Soal No. 1Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:(i) y = 2x + 3(ii) y = x2 − 4x + 8

Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!PembahasanSubstitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar. x2 − 4x + 8 = 2x + 3 x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0x2 − 6x + 5 = 0

Berikutnya faktorkan:x2 − 6x + 5 = 0(x − 1)(x − 5) = 0

Dapatkan nilai x yang pertama:x − 1 = 0 x = 1

Dapatkan nilai x yang kedua:x − 5 = 0 x = 5

Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):Untuk x = 1 makay = 2x + 3y = 2(1) + 3y = 2 + 3y = 5

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)

Untuk x = 5 makay = 2x + 3y = 2(5) + 3y = 10 + 3y = 13

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)

Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}

Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi.

Soal No. 2Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:(i) y = 5x + 4(ii) y = x2 + 13x − 16

Pembahasan

x2 + 13x − 16 = 5x + 4x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0x2 + 8x − 20 = 0(x + 10)(x − 2) = 0

Nilai x yang pertamax + 10 = 0x = − 10

Nilai x yang keduax − 2 = 0x = 2

Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:Untuk x = − 10 didapat nilai yy = 5x + 4y = 5(−10) + 4 = − 46

Untuk x = 2, didapat nilai yy = 5x + 4y = 5(2) + 4 = 14

Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}

Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Seperti contoh berikutnya.

Soal No. 3Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:(i) x − y = 5(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas!

Pembahasan(i) x − y = 5(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk "kuadrat dalam kuadrat" seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut:

Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan (ii) maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut:x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0a = 1b = − 6yc = 9y2 − 9

Sehingga:x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0(x − 3y − 3)(x − 3y + 3) = 0

Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu:x − 3y − 3 = 0 .....(iii)x − 3y + 3 = 0 .....(iv)

Dari persamaan (ii) dan (iii)x − y = 5x − 3y = 3_________   _2y = 2y = 1

x − y = 5x − 1 = 5x = 6

Dari persamaan (ii) dan (iv)x − y = 5x − 3y = − 3___________   _2y = 8y = 4

x − y = 5x − 4 = 5x = 9

Sehingga penyelesaiannya adalah {(6, 1), (9, 4)}

1.     Fungsi Eksponen.

Bentuk umum fungsi eksponen adalah y = ax, dengan a ≥ 0 dan a ≠ 1

            a.     Grafik y = ax, untuk 0 < a < 1  Memiliki sifat-sifat:

a)     terdefinisi untuk semua x ϵ R;b)    jika x bernilai kecil sekali dan bertanda negatip maka y besar sekali dan bertanda positip;c)     jika x bernilai besar sekali dan bertanda positip maka y bernilai mendekati nol dan bertanda

positip;d)    untuk x = 0 diperoleh y = 1.

Gambar grafik :

              b.     Grafik y = ax, untuk  a >1               Contoh Kasus : 

   Memiliki sifat-sifat:                a)     terdefinisi untuk semua x ϵ R

                b)    jika x bernilai kecil sekali dan bertanda negatip maka y mendekati nol dan bertanda  

                       positip    c)    jika x bernilai besar sekali dan bertanda positip maka y bernilai besar sekali dan  bertanda

positip    d)    untuk x = 0 diperoleh y = 1

                Gambar grafik :

 

         

2.     Fungsi Logaritma           Bentuk umum           Jika ay = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =alog x

                     a.     Grafik fungsi y =alog x untuk 0 < a < 1

          Contoh kasus :                  memiliki sifat – sifat :

a)     terdefinisi untuk semua x >0;b)    jika x mendekati nol maka y besar sekali dan bertanda positip;c)     untuk x = 1, y = 0d)      untuk x lebih besar dari 1, y berharga negatip. Jika x semakin besar, maka y semakin kecil;

           Gambar grafik :

 

         b.     Grafik fungsi y =alog x untuk a > 1

            Contoh Kasus :            

             memiliki sifat – sifat :

a)      terdefinisi untuk semua x >0;b)      jika x mendekati nol maka y kecil sekali dan bertanda negatip;

c)      untuk x = 1, y = 0d)      untuk x lebih besar dari 1, y berharga positip. Jika x semakin besar, maka y semakin besar

pula                 Gambar grafik :

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Fungsi Logaritma

1.  Jika 2log x = 3     Tentukan nilai x = ….            Jawab:            2log x = 3  à x = 23

                                     x = 8.

2.  Jika 4log 64 = x     Tentukan nilai x = ….            Jawab:            4log 64 = x  à 4x = 64                                        4x = 44

                            x = 4.

3.  Nilai dari 2log 8 + 3log 9 = ….            Jawab:            = 2log 8 + 3log 9            = 2log 23 + 3log 32

            =  3 + 2            =  5

4.  Nilai dari 2log (8 x 16) = ….            Jawab:            = 2log 8 + 2log 16            = 2log 23 + 2log 24

            =  3 + 4            =  7

5.  Nilai dari 3log (81 : 27) = ….            Jawab:            = 3log 81 - 3log 27            = 3log 34 - 3log 33

            =  4 - 3            =  1

6.  Nilai dari 2log 84 = ….            Jawab:            = 2log 84

            = 4 x 2log 23

            = 4 x 3            = 12

7.  Nilai dari 2log Ö84 = ….            Jawab:            = 2log Ö84  à

            = 2 x 2log 23

            = 2 x 3            = 6

8.      Jika log 100 = xTentukan nilai x = ….

                        Jawab:                        log 100 = x  à 10x = 100                                    10x =  102

                                   x = 2.

9.      log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301Nilai log 18 = ….

log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301log 18 = log 9 x 2

                        = log 9 + log 2                        = log 32 + log 2                        = 2 (0,477) + 0,301                        = 0,954 + 0,301                        = 1,255 

10.  log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699Nilai log 5 + log 8 + log 25 = ….log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699

= log 5 + log 8 + log 25            = log 5 + log 23 + log 52

= log 5 + 3.log 2 + 2.log 5= 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699)= 0,699 + 0,903 + 1,398= 3,0

11.      Tentukan nilai dari :(a). log 1000          dan      (b).2 log 128

Penyelesaian :(a). Misalkan log 1000 = y

log 1000 = 10  log 1000 = 10log103 = y103 = 10y         (definisi)

 y = 3

(b). Misalkan 2log 128  = x          2log 128 = 2log 27 = x       27 = 2x

       x = 7

12.      Tentukanlah atau hitunglah nilai dari(a) log 234                         (b). log 23,4                 (c). log 2,34(d). log 0,234                     (e). log 0,000234Penyelesaian :(a). log 234 = log (2,34 x 102) = log 2,34 + log 102 = log 2,34 + 2

Dengan memperhatikan atau membaca logaritma biasa, nilai log 2,34 berada pada baris yang dikepalai oleh 23 dan di bawah kolom yang dikepalai oleh 4. Hal ini berarti log 2,34 = 0,369. Jadi, log 234 = 0,369 + 2 = 2,369.Catatan :Bilangan 0,369 disebut mantisa (bagian desimal) dan 2 disebut karakteristik (bagian bulat). Dalam hal ini mantisa logaritma tidak pernah negatif, tetapi 0 mantisa < 1.(b). log 23,4 = log (2,34 x 101) = log 2,34 + log 10 = log 2,34 + 1 = 0,369 + 1 = 1,369.

(c). log 2,34 = 0,369(d). log 0,000234 = log (2,34 x 10-4) = log 2,34 + log 10-4 = 0,369 - 4 = -3,631.

13.      Tentukanlah x jika(a). log x = 4,483               (b). log x = 2,483                     (c). log x = 0,483(d). log x = - 2,483                         (e). log x = -4,483

Penyelesaian :(a). log x = 4,483 menurut definisi x = 104,483 = 100,483+4 = 104 x 100,483

Untuk menghitung 100,483 , kita harus menemukan bilangan yang logaritmanya 0,483.

Dari tabel (daftar) ternyata 0,483 terdapat pada baris yang dikepalai oleh 30 dan pada kolom yang dikepalai 4, bilangan ini adalah 3, 04. (ingat 1 A < 10). Jadi,x = 104 x 3,04 = 30400.(b). Karena log x = 2,483, maka menurut definisi x = 102,483 = 102 + 0,483 = 102 + 100,483. Dengan memperhatikan daftar logaritma, seperti penyelesaian soal di atas (a), maka didapat :

x = 102 x 3,04 = 304.(c). log x = 0,483 berarti x = 100,483 = 3,04.

(d). Karena log x = - 2,483 tidak dalam bentuk baku, maka bentuk bakunyalog x = -2,483 = 0,517 + (-3).Dari daftar logaritma diperoleh antilog 0,517 = 3,29. Jadi,x = 3,29 x 10-3 = 0,00329.(e). log x = -4,483 = 0,517 + (-5),

sedangkan dari daftar logaritma diperoleh antilog 0,517 = 3,29. Jadi,x = 3,29 x 10-5 = 0,0000329.

14.      Carilah 3 log 2 dengan bantuan daftar logaritma.

15.      Jika log x = 0,602, tentukanlah nilai logaritma berikut :(a). log 4000                      (b). log 0,04                 (c). Log 16

1. 2 log(x-4) - log 4 (x-1)= 0

Penyelesaian:log (x-4) = log 4(x-1)log (x-4)² = log 4x-4log x²-8x+16 = log 4x-4x²-8x+16 = 4x-4x²-8x-4x+16+4=0x²-12x+20=0(x-10)(x-2)=0

x-10=0x=10Ataux-2=0x=2

a. y = x + 7

    y = x2 + 4x - 12

   Jawab :

   Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x2 + 4x - 12 diperoleh

                  x + 7 = x2 + 4x - 12

      x2 + 3x - 19 = 0

                      D = 32 - 4(1)(-19)

                      D = 9 + 76

                      D = 85

                       

   Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.

                       

 

b. y = -2x + 5

    y = x2 + 6x + 21

    Jawab :

    Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x2 + 6x + 21 diperoleh

                -2x + 5 = x2 + 6x + 21

      x2 + 8x + 16 = 0

                      D = 82 - 4(1)( 16)

                      D = 64 - 64

                      D = 0

   Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

 

c. y = 3x - 4

    y = x2 + 6x + 9

    Jawab : 

   Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x2 + 6x + 9 diperoleh

                   3x - 4 = x2 + 6x + 9

      x2 + 3x + 13 = 0

                       D = 32 - 4(1)( 13)

                       D = 9 - 52

                       D = -43

   Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

 

 

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8

 y = x2 + 4x

Jawab: 

Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x2 + 4x, diperoleh

              2x + 8 = x2 + 4x                                  

      x2 + 2x - 8 = 0

     (x + 4)(x - 2) = 0

     x = -4 atau x = 2

       x = -4  y = 2(-4) + 8 = 0

       x = 2    y = 2(2) + 8 = 12 

Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

 

 

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x2 - 2x - 8.

Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola

                 b. sketsa grafiknya.

Jawab:

a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x2 - 2x - 8,

diperoleh

                    x + 2 = x2 - 2x - 8                             

         x2 - 3x - 10 = 0

        (x + 2)(x - 5) = 0

         x = -2 atau x = 5

           x = -2  y = -2 + 2 = 0

           x = 5     y = 5 + 2 = 7      

         Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

 

b. Grafik

    y = x + 2

 

x 0 -2 y 2 0

 

                                                            

    y = x2 - 2x - 8

 

x 0 -2 atau 4 1y -8 0 -9

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat ImplisitSuatu persamaan dua variable x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila

persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).

Contoh: (1) x = 5y + 20                                    (3) y = x2 +2x - 15    

            (2) y = 4x - 8                                       (4) x = y2 + 8y +12

 

Suatu persamaan dua variable x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan

tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit

dinyatakan dalam bentuk f(x, y)

Contoh: (1) x2 + y2 + 25 = 0                              (3) x2 - 6xy + y2 + 8y = 0    

            (2) x2 + y2 - 4x +  6y = 0                      (4) x2 + 2xy + y2 - 10y + 9 = 0

Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai

berikut: 

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real

A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

1.  Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

2.  Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga

diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

3.  Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y,

kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK 

Jawab:

x + y - 4 = 0   y = -x + 4

Substitusikan y ke persamaan x2 + y2 - 10 = 0

           x2 + (-x + 4)2 - 10 = 0

   x2 + x2 - 8x + 16 - 10 = 0

                2x2 - 8x + 6 = 0

                  x2 - 4x + 3 = 0

              (x - 1) (x - 3) = 0

    x = 1 atau x = 3

      x = 1   y = -1 + 4 = 3

      x = 3   y = -3 + 4 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, 3) atau (3, 1)}

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK 

Jawab:

x - y = 5   x = y + 5

Substitusikan x ke persamaan x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0

            (y + 5)2 + y2 - 2(y + 5) + 4y + 1 = 0

    y2 + 10y + 25 + y2 - 2y - 10 + 4y + 1 = 0

                                   2y2 + 12y + 16 = 0

                                        y2 + 6y + 8 = 0

                                    (y + 2) (y + 4) = 0

     y = -2 atau y = -4

       y = -2 x = -2 + 5 = 3

       y = -4 x = -4 + 5 = 1

Jadi, himpunan penyelesaian = {(1, -4), (3, -2)}.

. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

1.  Ubah persamaan ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)2 - s2 =

0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh 

mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0

2.  Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0

sehingga diperolah nilai x dan y.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK 

Jawab: 

           x2 - 6xy + 9y2 - 36 = 0

                (x - 3y)2 - 36 = 0

   (x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0

   x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0

   x - 3y = -6  atau x - 3y = 6

Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6  dan x - 3y = 6

  x + y = 2

  x - 3y = -6

       4y = 8             x + 2 = 8

        y = 2                   x = 0

 

  x + y = 2

  x - 3y = -6 

       4y = 8             x + 2 = 8

        y = 2                   x = 0

 Jadi, himpunan penyelesaian = {(0, 2), (3, -1)}