jika maka: a a a –a a a -a a a · ij matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j m ij contoh :...
TRANSCRIPT
![Page 1: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/2.jpg)
• JIka maka:
• det(A)= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23 –
a a a – a a a - a a a
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
a13a22 a13 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33
atau
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A =
![Page 3: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/3.jpg)
−−
−
=
122
011
123
B
Tentukan determinan matriks
Jawab :
123 − 23
( )122
011
123
det
−−
−
=B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3( −−−−−−−−+−+=
202203 −−−++=
1=
22
11
23
−−
![Page 4: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/4.jpg)
Misalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A
dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j
matriks A.
Contoh :
=
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A13
1 2
maka 1
0 1
M = =
![Page 5: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/5.jpg)
Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
=A
maka
= (– 1)3 (2 – 0)
= – 2
( )1 2
12
1 1 1
0 2C
+= −
2 1 0
![Page 6: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/6.jpg)
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ainCin=1
n
ij ij
j
a c=∑
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang kolom ke-j
det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj =
1j=
1
n
ij ij
i
a c=∑
![Page 7: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/7.jpg)
Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
=
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Jawab :
Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang bariske-3
![Page 8: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/8.jpg)
2 1 0
1 2 1
0 1 2
=
A
3
3 3 31 31 32 32 33 33
1
det( ) j j
j
A a c a c a c a c=
= = + +∑
( )3 1 4
31 31
1 0( 1) ( 1) 1 (1)(1) (0)(2) 1 0 1
2 1c M+= − = − = − = − =
( )3 2 5
32 32
2 0( 1) ( 1) 1 (2)(1) (0)(1) 1(2 0) 2
1 1c M+= − = − =− − =− − =−
1 1
( )3 3 6
33 33
2 1( 1) ( 1) 1 (2)(2) (1)(1) 4 1 3
1 2c M+= − = − = − = − =
det( ) 0(1) 1( 2) 2(3) 0 2 6 4A = + − + = − + =
![Page 9: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/9.jpg)
Tentukan determinan matriks dengan ekspansi
kofaktor
2 1 1
1 2 1C
=
3 2 0
0 1 0D
− =
= 043
012
A
−
= 217
311
B 1 2 1
1 1 2
C =
0 1 0
4 4 1
D= −
=
200
043A
=
105
217B
1 0 2
2 1 3
4 1 8
E
= −
4 1 8
2 1 3
1 0 2
F
= −
1 0 2
3 1 3
4 1 8
G
= −
1 0 2
6 1 3
4 1 8
H
= −
![Page 10: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/10.jpg)
A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0.
Beberapa sifat determinan matriks adalah :
• Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
det (A) = det (At)
• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran• Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuransama, maka :
det (A) det (B) = det (AB)
• Jika A mempunyai invers maka :
)det(
1)det( 1
AA =−
![Page 11: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/11.jpg)
Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij,
maka11 12 1
21 22 2
...
...
: : :
n
n
a a a
a a a
=
A
11 12 1
21 22 1
n
n
C C C
C C C
=
C
L
L
M M O M
Matriks C dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A,
notasi adj(A)
1 2...
n n nna a a
1 2n n nnC C C
M M O M
L
== TCAadj )(
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
L
MOMM
L
L
21
12212
12111
![Page 12: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/12.jpg)
• Misalkan A memiliki invers maka :
• Langkah-langkah mencari invers dengan matriks
1 1( )
det( )A adj A
A
− =
• Langkah-langkah mencari invers dengan matriksadjoin :• Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor
• Tentukan kofaktor dari A
• Tentukan Matriks Kofaktor A
• Tentukan Matriks Adj(A)
![Page 13: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/13.jpg)
Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan
Invers matriks dari matriks berikut.1 0 2
2 1 3A
= −
Solusi:
2 1 3
4 1 8
A = −
11 12 13
21 22 23
31 32 33
c c c
C c c c
c c c
=
![Page 14: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/14.jpg)
11
1 3
1 8
(( 1)(8) (3)(1))
8 3 11
c−
=
= − −
=− − =−
12
2 3
4 8
((2)(8) (3)(4))
(16 12) 4
c =−
=− −
=− − =−
13
2 1
4 1
((2)(1) ( 1)(4))
(2 4) 6
c−
=
= − −
= + =
21
0 2
1 8
((0)(8) (2)(1))
c =−
=− −
22
1 2
4 8c =
= −
23
1 0
4 1
((1)(1) (0)(4))
c =−
=− − ((0)(8) (2)(1))
(0 2) 2
=− −
=− − = ((1)(8) (2)(4))
0
= −
=
((1)(1) (0)(4))
(1 0) 1
=− −
=− − =−
31
0 2
1 3
((0)(3) (2)( 1))
(0 2) 2
c =−
= − −
= + =
32
1 2
2 3
((1)(3) (2)(2))
1(3 4) 1
c =−
=− −
=− − =
33
1 0
2 1
((1)( 1) (0)(2))
( 1 0) 1
c =−
= − −
= − − =−
![Page 15: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/15.jpg)
• Matriks Kofaktor Matriks Adjoin (adj(A))
• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
11 2 2
( ) 4 0 1
6 1 1
adj A
− = − − −
11 4 6
2 0 1
2 1 1
C
− − = − −
• Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
( ) ( )
1 0 21 3 2 3 2 1
det( ) 2 1 3 1 0 21 8 4 8 4 1
4 1 8
1 ( 1)(8) (3)(1) 0 2 (2)(1) ( 1)(4)
( 8 3) 2(2 4) 11 12 1
− −= − = − +
= − − − + − −
= − − + + = − + =
A
![Page 16: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/16.jpg)
• Invers Matriks A
1
11 2 2 11 2 21 1
( ) 4 0 1 4 0 1det( ) 1
A adj AA
−
− − = = − = − det( ) 1
6 1 1 6 1 1A
− − − −
1
11 2 2
4 0 1
6 1 1
A−
− = − − −
![Page 17: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/17.jpg)
• Tentukan invers dari matriks berikut denganmenggunakan matriks adjoin:
2 2 1
1 3 0A
=
1 2 2
2 3 2B
− = −
1 0 2
2 1 3C
= − 1 3 0
5 4 3
A =
2 3 2
1 5 3
B = − −
2 1 3
4 1 8
C = −
2 1 3
4 1 8
1 0 2
D
− =
1 1 6
0 1 4
2 2 11
E
− − = −
1 2 2
3 2 1
5 1 2
F
− = −
![Page 18: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/18.jpg)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris
=
4 2 0
3 2 1
1- 2- 3-
A
↔
4 2 0
1- 2- 3-
3 2 1
~21 bb
Baris pertama (b1)
ditukar dengan
baris ke-2 (b2)
![Page 19: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/19.jpg)
• Contoh : OBE 2
Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
• Contoh : OBE 3
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta
=
3 1 1- 2
7 1 2 0
4- 0 4- 4
A 1
1 -1 0 -1 1
~ 0 2 1 74
2 -1 1 3
b
Perkalian Baris
pertama (b1)
dengan
bilangan ¼
Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta
tak nol dengan baris yang lain.
=
3 1 1- 2
7 1 2 0
1- 0 1- 1
A 1 3
1 -1 0 -1
2 ~ 0 2 1 7
0 1 -1 5
− +
b b
Perkalian (–2)
dengan b1 lalu
tambahkan
pada baris ke-
3 (b3)
![Page 20: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/20.jpg)
1 1 1 3
0 0 2 1
0 0 0 0
− =
B
� Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
� Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
� Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.
� Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
![Page 21: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/21.jpg)
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama
adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), 3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka
unsur yang lainnya adalah nol.
� Matriks dinamakan esilon baris jika
dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
� Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4
![Page 22: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/22.jpg)
• Tentukan matriks esilon baris tereduksi
dari:
• Solusi
1 -1 0 -1
0 -2 2 8
3 1 -1 2
=
A
• Solusi
1 3
1 -1 0 -1
~ 3 0 -2 2 8
0 4 -1 5
− +
b b
1 -1 0 -1
0 -2 2 8
3 1 -1 2
2
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -42
0 4 -1 5
−
b 2 3
1 -1 0 -1
~ 4 0 1 -1 -4
0 0 3 21
− +
b b
![Page 23: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/23.jpg)
3
1 -1 0 -1 1
~ 0 1 -1 -43
0 0 1 7
b3 2
1 -1 0 -1
~ 0 1 0 3
0 0 1 7
+
b b
2 1
1 0 0 2
~ 0 1 0 3
0 0 1 7
+
b b
![Page 24: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/24.jpg)
Perhatikan hasil OBE tadi :
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 7
�Setiap baris mempunyai satu utama.
�Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena
Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
0 0 1 7
![Page 25: JIka maka: a a a –a a a -a a a · ij Matrik dinamakan kofaktor -ij yaitu (-1) i+j M ij Contoh : ... Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052210/5c901e6c09d3f2213e8bbb6f/html5/thumbnails/25.jpg)
Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
berikut:
1. 2.
2 5 1 1
1 3 0 1
−
3 5 2 2
2 3 4 3
− −
3. 4.
2 3 4 2 − − −
3 4 13 2
1 2 3 1
2 1 11 3
− − − − − − −
2 3 4 3
1 2 1 1
− −
4 6 3 1
1 2 1 2
3 7 2 3
− − − −