TUGAS MATAKULIAHKALKULUS II

MATERI PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I

OLEH:

AYU ARIMPI/140405081MIA YUNITA/140405097

REGGY ANANTA P. GINTING/140405096

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

A. PEMISAHAN VARIABEL

1. Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:

y2dy = (x + 3x2) dx, bila mana x = 0 dan y = 6 ke dalam bentuk ImplisitPembahasan:

y2dy = (x + 3x2) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas.

Integralkan kedua ruas

y2dy = (x + 3x2) dx

y3/3 + C1 = (x2/2 + x3+ C2)

y3= (3x2/2 + 3x3+ 3C2 3C1)

y3= 3x2/2 + 3x3+ C ; C = 3C2 3C1

Maka solusi umumnya adalah :y3= 3x2/2 + 3x3+ CMenghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan y = 6, maka akan menghasilkan:

C = 216

Solusi khususnya adalah :y3= 3x2/2 + 3x3+2162. Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:

xyy + x2+ 1 = 0ke dalam bentuk Eksplisit

Pembahasan:Ubah ke dalam eksplisit

xy (dy/dx) + x2+ 1 = 0

Bagi tiap-tiap ruas

y dy = -(x2+ 1/x) dx

Integralkan kedua ruas

y dy = ((x2+ 1)/x) dx

y dy = ( X + 1/x) dx

y2/2 = (x2/2 + ln|x|) + C

y2= -x2/2 ln|x + c ; c = -C

Maka, solusi umumnya adalahy2= -x2/2 ln|x + c

B. PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN3. (x2 xy + y2) dx xy dy = 0

Pembahasan :Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x, y) = x2 xy + y2M(kx, ky) = (kx)2 kx ky + (ky)2

= k2(x2 xy + y2)

N(x, y) = xy

N(kx, ky) = kx ky

= k2(xy)

(x2 xy + y2) dx xy dy = 0 adalah PD homogen

(x2 xy + y2) dx xy dy = 0, bagi dengan x2, diperoleh

(1 + ) dx dy = 0 (i)

misal : y = ux

dy = u dx + x du

substitusi ke pers (i)

(1 u + u2) dx u (u dx + x du) = 0

dx u dx + u2 dx u2 dx ux du = 0

(1 u) dx ux du = 0 [bagi dengan x(1 u)]

dx du = 0

dx du = c1ln x du = c1ln x du du = c1ln x + u + ln (1 u) = ln C, dengan ln C = c1substitusi kembali u = , sehingga

ln x + + ln (1 ) = ln C4. (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 x/y) dy = 0

Pembahasan:Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

ambil M(x, y) = 1 + 2ex/yM(kx, ky) = 1 + 2ekx/ky = k0(1 + 2ex/y)

N(x, y) = 2ex/y(1 x/y)

N(kx, ky) = 2ekx/ky(1 kx/ky)

= k0(2ex/y(1 x/y))

(1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 x/y) dy = 0 adalah PD homogen (i)

misal : x = uy

dx = u dy + y du

substitusi ke pers (i), sehingga

(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 u) dy = 0

u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy u 2eu dy = 0

u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

dy + du = 0

dy + du = c1ln y + = c1ln y + ln (u + 2eu) = ln C, dengan ln C = c1substitusi kembali u = , sehingga

ln y + ln (x/y + 2ex/y) = ln C

ln (y(x/y + 2ex/y)) = ln C

x + 2yex/y = C

C. PERSAMAN DIFERENSIAL EKSAK

5. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x y) dy = 0Pembahasan :

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak.

misal : M(x , y) = x + y= 1

N(x , y) = x y= 1

karena=, maka PD tesebut adalah PD eksak.

Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

F(x, y) =M(x, y) dx + g(y)

=(x + y) dx + g(y)

=x2+ xy + g(y)

cari g'(y)

=[M(x, y) dx] + g'(y)

=[x2+ xy] + g'(y)

= x + g'(y)

karena= N(x, y), maka

x + g'(y) = N(x, y)

x + g'(y) = x y

g'(y) = -y

g'(y) =-y

g(y) =y2

jadi solusi umumnya :x2+ xy y2= c1

x2+ 2xy y2= C, dengan C = 2c1

6. Cari solusi dari PD: xy + y + 4 = 0

Pembahasan:

x+ y + 4 = 0

x dy + (y + 4) dx = 0

misal : M(x , y) = y + 4= 1

N(x , y) = x= 1

karena=, maka PD tesebut adalah PD eksak.

Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

F(x, y) =N(x, y) dy + g(x)

=x dy + g(x)

= xy + g(x)

cari g'(x)

=[N(x, y) dy] + g'(x)

=[xy] + g'(x)

= y + g'(x)

karena= N(x, y), maka

y + g'(x) = M(x, y)

y + g'(x) = y + 4

g'(x) = 4

g'(x) =4

g(x) = 4x

jadi solusi umumnya : xy + 4x = CD. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER7. Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini :

a. + 2xy = 4xb. x= y + x3+ 3x2 2xc. xy 2y = x3exPembahasan :

a. + 2xy = 4xPerhatikan bentuk PD (i), maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral :=

Kemudian substitusi keSOLUSI UMUM, diperoleh

y=Q(x)dx + C

y=4xdx + C

y=4x+C

y=2d(x2) + C

y= 2+ c

y = 2 + c

b. x= y + x3+ 3x2 2x

x y = x3+ 3x2 2x [bagi dengan x]

y = x2+ 3x 2

ambil P(x) =dan Q(x) = x2+ 3x 2

Faktor Integral :=e-ln x=

sehingga penyelesaiannya

y=Q(x)dx + C

y=(x2+ 3x 2)dx + C

y=(x + 3 2) dx + C

y =x3+ 3x2 2x ln x + cx

y =x3+ 3x2 ln x2x+ cxc. xy 2y = x3ex

x 2y = x3ex[bagi dengan x]

y = x2ex

ambil P(x) =dan Q(x) = x2ex

Faktor Integral :=e-2 ln x=

sehingga penyelesaiannya

y=Q(x)dx + C

y=(x2ex)dx + C

y=exdx + C

y= ex+ c

y = x2ex+ c x2

E. FAKTOR INTEGRASI8. Persamaan Diferensial dengan faktor integrasi

+ 2xy = 4x

Pembahasan :Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil

P(x) = 2x dan Q(x) = 4x

Faktor Integral : = eKemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh

y dx = Q(x) dx + C

y = 4x dx + Cy = 2 + Cy = 2 + c9. Persamaan Diferensial dengan faktor integrasi

- y= y + x3 + 3x2 2x

Pembahasan :x y = x3 + 3x2 2x [bagi dengan x]

- y = x2 + 3x 2

ambil P(x) = - dan Q(x) = x2 + 3x 2

Faktor Integral : = e-ln x = sehingga penyelesaiannya

y dx= Q(x) dx + Cy = (x2 + 3x 2) dx + C

y = (x + 3 2 ) dx + C

y = x3 + 3x2 2x ln x + cx

y = x3 + 3x2 ln x2x + cxF. BERNAULLI

10.Cari solusi dari y + x-1y = x-1y2

Pembahasan:

y +(1/x) y = (1/x) y2

f(x) = 1/x ; g(x) = 1/x ; m=2

maka u = y(1-2)

u + (1-m)f(x) u = (1-m) g(x)

u (1/x) u = -(1/x)

Selanjut gunakan faktor integral.

h = f(x) dx = -(1/x)dx = - ln(x) ; r = -(1/x)

u = eln(x) [ e-ln(x) (-1/x) dx + k ]

= x [ -(1/x2) dx + k ]

= kx + 1 u = y-1

= kx + 1

sehingga y = 1/(kx + 1)

11.Selesaikan : Pembahasan :

+ Misalkan : ., maka sehingga kita punyai

atau

Dipunyai p(x) = -3x, dan q(x) = -x. Jadi FI (faktor integrasi)nya adalah :

Dan kita kalikan persamaan diferensial dengan faktor integral tersebut, kita dapatkan

persamaan :

Jadi :