1

ANALISIS ALIRAN DAN PERPINDAHAN PANAS FLUIDA SISKO DALAM KEADAAN STEDI

Nama Mahasiswa : Nuri Anggi Nirmalasari

NRP : 1207 100 017

Jurusan : Matematika FMIPA-ITS

Dosen Pembimbing : Prof. DR. Basuki Widodo, M.Sc.

Drs. Kamiran, M.Si.

Abstrak

Fluida Sisko dikatakan sebagai fluida non-Newtonian karena perilakunya yang menyimpang dari

hukum Newton. Pada aliran fluida Sisko dalam pipa, hubungan antara besar tegangan geser dan regangan

gesernya akan linear bila batas tegangan geser mulai terlampaui. Oleh sebab itu perlu diketahui bagaimana

profil kecepatan dan perpindahan panas yang terjadi pada aliran fluida sisko di dalam pipa. Pada Tugas

Akhir ini dikaji tentang model kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko yang mengalir dalam

pipa untuk mengetahui bagaimana profil kecepatan dan perpindahan panasnya. Untuk itu dibuat asumsi dan

batasan masalah serta digunakan hukum kekekalan massa, persamaan momentum linier, persamaan tekanan

pada fluida bergerak dan persamaan konveksi panas. Model yang diperoleh merupakan sistem persamaan

diferensial biasa (PDB). Model tersebut selanjutnya diselesaikan secara numerik menggunakan metode beda

hingga dengan skema pusat dan divisualisasikan dengan bantuan program Matlab 7.10. Dari visualisasi

hubungan antara jari-jari silinder dengan kecepatan aliran fluida yang ditunjukkan dalam bentuk grafik,

kecepatan fluida Newtonian lebih besar daripada fuida sisko saat n=1, dan sebaliknya untuk n=0. Temperatur

fluida sisko selalu lebih besar daripada fluida Newtonian. Dengan demikian terlihat bahwa profil kecepatan

dan temperatur fluida sisko dipengaruhi oleh besarnya tekanan yang diberikan dan nilai parameter material b,

selain itu distribusi panas juga dipengaruhi oleh bilangan Brinkman.

Kata kunci: fluida sisko, kecepatan aliran, perpindahan panas, metode beda hingga.

1. PENDAHULUAN

Seiring perkembangan jaman, maka sektor

industri dan teknik berkembang dengan pesat. Dan

fluida berbentuk cairan (liquid) banyak digunakan

pada bidang industri dan teknik. Misalnya dalam

bidang industri fluida digunakan sebagai bahan

pembuatan plastik, cairan pelumas pada sistem

pelumasan, pembuatan lilin, dan lain sebagainya.

Fluida sendiri pada dasarnya terdiri atas dua

macam, yaitu cair dan gas. Dan fluida fase cair

dibagi lagi menjadi dua karakteristik yaitu fluida

Newtonian dan fluida non-Newtonian. Fluida

Newtonian merupakan fluida yang perilakunya

sesuai dengan hukum Newton, dalam hal ini

contohnya adalah air, sedangkan fluida yang banyak

digunakan pada bidang industri adalah fluida non-

Newtonian. Dan salah satu fluida non-Newtonian

yang digunakan adalah fluida sisko. Akan tetapi

perilaku fluida sisko yang menyimpang dari hukum

Newton membuat fluida tersebut sulit mengalir

dalam pipa . Dikatakan menyimpang karena fluida

tersebut tidak dapat mengalir dalam pipa tanpa

adanya energi panas atau kerja yang diberikan pada

fluida sisko sebelum dialirkan dalam pipa . Masalah

yang timbul akibat perilaku fluida sisko yang tidak

wajar akan menjadi penghambat bagi kerja industri

tersebut.

Salah satu cara untuk mengatasi masalah

tersebut yaitu dengan memberikan energi panas pada

fluida sisko sebelum fluida dialirkan ke dalam pipa ,

karena fluida sisko memiliki sifat unik yaitu dapat

menahan tegangan geser tertentu tanpa dapat

mengalir, namun bila tegangan luluhnya terlewati

fluida tersebut akan mengalir seperti air. Hal ini

menyebabkan sulitnya memprediksi bagaimana

profil kecepatan aliran dan perpindahan panas dalam

pipa . Bagaimanapun profil kecepatan aliran dan

perpindahan panas sangat dibutuhkan guna

mengetahui langkah-langkah yang efektif dalam

mengatasi masalah yang timbul akibat perilaku

fluida sisko yang tidak wajar. Oleh karena itu model matematika dibuat

berdasarkan persamaan fluida sisko yang telah

ditentukan, dan persamaan yang berlaku terhadap

fluida secara umum seperti hukum kekekalam massa,

persamaan momentum linier, persamaan tekanan

fluida bergerak dan persamaan konveksi panas.

Diharapkan terbentuk model matematika yang dapat

menjelaskan bagaimana hubungan antara parameter-

parameter yang berlaku dengan kecepatan aliran dan

temperatur fluida sisko dalam pipa . Dibuat beberapa

asumsi berdasarkan kondisi ideal sehingga

memudahkan dalam pemodelan serta perhitungan

numeriknya. Model matematika yang didapat

2

diselesaikan menggunakan metode beda hingga

dengan skema pusat, dan hasil penyelesaian dari

model ini divisualisasikan menggunakan bantuan

program Matlab 7.10. Pada penelitian ini diberikan batasan masalah

dan asumsi sebagai berikut :

1. Tipe aliran fluida sisko yang mengalir dalam

pipa adalah seragam stedi.

2. Diasumsikan pipa yang digunakan adalah pipa

annulus dengan panjang (L).

3. Penampang pipa berupa silinder dengan

diameter (D).

4. Luas penampang pipa adalah konstan .

2. DASAR TEORI

2.1 Fluida

Zat yang tersebar di alam dibedakan dalam tiga

fase, yaitu fase padat, cair dan gas. Karena fase cair

dan gas memiliki karakter tidak mempertahankan

bentuk yang tetap, maka keduanya mempunyai

kemampuan untuk mengalir, dengan demikian

keduanya disebut fluida. Fluida merupakan zat yang

berubah bentuk secara kontinu (terus menerus) bila

terkena tegangan geser, betapapun kecilnya tegangan

geser itu.

Perbedaan zat cair dan gas ialah zat cair merupakan

zat yang tak mampu mampat (incosmpressible)

sedangkan gas merupakan zat yang mampu mampat

(compressible). Kemampatan sendiri adalah

perubahan (pengecilan) volume karena adanya

perubahan (penambahan) tekanan. Untuk fluida cair

tekanan dapat diabaikan dan viskositasnya akan

turun dengan cepat bila temperaturnya dinaikkan.

Viskositas atau kekentalan adalah sifat dari fluida

untuk melawan tegangan geser pada waktu bergerak

atau mengalir. Contoh dari fluida kental, dimana

mempunyai kekentalan besar adalah : minyak, oli,

sirup dan sebagainya, sedangkan air merupakan

contoh dari fluida encer, dimana mempunyai

kekentalan kecil.

Untuk fluida pada umumnya, tegangan dan laju

regangan geser (gradient kecepatan) dapat dikaitkan

dalam suatu hubungan dalam bentuk (Munson,2004):

(2.1)

Dimana :

= tegangan geser

= kekentalan (viskositas)

= laju regangan geser

2.2 Fluida Sisko

Fluida sisko merupakan salah satu fluida yang

termasuk kedalam karakterikstik bingham plastic.

Dimana seperti telah dijelaskan sebelumnya, fluida

ini akan mengalir seperti air pada saat mencapai

regangan geser tertentu. Fluida sisko merupakan

fluida yang sangat langka sehingga untuk

mendapatkannya pun sangat sulit. Pada beberapa

kasus fluida ini digunakan untuk melapisi pipa dalam

pada pipa annulus Dengan demikian untuk aliran

fluida sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang

dimulai dari luar pipa memiliki persamaan tensor

tegangan sebagai berikut (M.khan, 2010):

(2.2)

Dimana p adalah tekanan, I tensor identitas dan

S merupakan tensor tegangan extra (tegangan yang

terjadi pada aliran fluida sisko) yang didefinisikan

sebagai berikut :

[ |√

(

)|

] (2.3)

Dimana:

(2.4)

dan (2.5)

Pada persamaan diatas , V adalah kecepatan, A1

merupakan tensor Rivlin-Erickson pertama,

sedangkan n, a dan b merupakan beberapa parameter

yang didefinisikan berbeda untuk beberapa fluida

yang berbeda pula.

Aliran fluida sisko yang akan dianalisis ialah

kecepatan aliran dan temperatur fluida dalam

keadaan steady, berikut persamaan dari kecepatan

( ) dan temperatur ( ) fluida terhadap jari-jari pipa:

( ) (2.6)

( ) (2.7)

2.3 Koordinat Polar Silinder

Dalam beberapa persoalan hubungan diferensial

dapat dijelaskan dalam koordinat polar silinder.

Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah

titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat dan .

Koordinat adalah jarak radial dari sumbu ,

adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar

dengan sumbu- (dengan arah yang berlawanan

perputaran jarum jam dianggap positif), dan adalah

koordinat sepanjang sumbu- . Komponen-

komponen kecepatan adalah kecepatan radial, , kecepatan tangensial, , dan kecepatan aksial, . Jadi, kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat

dinyatakan sebagai :

(2.8)

Dimana , , dan masing-masing adalah vektor-

vektor satuan dalam arah dan . Untuk fluida tak

mampu-mampat aliran steady, kerapatan fluida, ,

konstan disuluruh medan aliran sehingga persamaan

menjadi:

( )

(2.9)

3

r

2.4 Persamaan Dasar Aliran Fluida

2.4.1 Persamaan Kontinuitas (Hukum Kekekalan

Massa)

Massa fluida yang bergerak tidak berubah

ketika mengalir. Dengan demikian persamaan

kontinuitas adalah pernyataan bahwa massa adalah

kekal, berikut persamaan kontinuitas:

(2.10)

2.4.2 Persamaan Tekanan Fluida Bergerak

Pada aliran fluida dalam suatu pipa, gradient

tekanan aliran hanya terjadi sepanjang sumbu- ,

dengan demikian berlaku :

(2.11)

2.4.3 Persamaaan Momentum Linier

Persamaan Navier-Stokes (dinamakan dari

Claude-Louis Navier dan George Gabriel Stokes)

adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan

pergerakan dari suatu fluida baik cairan ataupun gas.

Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa

perubahan dalam momentum partikel-partikel fluida

bergantung hanya kepadagaya viskos yang bekerja

pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-

Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang

bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan

Navier-Stokes untuk momentum linier adalah:

(2.12)

Dimana:

adalah densitas fluida,

adalah vektor kecepatan,

adalah tensor yang menyatakan gaya-gaya yang

bekerja pada aliran fluida

2.5 Aliran di Dalam Pipa Annulus

Aliran fluida tak mampu mampat melalui

tabung bundar lurus dengan luas penampang konstan

biasanya disebut sebagai aliran Hagen-Poiseulli,

atau singkatannya aliran Poiseulli. Aliran tersebut

dinamakan demikian untuk menghormati J.L.

Poiseulli (1799-1869), seorang ahli fisiska Prancis,

dan G.H.L Hagen (1797-1884), seorang insinyur

hirolik Jerman. Poiseulli tertarik pada aliran darah

melalui pembuluh-pembuluh kapiler dan mendeduksi

secara eksperimental hukum hambatan untuk aliran

laminar melalui tabung bundar. Penelitian Hagen

mengenai aliran dalam tabung juga dilakukan dengan

eksperimen.

Pada aliran melalui pipa annulus yaitu pipa

yang terdiri dari dua silinder tetap yang sepusat

(Gambar ) koordinat yang digunakan adalah

koordinat silinder karena akan lebih mudah untuk

geometri yang silinder. Diasumsikan bahwa aliran

sejajar dengan dinding sehingga dan ,

akibatnya

. Dengan kondisi-kondisi ini,

persamaan Navier-Stokes pada fluida Newtonian

berubah menjadi:

*

(

)+ (2.13)

Dengan kondisi batas pada dan

pada , dimana adalah jari-jari

silinder dalam dan dan merupakan kecepatan

dan jari-jari silinder luar.

Gambar 2.1 Aliran fluida melalui annulus

2.6 Persamaan Distribusi Panas Pada Fluida

Pada aliran fluida, perpindahan panas termasuk

salah satu faktor yang sangat penting. Berikut

persamaan distribusi panas secara umum pada benda

tiga dimensi (Lienhard, 2005):

(2.14)

Atau pada fluida sisko persamaan perpindahan panas

dinyatakan dalam bentuk (M.Khan, 2010):

(2.15)

Dimana

adalah densitas,

adalah kapasitas panas pada tekanan konstan,

adalah fluks panas yang persamaannya ditentukan

sebagai berikut:

(2.16)

2.7 Metode Beda Hingga Pusat

Suatu fungsi dari suatu variabel bebas

didiferensialkan kali di dalam interval [ ], dengan cukup kecil, dapat diuraikan

dalam bentuk deret pangkat menurut deret Taylor

sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

( )+

( ) (2.17)

( ) ( ) ( )

( )-

( ) (2.18)

Dengan mengurangkan persamaan (2.17) dan (2.18),

diperoleh pendekatan turunan pertama : ( )

( ) ( )

(2.19)

( )( ) (

) (2.20)

Dengan menambahkan persamaan (2.17) dan (2.18),

diperoleh pendekatan turunan kedua sebagai berikut:

𝑧

4

( )

( ) ( ) ( )

(2.21)

( )( ) (

) (2.22)

Pendekatan bentuk turunan fungsi dari fungsi

variabel lebih dari dua dapat dilakukan dengan cara

yang sama.

3. PROSEDUR KERJA

1. Studi literatur.

2. Pemodelan kecepatan aliran dan perpindahan

panas fluida sisko.

3. Penyelesaian numerik.

4. Visualisasi hasil penyelesaian.

4. PEMODELAN DAN PENYELESAIAN

NUMERIK

4.1.1 Pemodelan Matematika Kecepatan Aliran

Persamaan kecepatan aliran fluida sisko

dalam pipa diturunkan dari persamaan kontinuitas

(Hukum Kekekalan Massa) dan persamaan tekanan

fluida bergerak yang dibentuk kedalam koordinat

polar silinder, sehingga didapat model kecepatan

aliran dengan mensubtitusikan persamaan tekanan

tensor fluida sisko pada persamaan yang telah

didapat. Pada Tugas Akhir ini didasarkan pada

model kecepatan aliran fluida tak mampu mampat

steady dengan beberapa asumsi sebagai berikut:

1. Pipa lurus dan horizontal.

2. Luas penampang pipa konstan.

3. Pipa berbentuk annulus dengan pusat jari-jari

sama.

4. Jenis alirannya merupakan aliran seragam stedi.

5. Variabel bebas yang berpengaruh hanya jari-jari

pipa.

6. Fluida aliran adalah fluida sisko.

Akan tetapi pada Tugas Akhir ini, fluida

yang digunakan adalah fluida sisko, dimana

meskipun fluida ini termasuk kedalam karakteristik

fluida non-Newtonian akan tetapi pada saat batas

tegangan gesernya terlampaui aliran fluida mirip

seperti air. Dengan demikian, berdasarkan asumsi-

asumsi yang telah dibuat, model matematika yang

dikembangkan untuk menjelaskan profil kecepatan

aliran fluida sisko dalam pipa annulus terdiri dari

persamaan tekanan pada fluida bergerak dalam

koordinat polar silinder pada bab 2. Karena fluida

hanya bergerak sepanjang sumbu- , maka percepatan

radial dan tangensialnya adalah nol, sehingga

tekanan pada arah dan juga nol seperti pada

persamaan (2.11).

Dari persamaan Navier-Stokes (2.13) , dapat

ditulis kembali sebagai berikut:

*

(

)+ (4.1)

Dimana

, merupakan tegangan geser

aliran fluida Newtonian. Karena pada tugas akhir ini

yang digunakan adalah fluida sisko dengan tegangan

geser , maka persamaan (4.1), menjadi:

( ) (4.2)

Karena tekanan hanya terjadi sepanjang sumbu-

dengan menggunakan aturan rantai, diferensial

tekanan menjadi:

(4.3)

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.11) pada

(4.3), sehingga didapatkan:

(4.4)

Dengan demikian didapat persamaan diferensial

kecepatan aliran fluida berdasarkan persamaan

momentum linier adalah sebagai berikut:

( ) (4.5)

merupakakn tegangan geser yang berlaku pada

fluida sisko, mengacu pada persamaan sebelumnya

didapat:

[ (

)

]

(4.6)

Dari persamaan (4.5) dan (4.6) didapat persamaan

diferensial kecepatan aliran fluida sisko sebagai

berikut:

( ( (

) )

) (4.7)

Dari model kecepatan aliran fluida sisko dalam pipa

yang ditunjukkan oleh persamaan (4.7), dapat

disimpulkan bahwa profil kecepatan dipengaruhi

oleh jari-jari penampang pipa, , tekanan aliran, ,

dan tegangan geser fluida sisko, selain itu terdapat

parameter material, a dan b yang mana untuk setiap

fluida memiliki parameter yang berbeda-beda. Untuk

fluida Newtonian memiliki nilai b=0, sedangkan

untuk fluida sisko yang merupakan fluida non-

Newtonian nilai b≠0.

4.1.2 Pemodelan Matematika Perpindahan

Panas

Telah dijelaskan sebelumnya persamaan

perpindahan panas secara umum, sedangkan

persamaan perpindahan panas untuk fluida sisko

mengacu pada persamaan (2.15) yaitu

dimana ,

sehingga persamaan (2.15) dapat ditulis menjadi:

( )

(4.8)

Sehingga didapat persamaan distribusi panas sebagai

berikut:

(

) [ (

)

] (

) (4.9)

5

4.2 Model Kecepatan Aliran dan Perpindahan

Panas Non-dimensional

Model kecepatan aliran dan perpindahan panas

yang telah didapat masih tergantung pada satuan,

sehingga belum bisa diterapkan pada berbagai kasus,

supaya model matematika kecepatan aliran dan

perpindahan panas tersebut dapat diterapkan pada

berbagai kondisi dengan satuan yang bervariasi,

maka persamaan (4.7) dan (4.9) akan dibentuk

kedalam persamaan non-dimensional. Berikut

variabel non-dimensional yang akan disubtitusikan

pada persamaan (4.7) dan (4.9):

( )

( ⁄ )

( )

Dimana merupakan bilangan Brinkman.

Dengan demikian didapat model matematika

kecepatan aliran fluida sisko non-dimensional

sebagai berikut:

(( (

) )(

))

( (

) )(

) (4.10)

dan persamaan perpindahan panas sebagai berikut:

(

) ( (

) ) (

) (4.11)

4.3 Penyelesaian Numerik

4.3.1 Penyelesaian Numerik kecepatan Aliran

Pada persamaan kecepatan aliran (4.10)

terdapat nilai power index . Pada Tugas Akhir ini

akan dibandingkan bagaimana profil kecepatan

antara fluida sisko dan fluida non-Newtonian pada

saat dan . Dengan demikian saat

persamaan (4.10) menjadi:

(4.12)

Sedangkan untuk persamaan (4.24) menjadi:

(4.13)

Pada persamaan tersebut, tiap kondisi dapat didekati

dengan skema beda hingga. Dengan menerapkan

pendekatan metode beda hingga pusat untuk model

kecepatan aliran fluida sisko menjadi:

(4.14)

Karena aliran fluida sisko terjadi diluar silinder

dalam, maka , dimana ⁄ ,

untuk pendiskritan sebanyak . Dengan demikian

persamaan (4.14) menjadi:

(

( ) ) (

) (

( ) )

(4.15)

Maka selanjutnya didapatkan skema numerik untuk

adalah:

( ) ( ) (

)

(4.16)

Dengan

dan

diperoleh matriks tridiagonal secara umum sebagai

berikut:

[ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )]

[

]

[

( )]

[

]

(4.17)

Dengan definisi dan cara yang sama didapat skema

numerik untuk persamaan (4.13) sebagai berikut:

(

( ) ) (

) (

( ) )

(4.18)

Dan selanjutnya didapatkan skema numerik untuk

adalah:

( ) ( ) (

)

(4.19)

diperoleh matriks tridiagonal sebagai berikut:

[ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )]

[

]

[

]

[

( )]

(4.20)

4.3.2 Penyelesaian Numerik Perpindahan Panas

persamaan perpindahan panas disini juga

dipengaruhi oleh index power , sehingga akan

dilakukan penyelesaian secara numerik pada

persamaan (4.11) untuk dan . Dengan

demikian untuk , persamaan (4.11), menjadi:

(

) (

) (

) (4.21)

Sedangkan untuk , persamaan (4.11), menjadi:

(

) ( ) (

) (4.22)

didapat skema numerik untuk persamaan (4.21),

sebagai berikut:

6

(

( ) ) (

) (

( ) ) [(

)

(

)] (4.23)

Dan selanjutnya didapatkan skema numerik untuk

adalah:

( ) ( ) (

)

[(

) (

)] (4.24)

diperoleh matriks tridiagonal sebagai berikut:

[ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )]

[

]

[

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ))

]

[

( ) ( ) ( ) ( )

( )]

[

( )]

(4.25)

Selanjutnya dilakukan pendiskritan pada persamaan

(4.22), yaitu persamaan perpindahan panas fluida

sisko dengan power index . Sehingga didapat

skema numerik persamaan (4.22) sebagai berikut:

(

( ) ) (

) (

( ) ) ( ) (

) (4.26)

Dengan demikian didapatkan skema numerik untuk

sebagai berikut:

( ) ( ) (

)

( ) (

) (4.27)

Dari skema numerik diatas dibentuk suatu sistem

persamaan perpindahan panas dalam bentuk matriks

sebagai berikut:

[ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )]

[

]

( )

[

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ))

]

[

( )]

(4.28)

5. VISUALISASI DAN PEMBAHASAN

5.1 Algoritma Program

Disusun algoritman penyelesaian sebagai berikut:

1. Mendefinisikan parameter-parameter yang

dibutuhkan.

2. Mendefinisiskan kondisi batas yang telah

ditentukan pada bab 4.

3. Memasukkan kondisi batas ke dalam skema

numerik penyelesaian model matematika

kecepatan aliran, yaitu persamaan (4.17).

4. Skema numerik yang berupa matrik tridiagonal

diselesaikan, sehingga didapat nilai kecepatan

pada titik-titik sepanjang jari-jari pipa.

5. Selanjutnya nilai kecepatan dimasukkan ke

dalam skema numerik penyelesaian model

matematika perpindahan panas yaitu

persamaan (4.25)

6. Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan

penyelesaian numerik dan penyelesaian eksak.

Selanjutnya untuk persamaan kecepatan aliran

dan perpindahan dengan power index , yang

ditunjukkan oleh persamaan (4.20) dan (4.28)

diselesaiakan dengan algoritma diatas.

5.2 Visualisasi Distribusi Kecepatan Aliran

Dengan Power Index n=0

Diberikan tekanan

. dengan variasi

parameter material untuk fluida Newtonian,

dan dan untuk fluida Sisko.

Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi

kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari

silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

Gambar 5.1 Distribusi kecepatan aliran dengan

power index , dan

Gambar 5.2 Distribusi kecepatan aliran dengan

power index , dan

7

Gambar 5.3 Distribusi kecepatan aliran dengan

power index , dan

Pada gambar (5.1) sampai dengan (5.3) diberikan

jumlah pendiskritan yang berbeda untuk

pendefinisian parameter yang sama. Dari ketiga

grafik tersebut dapat disimpulkan bahwa semakin

banyak dilakukan pendiskritan maka kelengkungan

kurva semakin landai. Sedangkan pada gambar (5.3)

diberikan panjang jari-jari silinder yang berbeda

yaitu , terlihat perbedaan antara grafik dengan

dan . Pada gambar (5.2) terlihat

kecepatan disekitar jari-jari masih belum mendekati

satu, sedangkan pada gambar (5.3) kecepatan

mendekati 1 pada jari-jari dsekitar 20. Dengan

demikian dapat disimpulkan kecepatan akan

mencapai kondisi batas akhir pada jari-jari disekitar

20.

Selain itu dengan power index sama dengan nol,

kecepatan aliran pada fluida sisko lebih besar

dibandingkan fluida Newtonian, dengan kata lain

semakin besar nilai b maka kecepatan aliran fluida

semakin besar.

5.3 Visualisasi Distribusi Kecepatan Aliran

Dengan Power Index n=1

Diberikan tekanan

. dengan variasi

parameter material untuk fluida Newtonian,

dan dan untuk fluida Sisko.

Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi

kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari

silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

Gambar 5.4 Distribusi kecepatan aliran dengan

power index , dan

Gambar 5.5 Distribusi kecepatan aliran dengan

power index , dan

Gambar 5.6 Distribusi kecepatan aliran dengan

power index , dan

Tidak jauh berbeda seperti distribusi kecepatan

aliran fluida dengan power index , pada

gambar (5.6) dapat diketahui kecepatan mendekati 1

pada jari-jari dsekitar 20. Dengan demikian dapat

disimpulkan kecepatan akan mencapai kondisi batas

akhir pada jari-jari disekitar 20. Akan tetapi beda

kecepatan tiap nilan b disini sangat jauh. Berbeda

dengan distribusi kecepatan dengan power index

, dari grafik dapat disimpulkan bahwa untuk

power index , kecepatan aliran pada fluida

sisko lebih kecil dibandingkan fluida Newtonian,

atau dengan kata lain semakin besar nilai b, maka

kecepatan aliran semakin kecil

.

5.4 Visualisasi Distribusi Panas Dengan Power

Index n=0

Diberikan tekanan

dan bilangan

Brinkman 1, dengan variasi parameter material

untuk fluida Newtonian, dan dan

untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan

dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan

dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai

berikut:

8

Gambar 5.7 Distribusi panas dengan power index

, dan

Gambar 5.8 Distribusi panas dengan power index

, dan

Gambar 5.9 Distribusi panas dengan power index

, dan

Dari grafik yang ditunjukkan pada gambar

(5.7) sampai (5.9) terlihat bahwa kurva semakin

landai dengan pendiskritan yang lebih banyak.

Dengan demikian semakin banyak pendiskritan, hasil

perhitungan secara numerik akan semakin mendekati

hasil yang sebenarnya.

Dengan memberikan nilai parameter material

yang berbeda-beda terlihat bahwa semakin besar

nilai b yang diberikan maka distribusi temparatur

semakin besar, yang berarti pada distribusi panas,

temperatur fluida sisko lebih besar dari temperatur

fluida Newtonian.

5.5 Visualisasi Distribusi Panas Dengan Power

Index n=1

Diberikan tekanan

dan bilangan

Brinkman 1, dengan variasi parameter material

untuk fluida Newtonian, dan dan

untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan

dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan

dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai

berikut:

Gambar 5.10 Distribusi panas dengan power index

, dan

Gambar 5.11 Distribusi panas dengan power index

, dan

Gambar 5.12 Distribusi panas dengan power index

, dan

Dari grafik distribusi temperatur diatas terlihat

bahwa gafik yang dihasilkan tidak berbeda dengan

grafik distribusi temperatur untuk power index

, berbeda dengan distribusi kecepatan aliran,

untuk distribusi panas dengan power index

dan power index , temperataur semakin tinggi

untuk nilai parameter material b yang lebih besar.

9

Dengan demikian dapat disimpulkan temperatur

fluida sisko selalu lebih tinggi dari fluida Newtonian.

Selain itu akan dianalisis bagaimana pengaruh

bilangan Brikman terhadap distribusi panas fluida.

Karena dari grafik distribusi panas diatas tidak

berbeda untuk pemberian power index, maka dapat

diambil salah satu saja untuk menganalisis pengaruh

bilangan Brinkman terhadap distribusi panas.

Gambar 5.13 Distribusi panas dengan dengan variasi

Bilangan Brikman

Bilangan Brinkman merupakan bilangan yang

mempengaruhi besarnya temperatur pada fluida. Dari

grafik distribusi panas pada gambar (5.13) terlihat

bahwa semakin besar bilangan Brinkman yang

diberikan, maka temperatur fluida sisko semakin

besar.

Dengan membandingkan antara hasil

penyelesaian numerik dan eksak untuk distribusi

kecepatan aliran didapat error rata-rata 0.0534 dan

distribusi panas didapat error 0.0697. Melihat nilai

error rata-rata yang dihasilkan dari kecepatan aliran

dan perpindahan panas fluida sisko, maka terlihat

bahwa ketepatan perhitungan secara numerik

dipengaruhi oleh banyaknya pendiskritan. Dari

besarnya nilai error yang didapat maka metode beda

hingga dengan skema pusat dapat digunakan untuk

menyelesaiakan model matematika kecepatan aliran

dan distribusi panas fluida sisko dalam pipa.

6. SIMPULAN

6.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan dari bab sebelumnya maka

dapat disimpulkan bahwa:

1. Model matematika yang menggambarkan

perilaku kecepatan aliran fluida sisko dalam

pipa dapat dinyatakan sebagai berikut:

*( (

)

)

+

( (

)

)

2. Sedangkan model matematika yang

menggambarkan perpindahan panas yang terjadi

ketika fluida sisko mengalir dalam pipa

dinyatakan sebagai berikut:

(

) ( (

)

)(

)

3. Dari penyelesaian numerik dan visualisinya

dalam bentuk grafik dengan menggunakan

bantuan program Matlab 7.10, terlihat bahwa:

a. untuk power index , distribusi

kecepatan fluida sisko lebih besar dibandingkan

fluida Newtonian, atau dapat disimpulkan

semakin besar nilai parameter material b, maka

kecepatan aliran fluida semakin besar. Begitu

juga dengan temperatur, semakin besar seiring

kenaikan nilai b.

b. Sebaliknya untuk power index , semakin

besar nilai parameter b, maka kecepatan aliran

fluida semakin kecil. Namun untuk temperatur

semakin tinggi untuk nilai b yang semakin

besar.

c. Temperatur juga dipengaruhi oleh bilangan

Brinkman, semakin besar bilangan Brinkman

yang diberikan, maka temperatur semakin

tinggi.

Dengan demikian terlihat bahwa distribusi kecepatan

aliran dan temperatur fluida Sisko dipengaruhi oleh

nilai parameter-parameter yang diberikan.

6.2 Saran

Untuk pengembangan penelitian selanjutnya,

disarankan:

1.Pada Tugas Akhir ini analisis yang dilakukan

menggunakan asumsi bahwa aliran fluida sisko

dalam pipa annulus dalam keadaan steady,

selanjutnya dapat dikembangkan penelitian untuk

menganalisis profil kecepatan aliran dan perpindahan

panas fluida sisko dalam pipa dalam keadaan

unsteady.

2.Tugas Akhir ini masih bersifat analitis pada tahap

pemodelan dan numerik untuk penyelesaiannya,

belum ada data laboraturium yang dipakai sebagai

pembanding. Diharapkan kedepannya bisa dilakukan

uji laboraturium sehingga model tersebut dapat

diterapkan di lapangan.

Daftar Pustaka

Abdia, Gunaidi. 2006. Matlab Programming.

Bandung: Informatika.

Alfijar, Julian. Mekanika Fluida II.

http://alfijar.files.wordpress.com/2008/01/pe

rtemuan-iii-dan-iii.ppt-Mirip. Diakses pada

tanggal 1 Maret 2011 pukul 11.00 WIB.

Arhami, Muhammad dan Desiani, Anita. 2005.

Pemrograman Matlab. Yogyakarta: ANDI.

Khan, M. et. al. 2010. Steady Flow and Heat

Transfer of a Sisko Fluid In Annular Pipe.

Journal of Heat and Mass Transfer. 53:

10

1290-1297. Departmen of Mathematics,

Pakistan.

Lienhard IV, John H dan Lienhard V, John H. 2005.

A Heat Transfer Textbook. University of

Houston. USA.

Munson, Bruce R. et. al. 2004. Mekanika Fluida.

Edisi Keempat Harinaldi dan Budiarso,

penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan

dari: Fundamental of Fluid Mechanics.

Sajid, M and Hayat, T. 2008. Wire Coating

Analysis by Withdrawal From A Bath of

Sisko Fluid. Journal of Applied

Mathematics and Computation. 199: 13-22.

Departmen of Mathematics, Pakistan.

Saragi, Elfrida. Solusi Analitik dan Numerik

Konduksi Panas Pada Pembangkit

Energi.

http://www.batan.go.id/ppin/lokakarya/LKST

N_

10/Elfrida-.pdf. Diakses pada tanggal 2

Maret 2011 pukul 12.00 WIB.

Siddiq, A.m. et. al. 2009. On Taylor’s Scraping

Problem and Flow of A Sisko Fluid.

Journal of Mathe matical Modelling and

Analysis. 14: 515-529. Department of

Mthematics, York Campus, York, PA 17403,

USA.

Streeter, Victor L and Wylie, E Benjamin. 1999.

Mekanika Fluida. Edisi Delapan Arko

Prijono, penerjemah. Jakarta: Erlangga.

Terjemahan dari: Fluid Mechanics.

Sweet, Erik. 2003. Analytical and Numerical

Solutions of Differential Equations

Arising In Fluid Flow and Heat Transfer

Problems. University of Central Florida

Orlando, Florida.

Ruwanto, Bambang. 2003. Matematika Untuk

Fisika dan Teknik. Yogyakarta: Adicita

Karya Nusa.