RANGKUMAN KALKULUS

DOSEN PEMBIMBING :SOFYAN

NAMA :RIDWAN ANNAS PRYAGUNG

201510370311077IT B

LABORATORIUM TEKNIK INFORMATIKAFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG2015/2016

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I

Pendahuluan

1.1 Sistem Bilangan Riil

Garis Bilangan

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real).

R : bilangan real

Q : bilangan rasional

Z : bilangan bulat

N : bilangan asli

0 2-2

Contoh soal:

[Soal latihan 1.1 halaman buku Kalkulus (Edwin J. Purcell) jilid 1, edisi 9 hal 6]

1.2 Ketaksamaan

Selang

Merupakan himpunan bagian dari garis bilangan.

Jenis-jenis selang:

Himpunan Selang

{x | x < a} ( -∞ , a )

{x | x ≤ a} ( -∞ , a ]

{x | a < x < b} ( a , b )

{x | a ≤ x ≤ b} [ a , b ]

{x | x > b} ( b , ∞ )

{x | x ≥ b} [ b , ∞ )

{x | x ϵ Ɽ } ( ∞ , ∞ )

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan:

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP). Cara menentukan HP sebagai berikut, yaitu:

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi:

Dengan cara:

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

A (x )B ( x )

<D ( x )E ( x )

P( x )Q( x )

<0

Contoh soal:

9.) Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan 4x – 7 < 3x + 5 dalam cara penulisan selang.

[Soal latihan 1.1 halaman buku Kalkulus (Edwin J. Purcell) jilid 1, edisi 9 hal 6]

1.3 Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat

Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak:

Pertidaksamaan nilai mutlak:

1. | x | = √ x2

2. | x | ≤ a , a ≥ 0 ↔ -a ≤ x ≤ a3. | x | ≥ a , a ≥ 0 ↔ x ≥ a V x ≤ -a4. | x | ≤ | y | ↔ x2≤y2

5. |xy | = ¿ x∨ ¿

¿ y∨¿¿¿

6. | x + y | ≤ | x | + | y | (ketaksamaansegitiga)

|x|={ x , x≥0−x , x<0

| x – y | ≥ | |x| - |y| |

Contoh soal:

3.) Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan | 2x - 7 | < 3

1.4 Sistem Koordinat

Koordinat cartesius

Sistem koordinat cartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut.

Rumus Jarak

Dengan menggunakan koordinat, dapat di perkenalkan sebuah rumus sederhana untuk jarak antara dua titik pada bidang berdasarkan pada teorema pythagoras.

Persamaan Lingkaran

Secara umum, r adalah sebagai jari-jari dn (h,k) adalah sebagai pusat.

Contoh soal:

a2 + b2 = c2c

b

a

y

x

Q(x2 , y2)

R(x2 , y1)P(x1 , y1)

d( P , Q ) = √(x2−x1)2+( y2− y1)

2

(x−h)2 + ( y−k )2 = r2

1.) Rajahlah titik-titik (4,-5), (5,, -8) dalam bidang koordinat dan kemudian carilah jarak antara titik-titik tersebut.

[Soal latihan 1.1 halaman buku Kalkulus (Edwin J. Purcell) jilid 1, edisi 9 hal 22]

1.5 Garis LurusSebuah garis adalah sebuah obyek geometri. Bila ditempatkan pada suatu koordinat

bidang, garis ini tentulah mempunyai persamaan, sebagai halnya lingkaran.

Persamaan melalui (x1 , y1 ¿:

y− y1

y2− y1 =

x−x1

x2−x1

Kemiringan Garis

(y-y1) = m (x-x1)

m = y2− y1

x2−x1

Grafik Fungsi Kuadrat

Diskriminan → D = b2−4 ac

D > 0Memotong sumbu y dan sumbu x

Titik puncak → (−b2 a

,− D4 a

)

D < 0Memotong sumbu x

(−b2a

,− D4 a

)

y=ax2+bx+c

Contoh soal:

9.) Cari sebuah persamaan untuk tiap garis yang melalui (2,3) dengan kemiringan 4. Kemudian tuliskan dalam bentuk Ax + By + C = 0.

1.6 Grafik PersamaanLangkah-langkah menggambar grafik:1.) Cari koordinat-koordinat di beberapa titik yang memenuhi persamaan2.) Rajah titik-titik tersebut di bidang3.) Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus

Kesimetrisan Grafik

Grafik dari suatu persamaan adalah:

Simetris terhadap sumbu y bila penggantian x dengan –x memberikan persamaan yang setara (sebagai contoh y=x2)

Simetris terhadap sumbu x bila penggantian y dengan –y memberikan persamaan yang setara (sebagai contoh y=1+y2)

Simetris terhadap titik asal bila penggantian x dengan –x dan y dengan –y memberikan persamaan yang setara

Grafik-grafik dasar kuadrat dan kubik

Contoh soal:

20.) Gambarlah sketsa grafik dari kedua persamaan pada bidang koordinat yang sama.

y = -x + 4

y = -x2 + 2x + 4

BAB II

Fungsi dan Limit

-----------------------------------------------------------

2.1 Fungsi dan Grafiknya

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan:

Dimana artinya f memetakan A dan B.

▪ A disebut daerah asal (domain) dari f

▪ B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Notasi Fungsi

Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal. Maka f(x), yang dibaca “f dari x” atau “f pada x”, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.

Daerah Asal Dan Daerah Hasil

f: A → B

Aturan padanan merupakan pusat dari suatu fungsi, tetapi sebuah fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalnya diberikan. Daerah asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai. Daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.

Fungsi genap dan ganjil

Untuk fungsi ganjil Untuk fungsi genap

Dua Fungsi Khusus

|x|={ x , x≥0−x , x<0

Grafik |x| mempunyai sudut tajam pada titik asal, sedangkan grafik [[x]] melompat pada tiap bilangan bulat.

Contoh soal:

1e.) Untuk f(x) = x2 – 1, hitunglah nilai f(1/4)

f(-x) = -f(x) f(-x) = f(x)

2.2 Operasi pada Fungsi

(f + g)(x) = f(x) + g(x) Komposisi Fungsi

(f – g)(x) = f(x) – g(x) (g ◦ f)(x) = g(f (x))

(f ◦ g)(x) = f(x) ◦ g(x) (f ◦ g)(x) = f(g(x))

Translasi

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y = f(x) , h > 0, a> 0

y = f ( x – a )grafik y = f(x) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan

y = f ( x + a )grafik y = f(x) mengalami pegeseran sejauh a ke kiri

y = f (x) + hgrafik y = f(x) mengalami pergeseran sejauh h ke atas

y = f (x) – hgrafik y = f(x) mengalami pergeseran sejauh h ke bawah

Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x = f(y) , a> 0

x = f ( y – a )grafik x = f(y) mengalami pergeseran sejauh a ke atas

x = f ( y + a )grafik x = f(y) mengalami pegeseran sejauh a ke bawah

x = f (y) + agrafik x = f(y) mengalami pergeseran sejauh h ke kanan

x = f (y) – agrafik x = f(y) mengalami pergeseran sejauh h ke kiri

Contoh soal:

1a.) Untuk f(x) = x

(x−1) dan g(x) = √1+x2 , carilah nilai (f + g)(2)

2.3 Fungsi Trigonometri

miring hadapan

dekatan

sin θ = hdpmrg cos θ =

dktmrg tan θ =

hdpdkt

sin2 x + cos2 = 1

tan x = sin xcos x sec x =

1cos x

cot x = cos xsin x - csc x =

1sin x

Hubungan dengan trigonometri sudut

Contoh soal:

1a.) Konversikan 240° ke radian (gunakanπ dalam jawaban anda)

1e.) Konversikan 600° ke radian (gunakanπ dalam jawaban anda)

2.4 Limit

Limit adalah subjek matematika yang mempelajari apa yang terjadi pada suatu fungsi ketika inputnya dimasukkan mendekati suatu angka. Notasi umum untuk limit adalah:

Ini dibaca sebagai limit dari f(x) ketika x mendekati a.

Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi:1. Subtitusi langsung.

180◦ = π radian ≈ 3,1415927 radian

2. Faktorisasi.3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.4. Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.

Limit fungsi bentuk 00 :

Jika: f(x) = (x-a).h(x) g(x) = (x-a).k(x)

Maka:

Limit fungsi bentuk :

Jika diketahui limit tak hingga (~) sebagai berikut:

Maka:

1. R = 0, jika n<m

2. R = ap , jika n=m

3. R = ~, jika n>m

Limit fungsi bentuk ~ - ~

a.)

Maka:

1. R= ~ jika a>p

2. R= 0 jika a=p

3. R= -~ jika a<p

b.)

Maka:

Limx→a

f ( x )g ( x )

=Limx→a

( x−a) . h( x )( x−a) . k ( x )

Limx→~

axn+bxn−1+. ..+cpxm+qxm−1+.. .+r

=R

Limx→~

[ √ax+b−√ px+q ]=R

Limx→~

[ √ax2+bx+c−√ px 2+qx+r ]=R

1. R = ~, jika a>p

2. R = b−q2√a

, jika a=p

3. R = - ~, jika a<p

Contoh soal:

7.) Carilah limit dari limx →1

x2−4x−2

BAB III

Turunan

-----------------------------------------------------------

3.1 Konsep TurunanFungsi turunan pertama dari f adalah f’(x), yang nilainya pada sembarang bilangan c

adalah

Aturan mencari turunan:

f ' ( c )= limh→c

f (c+h)−f ( c )h

Contoh soal:

3.2 Aturan Pencarian TurunanProses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan: f ( x+h )− f ( x )

h

BAB IV

APLIKASI TURUNAN

Menggambar grafik fungsi

Informasi yang dibutuhkan:

A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

B. Asimtot fungsi

Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh

grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni

(i) Asimtot Tegak

Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika

(ii) Asimtot Datar

Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika

(iii) Asimtot Miring

Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika

dan

Asimtot tegak

Dalam kasus Dalam kasus

limx→ c

f ( x )=±∞

limx→±∞

f ( x )=b

limx→±∞

f ( x )−ax=blimx→±∞

f ( x )x

=a

limx→a−

f ( x )=−∞limx→a−

f ( x )=∞

dan dan

Garis y = b asimtot datar karena

Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga

Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh

Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)

Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.

Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar

dan asimtot miring

Kemonotonan Fungsi

Definisi Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk

limx→a+

f ( x )=∞limx→a+

f ( x )=∞

limx→+∞

f ( x )=b

x1 < x2 ⇒ f ( x1 )< f ( x2) , ∀ x1 , x2 ∈ I

monoton turun pada interval I jika untuk

Teorema : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika

Ekstrim Fungsi

Definisi Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,

f(c) disebut nilai global dari f pada I jika

f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang

buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada

selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim.

Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim

fungsi disebut titik kritis.

x1 < x2 ⇒ f (x1 )>f (x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ I

f ' ( x ) >0 ∀ x∈ I

f ' ( x ) <0 ∀ x∈ I

maksimummin imum

maksimumminimum

f ( c )≥ f ( x )f ( c )≤ f ( x )

Ada tiga jenis titik kritis :

Titik ujung selang I

Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,

secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))

Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c)).

Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal

Jika pada dan pada

Maka f(c) merupakan nilai lokal

Teorema Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal

Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan

nilai lokal f

Kecekungan Fungsi

f ' (c )=0

f ' (c )

(c , c+δ )f ' (x )<0f ' (x )>0(c−δ , c )

f ' (x )>0f ' (x )<0

maksimumminimum

f ''(c )<0f ''(c )>0

f ' (c )=0

maksimumminimum

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada

interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun

pada interval I.

Teorema Uji turunan kedua untuk kecekungan

1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.

2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.

f ' ( x )

f ' ( x )

f \( x \) >0 , ` forall `x func I} {∈ ¿

f \( x \) <0 , ` forall `x func I} {∈ ¿

BAB V

Aplikasi Integral

-----------------------------------------------------------

5.1 Mengitung Luas Daerah

Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦=(𝑥) , sumbu X, garis 𝑥=𝑎, dan garis 𝑥=𝑏 Dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada 𝑎,𝑏 maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus :

Contoh soal :

tentukan luas daerah di atas buku kalkulus jilid satu edisi 9 hal 286 no 1

1)

5.2 Mengitung Volume Benda Putar

5.2.1 Metoda Cakram

Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu X

Menggunakan rumus ini :

Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu Y

Menggunakan rumus ini :

5.2.2 Metida Cincin

Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar360∘ mengelilingi

sumbu X.

Menggunakan rumus ini :

Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar 360∘ mengelilingi sumbu Y.

Menggunakan rumus ini :

Contoh soal :

5.3 Panjang Kurva

Untuk menghitung panjang suatu kurva dapat menggunakan rumus seperti dibawah ini :

Contoh soal :

L= ∫f−1 (a )

f−1 (b )

√[ f '( t ) ]2+[ g ' ( t ) ]2dt

BAB VI

Fungsi Transenden

-----------------------------------------------------------

6.1 Fungsi Logaritma Asli

Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

Secara umum, jika u = u(x) maka

Sifat-sifat logaritma asli

Jika a dan b>0dan r bilangan rasional, maka

ln 1=0

ln ab=ln a+ln b

ln a

b= ln a− lnb

ln ar=r ln a

Contoh soal :

ln x=∫1

x1t

dt , x>0

D x [ ln x ]=Dx (∫1

x 1t

dt)= 1x

D x [ ln u ]=D x( ∫1

u ( x )1t

dt )= 1u du

dx

6.2 Fungsi Eksponen Asli

Fungsi eksponensial asli, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma natural.x=exp(y) ⇔y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…

Dengan demikian,

∫1

e1t

dt=1

Dari definisi langsung diperoleh bahwa

1. exp(ln x)=x, bila x>0.

2. ln(exp(x)) =x.

Contoh soal :

6.3 Fungsi Eksponen Umum

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a>0 , b>0 ,dan x , y sebarang bilangan real.

1. ax a y=ax+ y

2. (ax )y=axy

3. ( a

b )x=ax

bx

4.

ax

a y =ax− y

5. (ab )x=ax bx

Teorema fungsi eksponensial

Dx ax=ax ln a

∫ ax dx= 1ln ax

+C , a≠0

Contoh soal :

6.4 Fungsi Logaritma Umum

Sifat-sifat logaritma :

1. b log1=0

2. b log b=1

3. b log ac=b log a+b log c

4. b log a

c=b loga−b log c

5. b log ar=r⋅b log a

6.

b log a=c log ac log b

Contoh soal :

DAFTAR PUSAKAbuku kalkulus purcel jilid 1 edisi 5

buku kalkulus purcel jilid 1 edisi 9