Kalkulus – 1

MODUL – 9

T U R U N A N LANJUTAN

di x = /2, turunan ini bernilai –6, yang karena itu merupaka kemiringan garis

singgung yang diinginkan. Persamaan garis ini adalah…

y−0=−6 (x−π2 )CONTOH 3 Perhatikan kincir riang (Ferris wheel) yang jari-jarinya 30 kaki,

berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan kecepatan

sudut 2 radian/detik. Sebarpa cepat dudukan pada pelek naik (dalam arah tegak)

pada saat ia berada 15 kaki di atas garis mendatar yang melalui pusat kincir ?

Penyelesaian Kita dapat menganggap bahwa kincir berpusat di titik asal dan

bahwa dudukan P berada di (30, 0) pada saat t = 0 (Gambar 3). Jadi pada saat t,

P telah bergerak melalui sudut 2t radian, sehingga mempunyai koorinat (30 cos

2t, 30 sin 2t). laju pada saat P naik merupakan turunan koorinat tegak 30 sin 2t

diukur pada nilai t yang sesuai. Menurut Contoh 2,

Dx(30 sin 2t) = 60 cos 2t

Nilai t yang sesuai untuk perhitungan turunan ini adalah t = /12, karena 30 sin (2

. /12) = 15. Kita menyimpulkan bahwa pada t = /12, dudukan P naik pada.

60cos (2 . π2 )=60√3/2≈51 ,96 kaki per det ikSekali kita telah mengetahui turunan fungsi sinus dan kosinus, turunan fungsi-

fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan aturan

hasilbagi. Hasil-hasil ini diringkaskan dalam Teorema B. untuk buktinya, lihat

soal-soal 5-8.

Teorema B

Dxtan x = sec2 x Dxcot x = csc2 x

Dxsec x = sec x tan x Dxcsc x = -csc x cot x

Soal-Soal

Dalam soal-soal 1-14, carilah Dxy,

1. y = 2 sin x + 3 cos x 2. Y = sin2 x

3. y = sin2 x + cos2 x 4. Y = 1 – cos2x

5. y = sec x = 1/cos x 6. Y = csc x = 1/sin x

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.

KALKULUS I 1

7. y= tan x=sin x

cos x 8. y=cos x=cos x

sin x

9. y=sin x+cos xcos x 10.

y=sin x+cos xtan x

11. y = x2 cos x 12. y= x cos x+sin x

x2+1

13. y = tan2 x 14. Y = sec3x

15. Carilah persamaan garis singgung pada y = cos x di x =1

16. Carilah persamaan garis singgung pada y = cot x di y= π4

17. Tinjaulah kincir ria (Ferris whell) pada contoh 3. Pada laju berapakah

dudukan pada pelek bergerak secara mendatar ketia t = /4 detik (yakni,

kapankah dudukan mencapai puncak kincir)?

18. Padang kincir ria berjari-jari 20 desimeter berputar berlawanan arah

perputaran jarum pada kecepatan sudut sebesar 1 radian/detik. Satu dudukan

pada pelek berada di (2-,0) pada saat t = 0.

(a) Berapakah koordinatnya pada saat t = /6?

(b) Seberapa cepatkah kenaikannya (secara vertikal) di t = /6?

(c) Seberapa cepatkah kenaikannya (secara vertikal) pada saat laju

percepatnya?.

19. Carilah persamaan garis singgung terhadap y = tan x pada x = 0

20. Carilah semua titik pada grafik y = tan2 x di mana garis singgungnya

horizontal.

21. Carilah semua titik pada grafik y = 9 sin x cos x di mana garis singgungnya

horizontal

22. Anggaplah f(x) = x – sin x. carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana

garis singgungnya mendatar. Carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana

garis singgungnya memiliki kemiringan 2.

23. Perlihatkan bahwa kurva y = √2sin xdan y=√2cos x Saling berpotongan

tegak lurus pada sebuah titik tertentu dengan 0 < x < /2.

24. Pada saat t detik, pusat sebuah pelampung gabus berada sejauh 2 sin t

centimeter di atas (atau di bawah) permukaan air. Berapakah kecepatan

pelampung pada saat t = 0, /2, ?

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.

KALKULUS I 2

ATURAN RANTAI

Bayangkan jika anda harus mencari turunan dari

F(x) = (2x2 – 4x + 1)60

Pertama Anda harus mengalikan 60 faktor kuadrat 2x2 = 4x + 1 dan kemudian

mendiferensiasikan polinomial berderajat 120 yang dihasilkan. Atau, bagaimana

dengan mencoba mencari turunan

G(x) = sin 3x

Kita mungkin dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mereduksinya

menjadi sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos a dan kemudian

menggunakan aturan-aturan dari subbab sebelumnya.

Untunglah terdapat cara yang lebih baik. setelah anda mempelajari

Aturan Rantai, Anda akan mampu menuliskan jawaban.

F’*x0 = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)

Dan

G’(x) = 3 cos 2x

Aturan Rantai sedemikian pentingnya sehingga Anda akan jarang

mendiferensiasikan fungsi tanpa menggunakannya. Tetapi agar dapat

menyatakan aturan tersebut sebagaimana mestinya, kita perlu menekankan

pentingnya x dalam cara penulsian Dx ini.

Notasi Dx Lambang Dxy harus dibaca “turunan y terhadap x”; mengukur

seberapa cepat y berubah terhadap x. indeks bawah x menunjukan bahwa x

diperlakukan sebagai perubah dasar. Jadi jika y = s2x3, kita dapat menuliskan.

Dxy = 3s2x2 dan Dsy = 2sx3

Dalam kasus pertama, s diperlakukan sebagai konstanta dan x adalah peubah

dasar; dalam kasus kedua, x adalah konstanta dan s adalah peubah dasar.

Contoh berikut merupakan contoh penting. Andaikan y = u60 dan u = 2x2

– 4x + 1. Maka Duy = 60u59 dan Dxu = 4x – 4. Tetapi perhatikan bahwa ketika

mensubstitusikan u = 2x2 – 4x + 1 dalam y = u60, kita dapatkan

y = (2x2 – 4x + 1)60

Dengan demikian cukup beralasan untuk mempertanyakan Dxy. Apa Dxy

bagaimana kaitannya terhadap Duy dan Dxu? Secara lebih umum, bagaimana

Anda mendiferensiasikan suatu fungsi komposit ?

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.

KALKULUS I 3

Diferensiasi Fungsi Komposit Jika Ida dapat mengetik dua kali lebih cepat

dari pada Tini da Tini dapat mengetik tiga kali lebih cepat dari pada Dono, maka

Ida dapat mengetik 2 . 3 = 6 kali lebih cepat dari pada Dono. Kedua laju tersebut

dikalikan.

Tinjaulah fungsi komposit y = f(g(x). karena turunan menunjukkan laju

perubahan, kita dapat mengatakan

y berubah secepat Duy kali u

u berubah secepat Dxu kali x

Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa

y berubah secapat Duy . Dxu kali x

Ini memang benar dan kita akan menyarankan suatu bukti dalam subbab

berikutnya. Hasilnya disebut Aturan Rantai.

Teorema A Aturan Rantai

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). jika g terdiferenmsiasikan di x dan f

terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f o g, di definisikan oleh (f o

g) (x) = f(g(x) terdiferensiasikan di x dan (f o g)’(x) = f’(g(x))g’(x)

Yakni Dx (f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)

Atau Dxy = DuyDxu

Mungkin akan membantu jika anda mengingatnya dengan cara ini;

turunan fungsional komposit adalah turunan fungsi terluar yang dihitung pada

fungsi yang lebih dalam dikali dengan turunan.

Penerapan Aturan rantai Kita mulai dengan contoh (2x2 – 4x + 1)60 yang

diperkenalkan pada permulaan subbab ini.

CONTOH 1 Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, carilah Dxy

Penyelesaian Kita memikirkan y sebagai pangkat 60 dari sebuah fungsi x; yaitu

y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1

Fungsi terluar adalah u60 dan fungsi yang lebih dalam adalah 2x2 – 4x + 1, maka

Dxy = Duy ; Dxu

= (60u59) (4x – 4)

= 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)

CONTOH 2 Jika y = 1/(2x5 – 7), carilah Dxy

Penyelesaian Pikirkanlah fungsi tersebut menjadi

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.

KALKULUS I 4

y= 1

u3=u−3 dan u=2x5−7

Jadi

D x y=Du y . Dxu

= (−3u−4 ) (10x4 )

=

−3u4. 10 x4

=

−30x4

(2 x5−7 )4

CONTOH 3 Jika y = sin (x3 – 3x), carilah Dxy

Penyelesaian Kita boleh menuliskan

y = sin u dan u = x3 – 3x

Karenanya,

Dxy = Dxy ‘ Dxu

= (cos u) . (3x2 – 3)

= [cos(x3 – 3x)] . (3x2 – 3)

= (3x2 – 3) cos(x3 – 3x)

CONTOH 4

Dt ( t3−2 t+1t4+3 )13

Penyelesaian Pikirkanlah hal ini sebagai Dty, dengan menganggap

y=u13 dan u= t3−2 t+1t4+3

Kemudian Aturan Rantai diikuti oleh Aturan Hasilbagi memberikan

Dty = Duy . Dtu

=13u12( t4+3 ) (3 t2−2 )−( t3−2 t+1 ) (4 t3)

(t4+3 )2

=13 ( t3−2 t+1t4+3 )12

.−t6+6 t4−4 t3+9 t2−6

( t4+3 )2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.

KALKULUS I 5

Anda akan segera mempelajari untuk membuat pengenalan dalam hati tentang

peubah antara tanpa benar-benar menuliskannya. Jadi seorang pakar segera

menuliskan.

D x(cos3 x )=(−sin 3 x ) . 3=−3sin 3 x

D x (x3+sin x )6=6 (x3+sin x)5 (3 x2+cos x )

Dt ( tcos 3t )

4

=4( tcos3 t )

3cos 3 t−t(−sin 3 t )3cos23 t

=4 t3 (cos3 t+3t sin 3 t )cos53 t

Penerapan Aturan Rantai Lebih dari Sekali Kadang-kadang ketika kita

menggunakan Aturan Rantai pada sebuah fungsi komposit, kita menemukan

bahwa turunan dan fungsi yang lebih dalam juga memerlukan Aturan Rantai.

Dalam kasus seperti ini, kita harus menggunakan Aturan Rantai untuk kedua

kalinya.

CONTOH 5 carilah Dxsin3(4x)

Penyeelsaian Ingatlah bahwa sin3(4x) = [sin(4x)]3, maka kita melihat hal ini

sebagai sebuah fungsi kubik dari x. jadi, dengan menggunakan aturan “turunan

fungsi terluar dihitung pada fungsi yang lebih dalam dikali dengan fungsi yang

lebih dalam”, kita memperoleh

D x sin3 (4 x )=Dx [sin (4 x ) ]

3−1Dx [sin (4 x ) ]

Laku kita menggunakan aturan rantai sekali lagi untuk turunan fungsi yang lebih

dalam Dxsin3(4x) = 2[sin(4x)]3-1 Dxsin(4x)

= 3[sin(4x)]2 cos(4x) Dx(4x)

= 3[sin(4x)]2 cos(4x)4

= 12 cos(4x) sin2(4x)

CONTOH 6 Carilah Dxsin[cos(x2)].

Penyelesaian

Dxsin[cos(x2)] = cos[cod(x2)] . [-sin(x2)] . 2x

= -2x sin(x2) cos[cos(x2)]

CONTOH 7 Saat matahari terbenam dibelakang bangunan setinggi 120 kaki,

bayangan bangunan bertambah. Seberapa cepat bayangan tersebut bertambah

(dalam kaki per detik ketiak sinar matahari membuat sudut /4?. (lihat gambar 1).

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.

KALKULUS I 6