Download - KALKULUS
TUGAS MATAKULIAHKALKULUS II
MATERI PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I
OLEH:
AYU ARIMPI/140405081MIA YUNITA/140405097
REGGY ANANTA P. GINTING/140405096
DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
A. PEMISAHAN VARIABEL
1. Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:
y2dy = (x + 3x2) dx, bila mana x = 0 dan y = 6 ke dalam bentuk ImplisitPembahasan:
y2dy = (x + 3x2) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas.
Integralkan kedua ruas
y2dy = (x + 3x2) dx
y3/3 + C1 = (x2/2 + x3+ C2)
y3= (3x2/2 + 3x3+ 3C2 3C1)
y3= 3x2/2 + 3x3+ C ; C = 3C2 3C1
Maka solusi umumnya adalah :y3= 3x2/2 + 3x3+ CMenghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan y = 6, maka akan menghasilkan:
C = 216
Solusi khususnya adalah :y3= 3x2/2 + 3x3+2162. Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:
xyy + x2+ 1 = 0ke dalam bentuk Eksplisit
Pembahasan:Ubah ke dalam eksplisit
xy (dy/dx) + x2+ 1 = 0
Bagi tiap-tiap ruas
y dy = -(x2+ 1/x) dx
Integralkan kedua ruas
y dy = ((x2+ 1)/x) dx
y dy = ( X + 1/x) dx
y2/2 = (x2/2 + ln|x|) + C
y2= -x2/2 ln|x + c ; c = -C
Maka, solusi umumnya adalahy2= -x2/2 ln|x + c
B. PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN3. (x2 xy + y2) dx xy dy = 0
Pembahasan :Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen
ambil M(x, y) = x2 xy + y2M(kx, ky) = (kx)2 kx ky + (ky)2
= k2(x2 xy + y2)
N(x, y) = xy
N(kx, ky) = kx ky
= k2(xy)
(x2 xy + y2) dx xy dy = 0 adalah PD homogen
(x2 xy + y2) dx xy dy = 0, bagi dengan x2, diperoleh
(1 + ) dx dy = 0 (i)
misal : y = ux
dy = u dx + x du
substitusi ke pers (i)
(1 u + u2) dx u (u dx + x du) = 0
dx u dx + u2 dx u2 dx ux du = 0
(1 u) dx ux du = 0 [bagi dengan x(1 u)]
dx du = 0
dx du = c1ln x du = c1ln x du du = c1ln x + u + ln (1 u) = ln C, dengan ln C = c1substitusi kembali u = , sehingga
ln x + + ln (1 ) = ln C4. (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 x/y) dy = 0
Pembahasan:Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen
ambil M(x, y) = 1 + 2ex/yM(kx, ky) = 1 + 2ekx/ky = k0(1 + 2ex/y)
N(x, y) = 2ex/y(1 x/y)
N(kx, ky) = 2ekx/ky(1 kx/ky)
= k0(2ex/y(1 x/y))
(1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 x/y) dy = 0 adalah PD homogen (i)
misal : x = uy
dx = u dy + y du
substitusi ke pers (i), sehingga
(1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 u) dy = 0
u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy u 2eu dy = 0
u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0
(u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]
dy + du = 0
dy + du = c1ln y + = c1ln y + ln (u + 2eu) = ln C, dengan ln C = c1substitusi kembali u = , sehingga
ln y + ln (x/y + 2ex/y) = ln C
ln (y(x/y + 2ex/y)) = ln C
x + 2yex/y = C
C. PERSAMAN DIFERENSIAL EKSAK
5. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x y) dy = 0Pembahasan :
Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak.
misal : M(x , y) = x + y= 1
N(x , y) = x y= 1
karena=, maka PD tesebut adalah PD eksak.
Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan
F(x, y) =M(x, y) dx + g(y)
=(x + y) dx + g(y)
=x2+ xy + g(y)
cari g'(y)
=[M(x, y) dx] + g'(y)
=[x2+ xy] + g'(y)
= x + g'(y)
karena= N(x, y), maka
x + g'(y) = N(x, y)
x + g'(y) = x y
g'(y) = -y
g'(y) =-y
g(y) =y2
jadi solusi umumnya :x2+ xy y2= c1
x2+ 2xy y2= C, dengan C = 2c1
6. Cari solusi dari PD: xy + y + 4 = 0
Pembahasan:
x+ y + 4 = 0
x dy + (y + 4) dx = 0
misal : M(x , y) = y + 4= 1
N(x , y) = x= 1
karena=, maka PD tesebut adalah PD eksak.
Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan
F(x, y) =N(x, y) dy + g(x)
=x dy + g(x)
= xy + g(x)
cari g'(x)
=[N(x, y) dy] + g'(x)
=[xy] + g'(x)
= y + g'(x)
karena= N(x, y), maka
y + g'(x) = M(x, y)
y + g'(x) = y + 4
g'(x) = 4
g'(x) =4
g(x) = 4x
jadi solusi umumnya : xy + 4x = CD. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER7. Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini :
a. + 2xy = 4xb. x= y + x3+ 3x2 2xc. xy 2y = x3exPembahasan :
a. + 2xy = 4xPerhatikan bentuk PD (i), maka ambil
P(x) = 2x dan Q(x) = 4x
Faktor Integral :=
Kemudian substitusi keSOLUSI UMUM, diperoleh
y=Q(x)dx + C
y=4xdx + C
y=4x+C
y=2d(x2) + C
y= 2+ c
y = 2 + c
b. x= y + x3+ 3x2 2x
x y = x3+ 3x2 2x [bagi dengan x]
y = x2+ 3x 2
ambil P(x) =dan Q(x) = x2+ 3x 2
Faktor Integral :=e-ln x=
sehingga penyelesaiannya
y=Q(x)dx + C
y=(x2+ 3x 2)dx + C
y=(x + 3 2) dx + C
y =x3+ 3x2 2x ln x + cx
y =x3+ 3x2 ln x2x+ cxc. xy 2y = x3ex
x 2y = x3ex[bagi dengan x]
y = x2ex
ambil P(x) =dan Q(x) = x2ex
Faktor Integral :=e-2 ln x=
sehingga penyelesaiannya
y=Q(x)dx + C
y=(x2ex)dx + C
y=exdx + C
y= ex+ c
y = x2ex+ c x2
E. FAKTOR INTEGRASI8. Persamaan Diferensial dengan faktor integrasi
+ 2xy = 4x
Pembahasan :Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil
P(x) = 2x dan Q(x) = 4x
Faktor Integral : = eKemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh
y dx = Q(x) dx + C
y = 4x dx + Cy = 2 + Cy = 2 + c9. Persamaan Diferensial dengan faktor integrasi
- y= y + x3 + 3x2 2x
Pembahasan :x y = x3 + 3x2 2x [bagi dengan x]
- y = x2 + 3x 2
ambil P(x) = - dan Q(x) = x2 + 3x 2
Faktor Integral : = e-ln x = sehingga penyelesaiannya
y dx= Q(x) dx + Cy = (x2 + 3x 2) dx + C
y = (x + 3 2 ) dx + C
y = x3 + 3x2 2x ln x + cx
y = x3 + 3x2 ln x2x + cxF. BERNAULLI
10.Cari solusi dari y + x-1y = x-1y2
Pembahasan:
y +(1/x) y = (1/x) y2
f(x) = 1/x ; g(x) = 1/x ; m=2
maka u = y(1-2)
u + (1-m)f(x) u = (1-m) g(x)
u (1/x) u = -(1/x)
Selanjut gunakan faktor integral.
h = f(x) dx = -(1/x)dx = - ln(x) ; r = -(1/x)
u = eln(x) [ e-ln(x) (-1/x) dx + k ]
= x [ -(1/x2) dx + k ]
= kx + 1 u = y-1
= kx + 1
sehingga y = 1/(kx + 1)
11.Selesaikan : Pembahasan :
+ Misalkan : ., maka sehingga kita punyai
atau
Dipunyai p(x) = -3x, dan q(x) = -x. Jadi FI (faktor integrasi)nya adalah :
Dan kita kalikan persamaan diferensial dengan faktor integral tersebut, kita dapatkan
persamaan :
Jadi :