BAB: TEKNIK PENGINTEGRALANTopik: Metode Substitusi

Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung inte-gral fungsi dengan metode substitusi.

1. UAS Kalkulus Semester Pendek 2004 no. 1b (kriteria: mudah)

TentukanZ �

2xp4x2 + 5

�dx

Jawab:

Dengan memisalkan

u = 4x2 + 5 =) du = 8x dx =) 1

4du = 2x dx;

maka Z2xp4x2 + 5dx =

1

4

Z pudu =

1

4

�2

3

�u3=2 + C

=1

6

�4x2 + 5

�3=2+ C:

2. UAS Kalkulus 2004 no. 4 (kriteria: mudah)

Diketahui

2Z1

f(x) dx = 6. Dengan menggunakan aturan substitusi,

hitung

1Z0

xf(x2 + 1) dx.

Jawab:

DiketahuiZ 2

1

f (x) dx = 6: Dengan memisalkan

u = x2 + 1 =) du = 2x dx =) 1

2du = x dx;

dan mengubah batas pengintegralan

x = 0 =) u = 1;

x = 1 =) u = 2;

maka integral Z 1

0

xf�x2 + 1

�dx =

1

2

Z 2

1

f (u) du

=1

2(6) = 3:

1

3. UAS Kalkulus (1) 2003 no. 2a (kriteria: mudah)

Tentukan Z2

x

q1� (lnx)2

dx

Jawab:

Misalkan u = lnx; maka du =1

xdx; sehinggaZ

2

x

q1� (lnx)2

dx = 2

Z1p1� u2

du = 2 sin�1 (u) + C

= 2 sin�1 (lnx) + C; dengan C konstanta.

4. UAS Kalkulus 2002 no. 1b (kriteria: mudah)

TentukanZxpx2 + 2 dx

Jawab:

Misalkanu = x2 + 2 =) du = 2x dx =) 1

2du = x dx

sehingga Zxpx2 + 2dx =

1

2

Zu1=2du =

1

2

�2

3u3=2

�+ C

=1

3

�x2 + 2

�3=2+ C:

5. UAS Kalkulus 1, tahun 2002 no. 1b (kriteria: mudah)

Tentukan Z[ln (x)]

2

xdx

Jawab:

Misalkanu = lnx =) du =

1

xdx

sehingga Z(ln (x))

2

xdx =

Zu2du =

1

3u3 + C =

1

3(lnx)

3+ C:

6. UAS Kalkulus 2002 no. 2 (kriteria: mudah)

Tentukan

a.Z

ex

1 + exdx b.

Z(sec2 x)

p1 + tanx dx:

Jawab:

2

(a) Misalkanu = 1 + ex =) du = exdx

sehinggaZex

1 + exdx =

Z1

udu = ln juj+ C = ln j1 + exj+ C:

(b) Misalkanu = 1 + tanx =) du = sec2 x dx;

sehinggaZsec2 x

p1 + tanxdx =

Zu1=2du

=2

3u3=2 + C =

2

3(1 + tanx)

3=2+ C:

7. UAS Kalkulus tahun 2001 no. 1a (5 poin)

TentukanR2xpx2 � 1 dx

Jawab:

Misalkanu = x2 � 1 =) du = 2x dx;

sehingga Z2xpx2 � 1dx =

Zu1=2du =

2

3u3=2 + C

=2

3

�x2 � 1

�3=2+ C:

8. UAS Kalkulus1 tahun 2001 no. 3

TentukanZlnx

p(lnx)2 + 1

xdx:

Jawab:

Misalkan u = (lnx)2 + 1; maka du = 2 (lnx)1

xdx: Jadi

1

2du =

lnx

xdx;

sehingga integralnya menjadi

1

2

Zu1=2du =

1

2

2

3u3=2 + C =

1

3

h(lnx)

2+ 1i3=2

+ C:

9. UAS Kalkulus 1 tahun 1999 no. 2

Hitunglah integral tak tentu berikut

(a)Zxp1� x dx

3

(b)Z

xp1� x

dx

Jawab:

Misalkan u = 1� x; maka du = �dx; dan x = 1� u; sehingga

(a) Zxp1� xdx =

Z(1� u)

pu (�du)

= �Z �

u1=2 � u3=2�du

= �23u3=2 +

2

5u5=2 + C

= �23(1� x)3=2 + 2

5(1� x)5=2 + C

(b) Zxp1� x

dx =

Z1� upu(�du)

= �Z(1� u)u�1=2du

= �Z(u�1=2 � u1=2)du

= �2u1=2 + 23u3=2 + C

= �2 (1� x)1=2 + 23(1� x)3=2 + C:

10. UAS Kalkulus1 tahun 1997 no. 1b.

Tentukan integral taktentu bagi fungsi berikut: f (x) = 9x2�3x3 � 10

�7Jawab:

Misalkan u = 3x3 � 10; maka du = 9x2dx; sehinggaZ9x2

�3x3 � 10

�7dx =

Zu7du

=1

8u8 + C =

1

8

�3x3 � 10

�8+ C:

11. UAS Kalkulus1 tahun 1997 no. 3

Tentukan integral tentu berikut:

(a)

4Z0

�px+

p2x+ 1

�dx

4

(b)

0Z�1

�3x2

px3 + 1

�dx

Jawab:

(a)

4Z0

�px+

p2x+ 1

�dx =

4Z0

pxdx+

4Z0

p2x+ 1dx:

Untuk integral kedua, misalkan u = 2x+1; maka du = 2dx; sehingga1

2du = dx:

Ubah batas integralnya

x = 0 ) u = 1x = 4 ) u = 9

Sehingga

4Z0

pxdx+

4Z0

p2x+ 1dx =

4Z0

pxdx+

1

2

9Z1

u1=2du

=

�2

3x3=2

�40

+1

2

�2

3u3=2

�91

=2

3

�43=2 � 0

�+1

3

�93=2 � 13=2

�=

2

3(8) +

1

3(26) =

42

3= 14:

(b) Misalkan u = x3 + 1; maka du = 3x2dx:Ubah batas:

x = �1 ) u = 0x = 0 ) u = 1

SehinggaZ 0

�13x2

px3 + 1dx =

Z 1

0

pudu

=

�2

3u3=2

�10

=2

3(1� 0) = 2

3:

12. UAS 1997 no. 6b.

Hitunglah integral taktentu berikut:Z

x

1� x2 dx

Jawab:

5

Misalkan u = 1� x2; maka du = �2xdx; sehinggaZx

1� x2 dx = �12

Zdu

u

= �12ln juj+ C

= �12ln��1� x2��+ C; dengan C konstanta.

13. UAS tahun 1996 no. 1b.

Tentukan integral taktentu berikutZsin7 (7x) cos (7x) dx:

Jawab:

Misalkan u = sin (7x) ; maka du = 7 cos (7x) dx; sehinggaZsin7 (7x) cos (7x) dx =

1

7

Zu7du

=1

7

1

8u8 + C

=1

56sin8 (7x) + C;

dengan C suatu konstanta.

14. UAS tahun 1996 no. 2a.

Tentukan integral taktentu berikut:Zcos3 (5x) dx

Jawab:Zcos3 (5x) dx =

Zcos2 (5x) cos (5x) dx

=

Z �1� sin2 (5x)

�cos (5x) dx

=

Zcos (5x) dx�

Zsin2 (5x) cos (5x) dx

Dengan memisalkan u = 5x; maka du = 5dx pada integral suku pertama,dan pemisalan u = sin (5x) sehingga du = 5 cos (5x) dx pada integral sukukedua, maka integral tersebut menjadi

1

5sin (5x)� 1

5

Zu2du =

1

5sin (5x)� 1

5

1

3u3 + C

=1

5sin (5x)� 1

15sin3 (5x) + C;

dengan C suatu konstanta.

6

15. UAS tahun 1996 no. 3a.

Tentukan Z 2

1

xpx� 1dx;

Jawab:

Misalkan u = x� 1; maka du = dx dan x = u+ 1:

(a) Ubah batas:x = 1 ) u = 0x = 2 ) u = 1

Sehingga Z 2

1

xpx� 1dx =

Z 1

0

(u+ 1)pudu

=

Z 1

0

�u3=2 + u1=2

�du

=

�2

5u5=2 +

2

3u3=2

�10

=

�2

5(1) +

2

3(1)

�� (0 + 0)

=2

5+2

3=16

15:

16. UAS 1996 no. 6

Tentukan:

(a) Zearctan(2x)

4x2 + 1dx;

(b) Zxpx+ 1

dx

Jawab:

(a) Dengan memisalkan u = arctan (2x) ; maka du =2

(2x)2+ 1

dx; se-

7

hinggaZearctan(2x)

4x2 + 1dx =

Zearctan(2x)

(2x)2+ 1

dx

=1

2

Zeudu

=1

2eu + C

=1

2earctan(2x) + C; dengan C konstanta.

(b) Misalkan u = x+ 1; maka du = dx dan x = u� 1; sehinggaZxpx+ 1

dx =

Zu� 1pudu =

Z(u� 1)u�1=2du

=

Z �u1=2 � u�1=2

�du

=2

3u3=2 � 2u1=2 + C

=2

3(x+ 1)

3=2 � 2 (x+ 1)1=2 + C;

dengan C suatu konstanta.

17. UAS tahun 1995 no. 7a.

Tentukan integral tentu berikut:

4Z1

1

x+pxdx

Jawab: Z 4

1

1

x+pxdx =

Z 4

1

1px (px+ 1)

dx:

Dengan substitusi u =px+1; maka du =

1

2pxdx; sehingga

1pxdx = 2du:

Jadi:

(a) Cara 1: Z1p

x (px+ 1)

dx = 2

Z1

udu = 2 ln juj+ C

= 2 ln��px+ 1��+ C:

Ini berartiZ 4

1

1

x+pxdx =

�2 ln

��px+ 1��+ C�41

= 2 ln (3)� 2 ln (2) = 2 ln�3

2

�:

8

Cara 2:Ubah batas: x = 1) u = 2; dan x = 4) u = 3; sehinggaZ 4

1

1

x+pxdx = 2

Z 3

2

1

udu = 2 [ln juj]32

= 2 ln (3)� 2 ln (2) = 2 ln�3

2

�:

1 Substitusi trigonometri

1. UAS tahun 1997 no. 6a.

Hitunglah integral taktentu berikut:Z

1p1� x2

dx

Jawab:

Dengan substitusi (trigonometri) x = sin t; maka dx = cos t dt; sehinggaZ1p1� x2

dx =

Z1p

1� sin2 tcos t dt

=

Zcos tpcos2 t

dt

=

Zdt = t+ C

= arcsin (x) + C:

2. UAS 1996 no. 9.

Tentukan Z(x� 3)2

(6x� x2)5=2dx:

Jawab:

Z(x� 3)2

(6x� x2)5=2dx =

Z(x� 3)2

[� (x2 � 6x)]5=2dx

=

Z(x� 3)2h

� (x� 3)2 + 9i5=2 dx

Dengan memisalkan

x� 3 = 3 sin �; maka dx = 3 cos � d�; sehingga

9

Z(x� 3)2h

� (x� 3)2 + 9i5=2 dx =

Z9 sin2 ��

9� 9 sin2 ��5=2 3 cos � d�

=

Z9 sin2 � (3 cos �)

(9 cos2 �)5=2d�

=27

35

Zsin2 � cos �

cos5 �d�

=1

9

Zsin2 �

cos4 �d�

=1

9

Ztan2 � sec2 �d�

=1

9

1

3tan3 � + C

=1

27

(x� 3)3h9� (x� 3)2

i3=2 + C3. UAS tahun 1995 no. 6b.

Tentukan integral taktentu berikut:Z

4� xp4� 9x2

dx

Jawab: Z4� xp4� 9x2

dx =

Z4p

4� 9x2dx�

Zxp

4� 9x2dx:

Dengan memisalkan x =2

3sin (�) ; maka dx =

2

3cos (�) d�; sehingga

Z4p

4� 9x2dx = 4

Z 2

3cos (�) d�p4� 4 sin2 �

=8

3

Zcos (�)

2q�1� sin2 (�)

�d�=

4

3

Zcos (�)pcos2 (�)

d� =4

3

Zd� =

4

3�

=4

3sin�1

�3x

2

�+ C1

Sekarang dengan substitusi u = 4� 9x2; maka du = �18x dx; sehinggaZxp

4� 9x2dx = � 1

18

Zdupu= � 1

18

�2u1=2

�+ C2

= �19

p4� 9x2 + C2

Jadi Z4� xp4� 9x2

dx =4

3sin�1

�3x

2

�+1

9

p4� 9x2 + C:

10