ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMAUNTUK PERAMALAN DEBIT AIR SUNGAIMENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMINGNama: Zahroh AtiqohNRP : 1205 100 021Dosen Pembimbing : 1. Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes2. Drs. Sulistiyo, MTJurusan MatematikaFakultas Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya2010ABSTRAK Peramalandebit air sungai merupakansalahsatulangkahuntuk mengantisipasi ketidakstabilan aliran sungai. Salah satumetodeyangdapat digunakandalamperamalandebit airsungaiadalahmetode time series. Model ARMA(autoregressive movingaverage) merupakan salah satu model time series. Pada prosesperamalan, setelah identifikasi model dilakukan estimasiparameter. Untuk mengestimasi parameter model ARMA digunakanpendekatanconditionalleastsquare danselanjutnyadioptimalkandengan menggunakan goal programming. Model ARMA untuk rata-ratabulanandebitairsungaiBrantasstasiunpengamatanKediriadalah:Dengan:LATAR BELAKANGDebit Air SungaiPeramalanTime SeriesModel ARMAGoal ProgrammingRUMUSAN MASALAHPermasalahan yang akan dibahas dalamtugasakhir adalah :1. Bagaimana model yang sesuai berdasarkananalisis yang dilakukan terhadap debit airsungai.2. Bagaimana hasil peramalandebit air sungaiuntuk periode mendatang dengan memanfaatkanmodel yang telah diperoleh.BATASAN MASALAHPada tugas akhir ini, dibuat batasan masalahsebagai berikut :1. Data yang digunakan pada tugas akhir iniadalah data sekunder yaitu data rata-ratabulanan debit air sungai Brantas stasiunpengamatanKediri yangdimulai padaJanuaritahun 2000 sampai dengan April tahun 2010.2. Data diambil dari stasiun pengamatan yangjumlahdebit air sungainyahanyadipengaruhioleh air hujan dan air tanah.3. Data yang diperoleh diasumsikan stasionerterhadap mean.TUJUAN PENELITIANTujuan dari tugas akhir ini adalah :1. Memperoleh model yangsesuai berdasarkananalisis yang dilakukan terhadap debit airsungai.2. Mengetahui besarperamalandebit airsungaiuntuk periode mendatang dengan memanfaatkanmodel yang telah diperoleh.MANFAAT PENELITIANManfaat yang diharapkan dari tugas akhir iniadalah:1. Model yang didapat diharapkan mempermudahPerum Jasa Tirta I dalam mendapatkan prediksidebit air sungai pada periode mendatang.2. Memberikan gambaran tentang langkah-langkah mendapatkan model ARMA untuksungai yang lain.MODELARMABentuk umum model ARMA (p,q):atau dengan:: besarnya pengamatan (kejadian) pada waktu ke-t : konstanta model: suatu proses white noise atau galat pada waktu ke-t : parameter autoregressive: parameter moving averageq t q t t p t p t ta a a Z Z Z + + + + = u u | | ... ...1 1 1 1t q t pa B Z B ) ( ) ( u | + =tZtap| | | ,..., ,2 1pu u u ,..., ,2 1LANJUTAN MODEL ARMAARMA (p,q)(P,Q)S adalah model ARMA reguler dan ARMA musiman. Bentuk umum ARMA (p,q)(P,Q)S adalah:dengan:: parameter autoregressive musiman: parameter moving average musiman( ) ( )tSQ q t pSPa B B Z B B ) ( ) ( O + = u u |Pu u u ,..., ,2 1QO O O ,..., ,2 1IDENTIFIKASISyarat terpentingyang harus dipenuhiagar datadapat diolahdengan metode time series adalah stasioner, baik dalam mean maupunvarian. Sebuahderetdisebutstasionerjikasifatstatistiknyabebasdari waktu periode selama pengamatan. Untuk mengatasiketidakstationeran dalam varian perlu dilakukan transformasiterlebih dahulu. Transformasi yang biasa digunakan adalahtransformasi Box-Cox. Nilai (parametertransformasi) yangumumdigunakan dalam transformasi Box-Cox dapat dilihat pada Tabel 2.1.Tabel 2.1 Transformasi Box-Cox Transformasi-1-0.500.51tZ / 1tZ / 1tZ lntZtZACF & PACFAutokorelasi adalahkorelasi antar deret pengamatansuatutime series, sedangkan Autocorrelation Function (ACF)menggambarkankovariandankorelasi antarapengamatanpadawaktu ke-t dengan pengamatan pada waktu ke-t+kyang dipisahkanolehklag, sehinggapersamaanACFdapat dirumuskansebagaiberikut:Partial Autocorrelation Function (PACF) digunakan mengukurkeeratanhubungandan setelahdependensi linier dalamvariandihilangkan. (Wei, 1990). Nilai PACF dapat dihitung denganmenggunakan persamaan sebagai berikut:==+ = =nttk nkk t tkkZ ZZ Z Z Z1210) () )( (== =11, 111, 11kjj j kkjj k j k kkk | | |ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSIPada penelitian ini metode yang digunakan untukmengestimasi parameterModel ARMAadalahConditional LeastSquares (CLS) denganbentuansoftwareMinitab. Model ARMAyangbaikadalahmodel yangmenunjukkanbahwapenaksiranparameternya signifikan. Secara umum, misalkan adalah suatuparameterpadamodel ARMAdan adalahnilai taksirandariparameter tersebut, serta adalah standar error dari , makauji kesignifikananparameter dapat dilakukandenganhipotesasebagai berikut:Hipotesa:H0 : H1 : Statistik uji:uu)( SE uu0 = u0 = u)( SEuu= tLANJUTAN ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSIH0 ditolak jika dengan:np : banyaknya parameter yang ditaksiratau H0 ditolak jika P-value < pn n dft t =>,2ooDIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGPemeriksaan diagnostik pada residual meliputi uji asumsiwhite noise (independen dan identik) dan berdistribusi normal.Pengujiandenganmenggunakanuji L-jungBoxdilakukandenganhipotesa sebagai berikut:Hipotesa:H0H1 : minimal ada satu nilai, k = 1, 2,..., K.Statistik uji: dengan:K : lag maksiumumn : banyak pengamatan: sampel ACF residual pada lag-k. 0 ... :2 1= = = =k 0 =k( )211) ( 2kKkk n n n Q = + =kLANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGDaerah Kritis : H0 ditolak jikadengan p dan q adalah order dari ARMA.Untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal atau tidak dilakukan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesa sebagai berikut:Hipotesa:H0H1Statistik Uji:q p K dfQ = >); 1 (2o_) ( ) ( :0 t ta F a F =) ( ) ( :0 t ta F a F =) ( ) (0 t taa F a S Sup Dt =LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGdengan:: fungsipeluangkumulatif yang dihitung dari data sampel.: fungsi peluang kumulatif distribusi yang dihipotesiskan.: fungsi distribusi yang belum diketahuiSup : nilai supremum untuk semua Daerah Kritis: H0 ditolak jika atau P-value o oGOAL PROGRAMMINGGoal programming merupakan salah satu teknik optimasi daribeberapa tujuan yang dikembangkan dari linier programmingdalamriset operasi. Bentukumumdari goal programmingyangdigunakan dalam mengestimasi parameter model ARMA adalah:m = 1,2,3,...,12 (2.3)dan fungsi kendalanya adalah:= + NTii m i mEN V EP U1min( )12 12 1 1 1 1 1... ... ... + + + + + + + n i n i n i n i n i n iX SAR X SAR R MA R MA X AR X AR( ) ( )i i n i n iX div EN EP Cm R SMA R SMA + < + + + + 1 ...12 12 1( )12 12 1 1 1 1 1... ... ... + + + + + + + n i n i n i n i n i n iX SAR X SAR R MA R MA X AR X AR( ) ( )i i n i n iX div EN EP Cm R SMA R SMA > + + + + 1 ...12 12 1i iX Ediv EP s s 0i iX Ediv EN s s 0LANJUTAN GOAL PROGRAMMINGdengan:AR : parameter autoregressiveMA : parameter moving averageSAR : parameter autoregressive musimanSMA : parameter moving average musimanU,V: koefisien deviasi bulanan dari nilai sebenarnnya (prioritas)EP : error relatif positif EN : dan negatifdiv : error relatif untuk peramalanEdiv : error relatif maksimum untuk peramalanX : nilai dataR : nilai residualCm : konstanta dalam modelNT : jumlah dataPEMILIHAN MODEL TERBAIKUntukmenentukanmodel terbaikdapat digunakanbeberapakriteriaantaralainkriteriain-sampledanout-sample. Kriteriain-sampleantaralainAICdanSBC. Kriteriaout-sampleantaralainRMSEdanMAPE. Penjelasanmengenai kriteriapemilihanmodeladalah sebagai berikut:1. AIC (Akaikes Information Criterion)Kriteria AIC dirumuskan sebagai berikut:AIC(M)dengan;n : banyaknya residual: estimasi dari varians residualM : jumlah parameter dalam model2. SBC (Schwartz Bayesian Criterion)Schwartz(1978) menggunakankriteriaBayesiandalampemilihanmodel terbaik yang disebut dengan SBC dengan perumusan sebagaiberikut :SBC(M) =M na2 ln2+ = o2aon M naln ln2+ oLANJUTAN PEMILIHAN MODEL TERBAIK3. Mean Square Error (MSE)Kriteria MSE dirumuskan sebagai berikutPada penelitian ini akan digunakan kriteria RMSE(Root MeanSquare Error), dengan nilai RMSE =4. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)Kriteria MAPE dirumuskan sebagai berikut :MSE( )21nZ ZMSEntt t ==%nZZ Znttt t100MAPE1==DEBIT AIRDalamhidrologi dikemukakan, debit air sungaiadalah, tinggi permukaan air sungai yang terukur olehalat ukur pemukaan air sungai. Pengukurannyadilakukantiaphari, ataudenganpengertianyanglaindebit ataualiransungai adalahlajualiranair(dalambentuk volume air) yang melewati suatu penampangmelintang sungai per satuan waktu. Dalam sistemsatuan SI besarnya debit dinyatakan dalam satuan meterkubik per detik (m3/dt).LANGKAH-LANGKAHPembentukan model ARMAPada pembentukan model ARMA dilakukan dengan langkah-langkahsebagai berikut:1. Data dibagi menjadi dua, yaitu data in sample dan data out sample.2. Melakukan identifikasi Model ARMA dengan langkah sebagai berikut:a. Membuat time series plot untuk melihat kestationeran data, jikadata belum stationer dalam varian maka dilakukantransformasi.b. Membuat plot Autocorrelation Function (ACF) dan PartialAutocorrelation Function (PACF) dari data yang sudah stasioner.3. Melakukan estimasi dan uji signifikansi parameter modelARMA(p, q)(P,Q)s.4. Melakukan diagnostic checking, yang meliputi uji residual white noisedan uji kenormalan residual.5. Melakukan overfitting yaitu mencoba beberapa model yang lain.6. Melakukan estimasi parameter model ARMAmenggunakan goalprogrammingsebagai pengoptimalandari hasil estimasi parametermodel yang telah dilakukan sebelumnya.LANJUTAN LANGKAH-LANGKAH7. Melakukan seleksi model untuk menentukan model terbaik denganmenghitung nilai AIC, SBC, RMSE, MAPE dari seluruh model yangmungkin.PeramalanPeramalandebit sungai dilakukandenganmemanfaatkanmodelyang telah diperoleh.Penarikan Kesimpulana. Diperoleh model yang sesuai dan terbaik untuk memprediksidebit air sungai.b. Penggunaan model yang telah diperoleh untuk memprediksidebit air sungai pada periode mendatang.Program yangdigunakandalam penelitianiniadalah MinitabdanLINDO.IDENTIFIKASIIdentifikasi ModelGambar 5.1 Plot Time Series dan Box-Cox (In Sample) Debit AirStasiun KediriGambar 5.2 Plot Time Series dan Box-Cox TransformasiIndexdebi t ai t (i n sampel )99 88 77 66 55 44 33 22 11 1350300250200150100500Time Series Plot of debit ait (in sampel)LambdaStDev5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,07006005004003002001000Lower CL Upper CLLimitLambda0,00(using 95,0% confidence)Estimate -0,05LowerCL -0,36UpperCL 0,29Rounded ValueBox-Cox Plot of debit ait (in sampel)Indextransformasi199 88 77 66 55 44 33 22 11 16,05,55,04,54,03,5Time Series Plot of transformasi 1LambdaStDev5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,00,360,350,340,330,320,310,300,290,280,27Lower CL Upper CLLimitLambda0,50(using 95,0% confidence)Estimate 0,67LowerCL -0,79UpperCL 2,10Rounded ValueBox-Cox Plot of transformasi 1LANJUTAN IDENTIFIKASIGambar 5.3 Plot Time Series dan Box-Cox Transformasi PadaGambar5.3terlihat bahwadatadebit airsudahstasionerdalam varian karena diperoleh =1.Indextransformasi 299 88 77 66 55 44 33 22 11 12,42,32,22,12,01,91,8Time Series Plot of transformasi 2LambdaStDev5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,00,0690,0680,0670,0660,0650,0640,063Lower CL Upper CLLimitLambda1,00(using 95,0% confidence)Estimate 1,35LowerCL -1,51UpperCL 4,35Rounded ValueBox-Cox Plot of transformasi 2LANJUTAN IDENTIFIKASIGambar 5.4 Plot ACF dan PACF Transformasi LagAutocorrel ati on26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 21,00,80,60,40,20,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0Autocorrelation Function for transformasi 2(with 5% significance limits for the autocorrelations)LagParti alAutocorrel ati on26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 21,00,80,60,40,20,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0Partial Autocorrelation Function for transformasi 2(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSITabel 5.1 Estimasi Parameter Debit Air Model ARMA(2,2)(0,0)Pada Gambar 5.4 pola dari ACF adalah cuts off setelah lag 2danpoladari PACFadalahcutsoff setelahlag2. Makauntuksementara, model yang diduga adalah ARMA(2,2)(0,0).Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter danpengujian signifikansi parameter dari model tersebut denganmenggunakan statistik uji t-student dengan .Par EstimasiStandart Errort hitungP value1,6762 0,0478 35,040-0,9295 0,0443 -20,9801,1324 0,0988 11,470-0,5336 0,0975 -5,4700,547726 0,003166 173,030LANJUTAN ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSIHasil estimasi parameter dapat dilihat pada tabel 5.1 kolom2danpengujiansignifikansi masing-masing parameter adalahsebagai berikut:Uji Signifikansi ParameterHipotesis:Statistik Uji :Karena atau maka H0 ditolakartinya parametersignifikan.DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGBegitu juga untuk uji signifikansi parameter yang lain yaituparameter dapat dilakukan dengan cara yang samaseperti pada parameter . Berdasarkan hasil uji signifikasiparamater dapat disimpulkan bahwa pada modelARMA(2,2)(0,0) semua parameternya signifikan.Diagnostic Checking dan OverfittingAdaduaasumsi yangharus dipenuhi dalammenentukankecukupan model, yaitu residual bersifat white noise danberdistribusi normal. Pengujian asumsi residual white noise dapatdilakukandenganmenggunakanuji Ljung-Box, sebagaiberikut :Hipotesis:minimal ada satu , dengan u u | , , ,2 1 2 u u | | , , , ,2 1 2 1LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGStatistik uji Ljung-Box :Untuk K = 12 maka:= 17,723Dengancarayangsamaseperti perhitungan di atas makauntuk K = 12, 24, 36, dan 48 hasil yang diperoleh dapat dilihat padaTabel 5.2. Karena pada lag 12 dan 24 atau makaH0ditolak artinya residual tidak white noise.LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGTabel 5.2 Uji AsumsiResidual White noise ARMA(2,2)(0,0)Sedangkan pengujian asumsi distribusi normal dapatdilakukandenganmenggunakanuji Kolmogorov-Smirnov, .Pengujian ini dapat dilakukan melalui hipotesis sebagai berikut :Hipotesis :LagQ P-value12 17,7 14,0671 0,01324 30,3 30,144 0,04936 40,3 44,9853 0,12248 56,2 59,3035 0,085LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGStatistik uji :Karena makaH0 diterimaartinyaresidual modelberdistribusi normal. Hal ini sesuai denganhasil yangadapadaGambar5.5yaitu yangberarti residual modelberdistribusi normal.Gambar 5.5Plot Kenormalan Residual Model ARMA(2,2)(0,0)040014778 , 0 ) ( ) (0= = x F x S Sup Dx11739 , 0108 , 05 . 0 ,= = D Dn o(2,2)(0,0)Percent0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 -0,2 -0,399,99995908070605040302010510,1Mean>0,1500,0005779StDev 0,08038N 108KS 0,046P-ValueProbability Plot of (2,2)(0,0)Normal LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGDari hasil pengujian parameter signifikan, residual tidakwhite noise dan residual berdistribusi normal dapatdisimpulkan bahwa model ARMA(2,2)(0,0) tidak sesuai untukderet in sample debit air stasiun Kediri.Selanjutnya dilakukan overfitting dengan melihatkemungkinanmodel-model yanglain, yaituARMA(2,1)(0,0),ARMA(2,1)(0,1)12, ARMA(2,1) (0,2)12, ARMA(1,0)(1,1)12.Dariestimasiparameter, ujisignifikansiparameter, ujiresidual white noise, dan uji kenormalan residual, makamodel ARMA(2,1)(0,0) dan ARMA(2,1)(0,1)12memenuhikecukupan model. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 5.6.LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGTabel 5.3 Estimasi dan Uji SignifikansiModelARMAParameter thitungttabelP value Kepu-tusan(2,1)(0,0) = 1,5433 14 1,98304 0 signifikan= -0,7494 -8,98 0 signifikan= 0,6341 4,3 0 signifikan= 0,4458 149,66 0 signifikan(2,1)(0,1)12= 1,4903 9,78 1,98326 0 signifikan= -0,6733 -6,45 0 signifikan= 0,6657 3,62 0 signifikan= -0,3204 -3,34 0,001 signifikan= 0,3965 113,28 0 signifikanLANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGModelARMAParameter thitungttabelP value Kepu-tusan(2,1)(0,2)12= 1,5061 10,75 1,98350 0 signifikan= -0,6958 -6,89 0 signifikan=0,6509 3,74 0 signifikan= -0,2895 -2,79 0,006 signifikan= 0,0805 0,73 0,469 Tidak signifikan= 0,4106 120,93 0 signifikan(1,0)(1,1)12= 0,6702 9,07 1,983 0 signifikan= 1,0041 40,12 0 signifikan= 0,8882 9,77 0 signifikan= -0,0032 1,77 0,079 Tidak signifikanLANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGTabel 5.4 Uji Residual White NoiseModel ARMALag Q P value Keputusan(2,1)(0,0) 12 12,95 15,5073 0,114 white noise24 27,6 31,4104 0,118 white noise36 41,9 46,1943 0,112 white noise48 57,7 60,4809 0,081 white noise(2,1)(0,1)1212 8,1 14,0671 0,323 white noise24 24,8 30,1435 0,168 white noise36 38,6 44,9853 0,164 white noise48 55,3 59,3035 0,099 white noise(2,1)(0,2)1212 7,6 12,5916 0,264 white noise24 23,5 28,8693 0,171 white noise36 36,1 43,7730 0,206 white noise48 54,1 58,1240 0,100 white noiseLANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTINGModel ARMALag Q P value Keputusan(1,0)(1,1)1212 7,4 15,5073 0,494 white noise24 24,1 31,4104 0,328 white noise36 33,1 46,1943 0,415 white noise48 42,1 60,4809 0,525 white noiseModelARMAD P value Keputusan(2,1)(0,0) 0,04309 0,11739 >0,150 mengikuti distribusi normal(2,1)(0,1)120,04639 >0,150 mengikuti distribusi normal(2,1)(0,2)120,00339 >0,150 mengikuti distribusi normal(1,0)(1,1)120,03699 >0,150 mengikuti distribusi normalTabel 5.5 Uji Kenormalan ResidualnD, oESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN GPTabel 5.6 Kecukupan ModelEstimasi Parameter menggunakan Goal ProgrammingDari dua model yang telah memenuhi kecukupan model, akandilakukan estimasi atau penaksiran parameternya denganmenggunakan goal programming. Tujuannya adalah untukmeminimalisasi deviasi.Model ARMAUji Signifikansi Uji Residual White NoiseUji Kenormalan Residual(2,2)(0,0) signifikan tidak white noise berdistribusi normal(2,1)(0,0) signifikan white noise berdistribusi normal(2,1)(0,1)12signifikan white noise berdistribusi normal(2,1)(0,2)12tidak signifikan white noise berdistribusi normal(1,0)(1,1)12tidak signifikan white noise berdistribusi normalLANJUTAN ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN GPARMA (2,1)(0,0)Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan:AR1 = 0,756629, AR2 = 0, MA1 = 0, Cm = 0,53481ARMA (2,1)(0,1)12Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan:AR1 = 0,791156, AR2 = 0, MA1 = 0, SMA1 = 0, Cm = 0,450847Metodegoal programmingdapatmeminimalkandeviasi ataupenyimpangan padaderetoutsampel. Hal ini dapatdilihatpadaTabel 5.7. Oleh karena itu, model ARMA yang parameternya telahdiestimasi menggunakan goal programming lebih akurat (dari padayangsebelumdiestimasi menggunakangoal programming) untukdigunakan pada peramalan debit air.PEMILIHAN MODEL TERBAIKTabel 5.7 Mean Absolut ErrorPemilihan Model TerbaikTabel 5.8 Seleksi ModelMode ARMA Metode Mean absolut errorDeret in sample Deret out sample(2,1)(0,0) CLS 0,067793 0,097768GP 0,073034 0,083665(2,1)(0,1)12CLS 0,065012 0,095023GP 0,071197 0,075543ModelARMAIn sample Out sampleAIC SBC RMSE MAPE(2,1)(0,0) -496,01 -485,358 0,09768 3,8544%(2,1)(0,1)12-446,55 -433,731 0,09186 3,4486%PERAMALANDari hasil Tabel 5.8, terlihat bahwamodel ARMA(2,1)(0,1)12adalahmodel terbaikuntukperamalandebitairkarenamemilikinilai RMSE dan MAPE yang lebih kecil dibandingkan dengan modelyang lain.PeramalanHasil peramalan delapan periode berikutnya berdasarkan modelyang diperoleh adalah sebagai berikut:Tabel 5.9Peramalan Debit Air (dalam m3/ detik)Periode Forecast Periode ForecastMei 2010191,5882September 2010132,5817Juni 2010168,0118Oktober 2010126,3893Juli 2010152,2268November 2010121,7165Agustus 2010140,8916Desember 2010118,1544KESIMPULAN DAN SARANDari analisa yang dilakukan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:1. Model yang sesuai untuk peramalan debit air sungai Brantas padastasiun pengamatan Kediri adalah:ARMA(2,1)(0,1)12 atau:dengan:AR1 = 0,791156, AR2 = 0, MA1 = 0, SMA1 = 0, Cm = 0,4508472. Rata-rata debit air sungai pada bulanMei tahun2010 sampaidengan Desember tahun 2010 adalah 143,82 m3/detik dan standardeviasinya adalah 25,15 m3/detik.Pada penelitian ini menggunakan data rata-rata bulanan.Makadisarankanpadapenelitianselanjutnyamenggunakandatayanglebihbanyaksepertirata-rataharian. Selainitu, disarankanpula menggunakan goal programming untuk mengestimasiparametermodelselainARMA, sepertiARIMA, ARFIMA, maupunmodel yang lainnya.DAFTAR PUSTAKA1. Daniel, W. W. 1986. Statistika Non Parametrik Terapan. Jakarta:Penerbit PT. Gramedia.2. Makridakis, W. M. G. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisikedua. Bina Rupa Aksara. Jakarta.3. Mohammadi, K., Eslami H.R., danKahwitaR. May2006. Parameterestimation of an ARMA model for rifer flow forecasting using goalprogramming. Journal of Hydrology 331, 293-299.4. Mulyono, S. 2004. Operation Research. Jakarta: Fakultas EkonomiUniversitas Indonesia.5. Perum Jasa Tirta I. 2002. Profil Perusahaan Perum Jasa Tirta I. Malang.http://www.jasatirta1.co.id/index.php (diakses tanggal 5 Juli 2010)6. Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S. 2003. Analisis Time Series.Surabaya: Jurusan Statistika ITS.7. Suharti, T. 2004. Pengelolaan sungai, danau, dan waduk untukkonservasi sumber daya air. http://www.rudyct.com/PPS702-ipb/09145/titing_suharti.pdf (diakses tanggal 4 Juli 2010)8.Wei, W.W.S. 1994. Time Series Analysis: Univariate andMultivariate Methods. United State of America: Addison-WesleyPublishing Company.TERIMAKASIH