KALKULUS SISTEM BILANGAN RIIL

KETAKSAMAAN

DESIMAL Sebarang bilangan rasional dapat ditulis

sebagai suatu desimal, karena berdasarkan definisi bilangan ini selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika pembilang kita bagi dengan penyebut maka akan didapatkan desimal.

Misal:

....714285714285714285,07

3

....181818,111

13

375,08

3

5,02

1

,375 8 3,000 24 60 56 40 40 0

1,181 11 13,000 11 20 11 90 88 20 11 9

Bilangan – bilangan tak rasional dapat juga diungkapkan sebagai desimal – desimal.

Contoh:

1415926535,1

7320508075,13

4142135623,12

DESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANG Desimal suatu bilangan rasional dapat

mempunyai akhir seperti 3/8=0,375 atau akan berulang terus seperti 3/11=1,181818…

Sebuah desimal yang mempunyai akhir dapat dipandang sebagai suatu desimal berulang yang angka akhirnya semuanya nol, misalnya:

3/8 = 0,375=0,375000….setiap desimal yang berulang menyatakan suatu bilangan rasional.

Contoh:Buktikan bahwa:X = 0,136136136…. dan y = 0,27171717… adalah bilangan rasional!Penyelesaian:1000x = 136,136136… x = 0,136136… 999x = 136 x = 136/999Demikian pula:100y = 27,171717… y = 0,271717… 99y = 26,9 y = 26,9/99 = 269/990

KETAKSAMAAN Ketaksamaan adalah suatu kalimat

terbuka yang mengandung tanda >, <, ≥ dan ≤.

ax + b < 0 disebut ketaksamaan linear (variabelnya mempunyai pangkat satu)

ax2 – bx + c > 0 disebut ketaksaman kuadrat (variabel tertinggi mempunyai pangkat dua)

f(x)/g(x)< 0 disebut ketaksamaan pecahan (terdapat variabel pada penyebut dari ketaksamaan)

CONT… Ketaksamaan a < x < b memberikan

selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik ujung a dan b, dinyatakan dengan lambang (a,b). Sebaliknya ketaksamaan a ≤ x ≤ b memberikan selang tertutup yang berpadanan, yang mencakup titik ujung a dan b, dinyatakan dengan lambang [a,b].

SELANG Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan

real.Penulisan Himpunan Selang Grafik

{x| a < x < b} (a,b)

{x| a ≤ x < b } [a, b)

{x | a < x ≤ b } (a, b]

{x| a ≤ x ≤ b } [a, b]

{x | x ≤ b } (-∞, b]

{x | x < b } (-∞, b)

{x | a ≤ x } [a, +∞)

{x | a < x } (a, +∞)

a b

a b

a b

a b

b

b

a

a

CONTOH1.Selesaikan ketaksamaan 2x – 7<4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya!Penyelesaian:2x – 7<4x – 2 2x<4x + 5 -2x<5 x<-5/2

-3 -1 0 1 2 3 0 1-2

2

5:,

2

5xx

2.Selesaikan -5≤2x + 6<4Penyelesaian: -5 ≤ 2x + 6 < 4-11 ≤ 2x < -2-11/2 ≤ x < -1

-7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-6

1

2

11:1,

2

11xx

3.Selesaikan ketaksamaan kuadrat x2 – x < 6Penyelesaian:Sebagaimana dengan persamaan kuadrat, kita pindahkan semua suku bukan nol ke salah satu ruas dan faktorkan.x2 – x < 6x2 – x – 6 < 0(x – 3)(x + 2) < 0Jika dilihat -2 dan 3 adalah titik – titik pemecah: titik – titik ini membagi garis real menjadi tiga selang (-∞,-2),(-2,3), dan (3,∞). Pada tiap selang ini, (x – 3)(x + 2) selalu bertanda tetap.positif/negatif.Untuk mencari tanda tsb maka digunakan titik – titik uji -3, 0, dan 5 (sembarang titik yang memenuhi ketiga selang)

Hasil yang diperoleh:

Titik Uji Nilai dari(x-3)(x+2) Tanda

-3 6 (+)

0 -6 (-)

5 14 (+)

3,23-2

3-2-3 0 5

+ +-

Titik Uji

Titik pemecah

4.Selesaikan 3x2 – x – 2 > 0Penyelesaian:3x2 – x – 2 > 0(x – 1)(3x + 2) > 03(x – 1)(x + 2/3) > 0Titik pemecah : -2/3 dan 1Titik uji : -2, 0, 2Himpunan penyelesaian: (-∞,-2/3 ) ∪ (1, ∞)

1-2 -2/3 0

+ +-

Titik Uji

Titik pemecah

0 0

2

1-2 0

,1

3

2,

5.Selesaikanlah PenyelesaianTitik pemecah pada pembilang x – 1 = 0 ⇒ x

= 1Pada penyebut x + 2 = 0 ⇒ x = -2 Titik uji: -3, 0, 2Nilai dari titik uji pada gambar 7.lambang u menunjukan hasil bagi tak terdefinisi di – 2.Himpunan penyelesaian: (-∞, -2) ∪ [1, ∞)

02

1

x

x

-2 0

u+ 0

1

- +

,12,

LATIHAN1. Tunjukkan masing – masing selang

berikut pada garis riil!a. [-1,1]b. (-4,1)c. (-4,1]d. [1,4)

2. Gunakan cara no. 1 untuk mendeskripsikan selang – selang berikut:

-2 0