Himpunan BilanganHimpunan Bilangan

Pertemuan 2Pertemuan 2

(Himpunan Bilangan)(Himpunan Bilangan)

.::Erna Sri Hartatik::..::Erna Sri Hartatik::.

Himpunan bilangan dan Himpunan bilangan dan skemanyaskemanya

Skema Himpunan Skema Himpunan BilanganBilangan

Himpunan bilangan asliHimpunan bilangan asliadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat anggotanya merupakan bilangan bulat positif.positif.

Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}

Himpunan bilangan primaHimpunan bilangan primaadalah himpunan bilangan-bilangan asli adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.dan satu, kecuali angka 1.

Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....} Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....} 

Himpunan bilangan cacahHimpunan bilangan cacahadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.positif digabung dengan nol.

Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

Himpunan bilangan bulatHimpunan bilangan bulatadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.negatif, nol, dan positif.

Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 

Himpunan bilangan rasionalHimpunan bilangan rasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:dinyatakan sebagai:p/q dimana p,q p/q dimana p,q  bulat dan q  bulat dan q 0 atau dapat 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.CContoh:ontoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

Himpunan bilangan irasionalHimpunan bilangan irasionaladalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.sebagai suatu desimal berulang.

contoh:contoh: log 2, e,  log 2, e, 77

Himpunan bilangan riilHimpunan bilangan riiladalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.bilangan rasional dan irasional.contoh:contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3 log 10, 5/8, -3, 0, 3

Himpunan bilangan imajinerHimpunan bilangan imajineradalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan dimana i merupakan lambang bilangan baru.baru.

contoh:contoh: i, 4i, 5i i, 4i, 5i

Himpunan bilangan kompleksHimpunan bilangan kompleksadalah himpunan bilangan yang anggota-adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -R, i² = -1, 1,

dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh:contoh: 2-3i, 8+2 2-3i, 8+2

Bilangan bulatBilangan bulat

Bilangan bulat adalah bilangan bukan Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : pecahan yang terdiri dari bilangan :

Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) Nol : 0 Nol : 0 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Himpunan Bilangan bulat Himpunan Bilangan bulat

A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } }

Garis bilangan bulat Garis bilangan bulat

0-1-2-3 1 2 3 4-4

bilangan bulat positif

bilangan bulat Negatif

Bilangan nol

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … } Bilangan yang habis dibagi dengan 2 Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … } Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

Operasi Hitung Bilangan Operasi Hitung Bilangan BulatBulat

PenjumlahanPenjumlahan Sifat Asosiatif Sifat Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Sifat Komutatif Sifat Komutatif a + b = b + a a + b = b + a Unsur Identitas terhadap penjumlahan Unsur Identitas terhadap penjumlahan a + 0 = a + 0 = 0 + a 0 + a Unsur invers terhadap penjumlahan Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = a + (-a) = (-a) + a(-a) + a Bersifat tertutupBersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat a dan b ∈ bilangan bulat

maka maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

PenguranganPengurangan Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

a – b = a + (-b) a – b = a + (-b)

a – (-b) = a + ba – (-b) = a + b Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku

a – b ≠ b - a a – b ≠ b - a

(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )(a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :

a – 0 = a dan 0 – a = -aa – 0 = a dan 0 – a = -a Bersifat tertutup Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat a dan b ∈ bilangan bulat

maka maka

a - b = c ; c ∈ bilangan bulat a - b = c ; c ∈ bilangan bulat

PerkalianPerkalian a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = aba x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab Sifat Asosiatif Sifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) (a x b) x c = a x (b x c) Sifat komutatif Sifat komutatif a x b = b x a a x b = b x a Sifat distributif Sifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a a x (b+c) = (a x b ) + (a

x c)x c) Unsur identitas untuk perkalianUnsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 a x 0 = 0

atau atau a x 1 = 1 x a = a a x 1 = 1 x a = a Bersifat tertutupBersifat tertutup a x b = c a x b = c

a, b, c ∈ bilangan bulat a, b, c ∈ bilangan bulat

PembagianPembagian Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah

bilangan positif bilangan positif (+) : (+) = (+)(+) : (+) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah

bilangan positifbilangan positif (-) : (-) = (+)(-) : (-) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda

adalah bilangan negatif adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) atau (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)(-) : (+) = (-)

Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi adalah tidak terdefinisi a : 0 a : 0 (~) atau 0 : (~) atau 0 : aa 0 (nol) 0 (nol)

Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c)a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c) Bersifat tidak tertutupBersifat tidak tertutup

Pemangkatan bilangan Pemangkatan bilangan bulatbulat

Contoh : 3

4 = 4 x 4 x 4 = 64 53 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

Akar pangkat duaAkar pangkat dua

Akar kuadrat (akar pangkat dua)Akar kuadrat (akar pangkat dua)

Akar kubik (akar pangkat Akar kubik (akar pangkat tiga)tiga)

Bilangan RiilBilangan Riil

Notasi dari himpunan bilangan riil adalah Notasi dari himpunan bilangan riil adalah dinyatakan sebagai garis lurus dinyatakan sebagai garis lurus xx є є

dibaca dibaca x x (sembarang bilangan) anggota (sembarang bilangan) anggota dari dari Jika Jika xx є є dinyatakan sebagai suatu dinyatakan sebagai suatu titik di garis titik di garis

x

Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0

0-a a

xx

Urutan Pada Garis Urutan Pada Garis Bilangan RiilBilangan Riil

Misalkan: Misalkan: x x < < yy dibaca dibaca x x berada di sebelah kiri berada di sebelah kiri yy

atau x lebih kecil dari yatau x lebih kecil dari y

x x > > yy dibaca dibaca x x berada di sebelah berada di sebelah kanan kanan yy

atau y lebih kecil dari xatau y lebih kecil dari x

x yy x

x<y

x>y

• dibaca “ jika dan hanya jika”• x < y y-x positif

Sifat–sifat bilangan real Sifat–sifat bilangan real Sifat-sifat urutan :Sifat-sifat urutan :

TrikotomiTrikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = yy

KetransitifanKetransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < zJika x < y dan y < z maka x < z PerkalianPerkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yzyz

Penambahan Penambahan x<y x<y x+z <y+z x+z <y+z Relasi urutan Relasi urutan dibaca “kurang dari atau dibaca “kurang dari atau

sama dengan”sama dengan”

dibaca “lebih dari atau dibaca “lebih dari atau sama dengan” sama dengan”

x x y y y - x y - x positif atau nol positif atau nol

Selang (interval)Selang (interval)Penulisan Penulisan himpunan Grafik

(a,b) {x є | a < x < b}

[a,b] {x є | a ≤ x ≤ b}

[a,b) {x є | a ≤ x < b}

(a,b] {x є | a < x ∞ b}

(a,∞) {x є | x > a}

[a, ∞) {x є | x ≥ a}

(-∞,b) {x є | x < b}

(-∞,b] {x є | x ≤ b}

(-∞, ∞)

a

ba

b

a b

a b

a

a

b

b

himpunan bilangan real tertentu yang didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut: