Kalkulus 2 MODUL - 13INTEGRAL GANDAINTEGRAL GANDA DUACara lain memperluas konsep integral Riemannbadx x f ) ( adalah dalamintegral ganda, yaituintegral gandadua, integral gandatigadanyang serupa itu.Jika integran pada integral kita yang terdahulu adalah fungsi satu variabel dalamsuatuselangtertutuppadasumbux, integranintegral gandaduayang akan kita bicarakan di sini adalah fungsi dua variabel pada suatu daerah tertutup di bidang xy, yang batas-batasnya adalah yang dikenal dengan nama lengkungan(kurva)mulusbagian demibagian (piecewise smoothcurve)yang tertutup.Kita ingat dari 15.1.1 bahwa suatu busur sederhana di bidang xy adalah grafik persamaan parameter., ), ( ), ( b t a t g y t f x dengan f dan g kontinu, sedemikian sehingga untuk semua t antara a dan b ada padanannyatitik-titikpadagrafiktersebut. Jadi suatubusur sederhanatidak memotong busur itu sendiri.Jika,tambahan pula,turunan pertamanya fdan gkontinu untuk a t b, maka busur sederhana tadi dikatakan mulus (Gambar 19-1(a)]. Garis singgungnya bergerak terus menerus jika t bertambah dari a ke b.Suatu lengkungan mulus bagian demi bagian adalah suatu busur sederhanayangmulus, atauseurutanbusur-busur sederhanayangmasing-masing mulus yang bersambungan ujung-ujungnya, sedemikian sehingga untuk semuanilai t dalam[a, b] (kecuali mungkinadanbitusendiri) adatitik-titik padanannya pada grafiknya.Jika titik-titik yang berpadanan dengan t = a dan t = adalah identik maka kurva mulus bagian demi bagian iu dikatakan tertutup.PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc. KALKULUS II 1Andaikanfsuatufungsiduaperubahanyangdidefinisikandalamsuatu daerah siku empat terbuka H. andaikan pula C suatu lengkungan mulus bagian demi bagian yang seluruhnya terletak di dalam H.PandangdaerahtertututpRyangterdiri dari semuatitikdi dalamatau padalengunganmulusbagiandemi bagianC. dengangaris-garislurusyang sejajar sumbu koordinat, daerah Rditutup suatu kisi-kisi yang terdiri dari sejumlah hingga siku empat. siku-siku empat itu yang terletak di dalam atau pada batasR, memebntukpartisi puntuk; siku-sikuempat itudiberi nomor dari 1 hingganmenurut caraterbaikyangdipilihsebarang. Siku-sikuempat partisi kelihatan diarsir dalam Gambar 19-3. Tandai panjang sisi-sisi siku empat partisi ke-I denganlambang x1dan y1danluasnyaadalah Ai = xi yi(I = 1,2.,n). yang dimaksudkan dengan norma [p] suatu partisip untuk R, adalah garis diagonal terpanjang dari semua siku-siku empat di dalam partisi p itu.Karenaf didefinisikandi dalamH, iadidefinisikandi dalamdanpada batas R Andaikan (x1, y1) suatu titik sebarang yang dipilih di dalam siku empat partisi ke-I, I = 1,2,,n. maka jumlahniAi y x f11 1) , ( ) 1 (dinamakan jumlah Riemann untuk f(x, y) pada R.Tampakbahwaruang-ruangputihkosongdi dalamdaerahRdi dalam gambar 19-3 dapat dibuat sekecil mungkin dengan menggunakan banyak garis untuk membentuk kisi-kisi; dengan demikian norma [p] partisi akan cukup kecil.MislkanLsuatubilangan. Jikauntuk tipe >0adasuatu >0 sedemikian sehingga