k5 lentur

1

Momen Lentur (Bending Moment)Momen Lentur (Bending Moment)Ir. Elvira, MT. PhD.Ir. Elvira, MT. PhD.

1

Momen LenturMomen Lentur

Momen di titik C dan D adalah:Momen di titik C dan D adalah:

( )3,032=−= DC MM

Nm 6,9=

Contoh:Contoh:

2

2

Perilaku Bahan Akibat LenturPerilaku Bahan Akibat Lentur

Karena batang berdeformasi:Karena batang berdeformasi:Serat atas memendekSerat atas memendekSerat bawah memanjangSerat bawah memanjang

Karena momen batang Karena momen batang menjadi melengkungmenjadi melengkung

3

Gaya horisontalGaya horisontal ∫ = 0dAxσ

Momen terhadap sumbu y:Momen terhadap sumbu y: ∫ = 0dAz xσ

Momen terhadap sumbu z:Momen terhadap sumbu z: ( )∫ −= dAyM xσ4

3

Panjang DE adalah L:Panjang DE adalah L:

ρθ=L

Panjang JK adalah L’:Panjang JK adalah L’:

( )θρ yL −='ρρ Adalah jariAdalah jari--jari kelengkungan jari kelengkungan

5

Sebelum balok berdeformasi L=L’, Sebelum balok berdeformasi L=L’, setelah berdeformasi perubahan setelah berdeformasi perubahan panjang pada serat JK adalah:panjang pada serat JK adalah:

LL −= 'δ

Atau:Atau:

( ) θρθθρδ yy −=−−=

Regangan pada serat JK Regangan pada serat JK menjadi:menjadi:

ρρθθδε yy

Lx −=−==

6

4

Regangan maksimum terjadi pada Regangan maksimum terjadi pada y=c, jadi regangan maksimum:y=c, jadi regangan maksimum:

Jadi, regangan pada Jadi, regangan pada sembarang titik berjarak y dari sembarang titik berjarak y dari garis netral adalah:garis netral adalah:

ρε c

m −=

mx c

y εε −= …(2)…(2)

7

Hubungan tegangan regangan adalah:Hubungan tegangan regangan adalah:

Kalikan ruas kiri dan kanan dari Pers. (2) dengan E, didapat:Kalikan ruas kiri dan kanan dari Pers. (2) dengan E, didapat:

xx Eεσ =

( )mx Ec

yE εε −=

Dimana: E adalah modulus elastisitasDimana: E adalah modulus elastisitas

atauatau

mx c

yE σε −=

Jadi:Jadi:

mx c

y σσ −= …(3)…(3)

8

5

Tulis ulang Pers. (1)Tulis ulang Pers. (1)

( )∫ −= dAyM xσ

Substitusikan Pers. (3) ke Pers. (1) didapat:Substitusikan Pers. (3) ke Pers. (1) didapat:

∫

−−= dAc

yyM mσ

∫= dAyc

m 2σ

Ic

mσ=

atau:atau:

I

Mcm =σ

Dimana: I adalah momen inersia penampangDimana: I adalah momen inersia penampang

…(1)…(1)

∫= dAyI 2

9

Tegangan pada serat sejarak y dari garis netral adalah:Tegangan pada serat sejarak y dari garis netral adalah:

atau:atau:

c

IS =

I

Myx =σ

S

Mm =σ S adalah modulus elastik penampangS adalah modulus elastik penampang

Untuk balok persegi:Untuk balok persegi:

3

12

1bhI = 2

3

6

1

2/121

bhh

bh

c

IS =

==dandan

10

6

Sebelumnya diketahui:Sebelumnya diketahui:

atau:atau:ρ

ε cm −=

cmε

ρ=1

Sedangkan:Sedangkan:E

mm

σε =

Jadi:Jadi:

Ecmσ

ρ=1

I

Mcm =σSedangkan:Sedangkan:

Jadi:Jadi:

EI

M=ρ1

ρ1

adalah curvature adalah curvature

11

3121 bhI =

Momen Inersia PenampangMomen Inersia Penampang

Hitung momen inersia dari penampang berikut:

b = 15 cm

h = 30 cm

( )3121 3015=

4cm 33750=

Contoh:

Jawab:

12

7

30 cm

20 cm

20 cm21

2211

AA

yAyAY

++=

( ) ( )( ) ( )20202030

302020102030

xx

xx

++=

Letak garis netral:

18=

AA11

AA22

Y

30 cm

20 cm

20 cm

Hitung momen inersia penampang berikut:

2y

13

30 cm

222

32212

1211

31112

1 dAhbdAhb +++=

Momen Inersia Penampang:

4cm 3.165333=

20 cm

20 cm

d1 =12 cm ( )( ) ( )( )( )23121 1220202020 +=

AA11

AA22d2 = 8 cm

20 cm

( )( ) ( )( )( )23121 220302030 ++

4-3 m 10 x 65.1=

2222

2111 dAIdAII +++=

14

8

Sebuah balok baja berbentuk persegi dengan ukuran 20x60 mm Sebuah balok baja berbentuk persegi dengan ukuran 20x60 mm diberi momen. Hitung momen maksimum yang dapat dipikul bila diberi momen. Hitung momen maksimum yang dapat dipikul bila tegangan maksimum yang bisa ditahan oleh baja sebesar 250 MPategangan maksimum yang bisa ditahan oleh baja sebesar 250 MPa

Contoh:Contoh:

( )( ) 4331213

121 mm 10x3606020 === bhI

Jawab:Jawab:

( ) Nm 3000MPa 250m 03.0

m10 x 360 49

===−

mc

IM σ

15

Pertanyaan:Pertanyaan:

Kuis:Kuis:

kN/m 2000=q

4 m4 m

Perhatikan balok diatas dua tumpuan sederhana berikut dibebani dengan beban terbagi rata 2000 kN/m.

a. Hitung tegangan lentur yang terjadi pada serat paling atas dan bawah pada tengah bentang bila penampang yang digunakan adalah sbb:

30 cm

50 cm

16

9

b. Sama seperti soal a), hanya penampang yang digunakan berbentuk I dengan ukuran sebagai berikut:

2 cm

2 cm

20 cm

20 cm

3 cm

17

c. Sama seperti soal a), hanya penampang yang digunakan berbentuk I dengan ukuran sebagai berikut:

20 cm

18

2 cm

20 cm

20 cm

3 cm

10

Lentur dari Balok dari Beberapa Lentur dari Balok dari Beberapa MaterialMaterial

h1

h2

h1

h2

b2 = nb1

b1 b1

E1

E2=nE1

E1

Real Cross Section(RCS) Equivalent Cross Section

(ECS) 19

h1

h2

b1

E1

E2=nE1

RCSECS

Kondisi Tegangan-Regangan

bε

aε

bσ

aσ aσ

cσ cnσ

bnσ

cε

Regangan TeganganECS

TeganganRCS

nb1

Grs. Netral

ECSIE

M

1

1 =ρ

ρε y

x −= ECSx I

My=σ

E1

20

RCS=Real Cross SectionECS=Equivalent Cross Section

11


ContohContoh

4 m4 m

Perhatikan balok di atas dua tumpuan sederhana berikut dibebani dengan beban terbagi rata 2000 kN/m. E1 =200 GPa, E2 =300 GPa,


20 cm

EE11

EE22

20 cm

20 cm

b. Hitung pula regangan yang terjadi pada serat paling atas dan paling bawah

q = 2000 kN/m

21

Jawab:Jawab:� Momen pada tengah bentang:

30 cm

EE11 20 cm

20 cm

( )( ) kNm 4000420008

1

8

1M 22

max === qL

� Equivalent Cross Section:

E1 =200 GPa, E2 =300 GPa, jadi n= E2/ E1 = 3/2 = 1.5

Lebar ECS adalah = nb=1.5x 20 = 30 cm

21

2211

AA

yAyAY

++=

( ) ( )( ) ( )20202030

302020102030

xx

xx

++=

Letak garis netral:

18=

AA11

AA22Y

22ECS

12

30 cm

222

32212

1211

31112

1 dAhbdAhbI +++=

Momen Inersia Penampang:

4cm 3.165333=

20 cm

20 cm

d1 =12 cm( )( ) ( )( )( )23

121 1220202020 +=AA11

AA22d2 = 2 cm

20 cm

( )( ) ( )( )( )23121 220302030 ++

4-3 m 10 x 65.1=

23

ECS

� Tegangan:

- Serat atas:( )

( )31065.1

22.04000000−==

I

Mc aaσ

2N/m 5.532258064=

MPa 2.532=( )

( )31065.1

18.04000000−==

I

Mc bbσ

2N/m 435483871=MPa 5.435=

- Serat bawah:

- Tegangan pada serat bawah pada penampang sebenarnya:

( ) MPa 2.6535.4355.1' === bb nσσ

30 cm

20 cm

20 cm

ca =22 cm

cb = 18 cm

20 cm

24

13

30 cm

20 cm

20 cm

ca =22 cm

cb = 18 cm

20 cm

� Regangan- Serat atas:

EI

M=ρ1

- Serat bawah:

( )( )( )39 1065.110200

4000000−=

012.0=

( )012.022.0−=−=ρ

ε axa

c

0266.0=( )012.018.0==

ρε b

xb

c

0217.0=Catatan: Regangan tidak mempunyai satuan

25


KuisKuis

4 m4 m

Perhatikan balok di atas dua tumpuan sederhana berikut dibebani dengan beban terbagi rata 2000 kN/m. E1 =100 GPa, E2 =250 GPa,


10 cm

EE11

EE22

40 cm

20 cm

b. Hitung pula regangan yang terjadi pada serat paling atas dan paling bawah

35 cm

5 cm

5 cm

5 cm

q = 2500 kN/m

26

k5 lentur

Documents