode pertama yang diguakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial orde kedua atau yang lebih tinggi

dengan koefisien konstan, dirumuskan oleh Euler

John

Bernoulli

Cayley & Hill

Euler

D’alembert merumuskan penyelesaian persamaan diferensial

untuk kasus dimana persamaan bantuan mempunyai akar-

akar yang sama.

Beberapa metode simbolis untuk menentukan integral khusus belum

dapat dijelaskan sampai sekitar seratus tahun kemudian, setelah

Lobatto (1837) dan Boole (1859) merumuskan hal tersebut.

Persamaan diferensial parsial diketahui pertama kali muncul dalam persoalan getaran

pada tali. Persamaan ini, merupakan persamaan diferensial orde kedua, telah

dibicarakan oleh Euler dan D’Alembert dalam tahun 1747. Lagrange menyempurnakan

penyelesaian dari persamaan tersebut kemudian menggunakannya juga untuk

menelaah persamaan diferensial parsial orde pertama dalam tahun 1772 dan 1785.

Lagrange berhasil merumuskan bentuk umum integral dari persamaan diferensial linier

dan mengklasifikasikan bentuk-bentuk integral yang berbeda jika persamaan

diferensialnya tidak linier.

D’alembert

Lobatto & Boole

Lagrange

Penelahaan yang paling penting untuk

persamaan dengan orde yang lebih tinggi,

dilakukan oleh Laplace (1773), Monge (1784),

Ampere (1814), dan Darboux (1870).

persamaan diferensial parsial orde

pertama, diberikan oleh Charpit (1784)

dan Jacobi (1836).

Teori-teori yang berhubungan dengan persamaan diferensial belum

berhenti sampai di situ. Perkembangan selanjutnya masih terus

diupayakan oleh Chrystal (1892) dan Hill (1917).

Chrystal & Hill

Charpit & Jacobi

Tokoh-tokoh lain

Sejak tahun 1800, subjek persamaan diferensial dalam konteks

aslinya (secara matematis), yaitu penyelesaian dalam bentuk yang

hanya mengandung sejumlah berhingga fungsi (atau integral) yang

diketahui, kurang lebih sama dengan dengan yang kita jumpai sampai

abad ini.

Pada tahun 1823, Cauchy membuktikan

bahwa deret tak hingga yang didapatkan

dari sebuah persamaan diferensial,

merupakan suatu deret yang konvergen

sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk

sebuah fungsi yang memenuhi persaman

(diferensial)

*

John Wallis (1616-1703)

Oughtred University, Inggris-Yunani Matematikawan

dan Kriptologis

1649 meraih gelar Savilian professor of Geometry di

Oxford

Arithmetica Infinitorun (1655)

Mathesis Universalis (1657)

De Algebra Tractatus, Historicus & Practicus (1673)

Salah satu Pembentuk Royal Society (1645-1662)

Sangat berkontribusi dalam Teori Integrasi

Isaac Barrow (1630-1677)

Cambridge University, termasyur sebagai sarjana

Yunani terbaik

Profesor geometri di Gresham College ->

1644 menduduki posisi Lucasian Chair di

Cambridge, mengundurkan diri pada 1669 menjadi

Pendetanya Charles II -> Buku Lectiones Opticae et

Geometricae

Pertama kali yang menyadari bahwa Integrasi dan

Diferensial adalah operasi yang saling berkebalikan

*

1. Lahir di Woolsthorpe pada hari natal 1642, tahun

dimana galileo meninggal tahun itu juga.

Pada saat kelahirannya, Inggris masih mengadopsikalender Julian, sehingga hari kelahirannya dicatatsebagai 25 Desember 1642 pada hari Natalsedangkan menurut kalender masehi tanggal 4

Januari 1643

2. Terlahir prematur dan yatim

Ayahnya yang juga bernama Isaac Newtonmeninggal tiga bulan sebelum kelahiran Newton.Newton lahir secara prematur bahkan ibunya,

Hannah Ayscough, pernah berkata bahwa ia

dapat muat ke dalam sebuah cangkir (≈ 1,1 liter).

3. Hampir Menjadi Petani

Ibunya menyuruh ia keluar dari sekolah dan

menjadi petani seperti ayahnya. Tapi sekolah

meyakinan ibunya agar Newton kembali ke sekolah.

Ketika Newton berumur tiga tahun, ibunya menikah

kembali dan meninggalkan Newton di bawah asuhan

neneknya, Margery Ayscough. Newton muda tidak

menyukai ayah tirinya dan menyimpan rasa benci

terhadap ibunya karena menikahi pria tersebut,

seperti yang tersingkap dalam pengakuan dosanya:

“Threatening my father and mother Smith to burn

them and the house over them.”

1. Merahasiakan Penemuan

Kebanyakan teorinya ditemukan ketika ia berumur 20an dan baru

dipublikasikan beberapa tahun kemudian.

2. Newton dan Apel

Tentu kita sering mendengar kisah terkenal ini: bahwa Isaac Newton

sedang berjalan di taman, di bawah pohon apel dan melihat jatuhnya

sebuah apel yang menginspirasinya menemukan teori gravitasi. Padahal

Newton sendiri mengatakan bahwa ia sedang di dalam rumah ketika ia

melihat dari jendela sebuah apel jatuh dari pohonnya.

3. Seorang Alkemis

Newton diam-diam mempelajari cara mengubah emas dan perak dari

logam dasar. Rahasia ini ia sembunyikan karena pada zamannya,

mempelajari hal tersebut dilarang

Pada Juni 1661, saat berusia 18 tahun

Newton diterima di Trinity College Universitas

Cambridge sebagai seorang sizar (mahasiswa

yang belajar sambil bekerja). Pada saat itu,

ajaran universitas didasarkan pada ajaran

Aristoteles, namun Newton lebih memilih

untuk membaca gagasan-gagasan filsuf

modern yang lebih maju seperti Descartes dan

astronom seperti Copernicus, Galileo, dan

Kepler.

Sebelum meneruskan kuliah di Universitas Cambridge pada

usia 19, Newton sempat menjalin kasih dengan adik angkat

William Clarke, Anne Storer. Saat Newton memfokuskan dirinya

pada pelajaran, kisah cintanya dengan Anne Storer menjadi

semakin tidak menentu dan akhirnya Storer menikahi orang

lain. Banyak yang mengatakan bahwa dia, Newton, selalu

mengenang kisah cintanya walaupun selanjutnya tidak pernah

disebutkan Newton memiliki seorang kekasih dan bahkan

pernah menikah. ”

Segera setelah Newton mendapatkan gelarnya pada Agustus

1665, Universitas Cambridge ditutup oleh karena adanya

Wabah Besar. Walaupun dalam studinya di Cambridge biasa-

biasa saja, studi privat yang dilakukannya di rumahnya di

Woolsthorpe selama dua tahun mendorongnya

mengembangkan teori kalkulus, optika, dan hukum gravitasi.

Pada tahun 1667, ia kembali ke Cambridge sebagai pengajar

di Trinity.

Buku-buku Newton yang pernah diterbitkan adalah the

principia, 1687; cubic curves and quadrature and rectification

of curves by the use of infinite series, 1704; arithmatic

universalis, 1707; Analysis per Series, Fluxiones, etc., and

Methodus differential, 1711; Lectiones opticae, 1729; and The

Method of Fluxions and Infinite Series, translated from

Newton's Latin by J. Colson, 1736.

Pada tahun 1676 Newton menulis surat kepada H. Oldenburg

sekretaris The Royal Society yang berisi sejumlah penemuannya

tentang metode matematika yang terkenal dengan teorema

binomial.

A merepresentasikan bentuk pertama yaitu 𝑃𝑚/𝑛,

B merepresentasikan bentuk kedua yaitu (m/n)AQ,

C merepresentasikan bentuk ketiga, dan seterusnya.

Sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

(x + y)1 → n = 1 1C0 1 C 1(x + y)2 → n = 2 2C 0 2 C 1 2 C 2(x + y)3 → n = 3 3 C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3(x + y)4 → n = 4 4 C 0 4 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4(x + y)5 → n = 5 5 C 0 5 C 1 5 C 2 5 C 3 5 C 4 5 C 5

O

O

O

Newton adalah anggota Parlemen Inggris dari tahun 1689 sampai 1690, dan pada

tahun 1701. Namun menurut beberapa laporan komentarnya di parlemen hanyalah

keluhan tentang aliran udara dingin dalam ruangan dan permintaan agar jendela

ditutup.

Newton wafat dalam tidurnya di London pada tanggal 31 Maret 1727[OS: 20 March

1726], dan dikebumikan di Westminster Abbey. Kemenakannya Catherine Barton

Conduitt, bertindak sebagai tuan rumah pada saat-saat urusan sosial di rumhnya di

Jermyn Street di London. Dia adalah “pamannya yang sangat penyayang,”

Setelah kematiannya, tubuh Newton ditemukan mengandung sejumlah besar raksa,

mungkin sebagai akibat studi alkimianya. Keracunan air raksa dapat menjelaskan

keeksentrikan Newton di akhir hayatnya.

*

Gottfried Wilhelm Liebniz

• Ayah Leibniz

• Profesor filsafat moral di Universi-tas Leipzig

Friedrich Leibniz

• Ibu Leibniz

• Putri seorang pengacara

Catharina Schmuk • Lahir di Leipzig,

Saxony/Sachsen (now Germany)

• 1 Juli 1646

Leibniz

O Ayah Leibniz meninggal pada saat Leibniz berusia 6 tahun

O Leiniz mewarisi perpustakaan ayahnya

O ketika ia berusia 7 tahun bebas keluar masuk perpustakaan

yang hampir semua bukunya berbahasa latin. Usia 12 tahun

mahir berbahasa latin

O tahun 1661 usia 15 tahun, masuk ke universitas Leipzig kuliah

filsafat pada ahli teologi Johann Adam Schertzer dan teoretikus

filsafat Jakob Thomasius.

O tahun 1663 masuk Universitas Jena bertemu seorang ahli

matematika, fisika dan astronomi Erhard Wiegel

O tahun 1666, di usia 20 tahun, Leibniz mempublikasikan buku

pertamanya tentang filosofi yang berjudul On the Art of

Combinations. masuk ke Universitas Altdorf mendapat gelar

masternya pada November 1666.

O Tahun 1670an Newton dan Leibniz saling berkirim surat berisi

hasil penemuannya mengenai kalkulus.

O Tahun 1672 Usia 26 bertemu dengan christian hyugens saat

kunjungan diplomatik di Paris dan belajar matematika dan fisika.

O tahun 1673 Leibniz mempresentasikan sebuah mesin kalkulator

yang telah ia buat dan diangkat menjadi anggota Royal Society.

O Pada Tanggal 29 oktober 1675 Leibniz pertama kali menggunakan

tanda integral

modern, menggunakan huruf S yang diambil dari kata Latin

summa seperti ∫ydx .

dx sebagai interval terhingga dan kemudian mendefinisikan dy

melalui proporsi

dy : dx = y : subtangen.

dy dan dx pada dy/dx sebagai besaran desimal yang tak berhingga

(infinesimal) Aturan untuk menemukan turunan ke n dari perkalian

fungsi yang dikenal dengan Aturan Leibniz

O Tahun 1676 mengabdi pada duke Brunswick ia

menjabat sebagai sejarahwan, penasihat politik dan

pustakawan.

O Tahun 1693 leibniz mengembangkan teori

determinan.

O Tahun 1700 leibniz mendirikan Berlin Academi of

Sciense

O tahun 1716 dengan usia 70 tahun Leibniz meninggal

di Hanover, Saxony