induksi-mat-teo.-binomial.pptx

7/25/2019 Induksi-Mat-Teo.-Binomial.pptx

1/20

MATHEMATICS INDUCTIONAND

BINOM THEOREM

By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd


2/20

Standar kompetensi

Memahami dan dapatmembuktikan teorema/rumusdengan cara induksi matematika

Menerapkan teorema binomialpada penjabaran bentukperpangkatan(a+b)n


3/20

MATHEMATIS I!"#TI$!

Salah satu metode pembuktian%ang absah dalam matematika&

'an%ak digunakan untuk

membuktikan kebenaranteoremateorema %ang berlakuuntuk semua bilangan bulat atau

lebih khusus untuk setiapbilangan asli&


4/20

Induksi

Matematikamerupakan teknik pembuktian %angsangat penting

dipergunakan secara luas untukmembuktikan pern%ataan %ang berkaitandengan ob%ek diskrit&(kompleksitasalgoritma teorema mengenai gra*identitas dan ketidaksamaan %ang

melibatkan bilangan bulat dsb)&

tidak dapat digunakan untukmenemukan rumus atau teorema tetapi

han%a untuk melakukan pembuktian&


5/20

InduksiMatematikaTeknik untuk membuktikan proposisi dalam

bentuk n (n) dengan semestapembicaraan adalah himpunan bilanganbulat positi*&Suatu bukti dengan menggunakan induksi

matematika bah,a -(n) benar untuksetiap n bilangan bulat positi* - terdiri dari tiga langkah.

1.Langkah basis.Tunjukkan bah,a () benar&

2.Langkah induktif:"iasumsikan bah,a (k) benar makadapat ditunjukkan bah,a (k + ) benaruntuk setiap k&(k) untuk suatu k tertentu disebut hipotesa

induksi&


6/20

0angkahlangkah pembuktian denganinduksi matematik adalah sebagai berikut.

Misalkan p(n) adalah suatuproporsi / pern%ataan %ang akandibuktikan kebenarann%a untuk

setiap bilangan asli&0angkah () . ditunjukkan bah,a

p() benar&

0angkah (1) . diasumsikan bah,ap(k) benar untuk suatu bilangan aslik dan ditunjukkan bah,a p(k+)benar&


7/20

Apabila langkah () dan langkah(1) telah dilakukan dengan benarmaka dapat disimpulkan bah,a

p(n) benar untuk setiap bilanganasli n&

0angkah () sering disebut basis

(dasar) untuk induksisedangkan langkah (1) disebut

langkah indukti*&


8/20

ontoh

"engan menggunakan induksimatematika buktikan bah,a+1+2+3+n4 n(n+1) untuk

setiap bilangan asli n

'ukti .

Misalkan p(n) men%atakan+1+2+3+n4 n(n+1)

2

1

2

1


9/20

(i) p() adalah 4 & & (1) %aitu 4

(ii)jelas benar(iii)"iasumsikan bah,a p(k) benar untuk

suatu bilangan asli k %aitu

+1+2+3 +k4 k(k+1) benar

Selanjutn%a harus ditunjukkan bah,a

p(k+) benar %aitu .+1+2+3 +k+ (k+) 4 (k+)(k+1)

2

1

2

1

2

1


10/20

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut .

+1+2+3 +k+ (k+) 4 (+1+2+3+k) +(k+)

4 k(k+)+(k+)

4 (k+) ( k+)

4 (k+) (k+1)

5adi +1+2+3 +k+ (k+) 4 (k+) (k+1)

berarti p(k+) benar&

Sehingga p(n) benar untuk setiap bilanganasli n

2

1

2

1

2

1

2

1


11/20

ontoh 1 .

Tunjukkan bah,a n 6 1nuntuk setiap bilanganbulat positi* n&

Solusi:

Misalkan (n). proposisi -n

6 1n&7

&0angkah basis.

() benar karena 6 1

4


12/20

1&0angkah indukti*.Asumsikan bah,a (k) benar untuksemua k bil bulat positi* %aitu

k 6 1k&8ita perlu menunjukkan bah,a (k +) benar %aitu

k + 6 1k+

8ita mulai dari k 6 1k

k + 6 1k+ 1k+ 1k 4 1k+5adi jika k 6 1kmaka k + 6 1k+

(k+) benar2&8onklusi.

5adi n 6 1nbenar untuk setiap nbilangan bulat positi*&

Akhir dari bukti&


13/20

'asis induksi tidak mesti diambiln4 tetapi diambil sesuaidengan permasalahan %ang

dihadapi atau pern%ataan %angingin dibuktikan&


14/20

Misalkan akan dibuktikan bah,ap(n) berlaku untuk setiapbilangan asli n 9 t& Maka langkah

langkah pembuktiannn%a denganinduksi matematik sebagaiberikut&

0angkah () . ditunjukkanbah,a p(t) benar

0angkah (1) . diasumsikan

bah,a p(k) benar untuk suatu


15/20

Teorema 'inomial

8ombinasi r objek %ang diambildari n objek diimbalkan dengan(nr) atau dan dirumuskan

sebagai.

r

n

)!(!

!

knr

n

r

n

=


16/20

ontoh

Misalkan terdapat : objek %aituabcd dan e& apabila dari :

objek tersebut diambil 2 objekmaka ban%akn%a carapengambilan 2 objek tersebut

adalah ( )cara

r

n10

)1.2.3)(1.2(

1.2.3.4.5

!3!2

!5===


17/20

Si*atsi*at 8oe;sien 'inomial

( ) ( )

n

n

n

nnnn

jadi

n

nnnni

2...210

...210

11

=

++

+

+

++

+

+

=+

)(

!)!(

!

)!(!

!)(

simetriksifatkn

n

k

njadi

kkn

n

kn

ndan

knk

n

k

nii

=

=

=


18/20

+

=

>

111

,)(

kn

kn

kn

makakndanaslibilanganbilangankdannJikaiii

=

>>

mk

mn

m

n

m

k

k

n

makamkndanaslibilanganbilangankdanmnJikaiv ,,,)(

=

1

1

,)(

k

nn

k

nk

maka

kndenganaslibilanganbilangankdannJikav


19/20

( )

+++

=

+++

++

++

++=

++

++

++

1

1...

2

2

1

1

0

1

1...21

r

rk

r

rkkkk

k

n

k

n

k

k

k

k

k

kvi

=

++

+

+

n

n

n

nnnnvii

2...

210)(

2222

'#8TI SE'A


20/20

THANK YOU

induksi-mat-teo.-binomial.pptx

Documents