Download - KALKULUS
KALKULUS SISTEM BILANGAN RIIL
KETAKSAMAAN
DESIMAL Sebarang bilangan rasional dapat ditulis
sebagai suatu desimal, karena berdasarkan definisi bilangan ini selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika pembilang kita bagi dengan penyebut maka akan didapatkan desimal.
Misal:
....714285714285714285,07
3
....181818,111
13
375,08
3
5,02
1
,375 8 3,000 24 60 56 40 40 0
1,181 11 13,000 11 20 11 90 88 20 11 9
Bilangan – bilangan tak rasional dapat juga diungkapkan sebagai desimal – desimal.
Contoh:
1415926535,1
7320508075,13
4142135623,12
DESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANG Desimal suatu bilangan rasional dapat
mempunyai akhir seperti 3/8=0,375 atau akan berulang terus seperti 3/11=1,181818…
Sebuah desimal yang mempunyai akhir dapat dipandang sebagai suatu desimal berulang yang angka akhirnya semuanya nol, misalnya:
3/8 = 0,375=0,375000….setiap desimal yang berulang menyatakan suatu bilangan rasional.
Contoh:Buktikan bahwa:X = 0,136136136…. dan y = 0,27171717… adalah bilangan rasional!Penyelesaian:1000x = 136,136136… x = 0,136136… 999x = 136 x = 136/999Demikian pula:100y = 27,171717… y = 0,271717… 99y = 26,9 y = 26,9/99 = 269/990
KETAKSAMAAN Ketaksamaan adalah suatu kalimat
terbuka yang mengandung tanda >, <, ≥ dan ≤.
ax + b < 0 disebut ketaksamaan linear (variabelnya mempunyai pangkat satu)
ax2 – bx + c > 0 disebut ketaksaman kuadrat (variabel tertinggi mempunyai pangkat dua)
f(x)/g(x)< 0 disebut ketaksamaan pecahan (terdapat variabel pada penyebut dari ketaksamaan)
CONT… Ketaksamaan a < x < b memberikan
selang terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik ujung a dan b, dinyatakan dengan lambang (a,b). Sebaliknya ketaksamaan a ≤ x ≤ b memberikan selang tertutup yang berpadanan, yang mencakup titik ujung a dan b, dinyatakan dengan lambang [a,b].
SELANG Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan
real.Penulisan Himpunan Selang Grafik
{x| a < x < b} (a,b)
{x| a ≤ x < b } [a, b)
{x | a < x ≤ b } (a, b]
{x| a ≤ x ≤ b } [a, b]
{x | x ≤ b } (-∞, b]
{x | x < b } (-∞, b)
{x | a ≤ x } [a, +∞)
{x | a < x } (a, +∞)
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
CONTOH1.Selesaikan ketaksamaan 2x – 7<4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya!Penyelesaian:2x – 7<4x – 2 2x<4x + 5 -2x<5 x<-5/2
-3 -1 0 1 2 3 0 1-2
2
5:,
2
5xx
2.Selesaikan -5≤2x + 6<4Penyelesaian: -5 ≤ 2x + 6 < 4-11 ≤ 2x < -2-11/2 ≤ x < -1
-7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-6
1
2
11:1,
2
11xx
3.Selesaikan ketaksamaan kuadrat x2 – x < 6Penyelesaian:Sebagaimana dengan persamaan kuadrat, kita pindahkan semua suku bukan nol ke salah satu ruas dan faktorkan.x2 – x < 6x2 – x – 6 < 0(x – 3)(x + 2) < 0Jika dilihat -2 dan 3 adalah titik – titik pemecah: titik – titik ini membagi garis real menjadi tiga selang (-∞,-2),(-2,3), dan (3,∞). Pada tiap selang ini, (x – 3)(x + 2) selalu bertanda tetap.positif/negatif.Untuk mencari tanda tsb maka digunakan titik – titik uji -3, 0, dan 5 (sembarang titik yang memenuhi ketiga selang)
Hasil yang diperoleh:
Titik Uji Nilai dari(x-3)(x+2) Tanda
-3 6 (+)
0 -6 (-)
5 14 (+)
3,23-2
3-2-3 0 5
+ +-
Titik Uji
Titik pemecah
4.Selesaikan 3x2 – x – 2 > 0Penyelesaian:3x2 – x – 2 > 0(x – 1)(3x + 2) > 03(x – 1)(x + 2/3) > 0Titik pemecah : -2/3 dan 1Titik uji : -2, 0, 2Himpunan penyelesaian: (-∞,-2/3 ) ∪ (1, ∞)
1-2 -2/3 0
+ +-
Titik Uji
Titik pemecah
0 0
2
1-2 0
,1
3
2,
5.Selesaikanlah PenyelesaianTitik pemecah pada pembilang x – 1 = 0 ⇒ x
= 1Pada penyebut x + 2 = 0 ⇒ x = -2 Titik uji: -3, 0, 2Nilai dari titik uji pada gambar 7.lambang u menunjukan hasil bagi tak terdefinisi di – 2.Himpunan penyelesaian: (-∞, -2) ∪ [1, ∞)
02
1
x
x
-2 0
u+ 0
1
- +
,12,
LATIHAN1. Tunjukkan masing – masing selang
berikut pada garis riil!a. [-1,1]b. (-4,1)c. (-4,1]d. [1,4)
2. Gunakan cara no. 1 untuk mendeskripsikan selang – selang berikut:
-2 0