ideal dan sifat-sifatnya - · pdf filei ax by x y b ^, `. selidiki ... bukti: akan dibuktikan...
TRANSCRIPT
1
IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA
Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II
Oleh:
Kelompok VI/kelas A1
Diah Ajeng Titisari (08144100009)
Frendy Try Andyasmoko (08144100041)
Herna Purwanti (08144100083)
Chusniatun (09144100014)
Lingga Badra Purwana (09144100061)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2012
2
IDEAL DAN SIFATSIFATNYA
Dalam grup kita mengenal subgrub normal. Dalam ring terdapat subring-
subring tertentu yang mempunyai peranan mirip dengan subgrup normal. Subring
yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal, yakni subring dari suatu
ring yang memilki sifat-sifat khusus.
Definisi 1.1
Diketahui ring R dan I Rmaka I disebut ideal dari ring R jika memenuhi
aksioma-aksioma berikut:
1. I subring dari R
2. , , maka dan
Definisi 1.2
Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan , I disebut Ideal kiri dari R
jika dan hanya jika:
i berlaku (x y) I
ii ( ) ( ) berlaku
Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan , I disebut Ideal kanan dari
R jika dan hanya jika:
1. , berlaku (x y) I
2. ( ) ( ) berlaku
Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan , I disebut Ideal dua sisi
(ideal kiri sekaligus ideal kanan), disebut juga Ideal dari R jika dan hanya jika
1. , berlaku (x y) I
2. ( ) ( ) berlaku ,
3
Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0}dan disebut ideal sejati jika I R.
Ideal I dinamakan ideal tak sejati jika I = R. Ring yang tidak mempunyai ideal
sejati disebut ring sederhana (simple ring). Apabila R adalah ring komutatif maka
ideal kanan juga merupakan ideal kiri.
Catatan:
1. Ideal pasti merupakan subring dan tidak sebaliknya.
2. Syarat ke-2, ( ) berlaku , berarti bahwa .
Contoh:
1. Diketahui Z adalah ring dari bilangan bulat didefinisikan bahwa
,I ax by x y B . Selidiki apakah I ideal dari ring Z!
Penyelesaian:
Akan dibuktikan I adalah ideal dari Z
Ambil : 1 1 1,I ax by I
2 2 2,I ax by I
a. Akan dibuktikan I adalah ideal kiri
Bukti:
i) 1 2 1 2,I I I I I I
1 2 1 1 2 2I I ax by ax by
1 1 2 2ax by ax by
1 2 1 2ax ax by by
1 2 1 2a x x b y y
Misal: 1 2x mx dan 1 2y ny , maka
1 2 1 2a x x b y y am bn I Sebab m B dan n B
ii) 1 1I I r Z rI I
1 1 1rI r ax by
1 1 a rx b ry
4
Misal: 1rx s dan 1ry t , maka
1 1 a rx b ry as bt I
Sebab ,s t B
Karena (i) dan (ii) terpenuhi , maka I merupakan ideal kiri dari Z.
b. Akan dibuktikan I adalah ideal kanan
i) 1 2 1 2,I I I I I I
1 2 1 1 2 2I I ax by ax by
1 1 2 2ax by ax by
1 2 1 2ax ax by by
1 2 1 2a x x b y y
Misal: 1 2x mx dan 1 2y ny , maka
1 2 1 2a x x b y y am bn I Sebab m B dan n B .
ii) 1 1I I r I rZ I
1 1 1 1 ax by r a rx b ry
Misal: 1rx s dan 1ry t , maka
1 1 a rx b ry as bt I
Sebab ,s t B .
Karena (i) dan (ii) terpenuhi , maka I merupakan ideal kanan dari Z.
Jadi, karena I merupakan ideal kanan dan ideal kiri sehingga I
merupakan ideal dari Z.
2. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x 2 dengan semua
komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Didefinisikan
0,
0
aK a b Z
b
. Selidikilah apakah K merupakan ideal kiri dari R!
Bukti:
5
Akan dibuktikan 0
,0
aK a b Z
b
merupakan ideal kiri dari R.
Ambil 0
0
cA
d
dan 0
0
eB
f
i) ,A B K A B K
0 0
0 0
c eA B
d f
0 0
0 0
c e
d f
0
0
c e
d f
Misalkan c e m dan d f n , maka
0
0
c e
d f
=
0
0
mK
n
ii) A K T R TA K
0
0
m n cTA
o p d
0 0
0 0
mc nd m n
oc pd o p
0 0
0 0
mc nd
oc pd
0
0
mc nd
oc pd
Misalkan mc nd s dan oc pd t , maka
0 0
0 0
mc nd sK
oc pd t
Jadi, K merupakan ideal kiri dari R karena syarat i) dan ii) terpenuhi.
6
3. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x 2 dengan semua
komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Didefinisikan
0,
0
aN a b Z
b
. Selidikilah apakah N merupakan ideal kanan dari R!
Bukti:
Akan dibuktikan 0
,0
aN a b Z
b
merupakan ideal kanan dari R.
Ambil 0
0
cA
d
dan 0
0
eB
f
i) ,A B N A B N
0 0
0 0
c eA B
d f
0 0
0 0
c e
d f
0
0
c e
d f
Misalkan c e m dan d f n , maka
0
0
c e
d f
=
0
0
mN
n
ii) A N T R TA N
Ambil m n
To p
0
0
m n cTA
o p d
0
0 0
mo n mc nd
o p oc pd
0 0
0 0
mc nd
oc pd
7
0
0
mc nd
oc pd
Misalkan mc nd s dan oc pd t , maka
0 0
0 0
mc nd sK
oc pd t
Jadi, N merupakan ideal kanan dari R karena syarat i) dan ii) terpenuhi.
4. R adalah suatu ring bilangan real dan Q adalah suatu ring bilangan rasional,
maka Q adalah subring dari R, tetapi Q bukan ideal kiri maupun ideal kanan
dari R, karena apabila a Q dan b R maka terdapat ab Q .
Teorema 1.1:
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I, J masing-masing
merupakan ideal pada R, maka kedua sifat berikut berlaku:
i. I J merupakan ideal pada R.
ii. I J merupakan ideal pada R.
Bukti:
i.
Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 ,I J dan akibatnya
0 I J . Dengan demikian I J . Diambil sebarang ,a b I J , maka
,a b I dan ,a b J . Karena I dan J merupakan ideal, maka a b I dan a b J .
Dengan demikian a b I J . Diambil sebarang a I J , maka a I dan
a J . Karena I dan J ideal, maka untuk sebarang r R , berlaku ar ra I dan
ar ra J . Dengan demikian ar ra I J .
Jadi, terbukti bahwa I J merupakan ideal pada R.
ii.
Diperhatikan bahwa { | , }I J x y x I y J . Karena I dan J masing-masing
merupakan ideal, maka 0 ,I J dan akibatnya 0 0 0 I J . Dengan demikian
I J . Diambil sebarang ,a b I J , maka 1 1a x y dan 2 2b x y untuk
8
suatu 1 2,x x I dan 1 2,y y J . Karena I dan J merupakan ideal, maka 1 2x x I
dan 1 2y y J . Dengan demikian,
1 1 2 2a b x y x y 1 2 1 2x x y y I J .
Diambil sebarang a I J , maka 1 1a x y untuk suatu 1x I dan 1y J . Karena
I dan J ideal, maka untuk sebarang r R , berlaku 1 1x r rx I dan 1 1y r ry J .
Dengan demikian 1 1ar x y r 1 1x r y r 1 1rx ry 1 1r x y ra I J .
Jadi, terbukti bahwa I J merupakan ideal pada R.
(Pengayaan)
Teorema 1.2:
Suatu field tidak mempunyai ideal sejati.
Bukti:
Misalkan F suatu field dan S {z} adalah suatu ideal dari F, maka S F .
Ambil sembarang a S , a z dan 1a F . Karena S suatu ideal dari F maka
1aa u S . Sehingga untuk sembarang x F maka xu x S .
Jadi diperoleh bahwa F S dan karena S F maka F = S.
Sehingga ideal dari F yang bukan {z} adalah F.
Oleh karena itu, ideal-ideal dari F hanyalah F dan {z} saja.
Jadi field F tidak mempunyai ideal sejati.
Teorema 1.3:
Apabila R suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan dan tidak mempunyai
ideal sejati, maka R suatu field.
Bukti:
Ambil sembarang a R dan a z, karena R tidak mempunyai ideal sejati, maka
{ | }Ra ya y R R . Selanjutnya, karena u R maka ada b R , sehingga
ba u .
Teorema 1.4:
Misalkan R ring dengan elemen satuan dan dan I ideal dari R. Jika I memuat
elemen unit maka I R .
9
Bukti:
Misalkan u elemen unit di I
Maka terdapat v R , sehingga 1uv .
Karena ,u I v R dan I merupakan ideal di R maka 1uv I .
Ditunjukkan I R
i. Jelas bahwa I R karena I ideal dari R.
ii. Ambil sebarang r R
Karena 1 I maka .1r r I ,
Jadi R I
Berdasarkan i dan ii diperoleh I R .
Definisi 1.3:
i. Misalkan R ring komutatif dan a R . Ideal { | }I ra r R dinamakan ideal
utama (principal ideal) yang dibangun oleh a dan disimbolkan dengan a .
Suatu ideal dinamakan ideal utama apabila ideal tersebut dapat dibangun oleh
satu elemen.
ii. Suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, di mana setiap idealnya adalah
ideal utama, disebut ring ideal utama.
iii. Suatu daerah integral R dinamakan daerah ideal utama apabila setiap ideal di
R merupakan ideal utama.
Contoh:
Setiap ideal di Z berbentuk nZ = n yang merupakan ideal utama yang dibangun
oleh n. Karena Z merupakan daerah integral maka berdasarkan Definisi 1.3, Z
merupakan daerah integral utama.
Definisi 1.4:
Misalkan R suatu ring dan S adalah suatu ideal dari R dengan S R. S disebut
Ideal Maksimal dari R, jika tidak ada id