integral print mhs

INTEGRAL

Departemen MatematikaFMIPA - IPB

Bogor, 2012

(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus: Integral Bogor, 2012 1 / 45

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Antiturunan

3 Luas di Bawah Kurva

4 Integral Tentu

5 Teorema Dasar Kalkulus

6 Integral Taktentu

7 Aturan Substitusi

8 Telaah Konsep


Pendahuluan

Beberapa Terapan Integral

Peramalan jumlah populasi (penduduk, bakteri, dsb.) di masa yangakan datang.

Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu.

Penentuan konsumsi energi di Jakarta pada suatu hari.


Antiturunan

Antiturunan

Definisi

Fungsi F disebut antiturunan dari fungsi f pada selang I jikaF′ (x) = f (x) untuk ∀x ∈ I.

Contoh (Antiturunan)

1 f (x) = x3 ⇒ F (x) = 14 x4

2 f (x) = x3 ⇒ F (x) = 14 x4 + 5

3 f (x) = cos x ⇒ F (x) = sin x4 f (x) = cos x ⇒ F (x) = sin x+ C, C = konstanta �


Antiturunan

Teorema (Antiturunan Umum)

Jika F antiturunan dari f pada selang I, maka antiturunan dari f yangpaling umum adalah

F (x) + C (1)

dengan C konstanta sebarang.


Antiturunan

Formula Antiturunan

No. Fungsi Antiturunan

1. k f (x) kF (x) + C

2. f (x)± g (x) F (x)± G (x) + C

3. xn, n 6= −1 xn+1/ (n+ 1) + C

4. sin x − cos x+ C

5. cos x sin x+ C

6. sec2 x tan x+ C

7. csc2 x − cot x+ C

8. sec x tan x sec x+ C

9. csc x cot x − csc x+ C

k, C : konstanta, F′ (x) = f (x) , G′ (x) = g (x)


Luas di Bawah Kurva

Luas di Bawah Kurva

Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luasdaerah bidang rataBagaimana menentukan luas daerah bidang rata S yang dibatasi oleh:kurva y = f (x) ≥ 0, sumbu−x, garis x = a, x = b ?


Luas di Bawah Kurva

Ilustrasi Pendekatan Persegi Panjang untuk Menghitung Luas

Ingin ditentukan luas daerah yang dibatasi kurva f (x) = x2,sumbu-x, x = 0, x = 2 dengan pendekatan persegi panjang.

DEMO Jumlah Riemann


Luas di Bawah Kurva

Pendekatan Persegi Panjang untuk Menghitung Luas

Buat n persegi panjang dengan luas A1, A2, . . . , An,luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegipanjang → A ≈ A1 + A2 + · · ·+ An = Rn,makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A,luas A didefinisikan sebagai penjumlahan takhingga banyak persegipanjang → A = limn→∞ Rn = limn→∞ ∑n

i=1 Ai.(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus: Integral Bogor, 2012 9 / 45

Luas di Bawah Kurva

Penghitungan Luas dengan Pendekatan Persegi Panjang

Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh: kurva kontinuy = f (x) ≥ 0, sumbu−x, garis x = a, x = b, lakukan:

Bagi selang [a, b] menjadi nselang bagian [a = x0, x1] ,[x1, x2] , . . . , [xn−1, xn = b]dengan panjang yang sama,yakni ∆x = b−a

n , sehinggaberlaku xi = a+ i∆x,i = 1, 2, . . . , n.Pada setiap selang bagian[xi−1, xi] buat persegi panjangdengan lebar ∆x dan panjangf (xi), sehingga luas Ai =f (xi)∆x.


Luas di Bawah Kurva

Definisi

Luas A dari daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y = f (x) ≥ 0,sumbu−x, garis x = a, x = b adalah

A = limn→∞

Rn = limn→∞

n∑

i=1f (xi)∆x

= limn→∞

[ f (x1)∆x+ f (x2)∆x+ · · ·+ f (xn)∆x](2)

dengan ∆x = (b− a) /n, xi = a+ i∆x, i = 1, 2, . . . , n.

Rn = ∑ni=1 f (xi)∆x pada (2) disebut Jumlah Riemann.


Luas di Bawah Kurva

Formula Notasi Sigma

1.n∑

i=1c = c n

2.n∑

i=1c xi = c

n∑

i=1xi

3.n∑

i=1xi ± yi =

n∑

i=1xi ±

n∑

i=1yi

4.n∑

i=1i =

n (n+ 1)2

5.n∑

i=1i2 =

n (n+ 1) (2n+ 1)6

6.n∑

i=1i3 =

(n (n+ 1)

2

)2

(3)

c = konstanta.


Luas di Bawah Kurva

ContohGunakan pendekatan persegi panjang untuk menentukan luas daerah yangdibatasi kurva f (x) = x2, sumbu-x, x = 0, x = 2, dengani) n = 4 ii) n = 10 iii) n→ ∞

SOLUSI


Integral Tentu

Integral Tentu

Konsep Jumlah Riemann Rn = ∑ni=1 f (xi)∆x pada (2) dapat

diperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbu-x (S2).Jumlah Riemann pada S2 negatif karena f (xi) < 0.Pada selang [a, b], lambang limit Jumlah Riemann dapat digantidengan lambang integral tentu,limn→∞ ∑n

i=1 f (xi)∆x =∫ b

a f (x) dx.


Integral Tentu

Ilustrasi Integral Tentu


Integral Tentu

Definisi (Integral Tentu)

Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah∫ b

af (x) dx = lim

n→∞

n∑

i=1f (ci)∆x (4)

dengan ci ∈ [xi−1, xi] , ∆x = (b− a) /n, [xi−1, xi] adalah selang bagianke-i dari [a, b] = [x0, xn] , i = 1, 2, . . . , n.

Titik sampel ci pada selang bagian [xi−1, xi] dapat berupa:

titik ujung kanan, ci = xititik ujung kiri, ci = xi−1titik tengah, ci = (xi−1 + xi) /2

Syarat cukup agar f terintegralkan pada [a, b] adalah f kontinu pada[a, b] .


Integral Tentu

Dari Notasi Sigma ke Integral

Lambang∫ b

a f (x) dx ⇒∫: integral (∼ bentuk "S" = sum)

a, b : batas bawah,atas integralf (x) : integran (fungsi yang diintegralkan)dx : diintegralkan terhadap variabel x


Integral Tentu

Ilustrasi Hasil Evaluasi Integral Tentu


Integral Tentu

Hasil Evaluasi Integral Tentu

∫ ba f (x) dx, b ≥ a menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu daritiga kemungkinan berikut:

> 0

seluruh daerah berada di atas sumbu-xluas daerah di atas sumbu-x > luas daerah di bawah sumbu-x

< 0

seluruh daerah berada di bawah sumbu-xluas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x

= 0

f (x) = 0 atau a = bluas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x


Integral Tentu

Soal (Konsep Integral Tentu)

1 Gunakan definisi integral tentu (dengan titik ujung kanan) untuk

menghitung∫ 2

0

(x2 − x

)dx, jawab: lim

n→∞

(23+

43n2 +

2n

)=

23

2 Gunakan definisi integral tentu untuk menunjukkan bahwa∫ ba x dx =

b2 − a2

2.

3 Hitung integral berikut dengan menafsirkannya sebagai bentuk luas.a)∫ 2

0

(1+√

4− x2)

dx, jawab: 2+ π

b)∫ 2−2 (1− |x|) dx, jawab: 0

4 Ungkapkan limit berikut dalam bentuk integral tentu.

a) limn→∞

(12

n3 +22

n3 + · · ·+n2

n3

)b) lim

n→∞

1n

(1

1+ (1/n)2+

11+ (2/n)2

+ · · ·+ 11+ (n/n)2

)


Integral Tentu

Sifat-sifat Integral TentuIlustrasi Geometris


Integral Tentu

Sifat-sifat Integral TentuSifat Umum

1∫ a

b f (x) dx = −∫ b

a f (x) dx

2∫ a

a f (x) dx = 0

3∫ b

a c dx = c (b− a)

4∫ b

a c f (x) dx = c∫ b

a f (x) dx

5∫ b

a [ f (x)± g (x)] dx =∫ b

a f (x) dx±∫ b

a g (x) dx

6∫ b

a f (x) dx+∫ c

b f (x) dx =∫ c

a f (x) dx


Integral Tentu

Soal (Sifat Integral I)

1 Diketahui∫ 2

0 f (x) dx = 4 dan∫ 0

2 (g (x)− f (x)) dx = 5. Gunakansifat-sifat integral untuk menghitung:

a)∫ 0

2 (2 f (x)− 3) dx b)∫ 2

0 g (x) dx, jawab: a. −2 b. −1

2∫ 1

0 f (t) dt = 2,∫ 4

0 f (t) dt = −6, dan∫ 4

3 f (t) dt = 1. Hitung∫ 31 f (t) dt. jawab: −9


Integral Tentu

Ilustrasi Geometris Sifat Pembandingan Integral


Integral Tentu

Sifat-sifat Integral TentuSifat Pembandingan

1 Jika f (x) ≥ 0, x ∈ [a, b], maka∫ b

a f (x) dx ≥ 0

2 Jika f (x) ≥ g (x) , x ∈ [a, b], maka∫ b

a f (x) dx ≥∫ b

a g (x) dx3 Jika m ≤ f (x) ≤ M, x ∈ [a, b], maka

m (b− a) ≤∫ b

a f (x) dx ≤ M (b− a)


Integral Tentu

SoalGunakan sifat pembandingan integral untuk memeriksa kebenaranketaksamaan berikut tanpa menghitung integral.

1 2 ≤∫ 1−1

√1+ x2 dx ≤ 2

√2 SOLUSI

2 1/2 ≤∫ 2

11x

dx ≤ 1

3∫ 3

1

√x4 + 1 dx > 26/3 (diketahui:

∫ ba x2dx =

13(b3 − a3))


Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar KalkulusPengantar

Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung.Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitunganrumit seperti limit Jumlah Riemann.Sepintas, keduanya tampak tidak berkaitan.Newton dan Leibniz menemukan bahwa keduanya saling terkait.Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial:Teorema Dasar Kalkulus (TDK).Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebihmudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan. �(Dep.Matematika-IPB) Kalkulus: Integral Bogor, 2012 27 / 45


Ilustrasi Geometris TDK-1



Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 1)

Jika f kontinu pada [a, b], maka F (x) =∫ x

a f (t) dt kontinu pada [a, b],terturunkan pada (a, b), dan turunannya adalah f (x) ;

F′ (x) = ddx

∫ xa f (t) dt = f (x) (5)



Soal (TDK-1)

Tentukan:

1d

dx

∫ x

0

11+ t2 dt,

2d

dx

∫ x2

0sin t dt, petunjuk: u = x2, jawab: 2x sin x2

3d

dx

∫ g2(x)

g1(x)f (t) dt, jawab: f (g2 (x)) g′2 (x)− f (g1 (x)) g′1 (x)

4 fungsi f dan konstanta a yang memenuhi 6+∫ x

a

f (t)t2 dt = 2

√x,

x > 0, jawab: f (x) = x3/2, a = 9. SOLUSI



Teorema Dasar Kalkulus 2Konsep

Dari TDK-1: G (x) =∫ x

a f (t) dt⇒ G′ (x) = f (x) (G antiturunanf ). Catat bahwa G (a) =

∫ aa f (t) dt = 0.

Misalkan F antiturunan lain dari f , maka F (x) = G (x) + C

F (b)− F (a) = [G (b) + C]− [G (a) + C]

= G (b)− G (a) = G (b)

=∫ b

a f (t) dt =∫ b

a f (x) dx

Jadi ∫ ba f (x) dx = F (b)− F (a)

dengan F merupakan antiturunan f atau F′ (x) = f (x) . �



Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 2)

Jika f kontinu pada [a, b] dan F sebarang antiturunan f pada [a, b], maka∫ ba f (x) dx = F (x) |ba = F (b)− F (a) (6)

TDK-2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu,jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann.

Berdasarkan TDK-2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:tentukan antiturunan F dari f ,evaluasi F (b)− F (a) .



SoalTentukan:

1∫ π/2

0 cos x dx, jawab: 1

2∫ 4

1

( 32√

x+ 4x2

)dx, jawab: 10

3∫ 2−1 x |x| dx, jawab: 7/3

4d

dx

∫ x

0x sin t dt, jawab: x sin x− cos x+ 1


Integral Taktentu

Integral Taktentu

Definisi (Integral Taktentu)

Misalkan F adalah antiturunan f . Integral taktentu f (x) terhadap xadalah ∫

f (x) dx = F (x) + C (7)

Hasil integral tentu (persamaan 4) berupa suatu bilangan, hasilintegral taktentu berupa fungsi.

Integral taktentu adalah lambang lain antiturunan.


Integral Taktentu

Formula Integral Taktentu

1∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx2∫( f (x)± g (x)) dx =

∫f (x) dx±

∫g (x) dx

3∫

xndx = xn+1/ (n+ 1) + C, n 6= −14∫

sin x dx = − cos x+ C5∫

cos x dx = sin x+ C6∫

sec2 x dx = tan x+ C7∫

csc2 x dx = − cot x+ C8∫

sec x tan x dx = sec x+ C9∫

csc x cot x dx = − csc x+ C


Aturan Substitusi

Aturan Substitusi

Aturan substitusi digunakan pada kasus:

sulit menentukan antiturunan integran secara langsung, tetapibagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel barusehingga lebih mudah dicari antiturunannya.

Contoh

Ingin ditentukan∫

2√

2x+ 3 dx

Solusi OMisalkan u = 2x+ 3⇒ du/dx = 2⇒ du = 2dx ⇒∫

2√

2x+ 3dx =∫ √

udu

= 23 u3/2 + C

= 23 (2x+ 3)3/2 + C


Aturan Substitusi

∫2√

2x+ 3dx = · · ·?Jika u = g (x) = 2x+ 3, g′ (x) = 2 = du/dx, f (u) =

√u,

maka berlaku∫2√

2x+ 3dx =∫

f (g (x)) g′ (x) dx

=∫

f (u) du


Aturan Substitusi

Teorema (Aturan Substitusi)

Jika u = g (x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada Wg, maka∫f (g (x)) g′ (x) dx =

∫f (u) du∫ b

a f (g (x)) g′ (x) dx =∫ g(b)

g(a) f (u) du


Aturan Substitusi

Integral Fungsi SimetriIlustrasi Geometris


Aturan Substitusi

Integral Fungsi Simetri

Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan

1 Jika f fungsi genap, maka∫ a−a f (x) dx = 2

∫ 0−a f (x) dx = 2

∫ a0 f (x) dx (8)

2 Jika f fungsi ganjil, maka ∫ a−a f (x) dx = 0 (9)


Aturan Substitusi

Soal (Aturan Substitusi)

Evaluasi integral (1− 5) berikut:

1

∫x sin x2dx, jawab: − 1

2 cos x2 + C

2

∫ 2

1x√

2− x dx, jawab: 14/15

3

∫ 1

0x3√

x2 + 1 dx, jawab: 2/15(√

2+ 1)

SOLUSI

4

∫ π/2

−π/2

x2 sin x1+ x6 dx, jawab: 0

5

∫ 1

0x√

1− x4 dx, jawab: π/8 SOLUSI

6 Gunakan aturan substitusi untuk menunjukkan

a Jika f genap, maka∫ a

−af (x) dx = 2

∫ a

0f (x) dx.

b Jika f ganjil, maka∫ a

−af (x) dx = 0.


Aturan Substitusi

Ekspresi Integral Taktentu Tidak Khas

Soal

Tunjukkan bahwa∫

sin x cos x dx menghasilkan ekspresi berbeda dengansubstitusii) u = sin x, ii) u = cos x, iii) u = 2x berdasarkan kesamaansin 2x = 2 sin x cos x

∴ Hal tersebut menunjukkan bahwa fungsi yang dihasilkan dari integraltaktentu dapat memiliki ekspresi/bentuk yang berbeda.


Telaah Konsep

Telaah Konsep IKuis Benar-Salah

JAWABAN

1 Jika f dan g kontinu pada [a, b], maka∫ ba f (x) g (x) dx =

(∫ ba f (x) dx

) (∫ ba g (x) dx

).

2 Jika f kontinu pada [a, b], maka∫ b

a x f (x) dx = x∫ b

a f (x) dx.

3 Jika∫ b

a f (x) dx = 0, maka f (x) = 0, x ∈ [a, b] .

4 Jika∫ b

a [ f (x)]2 dx = 0, maka f (x) = 0, x ∈ [a, b] .

5 Jika f kontinu pada [a, b] dan f (x) ≥ 0, maka∫ ba

√f (x) dx =

√∫ ba f (x) dx

6 Jika f (x) ≤ g (x) pada [a, b], maka∫ b

a | f (x)| dx ≤∫ b

a |g (x)| dx.

7 Jika f (x) ≤ g (x) pada [a, b], maka∣∣∣∫ b

a f (x) dx∣∣∣ ≤ ∣∣∣∫ b

a g (x) dx∣∣∣ .

8 Jika a > x dan F (x) =∫ x

a f (t) dt, maka F′ (x) = − f (x) .


Telaah Konsep

Telaah Konsep IIKuis Benar-Salah

9 Jika F′ (x) = G′ (x) , x ∈ [a, b], maka F (b)− F (a) = G (b)− G (a) .10 Jika F (x) adalah antiturunan dari f (x), maka F (2x) adalahantiturunan dari f (2x) .

11

∫ 1

−1

(x3 − 2x7 +

sin x1+ x2

)dx = 0.

12

∫ 11

−11

(ax2 + bx+ c

)dx = 2

∫ 11

0

(ax2 + c

)dx.

13

∫ 3

1cos2 x dx = −

∫ 1

5cos2 x dx+

∫ 3

5cos2 x dx.

14d

dx

∫ x2

1

11+ t2 dt =

11+ x4 .

15 limn→∞

n∑

i=1cos

(2in

)=∫ 2

0cos x dx.


Telaah Konsep

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


integral print mhs

Education