induksi matematika kls xii

Click here to load reader

Post on 15-Jan-2017

1.466 views

Category:

Science

11 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

RESUME INDUKSI MATEMATIS

Penjelasan Singkat Induksi Kuat

PENJELASAN INDUKSI MATEMATIKA

DEFINISI

Induksi matematikamerupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semuabilanganasli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan :

menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau P(1) adalah benar),

kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila P(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau P(k + 1) benar).

PEMBAGIAM INDUKSI MATEMATIKA :

Induksi SederhanaMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(1) benar, dan2. Jika p(n)benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat positif n1,

Induksi yang DirampatkanMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat nn_0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(n_0) benar, dan2. Jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat nn_0,

Induksi KuatMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat nn_0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:1. p(n_0) benar, dan2. Jika p(n_0), p(n_0+1),, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat nn_0

PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKASalah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika adalah Induksi Matematik. Metode ini digunakan untuk memberikan teorema-teorema yang berlaku pada bilangan asli. Sebagai contoh jika ada bentuk kesamaan sebagai berikut:

Apakah penyataan tersebut selalau benar untuk setiap bilangan asli n?

Cara pembuktian kesamaan tersebut dapat dilakukan dengan memandang ruas kiri sebagai deret aritmatika sebagai berikut:

Pada ruas kiri

: 1 + 2 + 3 + 4+ . . . + n

Suku pertama (a): .

Beda (b)

: . . . . .

Jumlah n suku pertama (Sn) =

=

=

=

(Sama dengan ruas kanan)

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kesamaan tersebut terbukti benar.

Selain cara tersebut, pembuktian dapat dilakukan dengan bukti formal yaitu dengan induksi matematik.

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah:

1. Memisalkan suatu kesamaan yang diketahui sebagai suatu pernyataan atau preposisi p(n) yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan n.

2. Kemudian lanjutkan dengan:

Langkah i: Tujukkan pernyataan tersebut benar untuk n = 1 atau p(1) benar.

Langkahii: Dimisalkan bahwa p(n) benar, tunjukkan bahwa p(n+1) benar.

Jika langkah i dan ii benar, dapat disimpulkan p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Pada pembuktian dengan induksi matematik, langkah i disebut basis (dasar) untuk insuksi dan langkah ii disebut langkah induktif, yaitu suatu bentuk implikasi jika p(n) benar maka p(n+1) benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 1:

Buktikan dengan induksi matematik bahwa:

Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

Dimisalkan p(n) :

i. Untuk n = 1, p(n) adalah 1 =

1 = 1

(benar)ii. Dimisalkan p(n) benar. Selanjutnya tunjukkan bahwa p(n+1), yaitu benar

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:

Karena i dan ii benar, maka terbukti p(n) benar.

atau

benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 2:

Buktikan dengan induksi matematik bahwa:

Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

Dimisalkan p(n) :

i. Untuk n = 1, p(n) adalah

(benar)

ii. Dimisalkan p(n) benar. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu

Ini menunjukkan bahwa p(n+1) benar.

Karena i dan ii benar, maka terbukti p(n) benarAtau

, benar untuk setiap bilangan asli n.

PEMBAHASAN SOAL-SOAL LATIHAN L 3.1, 3.2 & UK 3.1

_1435685755.unknown

_1435771084.unknown

_1435772044.unknown

_1435772228.unknown

_1435772279.unknown

_1435772865.unknown

_1435771626.unknown

_1435771233.unknown

_1435685830.unknown

_1435685977.unknown

_1435685829.unknown

_1435685460.unknown