Koko Martono – FMIPA - ITB

001

Integral dengan Penggantian dan Integral Parsial Aturan Penggantian Integral tak Tentu Jika g terdiferensialkan dan F suatu anti-turunan dari f, maka ( ) ( )( ) ( ) ( )f g x g x dx F g x C= +¢Ú . Aturan Integral Parsial Jika u dan v terdiferensialkan pada selang I, maka u dv uv v du= -Ú Ú .

Rumus Teknis Integral Fungsi Elementer

1 , 1,

ln| | , 1

r

rur C r

u dr ru C r

+Ï + π -Ô= ŒÌÔ + = -Ó

Ú (untuk u > 0 dapat diperluas ke )rŒ

u ue du e C= +Ú

sin cosu du u C= - +Ú , cos sinu du u C= +Ú , tan ln | sec |u du u C= +Úcot ln | sin |u du u C= +Ú , 2sec tanu du u C= +Ú ,

2csc cotu du u C= - +Úsec tan secu u du u C= +Ú , csc cot cscu u du u C= - +Ú

2 2

1sindu uaa u

C-

-= +Ú , 2 2

11 tandu ua aa u

C-+

= +Ú , a > 0

2 21 11 | | 1

| |sec cosdu u aa a a uu u a

C C- -

-= + = +Ú , a > 0

sinh coshu du u C= +Ú , cosh sinhu du u C= +Ú

TEKINT 002

Aneka Ragam Contoh Aplikasi Integral dengan Penggantian

( 1) 1 ( 1)1 1 1 ln| 1| .x d xx dx

x x xdx dx x x C+ - ++ + += = - = - + +Ú Ú Ú Ú

( 1)( 1) 12 2ln 1 .( )d xdx dx

x x x x x x C++ + += = = + +Ú Ú Ú

(1 ) (1 )1 1 1

ln (1 ) .x x x

x x xxe e d edx

e e edx dx x e C+ - +

+ + += = - = - + +Ú Ú Ú Ú

Cara lain ( 1)1 1 1

ln ( 1) .xx

x x xxd edx e dx

e e ee C

--

- --+

+ + += = - = - + +Ú Ú Ú

2

4 2 21 2( )1 1

2 21 1 ( )tan .d xx dx

x xx C-

+ += = +Ú Ú

( )2 2 21( ) 1 1

2 24 2 ( )tan .

xx

x xxd ee dx

e ee C-

+ += = +Ú Ú

2 2 2 2

1( 2) ( 2) 224 4 ( 2) 2 ( 2)

sin .d x d xdx xx x x x

C-- - -- - - - -

= = = +Ú Ú Ú

2

2 2 2 2( 2 2) 2 ( 2 )1

22 2 2 2 2x d x xx dx dx

x x x x x x x xdx- - + - -

- - - - - - - -= - = - -Ú Ú Ú Ú

2

2 22 1( 2 ) ( 1)

2 2 1 ( 1)2 sin ( 1) .d x x d x

x x xx x x C-- - +

- - - += - - = - - - - + +Ú Ú

2 2 21( 1) 1 1

2 22 5 2 ( 1)tan .d xdx x

x x xC-+ +

+ + + += = +Ú Ú

2 2 2 2 2( 2) (2 4) (2 4 8) (2 4)1 1 1

2 2 24 5 4 5 4 5 4 5 4 54x dx x dx x dx x dx dx

x x x x x x x x x x+ + - + -- + - + - + - + - +

= = = +Ú Ú Ú Ú Ú 2

2 22 1( 4 5) ( 2)1 1

2 24 5 1 ( 2)4 ln ( 4 5) 4 tan ( 2) .d x x d x

x x xx x x C-- + -

- + + -= + = - + + - +Ú Ú

sec (sec tan ) (sec tan )sec tan sec tansec ln|sec tan | .x x x dx d x x

x x x xxdx x x C+ ++ += = = + +Ú Ú Ú

csc (csc cot ) (csc cot )csc cot csc cotcsc ln|csc cot | .x x x dx d x x

x x x xx dx x x C- -- -= = = + +Ú Ú Ú

2 21( )2

1 1 ( )sech 2 2 2tan .

xx

x x x xxd edx e dx

e e e ex dx e C-

-+ + +

= = = = +Ú Ú Ú Ú

TEKINT 003

Aneka Ragam Contoh Aplikasi Integral Parsial

Untuk menghitung ln x dxÚ , misalkan u = ln x dan dv = dx , maka dxxdu =

dan v = x, sehingga integralnya adalah

ln ln ln (ln 1) .x dx x x dx x x x C x x C= - = - + = - +Ú Ú

Untuk menghitung 2lnx x dxÚ , misalkan u = ln x dan 2dv x dx= , maka

dxxdu = dan 31

3 ,v x= sehingga integralnya adalah 2 3 3 3 2 3 21 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 9ln ln ln ln .dxxx xdx x x x x x x dx x x x C= - = - = - +Ú Ú Ú

Untuk menghitung 2ln (1 )x dx+Ú , misalkan 2ln (1 )u x= + dan dv = dx ,

maka 221

x dxx

du+

= dan dan v = x, sehingga integralnya adalah

22

2 2

2

2 2 2

2 2 1

(1 ) 11 1

1

ln (1 ) ln (1 ) 2 ln (1 ) 2

ln (1 ) 2 2 ln (1 ) 2 2 tan .

xx dxx x

dxx

x dx x x x x dx

x x dx x x x x C-

+ -+ +

+

+ = + - = + -

= + - + = + - + +

Ú Ú ÚÚ Ú

Aturan Integral Parsial u dv + du v - vÚ diferensial integral

Hitunglah 1 20

xx e dxÚ . x2 e

x

2x e

x

2 e

x

e

x

( )11 2 20 0

2 2 2x x x xx e dx x e xe e e\ = - + = -Ú .

Untuk menghitung 1sin x dx-Ú , misalkan 1sinu x-= dan dv = dx , maka

21dx

xdu

-= dan v = x, sehingga integralnya adalah

2

2 21 1 1 1 2(1 )

1 2 1sin sin sin sin 1 .d xxdx

x xxdx x x x x x x x C- - - --

- -= - = + = + - +Ú Ú Ú

+ -

+

TEKINT 004

Aneka Ragam Contoh Integral Fungsi Trigonometri

3 2 2 313sin sin sin (1 cos ) (cos ) cos cos .x dx x x dx x d x x x C= =- - =- + +Ú Ú Ú

5 2 2 2 4cos (1 sin ) (cos ) (1 2sin sin ) (sin )x dx x x dx x x d x= - = - +Ú Ú Ú

3 52 13 5sin sin sin .x x x C= - + +

( )2 1 1 1 12 2 2 4cos cos2 sin 2 .x dx x dx x x C= + = + +Ú Ú

( ) ( )( )24 1 1 1 1 1 1 12 2 4 2 4 2 2sin cos2 cos2 cos4x dx x dx x x dx= - = - + +Ú Ú Ú

1 1 1 1 3 1 14 4 8 32 8 4 32sin2 sin4 sin2 sin4 .x x x x C x x x C= - + + + = - + +

3 2 2

4 4 4 3sin sin 1 cos 1 1

coscos cos cos 3cossin (cos ) .x x x

xx x x xdx x dx d x C-= = - = - +Ú Ú Ú

2 4 18sin cos (1 cos2 )(1 cos2 )(1 cos2 )x x dx x x x dx= - + +Ú Ú

( ) ( )( )( )

2 2

3

1 1 1 1 18 8 2 2 2

1 1 1 18 2 8 6

sin 2 (1 cos2 ) cos4 sin 2 sin2

sin 4 sin 2 .

x x dx x dx x d x

x x x C

= + = - +

= - + +

Ú Ú Ú

1 1 12 10 2sin3 cos2 (sin5 sin ) cos5 cos .x x dx x x dx x x C= + = - - +Ú Ú

3 2tan tan (sec 1) tan (tan ) tanx dx x x dx x d x x dx= - = -Ú Ú Ú Ú 21

2 tan ln|sec | .x x C= - +

4 2 2 2 2cot cot (csc 1) cot (cot ) (csc 1)x dx x x dx x d x x dx= - = - - -Ú Ú Ú Ú 31

3cot cot .x x x C= - + + +

2 2

3 33 (cos )sin cos

cos cossec sin secd xx x

x xx dx dx x x dx+= = - +Ú Ú Ú Ú

21 sin 1 12 2 cos 2cos

sec (sec tan ln|sec tan |) .x dxxx

x dx x x x x C= - + = + + +Ú Ú

TEKINT 005

Penggantian trigonometri digunakan jika integran memuat bentuk akar 2 2 ,a x- 2 2 ,a x+ dan 2 2 ,x a- dengan a > 0.

Metodenya dapat diperluas untuk fungsi rasional yang penyebutnya me-muat bentuk 2 2 2 2 2 2, , dan ,a x a x a x- + + dengan a > 0.

Teknik penggantian trigonometri untuk perhitungan integralnya:

bentuk akar penggantian batasan untuk t penggantian dx

2 2a x- x = a sin t 1 12 2tp p- £ £ dx = a cos t dt

2 2a x+ x = a tan t 1 12 2tp p- < < 2secdx a t dt=

2 2x a- x = a sec t 120 ,t tp p£ £ π dx = a sec t tan t dt

Perubahan bentuk akar akibat penggantian: 2 2 2 2 2 2 2sin cos cosa x a a t a t a t- = - = = , 1 1

2 2tp p- £ £

2 2 2 2 2 2 2tan sec seca x a a t a t a t+ = + = = , 1 12 2tp p- < <

2 2 2 2 2 2 2sec tan tanx a a t a a t a t- = - = = ± , 120 ,t tp p£ £ π

Fungsi trigonometri lainnya dalam t dapat dinyatakan dalam x.

Penggantian x = a sin t: sin xat = dan

2 2cos a x

at -= .

Penggantian x = a tan t: 2 2

tansecsin t x

t a xt

+= = dan

2 2cos a

a xt

+= .

Penggantian x = a sec t: 2 2tan

secsin xt at xt ± -= = dan cos a

xt = .

TEKINT 006

Aneka Ragam Contoh Integral dengan Penggantian Trigonometri

Hitunglah integral tak tentu (a) 2

24x dx

x-Ú dan (b) 2

24 x dx

x-Ú .

(a) Daerah asal integrannya adalah (-2,2).

Gunakan penggantian x = 2 sin t, 1 12 2 ,tp p- < < maka dx = 2 cos t dt

dan 2 2 24 4 4sin 4cos 2cosx t t t- = - = = .

Akibatnya 12sin t x= dan 21

2cos 4 .t x= -

Jadi integralnya adalah 2 2

2

1 2

1 2

4sin 2cos2cos4

1 1 12 2 2

1 12 2

2 (1 cos2 ) 2 sin 2

2 2sin cos 2sin 2 4

2sin 4 .

x dx t t dttx

t dt t t C

t t t C x x x C

x x x C

-

-

◊-

= = - = - +

= - + = - ◊ ◊ - +

= - - +

Ú Ú Ú

(b) Daerah asal integrannya adalah [-2,2] - {0}.

Gunakan penggantian x = 2 sin t, 1 12 2tp p- £ £ dan t π 0, maka

dx = 2 cos t dt dan 2 2 24 4 4sin 4cos 2cosx t t t- = - = = .

Akibatnya 12sin t x= dan 21

2cos 4 .t x= -

Jadi integralnya adalah 2

2 2

2

2 2

2 1

1

4 2cos 2cos4sin

1sin

2 1 12 2

4 12

cot (csc 1)

cot cos

4 sin

sin .

x dx t t dtx t

t

x

xx

t dt t dt

t t C t t C

x x C

x C

-

-

- ◊

-

= = = -

= - - + = - - +

= - ◊ - - +

= - - +

Ú Ú Ú Ú

TEKINT 007

Hitunglah integral tak tentu (a) 216 x dx+Ú dan (b) 2 2(1 )dx

x x+Ú .

(a) Daerah asal integrannya adalah .

Gunakan penggantian x = 4 tan t, 1 12 2 ,tp p- < < maka 24secdx t dt=

dan 2 2 216 16 16tan 16sec 4secx t t t+ = + = = .

Akibatnya 14tan t x= dan 21

4sec 16 .t x= +

Dengan menggunakan 3 12sec (sec tan ln|sec tan |)t dt t t t t C= + + +Ú di-

peroleh integralnya adalah 2 2 3

1

2 21

2 2

1 1 1 14 4 4 4

12

16 4sec 4sec 16 sec

8(sec tan ln|sec tan |)

8 16 8ln 16

16 8ln 16 .( )| |

x dx t t dt t dt

t t t t C

x x x x C

x x x x C

+ = ◊ =

= + + +

= ◊ + ◊ + + + +

= + + + + +

Ú Ú Ú

(b) Daerah asal integrannya adalah {0}- .

Gunakan penggantian x = tan t, 1 12 2 ,tp p- < < maka 2secdx t dt= dan

2 2 2 2 2 2 4(1 ) (1 tan ) (sec ) secx t t t+ = + = = , sehingga 2sec 1 .t x= +

Akibatnya 2

tansec 1

sin t xt x

t+

= = .

Jadi integralnya adalah 2 2

2

2

2 2 4 2

2

22

sin 1cos cos

2

sec cos cossin(1 ) tan sec tan sec

(1 sin ) (sin ) (sin )sin sin

1 | |2 2(1 )1

sin (sin )

ln|sin | sin ln .

tt t

dx t dt dt dt t t dttx x t t t t

t d t d tt t

x xxx

t d t

t t C C

+ ◊ ◊ ◊

-

++

= = = =

= = -

= - + = - +

Ú Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú

TEKINT 008

Hitunglah integral (a) 24

2

4xx dx-Ú dan (b)

3

2 4

x

xe dxe -Ú .

(a) Daerah asal integrannya adalah 2x ≥ atau 2x £ - yang memuat [2,4].

Gunakan penggantian x = 2 sec t, 120 ,t p£ < maka 2sec tandx t t dt=

dan 2 2 24 4sec 4 4 tan 2 tanx t t t- = - = = . Akibat penggantian ini,

2 sec 1 0x t t= fi = fi = dan 4 sec 2 /3x t t p= fi = fi = Jadi integralnya adalah

( )

24 /3 /3 22 0 0

/3 /3200

4 2tan2sec

13

2sec tan 2 tan

2 (sec 1) 2 tan 2( 3 ).

x tx tdx t t dt t dt

t dt t t

p p

p p p

- = ◊ =

= - = - = -

Ú Ú ÚÚ

(b) Daerah asal integrannya adalah ln 2x > . Gunakan dahulu penggantian xu e= dengan xdu e dx= , sehingga in-tegralnya menjadi

3 2 2

2 2 24 4 4

x x x

x xe dx e e dx u due e u

◊

- - -= =Ú Ú Ú .

Karena ln 2x > , maka 2xu e= > , sehingga integral dalam peubah u terdefinisi untuk 2u > . Gunakan penggantian u = 2 sec t, 1

20 ,t p£ <

maka 2sec tandu t t dt= dan 2 2 24 4sec 4 4tan 2tan .u t t t- = - = =

Akibatnya 1 12 2sec xt u e= = dan 2 21 1

2 2tan 4 4xt u e= - = - .

Jadi integralnya adalah 3 2 2

2 23

1

2 2

4sec 2sec tan2tan4 4

12

4 sec

2(sec tan ln|sec tan |)

4 2ln 4 .( )

x

x

x x x x

e dx u du t t t dtte u

t dt

t t t t C

e e e e C

◊- -

= = =

= + + +

= - + + - +

Ú Ú Ú Ú

TEKINT 009

Hitunglah integral tak tentu (a) 24x x dx-Ú dan (b) 2 3/ 2(1 9 )x dx-+Ú .

(a) Daerah asal integrannya adalah 0 4x£ £ . Integralnya dapat ditulis dalam bentuk

2 24 4 ( 2)x x dx x dx- = - -Ú Ú

Gunakan penggantian x - 2 = 2 sin t, 1 12 2 ,tp p- £ £ maka 2cosdx t dt=

dan 2 2 2 24 4 ( 2) 4 4sin 4cos 2cosx x x t t t- = - - = - = = .

Akibatnya 212cos 4 ,t x x= - 1

2sin ( 2)t x= - , dan 1 12sin ( 2)t x-= - .

Jadi integralnya adalah 2 2 2

1 21 12 2

4 4 ( 2) 2cos 2cos 4 cos

(2 2cos ) 2 sin 2 2 2sin cos

2sin ( 2) ( 2) 4 .

x x dx x dx t t dt t dt

t dt t t C t t t C

x x x x C-

- = - - = ◊ =

= + = + + = + +

= - + - - +

Ú Ú Ú ÚÚ

(b) Daerah asal integrannya adalah .

Gunakan penggantian 1 1 13 2 2tan , ,x t tp p= - < < maka 21

3 secdx t dt= dan

2 3/ 2 2 3/ 2 2 3/ 2 3(1 9 ) (1 tan ) (sec ) cosx t t t- - -+ = + = = .

Akibatnya tan 3t x= dan 2 1/ 2cos (1 9 )t x -= + , sehingga

22 1/ 2 3

1 9sin tan cos 3 (1 9 ) x

xt t t x x -

+= ◊ = + =

Jadi integralnya adalah

2 2

2 3/ 2 3 21 1 13 3 3

1 33 1 9 1 9

(1 9 ) cos sec cos sin

.x xx x

x dx t t dt t dt t C

C C

-

+ +

+ = ◊ = = +

= ◊ + = +

Ú Ú Ú

TEKINT 010

Fungsi rasional adalah ( )( )( ) P x

Q xf x = dengan P dan Q sukubanyak, Jika

derajat P ≥ derajat Q, maka fungsi f dapat ditulis dalam bentuk ( )( )( ) ( ) S x

Q xf x H x= + , H dan S sukubanyak dengan der S < der Q.

Berdasarkan teorema dasar aljabar, setiap sukubanyak dengan koefisien real dapat diuraikan atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positif. Ilustrasi Untuk sebarang konstanta a berlaku

2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( )x a x ax ax a x x a a x a x a x a- = + - - = + - + = + - 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2( )( )x a x ax ax a x a x a x a x ax a- = - + - + - = - + + 4 4 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )( )( )x a x a x a x a x a x a- = + - = + + - 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )x a x a ax x a ax x a ax+ = + - = + + + -

Untuk menghitung ( )( )( ) ( ) S x

Q xf x dx H x dx dx= +Ú Ú Ú , uraikan sukubanyak

Q atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positif dan buatlah dekom-posisi untuk ( )

( )S xQ x menjadi pecahan bagian dengan cara berikut.

Untuk setiap faktor linear ( )max b+ dari Q buatlah dekomposisi 1 2 3

2 3( ) ( ) ( )m

mA A A A

ax b ax b ax b ax b+ + + ++ + + + .

Ilustrasi (a) 2 1 1 1( 1) 1x

x x x x-- -= + (b)

2

2 23 2 1 1 1 2

1( 1)x x

x xx x x- +

--= - +

Untuk setiap faktor kuadrat definit positif 2( )npx qx r+ + dari Q buat-lah dekomposisi

1 1 2 22 2 2 2( ) ( )

n nn

B x CB x C B x Cpx qx r px qx r px qx r

++ ++ + + + + +

+ + + .

Ilustrasi (a) 2

2 23 2 2 3

( 1) 1x x x

xx x x+ + -

+ += - (b) 2 2 2 2 2

1( 1) 1 ( 1)

1 x xx x x x+ + +

= - -

TEKINT 011

Hitunglah integral tak tentu (a) 22 1xx x

dx--Ú dan (b)

2

3 23 2 1x x

x xdx- +

-Ú

(a) Daerah asal integrannya adalah 0x π dan 1x π . Penyebut dari integrannya adalah 2 ( 1)x x x x- = - , yang mempunyai dua faktor linear.

Tulislah 22 1 2 1

( 1) 1x x A B

x x x xx x- -

- --= = + kemudian tentukan konstanta A

dan B. Kalikan setiap ruasnya dengan ( 1),x x- diperoleh 2 1 ( 1)x A x Bx- = - +

Karena berlaku x" Π, maka untuk x = 0: -1 = -A fi A = 1 dan untuk x = 1: 1 = A fi B = 1

Jadi 22 1 2 1 1 1

( 1) 1x x

x x x xx x- -

- --= = + , sehingga integralnya adalah

22 1 1 1

1 ln| | ln| 1| ln| ( 1)| .xx xx x

dx dx dx x x C x x C---

= + = + - + = - +Ú Ú Ú

(b) Daerah asal integrannya adalah 0x π dan 1x π . Penyebut dari integrannya adalah 3 2 2( 1)x x x x- = - , yang mempunyai dua faktor linear dengan faktor x terulang dua kali.

Tulislah 2 2

3 2 2 23 2 1 3 2 1

1( 1)x x x x A B C

x xx x x x x- + - +

-- -= = + + kemudian tentukan kon-

stanta A, B, dan C. Kalikan setiap ruasnya dengan 2( 1),x x- diperoleh 2 23 2 1 ( 1) ( 1)x x Ax x B x Cx- + = - + - +

Karena berlaku x" Π, maka untuk x = 0: 1 = -B fi B = -1; untuk x = 1: 2 = C fi C = 2; untuk x = -1: 6 = 2A - 2B + C fi A = 1.

Jadi 2 2

3 2 2 23 2 1 3 2 1 1 1 2

1( 1)x x x x

x xx x x x x- + - +

-- -= = - + , sehingga integralnya adalah

2

3 2 2

2

3 2 1 1 1 2 11

1

ln| | 2ln| 1| .

ln | |( 1) .

x xx x xx x x

x

dx dx dx dx x x C

x x C

- +--

= - + = + + - +

= + - +

Ú Ú Ú Ú

TEKINT 012

Hitunglah integral tentu 2

3

3

13 2x x

x xdx+ +

+Ú .

Daerah asal integrannya adalah 0,x π yang memuat selang 1, 3[ ].

Hitung dahulu integral tak tentu 2

33 2x x

x xdx+ +

+Ú .

Penyebut dari integrannya adalah 3 2( 1)x x x x+ = + , yang mempunyai satu faktor linear dan satu faktor kuadrat definit positif.

Tulislah 2 2

3 2 23 2 3 2

( 1) 1x x x x A Bx C

xx x x x x+ + + + ++ + +

= = + kemudian tentukan konstanta

A, B, dan C. Kalikan setiap ruasnya dengan 2( 1)x x + , diperoleh 2 23 2 ( 1) ( )x x A x x Bx C+ + = + + +

Karena berlaku x" Π, maka untuk x = 0: 2 = A fi A = 2 untuk x = 1: 6 = 2A + B + C fi B + C = 2 untuk x = -1: 0 = 2A + B - C fi B - C = -4

Jadi 2 2

3 2 2 23 2 3 2 2 3 2 3

( 1) 1 1x x x x x x

x xx x x x x x+ + + + - + -+ + + +

= = + = - ,

sehingga integral tak tentunya adalah 2

3 2 2

2

2 2

2

2

2 1

1

3 2 2 3 2 1 2 621 1

( 1)1 12 21 1

1

2 3 2ln| | ln ( 1) 3tan

ln 3tan .

x x x xx xx x x x

d xdx dxx x x

xx

dx dx dx dx dx

x x x C

x C

-

-

+ + - -+ + +

++ +

+

= - = -

= - + = - + + +

= + +

Ú Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú

Karena itu integral tentunya adalah 2 2

3 2

33 1

11

3 2 3 1 1 12 3 421

3 12 4

ln 3tan ln 3 ln 3

ln 2 .

x x xx x x

dx x p p

p

-+ ++ +

Ê ˆ= + = + ◊ - - ◊Á ˜Ë ¯

= +

Ú

fi B = -1 dan C = 3

TEKINT 013

Hitunglah integral tak tentu 2 2( 1)dx

x x +Ú .

Daerah asal integrannya adalah 0.x π Penyebut dari integrannya mempunyai satu faktor linear dan satu faktor kuadrat definit positif yang terulang dua kali.

Tulislah 2 2 2 2 21

( 1) 1 ( 1)A Bx C Dx Exx x x x

+ ++ + +

= + + kemudian tentukan konstanta A,

B, C, D, dan E. Kalikan setiap ruasnya dengan 2 2( 1)x x + , diperoleh 2 2 21 ( 1) ( )( 1) ( )A x x Bx C x x Dx E= + + + + + + ,

atau 4 2 2 2 21 ( 2 1) ( )( 1) ( )A x x Bx Cx x Dx Ex= + + + + + + + .

Karena berlaku x" Œ , maka ambillah x = 0 dan buatlah sama koefisien dari x yang berpangkat sama di ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh • untuk x = 0: 1 = A fi A = 1; • untuk koefisien x4

: 0 = A + B fi B = -A = -1; • untuk koefisien x3

: 0 = C fi C = 0; • untuk koefisien x2

: 0 = 2A + B + D fi D = -2A - B = -2 + 1 = -1; • untuk koefisien x : 0 = E fi E = 0. Akibatnya A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, dan E = 0.

Jadi 2 2 2 2 21 1

( 1) 1 ( 1)x x

xx x x x+ + += - - , sehingga integralnya adalah

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 222

( 1) ( 1)1 12 2( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)

1 1 | | 12 2( 1) 2( 1)1

ln| | ln ( 1) ln .

d x d xdx dx dx xdx dxx xx x x x x x

xx xx

x x C C

+ ++ + + + +

+ ++

= - - = - -

= - + + + = + +

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Catatan Pada halaman 7 soal ini diselesaikan dengan penggantian x = tan t, 1 12 2 .tp p- < < Hasilnya adalah

2

2 2 22| |

(1 ) 2(1 )1ln .dx x x

x x xxC

+ ++= - +Ú

Kedua hasil ini berbeda konstanta karena 2 2

2 2 2 21 1 1 1 1 1

2 22(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )x x

x x x x+ -

+ + + +- = - = - + = -

TEKINT 014

Integral Fungsi Rasional dalam Sinus dan Cosinus

Integral fungsi rasional dalam sin x dan cos x dapat dinyatakan sebagai integral fungsi rasional biasa dengan penggantian

12tan ,t x xp p= - < < .

Akibat penggantian ini,

22 2 21 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 1sec 1 tan 1( )( ) dt

tdt x dx x dx t dx dx

+= = + = + fi = ,

2 2 2

1 1 12 2 21 1 12 2 2

2sin tan 2tan1 1 1 22 2 2cos sec 1 tan 1

sin 2sin cos 2 cos 2x x x tx x x t

x x x x+ +

= = ◊ = = = , 2 2

2 2 2 2 21 12 2

2 1 2 2 2 2 1 12 sec 1 tan 1 1 1

cos 2cos 1 1 1 1 t tx x t t t

x x - - -+ + + +

= - = - = - = - = = .

Penggantian dapat dimodifikasi sesuai dengan keperluan perhitungan.

Hitunglah integral tak tentu 1 sin cosdxx x+ -Ú .

Daerah asal integrannya adalah cos sin 1,x x- π atau 122 ,( )x n npπ - Œ .

Dengan penggantian 12tan ,t x xp p= - < < integralnya menjadi

2

2

2 2

2 2 2

212 1

1 1

21 sin cos ( 1)1 2 11

dtt

t tt t

dx dt dt dtx x t tt t t t t

+-

+ +

+ - ++ + - + ++ -= = = =Ú Ú Ú Ú Ú

Untuk menghitung ( 1)dt

t t+Ú , tulislah 1( 1) 1

A Bt t t t+ += + kemudian tentukan

konstanta A dan B. Dengan proses seperti contoh sebelumnya diperoleh A = 1 dan B = -1, sehingga

1 1 1( 1) 1t t t t+ += - .

Jadi integralnya adalah

12

12

1 sin cos ( 1) 1

tan1 1 tan

ln| | ln| 1|

ln ln .

dx dt dt dtx x t t t t

xtt x

t t C

C C

+ - + +

+ +

= = - = - + +

= + = +

Ú Ú Ú Ú

TEKINT 015

Persamaan Diferensial Logistik

Persamaan diferensial logistik terkait model matematika dengan asumsi laju pertumbuhan suatu populasi sebanding dengan perkalian antara po-pulasinya dengan selisih antara besaran tertentu dan populasinya. Aplikasi persamaan diferensial logistik Pertumbuhan populasi jangka panjang, epidemi, penjualan suatu produk baru, penyebaran rumor (go-sip), pertumbuhan perusahaan, dan sebagainya. Jika populasi pada setiap saat t adalah y = y(t), maka persamaan diferensial logistiknya

1( ); , 0, dan (0) .dy Mdt cky M y k t y += - > =

Solusi persamaan ini adalah

1 kM tM

cey -+= .

y M 0 t

Persamaan ini diselesaikan dengan metode pemisahan peubah dan inte-gral fungsi rasional, prosesnya sebagai berikut.

( )dydt ky M y= -

( )M

y M y dy kM dt- =

Tulislah ( )M A B

y M y y M y- -= + ,

maka ( ) ,M A M y By y= - + Πy = 0 : M = AM fi A = 1 y = M : M = BM fi B = 1

Akibatnya 1 1( )

My M y y M y- -= + ,

sehingga

( )1 1y M y dy kM dt-+ =

( )1 1y M y dy kM dt-+ =Ú Ú

1ln yM y kMt c- = +

12

kM t c kM tyM y e c e+

- = =

23

1kM t

kM tM yy c e

c e-- = =

3kM tM y yc e-- =

3(1 )kM ty c e M-+ =

31 kM tM

c ey -+=

Dari 1(0) Mcy += diperoleh

31 1M M

c c+ += ,

sehingga c3 = c. Jadi solusi persama-an diferensial adalah

1 kM tM

cey -+= .

1M

c+ 1 kM t

Mce

y -+=

TEKINT 016

Perkembangan populasi sejenis hewan di suatu hutan lindung memenuhi persamaan diferensial logistik 0,0003 (2000 ).y y y= -¢ Jika saat diamati populasi awalnya 800 hewan, tentukan (a) besarnya populasi saat t = 2, (b) saat t di mana populasinya 1500, (c) populasi untuk jangka panjang.

(a) Berdasarkan sifat persamaan diferensial logistik, populasi saat t adalah

1( ) kM t

Mce

y y t -+= = dengan M = 2000, k = 0,0003, dan y(0) = 800; yaitu

0,62000

1( ) .tce

y t -+= Dari y(0) = 800 diperoleh 2000

1 800,c+ = sehingga 1 + c = 2,5

dan c = 1,5. Jadi populasi hewan pada saat t adalah 0,62000

1 1,5( ) te

y y t -+= = ,

sehingga populasinya saat t = 2 adalah y(2) ª 1378. (kalkulator)

(b) Carilah t sehingga 0,62000

1 1,51500 te-+

= . Dari sini diperoleh 0,6 431 1,5 te-+ = .

Akibatnya 0,6 29

te- = , atau 290,6 ln 1,504t- = = - , sehingga t = 2,51.

(c) Populasi jangka panjang adalah 0,62000

1 1,5lim ( ) lim 2000.tt t e

y t -Æ Æ• • += =

Andaikan bumi kita dapat mendukung paling banyak 16 milyar pendu-duk, yang perkembangan populasinya memenuhi persamaan diferensial logistik (16 ).y ky y= -¢ Jika saat t = 0 tahun 1925 penduduk bumi 2 mil-yar, tahun 1975 naik menjadi 4 milyar, tentukan (a) penduduk bumi pada tahun 2015 dan (b) tahun pada saat penduduk bumi mencapai 9 milyar.

(a) Seperti jawaban di atas, 1616

1( ) ktce

y t -+= . Dari y(0) = 2 diperoleh 16

1 2,c+ =

sehingga 1 + c = 8 dan c = 7. Jadi 1616

1 7( ) kte

y t -+= dengan y(50) = 4. Dari

sini diperoleh 80016

1 74,ke-+

= sehingga 1 7800 3lnk = . Jadi ( )71 ln50 3

16

1 7( )

te

y t-

+=

dan penduduk bumi tahun 2015 adalah y(90) ª 6,34 milyar.

(b) Carilah t sehingga y(t) = 9. Dari ( )71 ln50 3

16

1 79

te-

+= diperoleh 7

3

50ln9ln 130,t = ª

sehingga penduduk bumi mencapai 9 milyar pada tahun 2055.

SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 2A – 2010/2011 Pokok Bahasan: Teknik Pengintegralan

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Untuk menghitung 49xx

dx+Ú dapat digunakan penggantian 2.u x= B − S

2. Untuk menghitung 233 5x x

dx- +Ú tulislah ( )21 32

2 43 5 1 2x x x- + = - + . B − S

3. Integral 1sin x dx-Ú dapat dihitung tanpa menggunakan rumus integral parsial. B − S

4. Untuk menghitung 224

xx x

dx+- -Ú gantilah x dengan suatu fungsi trigonometri. B − S

5. Untuk menghitung 2 5sin cosx x dxÚ tulislah 2 5 2 2 2sin cos sin (1 sin ) cosx x x x x= - B − S

6. Integral 2ln x dxÚ dapat dihitung dengan penggantian lnu x= dan integral parsial. B − S

7. Untuk menghitung 2

2 1x

xdx

-Ú tulislah 2

2 1 11x A B

x xx - +-= + serta carilah A dan B. B − S

8. Setiap sukubanyak berkoefisien real dapat difaktorkan sehingga menjadi hasilkali sukubanyak linear yang berkoefisien real. B − S

9. Untuk menghitung 2

21

( 1)x

x xdx+

-Ú tulislah 2

2 21

1( 1)x A B

xx x x+

--= + serta carilah A dan B. B − S

10. Untuk menghitung 1sin cosx x dx-Ú dapat digunakan penggantian 1

2tant x= . B − S

Hitunglah setiap integral berikut.

11. 2

2x

xe

e dx-Ú 12. tanln |cos |

xx dxÚ 13. 49

xx

dx+Ú

14. 2cotx x dxÚ 15. xe dxÚ 16. cos sin2xe x dxÚ

17. 21

8x xdx

-Ú 18. 2(sec tan )x x dx-Ú 19. 3sec x dxÚ

20. lnx x dxÚ 21. 2ln x dxÚ 22. 2ln (1 )x dx+Ú

23. 1x x dx-Ú 24. 2 1x dx+Ú 25. 2

21x

xdx

-Ú

26. 21

9xdx

-Ú 27. 2 1xx dx-Ú 28. 2

24x

xdx+

-Ú

29. 2 3 2x

x xdx

- +Ú 30. 21

( 1)x xdx

+Ú 31. 334

xx x

dx+-Ú

32. 2

2 2( 1)( 1)

xx

dx++Ú 33. cosxe x dxÚ 34. sin (ln )x dxÚ

Soal Aneka Ragam

35. Buktikan kesamaan sin coscos 1 sinsec x x

x xx += + dan gunakan untuk menghitung sec x dxÚ .

36. Gunakan penggantian u x p= - dan sifat simetri membuktikan 22 20

|sin |1 cos

.x xx

dxp

p+

=Ú

37. Buktikan ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b bb b

a aa a af x dx x f x x f x dx x a f x x a f x dx= - = - - -¢ ¢Ú Ú Ú kemudian guna-

kan hasil ini dengan mengganti f oleh f ¢ untuk membuktikan

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .b b b

a a af b f a f x dx f b b a x a f x dx f a b a x b f x dx- = = - - - = - - -¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢Ú Ú Ú

38. Buktikan untuk sebarang bilangan bulat m dan n dengan m π n berlaku cos cos 0.mx nx dxp

p-=Ú

39. Daerah diwarnai gelap pada gambar di kanan dibatasi kurva y = sin x, 0 £ x £ p dan garis y = k, 0 £ k £ 1. Daerah ini diputar terhadap garis y = k sehingga membenbuk benda putar B. Tentukan k agar benda B mempunyai volum (a) minimum (b) maksimum.

y

y = sin x k y = k 0 p x

40. Pertumbuhan suatu populasi memenenuhi persamaan diferensial logistik (1 ), (0) 0,5y y y y= - =¢ . Gunakan solusi persamaannya untuk memperkirakan besarnya populasi pada saat t = 3.

41. Andaikan bumi kita dapat mendukung paling banyak 16 milyar penduduk, yang perkembangan populasinya memenuhi persamaan diferensial logistik (16 ).y ky y= -¢ Jika saat t = 0 tahun 1925 penduduk bumi 2 milyar, tahun 1975 naik menjadi 4 milyar, tentukan (a) solusi persamaannya, (b) penduduk bumi pada tahun 2015, dan (c) tahun saat penduduk bumi mencapai 9 milyar.

42. Daerah D terletak di kuadran pertama, dibatasi kurva 24/( 4)y x= + , garis x = 2, sumbu x, dan sumbu y. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

43. Daerah D terletak di kuadran pertama, dibatasi kurva 1 1/y x= + dan garis x = 3, sumbu x, dan sumbu y. Tentukan pusat daerah D.

Kunci Jawaban

1. B 2. B 3. S 4. S 5. B 6. B 7. S 8. S 9. S 10. B 11. 2ln | 2|x xe e C+ - + 12. ln ln |cos || |x C- +

13. 1 11 26 3

tan ( )x C- + 14. 1 22

cot ln|sin |x x x x C- - + + 15. 2 2x xx e e C- + 16. cos cos2cos 2x xxe e C- + +

17. 114

sin ( 4)x C- - + 18. 2tan 2secx x x C- - + 19. 12

(sec tan ln|sec tan |)x x x x C+ + + 20. 1 12 22 4

lnx x x C- +

21. 2ln 2 ln 2x x x x x C- + + 22. 2 1ln (1 ) 2 2 tanx x x x C-+ - + + 23. 2 25/2 3/25 3

(1 ) (1 )x x C- - - +

24. ( )1 12 22 2

1 ln 1x x x x C+ + + + + 25. 1 11 22 2

sin 1x x x C- - - + 26. 2ln 9| |x x C+ - +

27. 2 11 secx x C-- - + 28. 12 12

4 2sinx x C-- - + + 29. 2( 2)

| 1|ln xx C-- + 30. 1

1 1ln| |xx x C+ ++ +

31. 18

5

6( 2) ( 2)ln| |x x

xC- + + 32. 1

21

1tan

xx C-

+- + 33. 1

2(cos sin )xe x x C+ + 34. ( )1

2sin (ln ) cos(ln )x x x C- +

39. (a) 2k p= , (b) k = 1 40. 1( ) , (3) 0,953t

te

ey t y+= ª 41. (a) ( )71 ln50 3

16

1 7( )

tey t

-+= , (b) (90) 6,34 milyary ª ,

41. (c) tahun 2055. 42. ( )1 14 2p p+ 43. pusat D ∫ 4 1

3 2( , ), , ln2x y x y= = .