Download - kalkulus
RANGKUMAN KALKULUS
DOSEN PEMBIMBING :SOFYAN
NAMA :RIDWAN ANNAS PRYAGUNG
201510370311077IT B
LABORATORIUM TEKNIK INFORMATIKAFAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG2015/2016
BAB I
Pendahuluan
1.1 Sistem Bilangan Riil
Garis Bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real).
R : bilangan real
Q : bilangan rasional
Z : bilangan bulat
N : bilangan asli
0 2-2
Contoh soal:
[Soal latihan 1.1 halaman buku Kalkulus (Edwin J. Purcell) jilid 1, edisi 9 hal 6]
1.2 Ketaksamaan
Selang
Merupakan himpunan bagian dari garis bilangan.
Jenis-jenis selang:
Himpunan Selang
{x | x < a} ( -∞ , a )
{x | x ≤ a} ( -∞ , a ]
{x | a < x < b} ( a , b )
{x | a ≤ x ≤ b} [ a , b ]
{x | x > b} ( b , ∞ )
{x | x ≥ b} [ b , ∞ )
{x | x ϵ Ɽ } ( ∞ , ∞ )
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan:
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP). Cara menentukan HP sebagai berikut, yaitu:
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi:
Dengan cara:
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
A (x )B ( x )
<D ( x )E ( x )
P( x )Q( x )
<0
Contoh soal:
9.) Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan 4x – 7 < 3x + 5 dalam cara penulisan selang.
[Soal latihan 1.1 halaman buku Kalkulus (Edwin J. Purcell) jilid 1, edisi 9 hal 6]
1.3 Nilai Mutlak, Akar Kuadrat, Kuadrat
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak:
Pertidaksamaan nilai mutlak:
1. | x | = √ x2
2. | x | ≤ a , a ≥ 0 ↔ -a ≤ x ≤ a3. | x | ≥ a , a ≥ 0 ↔ x ≥ a V x ≤ -a4. | x | ≤ | y | ↔ x2≤y2
5. |xy | = ¿ x∨ ¿
¿ y∨¿¿¿
6. | x + y | ≤ | x | + | y | (ketaksamaansegitiga)
|x|={ x , x≥0−x , x<0
| x – y | ≥ | |x| - |y| |
Contoh soal:
3.) Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan | 2x - 7 | < 3
1.4 Sistem Koordinat
Koordinat cartesius
Sistem koordinat cartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.
Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut.
Rumus Jarak
Dengan menggunakan koordinat, dapat di perkenalkan sebuah rumus sederhana untuk jarak antara dua titik pada bidang berdasarkan pada teorema pythagoras.
Persamaan Lingkaran
Secara umum, r adalah sebagai jari-jari dn (h,k) adalah sebagai pusat.
Contoh soal:
a2 + b2 = c2c
b
a
y
x
Q(x2 , y2)
R(x2 , y1)P(x1 , y1)
d( P , Q ) = √(x2−x1)2+( y2− y1)
2
(x−h)2 + ( y−k )2 = r2
1.) Rajahlah titik-titik (4,-5), (5,, -8) dalam bidang koordinat dan kemudian carilah jarak antara titik-titik tersebut.
[Soal latihan 1.1 halaman buku Kalkulus (Edwin J. Purcell) jilid 1, edisi 9 hal 22]
1.5 Garis LurusSebuah garis adalah sebuah obyek geometri. Bila ditempatkan pada suatu koordinat
bidang, garis ini tentulah mempunyai persamaan, sebagai halnya lingkaran.
Persamaan melalui (x1 , y1 ¿:
y− y1
y2− y1 =
x−x1
x2−x1
Kemiringan Garis
(y-y1) = m (x-x1)
m = y2− y1
x2−x1
Grafik Fungsi Kuadrat
Diskriminan → D = b2−4 ac
D > 0Memotong sumbu y dan sumbu x
Titik puncak → (−b2 a
,− D4 a
)
D < 0Memotong sumbu x
(−b2a
,− D4 a
)
y=ax2+bx+c
Contoh soal:
9.) Cari sebuah persamaan untuk tiap garis yang melalui (2,3) dengan kemiringan 4. Kemudian tuliskan dalam bentuk Ax + By + C = 0.
1.6 Grafik PersamaanLangkah-langkah menggambar grafik:1.) Cari koordinat-koordinat di beberapa titik yang memenuhi persamaan2.) Rajah titik-titik tersebut di bidang3.) Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus
Kesimetrisan Grafik
Grafik dari suatu persamaan adalah:
Simetris terhadap sumbu y bila penggantian x dengan –x memberikan persamaan yang setara (sebagai contoh y=x2)
Simetris terhadap sumbu x bila penggantian y dengan –y memberikan persamaan yang setara (sebagai contoh y=1+y2)
Simetris terhadap titik asal bila penggantian x dengan –x dan y dengan –y memberikan persamaan yang setara
Grafik-grafik dasar kuadrat dan kubik
Contoh soal:
20.) Gambarlah sketsa grafik dari kedua persamaan pada bidang koordinat yang sama.
y = -x + 4
y = -x2 + 2x + 4
BAB II
Fungsi dan Limit
-----------------------------------------------------------
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan:
Dimana artinya f memetakan A dan B.
▪ A disebut daerah asal (domain) dari f
▪ B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
Notasi Fungsi
Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal. Maka f(x), yang dibaca “f dari x” atau “f pada x”, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.
Daerah Asal Dan Daerah Hasil
f: A → B
Aturan padanan merupakan pusat dari suatu fungsi, tetapi sebuah fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalnya diberikan. Daerah asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai. Daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.
Fungsi genap dan ganjil
Untuk fungsi ganjil Untuk fungsi genap
Dua Fungsi Khusus
|x|={ x , x≥0−x , x<0
Grafik |x| mempunyai sudut tajam pada titik asal, sedangkan grafik [[x]] melompat pada tiap bilangan bulat.
Contoh soal:
1e.) Untuk f(x) = x2 – 1, hitunglah nilai f(1/4)
f(-x) = -f(x) f(-x) = f(x)
2.2 Operasi pada Fungsi
(f + g)(x) = f(x) + g(x) Komposisi Fungsi
(f – g)(x) = f(x) – g(x) (g ◦ f)(x) = g(f (x))
(f ◦ g)(x) = f(x) ◦ g(x) (f ◦ g)(x) = f(g(x))
Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y = f(x) , h > 0, a> 0
y = f ( x – a )grafik y = f(x) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y = f ( x + a )grafik y = f(x) mengalami pegeseran sejauh a ke kiri
y = f (x) + hgrafik y = f(x) mengalami pergeseran sejauh h ke atas
y = f (x) – hgrafik y = f(x) mengalami pergeseran sejauh h ke bawah
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x = f(y) , a> 0
x = f ( y – a )grafik x = f(y) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x = f ( y + a )grafik x = f(y) mengalami pegeseran sejauh a ke bawah
x = f (y) + agrafik x = f(y) mengalami pergeseran sejauh h ke kanan
x = f (y) – agrafik x = f(y) mengalami pergeseran sejauh h ke kiri
Contoh soal:
1a.) Untuk f(x) = x
(x−1) dan g(x) = √1+x2 , carilah nilai (f + g)(2)
2.3 Fungsi Trigonometri
miring hadapan
dekatan
sin θ = hdpmrg cos θ =
dktmrg tan θ =
hdpdkt
sin2 x + cos2 = 1
tan x = sin xcos x sec x =
1cos x
cot x = cos xsin x - csc x =
1sin x
Hubungan dengan trigonometri sudut
Contoh soal:
1a.) Konversikan 240° ke radian (gunakanπ dalam jawaban anda)
1e.) Konversikan 600° ke radian (gunakanπ dalam jawaban anda)
2.4 Limit
Limit adalah subjek matematika yang mempelajari apa yang terjadi pada suatu fungsi ketika inputnya dimasukkan mendekati suatu angka. Notasi umum untuk limit adalah:
Ini dibaca sebagai limit dari f(x) ketika x mendekati a.
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi:1. Subtitusi langsung.
180◦ = π radian ≈ 3,1415927 radian
2. Faktorisasi.3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.4. Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.
Limit fungsi bentuk 00 :
Jika: f(x) = (x-a).h(x) g(x) = (x-a).k(x)
Maka:
Limit fungsi bentuk :
Jika diketahui limit tak hingga (~) sebagai berikut:
Maka:
1. R = 0, jika n<m
2. R = ap , jika n=m
3. R = ~, jika n>m
Limit fungsi bentuk ~ - ~
a.)
Maka:
1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
b.)
Maka:
Limx→a
f ( x )g ( x )
=Limx→a
( x−a) . h( x )( x−a) . k ( x )
Limx→~
axn+bxn−1+. ..+cpxm+qxm−1+.. .+r
=R
Limx→~
[ √ax+b−√ px+q ]=R
Limx→~
[ √ax2+bx+c−√ px 2+qx+r ]=R
1. R = ~, jika a>p
2. R = b−q2√a
, jika a=p
3. R = - ~, jika a<p
Contoh soal:
7.) Carilah limit dari limx →1
x2−4x−2
BAB III
Turunan
-----------------------------------------------------------
3.1 Konsep TurunanFungsi turunan pertama dari f adalah f’(x), yang nilainya pada sembarang bilangan c
adalah
Aturan mencari turunan:
f ' ( c )= limh→c
f (c+h)−f ( c )h
Contoh soal:
3.2 Aturan Pencarian TurunanProses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan: f ( x+h )− f ( x )
h
BAB IV
APLIKASI TURUNAN
Menggambar grafik fungsi
Informasi yang dibutuhkan:
A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
B. Asimtot fungsi
Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh
grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni
(i) Asimtot Tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika
(ii) Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika
(iii) Asimtot Miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
dan
Asimtot tegak
Dalam kasus Dalam kasus
limx→ c
f ( x )=±∞
limx→±∞
f ( x )=b
limx→±∞
f ( x )−ax=blimx→±∞
f ( x )x
=a
limx→a−
f ( x )=−∞limx→a−
f ( x )=∞
dan dan
Garis y = b asimtot datar karena
Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga
Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh
Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)
Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.
Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar
dan asimtot miring
Kemonotonan Fungsi
Definisi Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk
limx→a+
f ( x )=∞limx→a+
f ( x )=∞
limx→+∞
f ( x )=b
x1 < x2 ⇒ f ( x1 )< f ( x2) , ∀ x1 , x2 ∈ I
monoton turun pada interval I jika untuk
Teorema : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika
Ekstrim Fungsi
Definisi Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,
f(c) disebut nilai global dari f pada I jika
f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada
selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim.
Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim
fungsi disebut titik kritis.
x1 < x2 ⇒ f (x1 )>f (x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ I
f ' ( x ) >0 ∀ x∈ I
f ' ( x ) <0 ∀ x∈ I
maksimummin imum
maksimumminimum
f ( c )≥ f ( x )f ( c )≤ f ( x )
Ada tiga jenis titik kritis :
Titik ujung selang I
Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,
secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))
Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c)).
Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika pada dan pada
Maka f(c) merupakan nilai lokal
Teorema Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal
Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan
nilai lokal f
Kecekungan Fungsi
f ' (c )=0
f ' (c )
(c , c+δ )f ' (x )<0f ' (x )>0(c−δ , c )
f ' (x )>0f ' (x )<0
maksimumminimum
f ''(c )<0f ''(c )>0
f ' (c )=0
maksimumminimum
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada
interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun
pada interval I.
Teorema Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.
2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.
f ' ( x )
f ' ( x )
f \( x \) >0 , ` forall `x func I} {∈ ¿
f \( x \) <0 , ` forall `x func I} {∈ ¿
BAB V
Aplikasi Integral
-----------------------------------------------------------
5.1 Mengitung Luas Daerah
Misalkan S adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦=(𝑥) , sumbu X, garis 𝑥=𝑎, dan garis 𝑥=𝑏 Dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada 𝑎,𝑏 maka luas daerah S dapat ditentukan dengan rumus :
Contoh soal :
tentukan luas daerah di atas buku kalkulus jilid satu edisi 9 hal 286 no 1
1)
5.2 Mengitung Volume Benda Putar
5.2.1 Metoda Cakram
Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu X
Menggunakan rumus ini :
Volume benda putar dari daerah yang diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu Y
Menggunakan rumus ini :
5.2.2 Metida Cincin
Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar360∘ mengelilingi
sumbu X.
Menggunakan rumus ini :
Volume benda putar dari daerah antara dua kurva kurva yang diputar 360∘ mengelilingi sumbu Y.
Menggunakan rumus ini :
Contoh soal :
5.3 Panjang Kurva
Untuk menghitung panjang suatu kurva dapat menggunakan rumus seperti dibawah ini :
Contoh soal :
L= ∫f−1 (a )
f−1 (b )
√[ f '( t ) ]2+[ g ' ( t ) ]2dt
BAB VI
Fungsi Transenden
-----------------------------------------------------------
6.1 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
Secara umum, jika u = u(x) maka
Sifat-sifat logaritma asli
Jika a dan b>0dan r bilangan rasional, maka
ln 1=0
ln ab=ln a+ln b
ln a
b= ln a− lnb
ln ar=r ln a
Contoh soal :
ln x=∫1
x1t
dt , x>0
D x [ ln x ]=Dx (∫1
x 1t
dt)= 1x
D x [ ln u ]=D x( ∫1
u ( x )1t
dt )= 1u du
dx
6.2 Fungsi Eksponen Asli
Fungsi eksponensial asli, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma natural.x=exp(y) ⇔y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…
Dengan demikian,
∫1
e1t
dt=1
Dari definisi langsung diperoleh bahwa
1. exp(ln x)=x, bila x>0.
2. ln(exp(x)) =x.
Contoh soal :
6.3 Fungsi Eksponen Umum
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a>0 , b>0 ,dan x , y sebarang bilangan real.
1. ax a y=ax+ y
2. (ax )y=axy
3. ( a
b )x=ax
bx
4.
ax
a y =ax− y
5. (ab )x=ax bx
Teorema fungsi eksponensial
Dx ax=ax ln a
∫ ax dx= 1ln ax
+C , a≠0
Contoh soal :
6.4 Fungsi Logaritma Umum
Sifat-sifat logaritma :
1. b log1=0
2. b log b=1
3. b log ac=b log a+b log c
4. b log a
c=b loga−b log c
5. b log ar=r⋅b log a